Chương 30: Nhiễu xạ

30–1  Biên độ tổng hợp do n bộ dao động tử bằng nhau

Chương này là sự tiếp nối trực tiếp của chương trước, mặc dù tên gọi đã đổi từ Giao thoa sang Nhiễu xạ. Chưa ai từng định nghĩa được sự khác biệt giữa giao thoa và nhiễu xạ một cách thỏa đáng. Đó chỉ là vấn đề về cách dùng từ, và không có sự khác biệt vật lý cụ thể, quan trọng nào giữa chúng. Nói một cách gần đúng, điều tốt nhất chúng ta có thể làm là nói rằng khi chỉ có vài nguồn, chẳng hạn hai nguồn, giao thoa với nhau, kết quả thường được gọi là giao thoa, nhưng nếu có một số lượng lớn các nguồn, thì có vẻ từ nhiễu xạ được dùng thường xuyên hơn. Vì vậy, chúng ta sẽ không bận tâm xem đó là giao thoa hay nhiễu xạ, mà tiếp tục ngay từ chỗ chúng ta đã dừng lại ở giữa chủ đề trong chương trước.

Như vậy, bây giờ chúng ta sẽ thảo luận tình huống trong đó có n bộ dao động tử cách đều nhau, tất cả có biên độ bằng nhau nhưng khác nhau về pha, hoặc vì chúng được kích thích với các pha khác nhau, hoặc vì chúng ta nhìn chúng ở một góc sao cho có sự chênh lệch về độ trễ thời gian. Vì lý do này hay lý do khác, chúng ta phải cộng một thứ như sau:

R = A[cos ωt + cos (ωt + φ) + cos (ωt + 2φ) + ⋯ + cos (ωt + (n − 1)φ)],   (30.1)

trong đó φ là hiệu pha giữa một bộ dao động tử và bộ kế tiếp, khi nhìn theo một hướng cụ thể. Cụ thể, φ = α + 2πd sin θ/λ. Bây giờ chúng ta phải cộng tất cả các số hạng lại với nhau. Chúng ta sẽ làm điều này bằng hình học. Số hạng đầu tiên có độ dài A, và nó có pha bằng không. Số hạng tiếp theo cũng có độ dài A và nó có pha bằng φ. Số hạng tiếp theo nữa lại có độ dài A và nó có pha bằng 2φ, và cứ thế. Vậy rõ ràng chúng ta đang đi vòng quanh một đa giác đều góc với n cạnh (Hình 30–1).

Bây giờ các đỉnh, dĩ nhiên, đều nằm trên một đường tròn, và chúng ta có thể tìm biên độ tổng hợp dễ dàng nhất nếu chúng ta tìm bán kính của đường tròn đó. Giả sử Q là tâm của đường tròn. Khi đó chúng ta biết rằng góc OQS đúng bằng một góc pha φ. (Điều này là vì bán kính QS có cùng quan hệ hình học với A₂ như QO có với A₁, nên chúng tạo với nhau một góc φ.) Do đó bán kính r phải thỏa mãn A = 2r sin φ/2, điều này xác định r. Nhưng góc lớn OQT bằng nφ, và do đó chúng ta tìm được A_R = 2r sin nφ/2. Kết hợp hai kết quả này để khử r, chúng ta được

A_R = A sin(nφ/2) / sin(φ/2).   (30.2)

Cường độ tổng hợp do đó là

I = I₀ sin²(nφ/2) / sin²(φ/2).   (30.3)

Bây giờ chúng ta hãy phân tích biểu thức này và nghiên cứu một số hệ quả của nó. Trước hết, chúng ta có thể kiểm tra nó với n = 1. Nó đúng: I = I₀. Tiếp theo, chúng ta kiểm tra nó với n = 2: viết sin φ = 2 sin φ/2 cos φ/2, chúng ta tìm được A_R = 2A cos φ/2, điều này phù hợp với (29.12).

Bây giờ ý tưởng khiến chúng ta xét việc cộng nhiều nguồn là chúng ta có thể thu được cường độ mạnh hơn nhiều theo một hướng so với hướng khác; rằng các cực đại lân cận vốn sẽ xuất hiện nếu chỉ có hai nguồn sẽ giảm độ mạnh đi. Để thấy hiệu ứng này, chúng ta vẽ đường cong rút ra từ (30.3), lấy n rất lớn và vẽ vùng gần φ = 0. Trước hết, nếu φ đúng bằng 0, chúng ta có 0/0, nhưng nếu φ vô cùng nhỏ, tỉ số của hai bình phương sin đơn giản bằng n², vì sin và góc xấp xỉ bằng nhau. Như vậy cường độ của cực đại của đường cong bằng n² lần cường độ của một bộ dao động tử. Điều này dễ thấy, bởi vì nếu tất cả chúng cùng pha, thì các vector nhỏ không có góc tương đối nào và cả n vector cộng lại nên biên độ gấp n lần, và cường độ gấp n² lần, mạnh hơn.

Khi pha φ tăng lên, tỉ số của hai sin bắt đầu giảm xuống, và lần đầu tiên nó đạt giá trị không là khi nφ/2 = π, vì sin π = 0. Nói cách khác, φ = 2π/n tương ứng với cực tiểu đầu tiên trong đường cong (Hình 30–2). Xét theo những gì đang xảy ra với các mũi tên trong Hình 30–1, cực tiểu đầu tiên xảy ra khi tất cả các mũi tên quay trở lại điểm bắt đầu; điều đó có nghĩa là tổng góc tích lũy trong tất cả các mũi tên, tổng hiệu pha giữa bộ dao động tử đầu tiên và cuối cùng, phải bằng 2π để hoàn thành đường tròn.

