Chương 29: Giao thoa

29–1  Sóng điện từ

Trong chương này, chúng ta sẽ thảo luận chủ đề của chương trước một cách toán học hơn. Chúng ta đã chứng minh một cách định tính rằng có các cực đại và cực tiểu trong trường bức xạ từ hai nguồn, và bài toán của chúng ta bây giờ là mô tả trường đó bằng chi tiết toán học, chứ không chỉ định tính.

Chúng ta đã phân tích về mặt vật lý ý nghĩa của công thức (28.6) khá thỏa đáng, nhưng có một vài điểm cần nêu về nó về mặt toán học. Trước hết, nếu một điện tích đang gia tốc lên xuống dọc theo một đường thẳng, trong một chuyển động có biên độ rất nhỏ, thì trường tại một góc θ nào đó so với trục của chuyển động có hướng vuông góc với đường ngắm và nằm trong mặt phẳng chứa cả gia tốc lẫn đường ngắm (Hình 29–1). Nếu khoảng cách được gọi là r, thì tại thời gian t điện trường có độ lớn

E(t) = −qa(t − r/c) sin θ / (4πε₀c²r),   (29.1)

trong đó a(t − r/c) là gia tốc tại thời gian (t − r/c), được gọi là gia tốc trễ.

Bây giờ sẽ thú vị nếu chúng ta vẽ một bức tranh về trường trong các điều kiện khác nhau. Điều thú vị, dĩ nhiên, là thừa số a(t − r/c), và để hiểu nó chúng ta có thể lấy trường hợp đơn giản nhất, θ = 90°, và vẽ trường theo đồ thị. Điều chúng ta đã nghĩ tới trước đây là chúng ta đứng tại một vị trí và hỏi trường ở đó thay đổi như thế nào theo thời gian. Nhưng thay vào đó, bây giờ chúng ta sẽ xem trường trông như thế nào tại các vị trí khác nhau trong không gian tại một thời điểm cho trước. Vậy điều chúng ta muốn là một bức tranh “chụp nhanh” cho chúng ta biết trường là gì ở các nơi khác nhau. Dĩ nhiên nó phụ thuộc vào gia tốc của điện tích. Giả sử điện tích lúc đầu có một chuyển động nào đó: ban đầu nó đứng yên, và nó đột ngột gia tốc theo một cách nào đó, như được chỉ ra trong Hình 29–2, rồi dừng lại. Sau đó, một lúc sau, chúng ta đo trường tại một nơi khác. Khi đó chúng ta có thể khẳng định rằng trường sẽ xuất hiện như được chỉ ra trong Hình 29–3. Tại mỗi điểm, trường được xác định bởi gia tốc của điện tích tại một thời gian sớm hơn, lượng sớm hơn đó là độ trễ r/c. Trường tại các điểm càng xa hơn được xác định bởi gia tốc tại các thời gian càng sớm hơn. Vậy đường cong trong Hình 29–3 thật ra, theo một nghĩa nào đó, là một đồ thị “đảo ngược” của gia tốc theo hàm của thời gian; khoảng cách liên hệ với thời gian bởi một thừa số tỉ lệ hằng số c, thừa số mà chúng ta thường lấy bằng đơn vị. Điều này dễ thấy khi xét hành vi toán học của a(t − r/c).

Rõ ràng, nếu chúng ta cộng thêm một ít thời gian Δt, chúng ta thu được cùng một giá trị cho a(t − r/c) như chúng ta sẽ thu được nếu chúng ta đã trừ đi một ít khoảng cách: Δr = −c Δt.

Nói cách khác: nếu chúng ta cộng thêm một ít thời gian Δt, chúng ta có thể khôi phục a(t − r/c) về giá trị cũ của nó bằng cách cộng thêm một ít khoảng cách Δr = c Δt. Tức là, khi thời gian trôi đi trường chuyển động như một sóng ra ngoài từ nguồn. Đó là lý do vì sao đôi khi chúng ta nói ánh sáng được truyền đi dưới dạng sóng. Nó tương đương với việc nói rằng trường bị trễ, hay nói rằng điện trường đang chuyển động ra ngoài khi thời gian trôi đi.

Một trường hợp đặc biệt thú vị là trường hợp trong đó điện tích q đang chuyển động lên xuống theo kiểu dao động. Trường hợp chúng ta đã nghiên cứu bằng thực nghiệm trong chương trước là trường hợp trong đó độ dịch chuyển x tại bất kỳ thời gian t nào bằng một hằng số nào đó x₀, độ lớn của dao động, nhân với cos ωt. Khi đó gia tốc là

a = −ω²x₀ cos ωt = a₀ cos ωt,   (29.2)

trong đó a₀ là gia tốc cực đại, −ω²x₀. Đặt công thức này vào (29.1), chúng ta tìm được

E = −q sin θ · a₀ cos ω(t − r/c) / (4πε₀rc²).   (29.3)

Bây giờ, bỏ qua góc θ và các thừa số hằng số, chúng ta hãy xem nó trông như thế nào theo hàm của vị trí hay theo hàm của thời gian.