Bây giờ chúng ta đi tới cực đại tiếp theo, và chúng ta muốn thấy rằng nó thật sự nhỏ hơn nhiều so với cực đại đầu tiên, như chúng ta đã hy vọng. Chúng ta sẽ không đi chính xác tới vị trí cực đại, bởi vì cả tử số và mẫu số của (30.3) đều biến thiên, nhưng sin φ/2 biến thiên khá chậm so với sin nφ/2 khi n lớn, nên khi sin² nφ/2 = 1 chúng ta đã rất gần cực đại. Cực đại tiếp theo của sin² nφ/2 đến tại nφ/2 = 3π/2, hay φ = 3π/n. Điều này tương ứng với việc các mũi tên đã đi vòng quanh đường tròn một vòng rưỡi. Đặt φ = 3π/n vào công thức để tìm độ lớn của cực đại, chúng ta thấy rằng sin² 3π/2 = 1 ở tử số (vì đó là lý do chúng ta chọn góc này), và ở mẫu số chúng ta có sin² 3π/2n. Bây giờ nếu n đủ lớn, thì góc này rất nhỏ và sin bằng góc; vậy với mọi mục đích thực tế, chúng ta có thể đặt sin 3π/2n = 3π/2n. Như vậy chúng ta tìm được cường độ tại cực đại này là I = I₀(4n²/9π²). Nhưng n²I₀ là cường độ cực đại, và vậy chúng ta có 4/9π² lần cường độ cực đại, tức khoảng 0,045, chưa tới 5 phần trăm, của cường độ cực đại! Dĩ nhiên còn có các cường độ giảm dần ở xa hơn nữa. Vậy chúng ta có một cực đại trung tâm rất sắc nét với các cực đại phụ rất yếu ở hai bên.

Có thể chứng minh rằng diện tích của toàn bộ đường cong, bao gồm tất cả các bướu nhỏ, bằng 2πnI₀, hay gấp đôi diện tích của hình chữ nhật chấm chấm trong Hình 30–2.

Bây giờ chúng ta hãy xét thêm cách chúng ta có thể áp dụng Phương trình (30.3) trong các hoàn cảnh khác nhau, và cố gắng hiểu điều gì đang xảy ra. Chúng ta hãy xét các nguồn của chúng ta đều nằm trên một đường thẳng, như vẽ trong Hình 30–3. Có n nguồn, tất cả cách nhau một khoảng d, và chúng ta sẽ giả sử rằng pha tương đối nội tại, từ nguồn này sang nguồn kế tiếp, là α. Khi đó nếu chúng ta quan sát theo một hướng θ cho trước so với pháp tuyến, có thêm một pha 2πd sin θ/λ do độ trễ thời gian giữa mỗi hai nguồn liên tiếp, điều chúng ta đã nói tới trước đây. Như vậy

φ = α + 2πd sin θ/λ = α + kd sin θ.   (30.4)

Trước hết, chúng ta sẽ lấy trường hợp α = 0. Tức là, tất cả các bộ dao động tử cùng pha, và chúng ta muốn biết cường độ là hàm của góc θ như thế nào. Để tìm ra, chúng ta chỉ cần đặt φ = kd sin θ vào công thức (30.3) và xem điều gì xảy ra. Trước hết, có một cực đại khi φ = 0. Điều đó có nghĩa là khi tất cả các bộ dao động tử cùng pha thì có một cường độ mạnh theo hướng θ = 0. Mặt khác, một câu hỏi thú vị là, cực tiểu đầu tiên ở đâu? Nó xảy ra khi φ = 2π/n. Nói cách khác, khi 2πd sin θ/λ = 2π/n, chúng ta được cực tiểu đầu tiên của đường cong. Nếu chúng ta khử các 2π để nhìn nó rõ hơn một chút, nó nói rằng

nd sin θ = λ.   (30.5)

Bây giờ chúng ta hãy hiểu về mặt vật lý vì sao chúng ta được một cực tiểu tại vị trí đó. nd là tổng chiều dài L của dãy. Nhìn vào Hình 30–3, chúng ta thấy rằng nd sin θ = L sin θ = Δ. Điều (30.5) nói là khi Δ bằng một bước sóng, chúng ta được một cực tiểu. Bây giờ vì sao chúng ta được một cực tiểu khi Δ = λ? Bởi vì đóng góp của các bộ dao động tử khác nhau khi đó được phân bố đều về pha từ 0° tới 360°. Các mũi tên (Hình 30–1) đang đi vòng quanh một đường tròn trọn vẹn — chúng ta đang cộng các vector bằng nhau theo mọi hướng, và một tổng như vậy bằng không. Vậy khi chúng ta có một góc sao cho Δ = λ, chúng ta được một cực tiểu. Đó là cực tiểu đầu tiên.

Còn một đặc điểm quan trọng khác về công thức (30.3), đó là nếu góc φ tăng thêm bất kỳ bội số nào của 2π, nó không tạo ra khác biệt nào đối với công thức. Vậy chúng ta sẽ được các cực đại mạnh khác tại φ = 2π, 4π, 6π, và cứ thế. Gần mỗi cực đại lớn này, hình mẫu của Hình 30–2 được lặp lại. Chúng ta có thể tự hỏi, hoàn cảnh hình học nào dẫn tới các cực đại lớn khác này? Điều kiện là φ = 2πm, trong đó m là một số nguyên bất kỳ. Tức là, 2πd sin θ/λ = 2πm. Chia cho 2π, chúng ta thấy rằng

d sin θ = mλ.   (30.6)

Điều này trông giống công thức kia, (30.5). Không, công thức đó là nd sin θ = λ. Sự khác biệt là ở đây chúng ta phải nhìn vào các nguồn riêng lẻ, và khi chúng ta nói d sin θ = mλ, điều đó có nghĩa là chúng ta có một góc θ sao cho δ = mλ. Nói cách khác, mỗi nguồn bây giờ đang đóng góp một lượng nào đó, và các nguồn liên tiếp lệch pha nhau đúng một bội số nguyên của 360°, và do đó đang đóng góp cùng pha, bởi vì lệch pha 360° cũng giống như cùng pha. Vậy tất cả chúng đóng góp cùng pha và tạo ra một cực đại tốt đúng như cực đại với m = 0 mà chúng ta đã thảo luận trước đây. Các bướu phụ, toàn bộ hình dạng của hình mẫu, đúng như hình mẫu gần φ = 0, với đúng các cực tiểu như nhau ở mỗi bên, v.v. Như vậy một dãy như vậy sẽ gửi các chùm tia theo nhiều hướng khác nhau — mỗi chùm có một cực đại trung tâm mạnh và một số “thùy bên” yếu nhất định. Các chùm mạnh khác nhau được gọi là chùm bậc không, chùm bậc một, v.v., theo giá trị của m. m được gọi là bậc của chùm.

Chúng ta lưu ý một thực tế là nếu d nhỏ hơn λ, Phương trình (30.6) không thể có nghiệm nào ngoại trừ m = 0, nên nếu khoảng cách quá nhỏ thì chỉ có một chùm duy nhất có thể có, chùm bậc không có tâm tại θ = 0. (Dĩ nhiên, cũng có một chùm theo hướng ngược lại.) Để có các cực đại lớn phụ, chúng ta phải có khoảng cách d của dãy lớn hơn một bước sóng.

30–2  Cách tử nhiễu xạ

Trong công việc kỹ thuật với anten và dây dẫn, có thể sắp xếp sao cho tất cả các pha của các bộ dao động tử nhỏ, hay anten, đều bằng nhau. Câu hỏi là liệu chúng ta có thể làm điều tương tự với ánh sáng hay không, và bằng cách nào. Hiện nay chúng ta không thể theo nghĩa đen chế tạo các trạm vô tuyến tần số quang học nhỏ xíu và nối chúng bằng các dây vô cùng nhỏ và kích thích tất cả chúng với một pha cho trước. Nhưng có một cách rất dễ để làm điều về bản chất là tương đương.

Giả sử chúng ta có rất nhiều dây song song, cách đều nhau với khoảng cách d, và một nguồn tần số vô tuyến ở rất xa, thực tế là ở vô cực, đang tạo ra một điện trường tới mỗi dây với cùng một pha (nó ở xa đến mức độ trễ thời gian là như nhau đối với tất cả các dây). (Người ta có thể xử lý các trường hợp với dãy cong, nhưng chúng ta hãy lấy một dãy phẳng.) Khi đó điện trường bên ngoài sẽ làm các electron dao động lên xuống trong mỗi dây. Tức là, trường đến từ nguồn gốc sẽ làm các electron rung lên xuống, và khi chuyển động, các electron này đại diện cho các máy phát mới. Hiện tượng này được gọi là tán xạ: một sóng ánh sáng từ một nguồn nào đó có thể gây ra chuyển động của các electron trong một mảnh vật liệu, và các chuyển động này tạo ra sóng riêng của chúng. Do đó tất cả những gì cần thiết là dựng lên rất nhiều dây, cách đều nhau, kích thích chúng bằng một nguồn tần số vô tuyến ở xa, và chúng ta có tình huống chúng ta muốn, mà không cần một đống dây nối đặc biệt. Nếu tia tới vuông góc, các pha sẽ bằng nhau, và chúng ta sẽ được đúng hoàn cảnh chúng ta đã thảo luận. Do đó, nếu khoảng cách giữa các dây lớn hơn bước sóng, chúng ta sẽ được một cường độ tán xạ mạnh theo hướng pháp tuyến, và theo một số hướng khác nhất định cho bởi (30.6).

Điều này cũng có thể làm được với ánh sáng! Thay vì các dây, chúng ta dùng một mảnh thủy tinh phẳng và tạo các khía trên đó sao cho mỗi khía tán xạ hơi khác một chút so với phần còn lại của thủy tinh. Nếu chúng ta sau đó chiếu ánh sáng lên thủy tinh, mỗi khía sẽ đại diện cho một nguồn, và nếu chúng ta đặt các vạch rất mịn, nhưng không gần nhau hơn một bước sóng (điều mà về mặt kỹ thuật dù sao cũng gần như không thể), thì chúng ta sẽ kỳ vọng một hiện tượng kỳ diệu: ánh sáng không chỉ đi thẳng qua, mà còn có một chùm mạnh ở một góc hữu hạn, tùy thuộc vào khoảng cách của các khía! Những vật như vậy thật sự đã được chế tạo và đang được dùng phổ biến — chúng được gọi là cách tử nhiễu xạ.

Ở một trong các dạng của nó, một cách tử nhiễu xạ chẳng gồm gì khác ngoài một tấm thủy tinh phẳng, trong suốt và không màu, có các vết xước trên đó. Thường có vài trăm vết xước trên một milimét, được sắp xếp rất cẩn thận sao cho cách đều nhau. Hiệu ứng của một cách tử như vậy có thể được thấy bằng cách bố trí một máy chiếu sao cho nó ném một vạch sáng dọc, hẹp (ảnh của một khe) lên một màn. Khi chúng ta đặt cách tử vào chùm tia, với các vết xước của nó thẳng đứng, chúng ta thấy rằng vạch vẫn còn đó nhưng, ngoài ra, ở mỗi bên chúng ta có một mảng sáng mạnh khác có màu. Điều này, dĩ nhiên, là ảnh của khe trải ra trên một khoảng góc rộng, bởi vì góc θ trong (30.6) phụ thuộc vào λ, và các ánh sáng có màu khác nhau, như chúng ta biết, tương ứng với các tần số khác nhau, và do đó các bước sóng khác nhau. Bước sóng nhìn thấy dài nhất là màu đỏ, và vì d sin θ = λ, điều đó đòi hỏi một θ lớn hơn. Và chúng ta thật sự thấy rằng màu đỏ ở một góc lớn hơn ra khỏi ảnh trung tâm! Cũng phải có một chùm ở phía bên kia, và quả thật chúng ta thấy một chùm trên màn. Sau đó, có thể có một nghiệm khác của (30.6) khi m = 2. Chúng ta thấy rằng có một cái gì đó mơ hồ ở đó — rất yếu — và thậm chí còn có các chùm khác ở xa hơn nữa.