29–2  Năng lượng của bức xạ

Trước hết, tại bất kỳ thời điểm cụ thể nào hay tại bất kỳ nơi cụ thể nào, cường độ của trường biến thiên tỉ lệ nghịch với khoảng cách r, như chúng ta đã đề cập trước đây. Bây giờ chúng ta phải chỉ ra rằng nội dung năng lượng của một sóng, hay các hiệu ứng năng lượng mà một điện trường như vậy có thể có, tỉ lệ với bình phương của trường, bởi vì nếu, chẳng hạn, chúng ta có một điện tích hay một dao động tử nào đó trong điện trường, thì nếu chúng ta để trường tác dụng lên dao động tử, nó làm cho dao động tử chuyển động. Nếu đây là một dao động tử tuyến tính, gia tốc, vận tốc và độ dịch chuyển do điện trường tác dụng lên điện tích tạo ra đều tỉ lệ với trường. Vậy động năng được phát triển trong điện tích tỉ lệ với bình phương của trường. Vậy chúng ta sẽ coi rằng năng lượng mà một trường có thể truyền cho một hệ bằng cách nào đó tỉ lệ với bình phương của trường.

Điều này có nghĩa là năng lượng mà nguồn có thể truyền giảm khi chúng ta đi ra xa hơn; thật vậy, nó biến thiên tỉ lệ nghịch với bình phương của khoảng cách. Nhưng điều đó có một cách diễn giải rất đơn giản: nếu chúng ta muốn thu thập mọi năng lượng chúng ta có thể từ sóng trong một hình nón nào đó tại một khoảng cách r₁ (Hình 29–4), và chúng ta làm điều tương tự tại một khoảng cách khác r₂, chúng ta thấy rằng lượng năng lượng trên một đơn vị diện tích tại bất kỳ nơi nào cũng đi tỉ lệ nghịch với bình phương của r, nhưng diện tích của bề mặt bị hình nón chắn lại đi tỉ lệ thuận với bình phương của r. Vậy năng lượng chúng ta có thể lấy ra khỏi sóng bên trong một góc hình nón cho trước là như nhau, bất kể chúng ta ở xa đến đâu! Đặc biệt, tổng năng lượng chúng ta có thể lấy ra khỏi toàn bộ sóng bằng cách đặt các dao động tử hấp thụ ở khắp xung quanh là một lượng cố định nào đó. Vậy việc biên độ của E biến thiên như 1/r cũng chính là việc nói rằng có một thông lượng năng lượng không bao giờ bị mất, một năng lượng cứ đi mãi, trải ra trên một diện tích hiệu dụng ngày càng lớn hơn. Như vậy chúng ta thấy rằng sau khi một điện tích đã dao động, nó đã mất một ít năng lượng mà nó không bao giờ có thể thu hồi lại; năng lượng cứ đi xa hơn và xa hơn mà không giảm. Vậy nếu chúng ta ở đủ xa để xấp xỉ cơ bản của chúng ta đủ tốt, điện tích không thể thu hồi năng lượng đã bị, như chúng ta nói, bức xạ đi mất. Dĩ nhiên năng lượng vẫn tồn tại ở đâu đó, và có thể được các hệ khác thu thập. Chúng ta sẽ nghiên cứu “sự mất mát” năng lượng này sâu hơn trong Chương 32.

Bây giờ chúng ta hãy xét cẩn thận hơn sóng (29.3) biến thiên như thế nào theo hàm của thời gian tại một nơi cho trước, và theo hàm của vị trí tại một thời gian cho trước. Một lần nữa chúng ta bỏ qua sự biến thiên 1/r và các hằng số.

29–3  Sóng hình sin

Trước hết chúng ta hãy cố định vị trí r, và quan sát trường theo hàm của thời gian. Nó dao động với tần số góc ω. Tần số góc ω có thể được định nghĩa là tốc độ thay đổi của pha theo thời gian (radian trên giây). Chúng ta đã nghiên cứu một thứ như vậy rồi, nên nó hẳn đã khá quen thuộc với chúng ta lúc này. Chu kỳ là thời gian cần cho một dao động, một chu trình đầy đủ, và chúng ta cũng đã tính ra điều đó; nó là 2π/ω, bởi vì ω nhân với chu kỳ là một chu trình của cosin.