Chúng ta vừa lập luận rằng tất cả các chùm này phải có cùng độ mạnh, nhưng chúng ta thấy rằng chúng thật ra không như vậy và, thật vậy, ngay cả các chùm đầu tiên ở bên phải và bên trái cũng không bằng nhau! Lý do là cách tử đã được chế tạo cẩn thận để làm đúng điều này. Bằng cách nào? Nếu cách tử gồm các khía rất mịn, rộng vô cùng nhỏ, cách đều nhau, thì tất cả các cường độ quả thật sẽ bằng nhau. Nhưng, trên thực tế, mặc dù chúng ta đã lấy trường hợp đơn giản nhất, chúng ta cũng có thể đã xét một dãy các cặp anten, trong đó mỗi thành viên của cặp có một độ mạnh nào đó và một pha tương đối nào đó. Trong trường hợp này, có thể thu được các cường độ khác nhau ở các bậc khác nhau. Một cách tử thường được làm với các vết cắt nhỏ hình “răng cưa” thay vì các khía đối xứng nhỏ. Bằng cách sắp xếp cẩn thận các “răng cưa”, có thể gửi nhiều ánh sáng hơn vào một bậc cụ thể của quang phổ so với các bậc khác. Trong một cách tử thực tế, chúng ta muốn có càng nhiều ánh sáng càng tốt trong một trong các bậc. Điều này có vẻ là một điểm phức tạp để đưa vào, nhưng nó là một việc làm rất khéo léo, bởi vì nó làm cho cách tử hữu ích hơn.

Cho đến nay, chúng ta đã lấy trường hợp trong đó tất cả các pha của các nguồn đều bằng nhau. Nhưng chúng ta cũng có một công thức cho φ khi các pha khác nhau từ nguồn này sang nguồn kế tiếp một góc α. Điều đó đòi hỏi nối các anten của chúng ta với một độ lệch pha nhẹ giữa mỗi anten. Chúng ta có thể làm điều đó với ánh sáng không? Có, chúng ta có thể làm điều đó rất dễ dàng, vì giả sử có một nguồn sáng ở vô cực, ở một góc sao cho ánh sáng đến ở một góc θ_in, và giả sử chúng ta muốn thảo luận chùm tán xạ, chùm rời đi ở một góc θ_out (Hình 30–4). θ_out là cùng θ như chúng ta đã có trước đây, nhưng θ_in chỉ là một phương tiện để sắp xếp sao cho pha của mỗi nguồn khác nhau: ánh sáng đến từ nguồn kích thích ở xa trước hết chạm vào một vết xước, rồi vết tiếp theo, rồi vết tiếp theo nữa, và cứ thế, với một độ lệch pha từ vết này sang vết khác, mà, như chúng ta thấy, là α = −2πd sin θ_in/λ. Do đó chúng ta có công thức cho một cách tử trong đó ánh sáng vừa đến vừa đi ra ở một góc:

φ = 2πd sin θ_out/λ − 2πd sin θ_in/λ.   (30.7)

Chúng ta hãy cố tìm ra chúng ta được cường độ mạnh ở đâu trong các hoàn cảnh này. Điều kiện cho các cường độ mạnh, dĩ nhiên, là φ phải là một bội số của 2π. Có vài điểm thú vị cần lưu ý.

Một trường hợp khá được quan tâm là trường hợp tương ứng với m = 0, trong đó d nhỏ hơn λ/2; thật vậy, đây là nghiệm duy nhất. Trong trường hợp này chúng ta thấy rằng sin θ_out = sin θ_in, điều này có thể có nghĩa là θ_out là phần bù của θ_in nên ánh sáng đi ra theo cùng hướng như ánh sáng đã kích thích cách tử. Chúng ta có thể nghĩ rằng ánh sáng “đi thẳng qua”. Không, đó là ánh sáng khác mà chúng ta đang nói tới. Ánh sáng đi thẳng qua là từ nguồn gốc; điều chúng ta đang nói tới là ánh sáng mới được tạo ra bởi sự tán xạ. Hóa ra ánh sáng tán xạ đang đi theo cùng hướng như ánh sáng gốc, thật vậy nó có thể giao thoa với ánh sáng gốc — một đặc điểm mà chúng ta sẽ nghiên cứu sau.

Có một nghiệm khác cho cùng trường hợp này: θ_out có thể bằng θ_in. Vậy không chỉ chúng ta được một chùm theo cùng hướng như chùm tới mà còn một chùm theo một hướng khác, sao cho góc tới bằng góc tán xạ. Chùm này chúng ta gọi là chùm phản xạ.

Vậy chúng ta bắt đầu hiểu bộ máy cơ bản của sự phản xạ: ánh sáng đến tạo ra các chuyển động của các nguyên tử trong vật phản xạ, và vật phản xạ sau đó tái tạo một sóng mới, và một trong các nghiệm cho hướng tán xạ, nghiệm duy nhất nếu khoảng cách của các tâm tán xạ nhỏ so với một bước sóng, là góc mà ánh sáng đi ra bằng góc mà nó đi vào!