Bây giờ chúng ta giới thiệu một đại lượng mới được dùng rất nhiều trong vật lý. Đại lượng này liên quan đến tình huống ngược lại, trong đó chúng ta cố định t và nhìn sóng theo hàm của khoảng cách r. Dĩ nhiên chúng ta nhận thấy rằng, theo hàm của r, sóng (29.3) cũng dao động. Tức là, ngoài thừa số 1/r mà chúng ta đang bỏ qua, chúng ta thấy rằng E dao động khi chúng ta thay đổi vị trí. Vậy, tương tự với ω, chúng ta có thể định nghĩa một đại lượng gọi là số sóng, ký hiệu là k. Đại lượng này được định nghĩa là tốc độ thay đổi của pha theo khoảng cách (radian trên mét). Tức là, khi chúng ta di chuyển trong không gian tại một thời gian cố định, pha thay đổi.

Có một đại lượng khác tương ứng với chu kỳ, và chúng ta có thể gọi nó là chu kỳ trong không gian, nhưng nó thường được gọi là bước sóng, ký hiệu λ. Bước sóng là khoảng cách mà một chu trình đầy đủ chiếm. Khi đó dễ thấy rằng bước sóng là 2π/k, bởi vì k nhân với bước sóng sẽ là số radian mà toàn bộ thứ đó thay đổi, bằng tích của tốc độ thay đổi của radian trên mét, nhân với số mét, và chúng ta phải tạo ra một thay đổi 2π cho một chu trình. Vậy kλ = 2π đúng tương tự như ωt₀ = 2π.

Bây giờ trong sóng cụ thể của chúng ta có một quan hệ xác định giữa tần số và bước sóng, nhưng các định nghĩa trên của k và ω thật ra khá tổng quát. Tức là, bước sóng và tần số có thể không liên hệ theo cùng một cách trong các hoàn cảnh vật lý khác. Tuy nhiên, trong hoàn cảnh của chúng ta, tốc độ thay đổi của pha theo khoảng cách dễ dàng xác định được, bởi vì nếu chúng ta gọi φ = ω(t − r/c) là pha, và lấy đạo hàm (riêng phần) theo khoảng cách r, tốc độ thay đổi, ∂φ/∂r, là

|∂φ/∂r| = k = ω/c.   (29.4)

Có nhiều cách để biểu diễn cùng một điều, chẳng hạn như

λ = ct₀   (29.5)     ω = ck   (29.6)

λν = c   (29.7)     ωλ = 2πc   (29.8)

Vì sao bước sóng bằng c nhân với chu kỳ? Điều đó dĩ nhiên rất dễ, bởi vì nếu chúng ta ngồi yên và chờ một chu kỳ trôi qua, các sóng, truyền đi với tốc độ c, sẽ di chuyển một khoảng cách ct₀, và dĩ nhiên sẽ vừa di chuyển qua đúng một bước sóng.

Trong một tình huống vật lý khác với tình huống của ánh sáng, k không nhất thiết liên hệ với ω theo cách đơn giản này. Nếu chúng ta gọi khoảng cách dọc theo một trục là x, thì công thức cho một sóng cosin chuyển động theo hướng x với số sóng k và tần số góc ω sẽ được viết nói chung là cos (ωt − kx).

Bây giờ khi đã giới thiệu ý tưởng về bước sóng, chúng ta có thể nói thêm điều gì đó về các hoàn cảnh trong đó (29.1) là một công thức hợp lệ. Chúng ta nhớ lại rằng trường được tạo thành từ vài phần, một phần trong đó biến thiên tỉ lệ nghịch với r, một phần khác biến thiên tỉ lệ nghịch với r², và những phần khác biến thiên còn nhanh hơn nữa. Sẽ đáng để biết trong những hoàn cảnh nào phần 1/r của trường là phần quan trọng nhất, và các phần còn lại tương đối nhỏ. Đương nhiên, đáp án là “nếu chúng ta đi ‘đủ xa’ ra ngoài”, bởi vì các số hạng biến thiên tỉ lệ nghịch với bình phương cuối cùng trở nên không đáng kể so với số hạng 1/r. “Đủ xa” là bao xa? Đáp án là, về mặt định tính, các số hạng khác nhỏ hơn số hạng 1/r vào cỡ λ/r. Như vậy, chừng nào chúng ta ở ngoài vài bước sóng, (29.1) là một xấp xỉ tuyệt vời cho trường. Đôi khi vùng ngoài vài bước sóng được gọi là “vùng sóng”.

29–4  Hai bộ bức xạ lưỡng cực

Tiếp theo chúng ta hãy thảo luận toán học liên quan đến việc kết hợp các hiệu ứng của hai dao động tử để tìm trường tổng cộng tại một điểm cho trước. Điều này rất dễ trong vài trường hợp chúng ta đã xét trong chương trước. Trước hết chúng ta sẽ mô tả các hiệu ứng một cách định tính, rồi sau đó định lượng hơn. Chúng ta hãy lấy trường hợp đơn giản, trong đó các dao động tử được đặt với tâm của chúng trong cùng một mặt phẳng ngang như máy dò, và đường dao động là thẳng đứng.

Hình 29–5(a) biểu diễn hình chiếu từ trên xuống của hai dao động tử như vậy, và trong ví dụ cụ thể này chúng cách nhau nửa bước sóng theo hướng Bắc–Nam, và đang dao động cùng nhau với cùng pha, pha mà chúng ta gọi là pha không. Bây giờ chúng ta muốn biết cường độ của bức xạ theo các hướng khác nhau. Khi nói cường độ chúng ta muốn nói lượng năng lượng mà trường mang qua chúng ta trong mỗi giây, lượng này tỉ lệ với bình phương của trường, lấy trung bình theo thời gian. Vậy điều cần nhìn vào, khi chúng ta muốn biết ánh sáng sáng đến mức nào, là bình phương của điện trường, chứ không phải bản thân điện trường. (Điện trường cho biết độ mạnh của lực mà một điện tích đứng yên cảm thấy, nhưng lượng năng lượng đi qua, tính bằng watt trên mét vuông, tỉ lệ với bình phương của điện trường. Chúng ta sẽ suy ra hằng số tỉ lệ trong Chương 31.) Nếu chúng ta nhìn dàn này từ phía Tây, cả hai dao động tử đóng góp như nhau và cùng pha, nên điện trường mạnh gấp đôi so với trường hợp chỉ từ một dao động tử. Do đó cường độ mạnh gấp bốn lần so với trường hợp chỉ có một dao động tử. (Các con số trong Hình 29–5 biểu diễn cường độ sẽ mạnh đến mức nào trong trường hợp này, so với trường hợp chỉ có một dao động tử duy nhất có cường độ đơn vị.)

Bây giờ, theo hướng Bắc hay hướng Nam dọc theo đường của các dao động tử, vì chúng cách nhau nửa bước sóng, hiệu ứng của một dao động tử hóa ra lệch pha đúng nửa dao động so với dao động tử kia, và do đó các trường cộng lại thành không. Tại một góc trung gian nào đó (thật vậy, tại 30°) cường độ là 2, và nó giảm dần, 4, 2, 0, và cứ thế. Chúng ta phải học cách tìm các con số này tại các góc khác. Đó là một vấn đề cộng hai dao động với các pha khác nhau.

Chúng ta hãy nhanh chóng nhìn vào một số trường hợp thú vị khác. Giả sử các dao động tử lại cách nhau nửa bước sóng, nhưng pha α của một cái được đặt chậm nửa chu kỳ so với cái kia trong dao động của nó (Hình 29–5b). Theo hướng Tây, cường độ bây giờ là không, bởi vì một dao động tử đang “đẩy” khi cái kia đang “kéo”. Nhưng theo hướng Bắc, tín hiệu từ cái gần đến tại một thời gian nào đó, và tín hiệu của cái kia đến muộn hơn nửa chu kỳ. Nhưng cái sau ban đầu đã chậm nửa chu kỳ về thời gian, và do đó nó bây giờ đúng cùng lúc với cái đầu tiên, và vậy cường độ theo hướng này là 4 đơn vị. Cường độ theo hướng tại 30° vẫn là 2, như chúng ta có thể chứng minh sau.

Bây giờ chúng ta đến một trường hợp thú vị cho thấy một đặc điểm có thể hữu ích. Chúng ta hãy nhận xét rằng một trong những lý do quan hệ pha của các dao động tử thú vị là để định hướng các máy phát vô tuyến. Chẳng hạn, nếu chúng ta xây dựng một hệ thống anten và muốn gửi một tín hiệu vô tuyến, giả sử, tới Hawaii, chúng ta đặt các anten như trong Hình 29–5(a) và chúng ta phát bằng hai anten của chúng ta cùng pha, bởi vì Hawaii ở phía tây của chúng ta. Sau đó chúng ta quyết định rằng ngày mai chúng ta sẽ phát về phía Alberta, Canada. Vì nơi đó ở phía bắc, không phải phía tây, tất cả những gì chúng ta phải làm là đảo ngược pha của một trong các anten của chúng ta, và chúng ta có thể phát về phía bắc. Vậy chúng ta có thể xây dựng các hệ thống anten với nhiều cách sắp xếp khác nhau. Hệ của chúng ta là một trong những hệ đơn giản nhất có thể; chúng ta có thể làm chúng phức tạp hơn nhiều, và bằng cách thay đổi các pha trong các anten khác nhau chúng ta có thể gửi các chùm tia theo các hướng khác nhau và gửi phần lớn công suất theo hướng chúng ta muốn truyền, mà không bao giờ phải di chuyển anten! Tuy nhiên, trong cả hai trường hợp trước, trong khi chúng ta đang phát về phía Alberta chúng ta đang lãng phí rất nhiều công suất vào Đảo Phục Sinh, và sẽ thú vị nếu hỏi liệu có thể gửi nó chỉ theo một hướng hay không. Thoạt nhìn chúng ta có thể nghĩ rằng với một cặp anten có bản chất như vậy kết quả sẽ luôn đối xứng. Vậy chúng ta hãy xét một trường hợp cho ra không đối xứng, để cho thấy sự đa dạng có thể có.