Tiếp theo, chúng ta thảo luận trường hợp đặc biệt khi d → 0. Tức là, chúng ta có chỉ một mảnh vật liệu đặc, có thể nói như vậy, nhưng có chiều dài hữu hạn. Ngoài ra, chúng ta muốn độ lệch pha từ một tâm tán xạ sang tâm kế tiếp tiến tới không. Nói cách khác, chúng ta đặt ngày càng nhiều anten hơn giữa các anten khác, sao cho mỗi hiệu pha đang nhỏ dần đi, nhưng số anten đang tăng theo cách sao cho tổng hiệu pha, giữa đầu này của đường thẳng và đầu kia, là hằng số. Chúng ta hãy xem điều gì xảy ra với (30.3) nếu chúng ta giữ hiệu pha nφ từ đầu này sang đầu kia không đổi (chẳng hạn nφ = Φ), để số lượng tiến tới vô cực và độ lệch pha φ của mỗi cái tiến tới không. Nhưng bây giờ φ nhỏ đến mức sin φ = φ, và nếu chúng ta cũng nhận ra n²I₀ là I_m, cường độ cực đại tại tâm của chùm, chúng ta tìm được

I = 4I_m sin²(½Φ)/Φ².   (30.8)

Trường hợp giới hạn này là điều được chỉ ra trong Hình 30–2.

Trong các hoàn cảnh như vậy chúng ta tìm thấy cùng một loại bức tranh chung như với khoảng cách hữu hạn và d < λ/2; tất cả các thùy bên thực tế là như trước, nhưng không có các cực đại bậc cao phụ. Nếu tất cả các tâm tán xạ cùng pha, chúng ta được một cực đại theo hướng θ_out = 0, và một cực tiểu khi khoảng cách Δ bằng λ, đúng như với d và n hữu hạn. Vậy chúng ta thậm chí có thể phân tích một phân bố liên tục của các tâm tán xạ hay các bộ dao động tử, bằng cách dùng tích phân thay vì cộng tổng.

Ví dụ, giả sử có một hàng dài các bộ dao động tử, với điện tích dao động dọc theo hướng của hàng (Hình 30–5). Từ một dãy như vậy cường độ lớn nhất là vuông góc với hàng. Có một ít cường độ lên và xuống khỏi mặt phẳng xích đạo, nhưng nó rất nhẹ. Với kết quả này, chúng ta có thể xử lý một tình huống phức tạp hơn. Giả sử chúng ta có một tập hợp các hàng như vậy, mỗi hàng tạo ra một chùm chỉ trong một mặt phẳng vuông góc với hàng. Để tìm cường độ theo các hướng khác nhau từ một loạt các dây dài, thay vì các dây vô cùng nhỏ, là cùng một bài toán như với các dây vô cùng nhỏ, chừng nào chúng ta ở trong mặt phẳng trung tâm vuông góc với các dây; chúng ta chỉ cộng đóng góp từ mỗi dây dài. Đó là lý do vì sao, mặc dù chúng ta thật ra chỉ phân tích các anten nhỏ xíu, chúng ta cũng có thể đã dùng một cách tử với các khe dài, hẹp. Mỗi khe dài tạo ra một hiệu ứng chỉ theo hướng riêng của nó, không lên và xuống, nhưng tất cả chúng được đặt cạnh nhau theo chiều ngang, nên chúng tạo ra giao thoa theo cách đó.

Như vậy chúng ta có thể xây dựng các tình huống phức tạp hơn bằng cách có các phân bố khác nhau của các tâm tán xạ theo đường thẳng, mặt phẳng, hay trong không gian. Điều đầu tiên chúng ta đã làm là xét các tâm tán xạ trên một đường thẳng, và chúng ta vừa mở rộng phân tích sang các dải; chúng ta có thể làm được bằng cách chỉ thực hiện các phép cộng cần thiết, cộng các đóng góp từ các tâm tán xạ riêng lẻ. Nguyên lý luôn là như nhau.

30–3  Năng suất phân giải của cách tử

Bây giờ chúng ta đã ở vị thế hiểu được một số hiện tượng thú vị. Ví dụ, hãy xét việc dùng một cách tử để tách các bước sóng. Chúng ta đã nhận thấy rằng toàn bộ quang phổ được trải ra trên màn, nên một cách tử có thể được dùng như một dụng cụ để tách ánh sáng thành các bước sóng khác nhau của nó. Một trong các câu hỏi thú vị là: giả sử có hai nguồn có tần số hơi khác nhau, hay bước sóng hơi khác nhau, chúng có thể gần nhau đến mức nào về bước sóng sao cho cách tử không thể nói được rằng thật ra có hai bước sóng khác nhau ở đó? Màu đỏ và màu xanh lam rõ ràng được tách ra. Nhưng khi một sóng là đỏ và sóng kia hơi đỏ hơn, rất gần, chúng có thể gần đến mức nào? Điều này được gọi là năng suất phân giải của cách tử, và một cách phân tích bài toán là như sau. Giả sử rằng với ánh sáng có một màu nào đó chúng ta tình cờ có cực đại của chùm nhiễu xạ xuất hiện ở một góc nào đó. Nếu chúng ta thay đổi bước sóng, pha 2πd sin θ/λ khác đi, nên dĩ nhiên cực đại xuất hiện ở một góc khác. Đó là lý do vì sao màu đỏ và xanh lam được trải ra. Nó phải khác nhau về góc bao nhiêu để chúng ta có thể nhìn thấy nó? Nếu hai cực đại đúng nằm chồng lên nhau, dĩ nhiên chúng ta không thể nhìn thấy chúng. Nếu cực đại của cái này đủ xa cực đại của cái kia, thì chúng ta có thể thấy rằng có một bướu đôi trong phân bố ánh sáng. Để vừa có thể nhận ra bướu đôi, tiêu chuẩn đơn giản sau đây, gọi là tiêu chuẩn Rayleigh, thường được dùng (Hình 30–6). Đó là cực tiểu đầu tiên của một bướu phải nằm tại cực đại của bướu kia. Bây giờ rất dễ tính, khi một cực tiểu nằm trên cực đại kia, hiệu bước sóng là bao nhiêu. Cách tốt nhất để làm điều đó là bằng hình học.¹