Nếu các anten cách nhau một phần tư bước sóng, và nếu anten phía Bắc chậm một phần tư chu kỳ so với anten phía Nam về thời gian, thì điều gì xảy ra (Hình 29–6)? Theo hướng Tây chúng ta được 2, như chúng ta sẽ thấy sau. Theo hướng Nam chúng ta được không, bởi vì tín hiệu từ phía Nam đến tại một thời gian nào đó; tín hiệu từ phía Bắc đến muộn hơn 90° theo thời gian, nhưng nó đã chậm 90° trong pha nội tại của nó, do đó nó đến, tổng cộng, lệch pha 180°, và không có hiệu ứng nào. Mặt khác, theo hướng Bắc, tín hiệu phía Bắc đến sớm hơn tín hiệu phía Nam 90° theo thời gian, bởi vì nó gần hơn một phần tư bước sóng. Nhưng pha của nó được đặt sao cho nó đang dao động chậm 90° về thời gian, điều này vừa bù trừ sự chênh lệch độ trễ, và do đó hai tín hiệu xuất hiện cùng nhau cùng pha, làm cường độ trường gấp đôi, và năng lượng gấp bốn lần.

Như vậy, bằng cách dùng một chút khéo léo trong khoảng cách và pha của các anten, chúng ta có thể gửi công suất tất cả theo một hướng. Nhưng nó vẫn được phân bố trên một khoảng góc lớn. Chúng ta có thể sắp xếp nó sao cho nó được hội tụ còn sắc nét hơn theo một hướng cụ thể không? Chúng ta hãy xét lại trường hợp Hawaii, trong đó chúng ta đang gửi chùm tia về phía đông và phía tây nhưng nó trải ra trên một góc khá lớn, bởi vì ngay tại 30° chúng ta vẫn được một nửa cường độ — chúng ta đang lãng phí công suất. Chúng ta có thể làm tốt hơn thế không? Chúng ta hãy lấy một tình huống trong đó khoảng cách là mười bước sóng (Hình 29–7), tình huống này gần với tình huống chúng ta đã thí nghiệm trong chương trước hơn, với khoảng cách vài bước sóng thay vì một phần nhỏ của bước sóng. Ở đây bức tranh khá khác.

Nếu các dao động tử cách nhau mười bước sóng (chúng ta lấy trường hợp cùng pha cho dễ), chúng ta thấy rằng theo hướng Đông–Tây, chúng cùng pha, và chúng ta được một cường độ mạnh, gấp bốn lần điều chúng ta sẽ được nếu chỉ một trong chúng ở đó một mình. Mặt khác, tại một góc rất nhỏ lệch đi, thời gian đến chênh nhau 180° và cường độ bằng không. Nói chính xác, nếu chúng ta vẽ một đường từ mỗi dao động tử tới một điểm ở xa và hiệu Δ của hai khoảng cách là λ/2, nửa dao động, thì chúng sẽ lệch pha. Vậy cực tiểu đầu tiên này xảy ra khi điều đó xảy ra. (Hình không được vẽ theo tỉ lệ; nó chỉ là một phác thảo thô.) Điều này có nghĩa là chúng ta thật sự có một chùm tia rất sắc nét theo hướng chúng ta muốn, bởi vì nếu chúng ta chỉ di chuyển qua một chút chúng ta mất hết cường độ. Không may cho các mục đích thực tế, nếu chúng ta đang nghĩ tới việc làm một dàn phát vô tuyến và chúng ta nhân đôi khoảng cách Δ, thì chúng ta sẽ lệch pha đúng một chu trình đầy đủ, điều này giống như đúng cùng pha trở lại! Như vậy chúng ta được nhiều cực đại và cực tiểu liên tiếp, đúng như chúng ta đã tìm thấy với khoảng cách vài bước sóng trong Chương 28.

Bây giờ làm sao chúng ta có thể sắp xếp để loại bỏ tất cả các cực đại phụ này, hay “thùy”, như chúng được gọi? Chúng ta có thể loại bỏ các thùy không mong muốn theo một cách khá thú vị. Giả sử chúng ta đặt một bộ anten khác vào giữa hai anten chúng ta đã có. Tức là, các anten ngoài cùng vẫn cách nhau 10λ, nhưng giữa chúng, giả sử cứ mỗi 2λ, chúng ta đặt thêm một anten nữa, và chúng ta kích thích tất cả chúng cùng pha. Bây giờ có sáu anten, và nếu chúng ta nhìn vào cường độ theo hướng Đông–Tây, nó dĩ nhiên sẽ cao hơn nhiều với sáu anten so với một anten. Trường sẽ gấp sáu lần và cường độ gấp ba mươi sáu lần (bình phương của trường). Chúng ta được 36 đơn vị cường độ theo hướng đó. Bây giờ nếu chúng ta nhìn vào các điểm lân cận, chúng ta tìm thấy một số không như trước, đại khái, nhưng nếu chúng ta đi xa hơn, tới nơi chúng ta từng được một “bướu” lớn, chúng ta được một “bướu” nhỏ hơn nhiều bây giờ. Chúng ta hãy cố xem vì sao.