Để có một cực đại với bước sóng λ′, khoảng cách Δ (Hình 30–3) phải bằng nλ′, và nếu chúng ta đang nhìn vào chùm bậc m, nó là mnλ′. Nói cách khác, 2πd sin θ/λ′ = 2πm, nên nd sin θ, tức là Δ, bằng mλ′ nhân với n, hay mnλ′. Đối với chùm kia, có bước sóng λ, chúng ta muốn có một cực tiểu tại góc này. Tức là, chúng ta muốn Δ đúng bằng một bước sóng λ nhiều hơn mnλ. Tức là, Δ = mnλ + λ = mnλ′. Như vậy nếu λ′ = λ + Δλ, chúng ta tìm được,

Δλ/λ = 1/mn.   (30.9)

Tỉ số λ/Δλ được gọi là năng suất phân giải của một cách tử; chúng ta thấy rằng nó bằng tổng số vạch trong cách tử, nhân với bậc. Không khó để chứng minh rằng công thức này tương đương với công thức nói rằng sai số trong tần số bằng nghịch đảo của hiệu thời gian giữa các đường đi cực đoan được phép giao thoa:¹

Δν = 1/T.

Thật vậy, đó là cách tốt nhất để nhớ nó, bởi vì công thức tổng quát đúng không chỉ cho cách tử, mà cho bất kỳ dụng cụ nào khác, trong khi công thức đặc biệt (30.9) phụ thuộc vào thực tế là chúng ta đang dùng một cách tử.

30–4  Anten parabol

Bây giờ chúng ta hãy xét một bài toán khác về năng suất phân giải. Điều này liên quan đến anten của một kính thiên văn vô tuyến, được dùng để xác định vị trí của các nguồn vô tuyến trên bầu trời, tức là chúng lớn đến mức nào về góc. Dĩ nhiên nếu chúng ta dùng bất kỳ anten cũ nào và tìm thấy tín hiệu, chúng ta sẽ không biết chúng đến từ hướng nào. Chúng ta rất quan tâm muốn biết nguồn ở chỗ này hay chỗ khác. Một cách chúng ta có thể tìm ra là bố trí cả một loạt các dây lưỡng cực cách đều nhau trên phong cảnh Úc. Sau đó chúng ta lấy tất cả các dây từ các anten này và đưa chúng vào cùng một máy thu, theo cách sao cho tất cả các độ trễ trong các đường cấp đều bằng nhau. Như vậy máy thu nhận tín hiệu từ tất cả các lưỡng cực cùng pha. Tức là, nó cộng tất cả các sóng từ mỗi lưỡng cực với cùng pha. Bây giờ điều gì xảy ra? Nếu nguồn đúng ở phía trên dãy, ở vô cực hay gần như vậy, thì sóng vô tuyến của nó sẽ kích thích tất cả các anten với cùng pha, nên chúng đều cấp cho máy thu cùng nhau.

Bây giờ giả sử nguồn vô tuyến ở một góc nhỏ θ so với phương thẳng đứng. Khi đó các anten khác nhau đang nhận tín hiệu hơi lệch pha nhau. Máy thu cộng tất cả các tín hiệu lệch pha này lại với nhau, và vậy chúng ta được không, nếu góc θ quá lớn. Góc có thể lớn đến mức nào? Đáp án: chúng ta được không nếu góc Δ/L = θ (Hình 30–3) tương ứng với một độ lệch pha 360°, tức là, nếu Δ là bước sóng λ. Điều này là vì các đóng góp vector hợp lại thành một đa giác khép kín với hợp thành bằng không. Góc nhỏ nhất có thể được phân giải bởi một dãy anten có chiều dài L là θ = λ/L. Lưu ý rằng hình mẫu thu của một anten như thế này đúng là cùng một thứ như phân bố cường độ chúng ta sẽ được nếu chúng ta quay máy thu lại và biến nó thành máy phát. Đây là một ví dụ của điều được gọi là nguyên lý thuận nghịch. Hóa ra, thật vậy, nó đúng một cách tổng quát cho bất kỳ cách sắp xếp nào của anten, góc, v.v., rằng nếu chúng ta trước hết tính ra các cường độ tương đối sẽ là gì theo các hướng khác nhau nếu máy thu thay vào đó là một máy phát, thì độ nhạy theo hướng tương đối của một máy thu với cùng hệ dây bên ngoài, cùng dãy anten, là cùng như cường độ tương đối của phát xạ sẽ là nếu nó là một máy phát.

Một số anten vô tuyến được chế tạo theo một cách khác. Thay vì có rất nhiều lưỡng cực trên một đường dài, với rất nhiều đường cấp, chúng ta có thể sắp xếp chúng không theo một đường thẳng mà theo một đường cong, và đặt máy thu tại một điểm nào đó nơi nó có thể phát hiện các sóng tán xạ. Đường cong này được thiết kế khéo léo sao cho nếu sóng vô tuyến đang đi xuống từ phía trên, và các dây tán xạ, tạo ra một sóng mới, các dây được sắp xếp sao cho các sóng tán xạ đến máy thu tất cả cùng một lúc (Hình 26–12). Nói cách khác, đường cong là một parabol, và khi nguồn đúng trên trục của nó, chúng ta được một cường độ rất mạnh tại tiêu điểm. Trong trường hợp này chúng ta hiểu rất rõ năng suất phân giải của một dụng cụ như vậy là gì. Việc sắp xếp các anten trên một đường cong parabol không phải là một điểm thiết yếu. Nó chỉ là một cách thuận tiện để đưa tất cả các tín hiệu tới cùng một điểm mà không có độ trễ tương đối và không có đường cấp. Góc mà một dụng cụ như vậy có thể phân giải vẫn là θ = λ/L, trong đó L là khoảng cách giữa anten đầu tiên và anten cuối cùng. Nó không phụ thuộc vào khoảng cách của các anten và chúng có thể rất gần nhau hoặc thật vậy là tất cả một mảnh kim loại. Bây giờ chúng ta đang mô tả một gương kính thiên văn, dĩ nhiên. Chúng ta đã tìm được năng suất phân giải của một kính thiên văn!