Lý do là mặc dù chúng ta có thể kỳ vọng được một bướu lớn khi khoảng cách Δ đúng bằng bước sóng, đúng là các lưỡng cực 1 và 6 khi đó cùng pha và đang hợp tác để cố tạo ra một ít cường độ theo hướng đó. Nhưng các số 3 và 4 lệch pha khoảng ½ bước sóng so với 1 và 6, và mặc dù 1 và 6 đẩy cùng nhau, 3 và 4 cũng đẩy cùng nhau, nhưng theo pha ngược lại. Do đó có rất ít cường độ theo hướng này — nhưng có một ít; nó không cân bằng chính xác. Loại điều này cứ tiếp tục xảy ra; chúng ta được các bướu rất nhỏ, và chúng ta có chùm tia mạnh theo hướng chúng ta muốn. Nhưng trong ví dụ cụ thể này, một điều khác cũng sẽ xảy ra: đó là, vì khoảng cách giữa các lưỡng cực liên tiếp là 2λ, có thể tìm thấy một góc tại đó khoảng cách δ giữa các lưỡng cực liên tiếp đúng bằng một bước sóng, sao cho các hiệu ứng từ tất cả chúng lại cùng pha. Mỗi cái bị trễ so với cái tiếp theo 360°, nên tất cả chúng quay lại cùng pha, và chúng ta có một chùm tia mạnh khác theo hướng đó! Điều này dễ tránh trong thực tế bởi vì có thể đặt các lưỡng cực gần nhau hơn một bước sóng. Nếu chúng ta đặt thêm nhiều anten, gần nhau hơn một bước sóng, thì điều này không thể xảy ra. Nhưng việc điều này có thể xảy ra tại các góc nào đó, nếu khoảng cách lớn hơn một bước sóng, là một hiện tượng rất thú vị và hữu ích trong các ứng dụng khác — không phải phát vô tuyến, mà trong cách tử nhiễu xạ.

29–5  Toán học của giao thoa

Bây giờ chúng ta đã kết thúc việc phân tích các hiện tượng của các bộ bức xạ lưỡng cực một cách định tính, và chúng ta phải học cách phân tích chúng một cách định lượng. Để tìm hiệu ứng của hai nguồn tại một góc cụ thể nào đó trong trường hợp tổng quát nhất, trong đó hai dao động tử có một pha tương đối nội tại α nào đó so với nhau và các cường độ A₁ và A₂ không bằng nhau, chúng ta thấy rằng chúng ta phải cộng hai cosin có cùng tần số, nhưng với các pha khác nhau. Việc tìm hiệu pha này rất dễ; nó được tạo thành từ một độ trễ do hiệu đường đi, và pha nội tại, có sẵn, của dao động. Về mặt toán học, chúng ta phải tìm tổng R của hai sóng: R = A₁ cos (ωt + φ₁) + A₂ cos (ωt + φ₂). Chúng ta làm điều đó như thế nào?

Điều đó thật ra rất dễ, và chúng ta giả thiết rằng chúng ta đã biết cách làm điều đó. Tuy nhiên, chúng ta sẽ phác thảo quy trình với một ít chi tiết. Trước hết, chúng ta có thể, nếu chúng ta khéo léo với toán học và biết đủ về cosin và sin, đơn giản tính ra nó. Trường hợp dễ nhất như vậy là trường hợp trong đó A₁ và A₂ bằng nhau, giả sử chúng đều bằng A. Trong các hoàn cảnh đó, chẳng hạn (chúng ta có thể gọi đây là phương pháp lượng giác để giải bài toán), chúng ta có

R = A[cos (ωt + φ₁) + cos (ωt + φ₂)].   (29.9)

Có lần, trong lớp lượng giác của chúng ta, chúng ta có thể đã học quy tắc rằng

cos A + cos B = 2 cos ½(A + B) cos ½(A − B).   (29.10)

Nếu chúng ta biết điều đó, thì chúng ta có thể viết ngay R thành

R = 2A cos ½(φ₁ − φ₂) cos (ωt + ½φ₁ + ½φ₂).   (29.11)

Vậy chúng ta thấy rằng chúng ta có một sóng dao động với một pha mới và một biên độ mới. Nói chung, kết quả sẽ là một sóng dao động với một biên độ mới A_R, mà chúng ta có thể gọi là biên độ hợp thành, dao động với cùng tần số nhưng với một hiệu pha φ_R, được gọi là pha hợp thành. Xét điều này, trường hợp cụ thể của chúng ta có kết quả sau: biên độ hợp thành là

A_R = 2A cos ½(φ₁ − φ₂),   (29.12)

và pha hợp thành là trung bình của hai pha, và chúng ta đã giải quyết hoàn toàn bài toán của mình.