(Đôi khi năng suất phân giải được viết là θ = 1,22λ/L, trong đó L là đường kính của kính thiên văn. Lý do nó không đúng là λ/L là như sau: khi chúng ta tính ra rằng θ = λ/L, chúng ta đã giả sử rằng tất cả các hàng lưỡng cực đều có độ mạnh bằng nhau, nhưng khi chúng ta có một kính thiên văn tròn, đó là cách chúng ta thường sắp xếp một kính thiên văn, không có nhiều tín hiệu đến từ các mép ngoài như vậy, bởi vì nó không giống một hình vuông, nơi chúng ta được cùng cường độ dọc theo một cạnh. Chúng ta được hơi ít hơn bởi vì chúng ta chỉ đang dùng một phần của kính thiên văn ở đó; vậy chúng ta có thể thấy rằng đường kính hiệu dụng hơi ngắn hơn đường kính thật, và đó là điều thừa số 1,22 cho chúng ta biết. Dù sao đi nữa, có vẻ hơi câu nệ khi đưa độ chính xác như vậy vào công thức năng suất phân giải.²)

30–5  Các màng màu; tinh thể

Trên đây, vậy, là một số hiệu ứng của giao thoa thu được bằng cách cộng các sóng khác nhau. Nhưng còn một số ví dụ khác nữa, và mặc dù chúng ta chưa hiểu cơ chế cơ bản, một ngày nào đó chúng ta sẽ hiểu, và ngay bây giờ chúng ta có thể hiểu giao thoa xảy ra như thế nào. Ví dụ, khi một sóng ánh sáng chạm vào một bề mặt của một vật liệu có chiết suất n, giả sử ở tia tới vuông góc, một phần ánh sáng được phản xạ. Lý do cho sự phản xạ chúng ta chưa ở vị thế hiểu ngay bây giờ; chúng ta sẽ thảo luận nó sau. Nhưng giả sử chúng ta biết rằng một phần ánh sáng được phản xạ cả khi đi vào và khi rời khỏi một môi trường khúc xạ. Khi đó, nếu chúng ta nhìn vào sự phản xạ của một nguồn sáng trong một màng mỏng, chúng ta thấy tổng của hai sóng; nếu độ dày đủ nhỏ, hai sóng này sẽ tạo ra một giao thoa, hoặc tăng cường hoặc triệt tiêu, tùy thuộc vào dấu của các pha. Chẳng hạn, có thể là với ánh sáng đỏ, chúng ta được một phản xạ tăng cường, nhưng với ánh sáng xanh lam, có bước sóng khác, có lẽ chúng ta được một phản xạ giao thoa triệt tiêu, nên chúng ta thấy một phản xạ đỏ rực. Nếu chúng ta thay đổi độ dày, tức là, nếu chúng ta nhìn vào một chỗ khác nơi màng dày hơn, nó có thể bị đảo ngược, màu đỏ giao thoa và màu xanh lam không, nên nó là xanh lam rực, hay xanh lục, hay vàng, hay gì đó. Vậy chúng ta thấy màu sắc khi chúng ta nhìn vào các màng mỏng và màu sắc thay đổi nếu chúng ta nhìn ở các góc khác nhau, bởi vì chúng ta có thể thấy rằng thời gian khác nhau ở các góc khác nhau. Như vậy chúng ta đột nhiên thấy thêm hàng trăm nghìn tình huống liên quan đến các màu sắc chúng ta thấy trên các màng dầu, bong bóng xà phòng, v.v. ở các góc khác nhau. Nhưng nguyên lý tất cả là như nhau: chúng ta chỉ đang cộng các sóng ở các pha khác nhau.

Như một ứng dụng quan trọng khác của nhiễu xạ, chúng ta có thể đề cập điều sau. Chúng ta đã dùng một cách tử và chúng ta đã thấy ảnh nhiễu xạ trên màn. Nếu chúng ta đã dùng ánh sáng đơn sắc, nó sẽ ở một chỗ cụ thể nào đó. Sau đó còn có các ảnh bậc cao khác nữa. Từ vị trí của các ảnh, chúng ta có thể biết các vạch trên cách tử cách nhau bao xa, nếu chúng ta biết bước sóng của ánh sáng. Từ hiệu số cường độ của các ảnh khác nhau, chúng ta có thể tìm ra hình dạng của các vết xước trên cách tử, dù cách tử được làm bằng dây, khía răng cưa, hay bất cứ thứ gì, mà không thể nhìn thấy chúng. Nguyên lý này được dùng để khám phá vị trí của các nguyên tử trong một tinh thể. Khó khăn duy nhất là một tinh thể là ba chiều; nó là một dãy lặp lại ba chiều của các nguyên tử. Chúng ta không thể dùng ánh sáng thông thường, bởi vì chúng ta phải dùng một thứ có bước sóng nhỏ hơn khoảng cách giữa các nguyên tử nếu không chúng ta được không hiệu ứng nào; vậy chúng ta phải dùng bức xạ có bước sóng rất ngắn, tức là tia X. Vậy, bằng cách chiếu tia X vào một tinh thể và bằng cách để ý sự phản xạ mạnh đến mức nào ở các bậc khác nhau, chúng ta có thể xác định sự sắp xếp của các nguyên tử bên trong mà không bao giờ có thể nhìn thấy chúng bằng mắt! Chính bằng cách này chúng ta biết sự sắp xếp của các nguyên tử trong các chất khác nhau, điều cho phép chúng ta vẽ những bức tranh trong chương đầu tiên, chỉ ra sự sắp xếp của các nguyên tử trong muối, và cứ thế. Sau này chúng ta sẽ quay lại chủ đề này và thảo luận nó chi tiết hơn, và do đó chúng ta không nói thêm về ý tưởng đáng chú ý nhất này ở hiện tại.