Bây giờ giả sử chúng ta không thể nhớ rằng tổng của hai cosin bằng hai lần cosin của nửa tổng nhân với cosin của nửa hiệu. Khi đó chúng ta có thể dùng một phương pháp phân tích khác mang tính hình học hơn. Bất kỳ hàm cosin nào của ωt cũng có thể được coi là hình chiếu ngang của một vector quay. Giả sử có một vector A₁ có độ dài A₁ quay theo thời gian, sao cho góc của nó với trục ngang là ωt + φ₁. (Chúng ta sẽ bỏ ωt ra trong chốc lát, và thấy rằng nó không tạo ra khác biệt nào.) Giả sử chúng ta chụp một bức ảnh nhanh tại thời gian t = 0, mặc dù, thật vậy, bức tranh đang quay với vận tốc góc ω (Hình 29–9). Hình chiếu của A₁ dọc theo trục ngang đúng là A₁ cos (ωt + φ₁). Bây giờ tại t = 0 sóng thứ hai có thể được biểu diễn bằng một vector khác, A₂, có độ dài A₂ và tại một góc φ₂, và cũng đang quay. Cả hai đều đang quay với cùng vận tốc góc ω, và do đó các vị trí tương đối của hai vector là cố định. Hệ quay vòng như một vật rắn. Hình chiếu ngang của A₂ là A₂ cos (ωt + φ₂). Nhưng chúng ta biết từ lý thuyết vector rằng nếu chúng ta cộng hai vector theo cách thông thường, bằng quy tắc hình bình hành, và vẽ vector hợp thành A_R, thành phần x của vector hợp thành là tổng của các thành phần x của hai vector kia. Điều đó giải quyết bài toán của chúng ta. Dễ kiểm tra rằng điều này cho kết quả đúng cho trường hợp đặc biệt chúng ta đã xử lý ở trên, trong đó A₁ = A₂ = A. Trong trường hợp này, chúng ta thấy từ Hình 29–9 rằng A_R nằm ở giữa A₁ và A₂ và tạo một góc ½(φ₂ − φ₁) với mỗi vector. Do đó chúng ta thấy rằng A_R = 2A cos ½(φ₂ − φ₁), như trước. Ngoài ra, như chúng ta thấy từ hình tam giác, pha của A_R, khi nó quay vòng, là góc trung bình của A₁ và A₂ khi hai biên độ bằng nhau. Rõ ràng, chúng ta cũng có thể giải cho trường hợp các biên độ không bằng nhau, dễ dàng như vậy. Chúng ta có thể gọi đó là cách hình học để giải bài toán.

Vẫn còn một cách khác để giải bài toán, và đó là cách giải tích. Tức là, thay vì thật sự phải vẽ một bức tranh như Hình 29–9, chúng ta có thể viết ra điều gì đó nói cùng một điều như bức tranh: thay vì vẽ các vector, chúng ta viết một số phức để biểu diễn mỗi vector. Các phần thực của các số phức là các đại lượng vật lý thật. Vậy trong trường hợp cụ thể của chúng ta các sóng có thể được viết theo cách này: A₁e^{i(ωt + φ₁)} [phần thực của điều này là A₁ cos (ωt + φ₁)] và A₂e^{i(ωt + φ₂)}. Bây giờ chúng ta có thể cộng hai cái:

R = A₁e^{i(ωt + φ₁)} + A₂e^{i(ωt + φ₂)} = (A₁e^iφ₁ + A₂e^iφ₂)e^iωt   (29.13)

hay,

R̂ = A₁e^iφ₁ + A₂e^iφ₂ = A_Re^iφ_R.   (29.14)

Điều này giải quyết bài toán chúng ta muốn giải, bởi vì nó biểu diễn kết quả thành một số phức có độ lớn A_R và pha φ_R.

Để xem phương pháp này hoạt động như thế nào, chúng ta hãy tìm biên độ A_R là “độ dài” của R̂. Để thu được “độ dài” của một đại lượng phức, chúng ta luôn nhân đại lượng đó với liên hợp phức của nó, điều này cho bình phương của độ dài. Liên hợp phức là cùng một biểu thức, nhưng với dấu của các i bị đảo ngược. Như vậy chúng ta có

A_R² = (A₁e^iφ₁ + A₂e^iφ₂)(A₁e^−iφ₁ + A₂e^−iφ₂).   (29.15)

Khi nhân ra điều này, chúng ta được A₁² + A₂² (ở đây các e triệt tiêu nhau), và đối với các số hạng chéo chúng ta có A₁A₂(e^{i(φ₁−φ₂)} + e^{i(φ₂−φ₁)}). Bây giờ, e^iθ + e^−iθ = cos θ + i sin θ + cos θ − i sin θ. Tức là, e^iθ + e^−iθ = 2 cos θ. Kết quả cuối cùng của chúng ta do đó là

A_R² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂ cos (φ₂ − φ₁).   (29.16)

Như chúng ta thấy, điều này phù hợp với độ dài của A_R trong Hình 29–9, dùng các quy tắc lượng giác.

Như vậy tổng của hai hiệu ứng có cường độ A₁² chúng ta sẽ được với một trong chúng một mình, cộng với cường độ A₂² chúng ta sẽ được với cái kia một mình, cộng thêm một số hạng hiệu chỉnh. Số hạng hiệu chỉnh này chúng ta gọi là hiệu ứng giao thoa. Nó thật ra chỉ là hiệu số giữa điều chúng ta được bằng cách đơn giản cộng các cường độ, và điều thật sự xảy ra. Chúng ta gọi nó là giao thoa dù nó dương hay âm. (Giao thoa trong ngôn ngữ thông thường thường gợi ý sự đối nghịch hay cản trở, nhưng trong vật lý chúng ta thường không dùng ngôn ngữ theo cách nó vốn được thiết kế!) Nếu số hạng giao thoa dương, chúng ta gọi trường hợp đó là giao thoa tăng cường, dù nó có thể nghe khủng khiếp đến thế nào với bất kỳ ai không phải là nhà vật lý! Trường hợp ngược lại được gọi là giao thoa triệt tiêu.

Bây giờ chúng ta hãy xem cách áp dụng công thức tổng quát (29.16) của chúng ta cho trường hợp hai dao động tử vào các tình huống đặc biệt chúng ta đã thảo luận một cách định tính. Để áp dụng công thức tổng quát này, chỉ cần tìm hiệu pha nào, φ₂ − φ₁, tồn tại giữa các tín hiệu đến tại một điểm cho trước. (Dĩ nhiên nó chỉ phụ thuộc vào hiệu pha, chứ không phụ thuộc vào bản thân pha.) Vậy chúng ta hãy xét trường hợp trong đó hai dao động tử, có biên độ bằng nhau, cách nhau một khoảng d nào đó và có một pha tương đối nội tại α. (Khi một cái ở pha không, pha của cái kia là α.) Khi đó chúng ta hỏi cường độ sẽ là gì theo một hướng phương vị θ nào đó tính từ đường Đông–Tây. [Lưu ý rằng đây không phải là cùng θ như xuất hiện trong (29.1). Chúng ta bị giằng xé giữa việc dùng một ký hiệu không thông thường, hay ký hiệu thông thường θ (Hình 29–10).] Quan hệ pha được tìm bằng cách lưu ý rằng hiệu khoảng cách từ P tới hai dao động tử là d sin θ, sao cho đóng góp hiệu pha từ điều này là số bước sóng trong d sin θ, nhân với 2π. (Những người tinh tế hơn có thể muốn nhân số sóng k, là tốc độ thay đổi của pha theo khoảng cách, với d sin θ; nó đúng y hệt như vậy.) Hiệu pha do hiệu đường đi do đó là 2πd sin θ/λ, nhưng, do thời gian của các dao động tử, có thêm một pha α. Vậy hiệu pha lúc đến sẽ là

φ₂ − φ₁ = α + 2πd sin θ/λ.   (29.17)

Điều này lo liệu mọi trường hợp. Như vậy tất cả những gì chúng ta phải làm là thay biểu thức này vào (29.16) cho trường hợp A₁ = A₂, và chúng ta có thể tính mọi kết quả khác nhau cho hai anten có cường độ bằng nhau.

Bây giờ chúng ta hãy xem điều gì xảy ra trong các trường hợp khác nhau của chúng ta. Lý do chúng ta biết, chẳng hạn, rằng cường độ là 2 tại 30° trong Hình 29–5 là như sau: hai dao động tử cách nhau ½λ, nên tại 30°, d sin θ = λ/4. Như vậy φ₂ − φ₁ = 2πλ/4λ = π/2, và vậy số hạng giao thoa bằng không. (Chúng ta đang cộng hai vector tại 90°.) Kết quả là cạnh huyền của một tam giác vuông 45°, bằng √2 lần biên độ đơn vị; bình phương nó, chúng ta được gấp đôi cường độ của một dao động tử một mình. Mọi trường hợp khác đều có thể tính ra theo cùng cách này.