30–6  Nhiễu xạ bởi các màn chắn đục

Bây giờ chúng ta đến một tình huống rất thú vị. Giả sử chúng ta có một tấm đục có các lỗ trên đó, và một nguồn sáng ở một phía của nó. Chúng ta muốn biết cường độ ở phía bên kia là gì. Điều hầu hết mọi người nói là ánh sáng chiếu qua các lỗ, và tạo ra một hiệu ứng ở phía bên kia. Hóa ra người ta thu được đáp án đúng, với một xấp xỉ tuyệt vời, nếu người ta giả sử rằng có các nguồn phân bố với mật độ đều khắp các lỗ hở, và rằng các pha của các nguồn này là cùng như chúng sẽ là nếu vật liệu đục không có mặt. Dĩ nhiên, thật ra không có nguồn nào tại các lỗ, thật vậy đó là nơi duy nhất mà chắc chắn không có nguồn. Tuy nhiên, chúng ta thu được các hình mẫu nhiễu xạ đúng bằng cách coi các lỗ là những nơi duy nhất có nguồn; đó là một thực tế khá kỳ lạ. Chúng ta sẽ giải thích sau vì sao điều này đúng, nhưng bây giờ chúng ta hãy chỉ giả sử rằng nó đúng.

Trong lý thuyết nhiễu xạ còn có một loại nhiễu xạ khác mà chúng ta nên thảo luận ngắn gọn. Nó thường không được thảo luận trong một khóa học sơ cấp sớm như thế này, chỉ bởi vì các công thức toán học liên quan đến việc cộng các vector nhỏ này hơi công phu. Ngoài ra nó đúng là cùng một thứ như chúng ta đã làm từ đầu tới giờ. Tất cả các hiện tượng giao thoa là như nhau; không có gì cao cấp hơn nhiều liên quan, chỉ là các hoàn cảnh phức tạp hơn và khó cộng các vector lại với nhau hơn, chỉ vậy thôi.

Giả sử chúng ta có ánh sáng đến từ vô cực, chiếu bóng của một vật. Hình 30–7 chỉ ra một màn trên đó bóng của một vật AB được tạo bởi một nguồn sáng ở rất xa so với một bước sóng. Bây giờ chúng ta sẽ kỳ vọng rằng bên ngoài bóng, cường độ tất cả là sáng, và bên trong nó, tất cả là tối. Trên thực tế, nếu chúng ta vẽ cường độ theo hàm của vị trí gần mép bóng, cường độ tăng lên rồi vượt quá, và dao động lên xuống, và dao động quanh quẩn một cách rất kỳ lạ gần mép này (Hình 30–9). Bây giờ chúng ta sẽ thảo luận lý do cho điều này. Nếu chúng ta dùng định lý mà chúng ta chưa chứng minh, thì chúng ta có thể thay bài toán thật bằng một tập hợp các nguồn hiệu dụng phân bố đều khắp không gian hở phía ngoài vật.

Chúng ta tưởng tượng một số lượng lớn các anten cách nhau rất gần, và chúng ta muốn cường độ tại một điểm P nào đó. Điều đó trông đúng như điều chúng ta đã làm. Không hẳn; bởi vì màn của chúng ta không ở vô cực. Chúng ta không muốn cường độ ở vô cực, mà tại một điểm hữu hạn. Để tính cường độ tại một nơi cụ thể nào đó, chúng ta phải cộng các đóng góp từ tất cả các anten. Trước hết có một anten tại D, đúng đối diện P; nếu chúng ta đi lên một chút theo góc, giả sử một chiều cao h, thì có một sự tăng độ trễ (cũng có một sự thay đổi biên độ do sự thay đổi khoảng cách, nhưng đây là một hiệu ứng rất nhỏ nếu chúng ta ở đủ xa, và kém quan trọng hơn nhiều so với hiệu số các pha). Bây giờ hiệu đường đi EP − DP xấp xỉ bằng h²/2s, nên hiệu pha tỉ lệ với bình phương của khoảng chúng ta đi ra khỏi D, trong khi trong công việc trước đây của chúng ta s là vô cực, và hiệu pha tỉ lệ tuyến tính với h. Khi các pha tỉ lệ tuyến tính, mỗi vector cộng ở một góc không đổi so với vector tiếp theo. Điều chúng ta bây giờ cần là một đường cong được tạo bằng cách cộng rất nhiều vector vô cùng nhỏ với yêu cầu rằng góc chúng tạo ra phải tăng, không phải tuyến tính, mà như bình phương của chiều dài của đường cong. Việc xây dựng đường cong đó liên quan đến toán học hơi cao cấp, nhưng chúng ta luôn có thể xây dựng nó bằng cách thật sự vẽ các mũi tên và đo các góc. Dù sao đi nữa, chúng ta được đường cong kỳ diệu (gọi là đường xoắn ốc Cornu) được chỉ ra trong Hình 30–8. Bây giờ chúng ta dùng đường cong này như thế nào?

Nếu chúng ta muốn cường độ, giả sử, tại điểm P, chúng ta cộng rất nhiều đóng góp có các pha khác nhau từ điểm D lên tới vô cực, và từ D xuống chỉ tới điểm B_P. Vậy chúng ta bắt đầu tại B_P trong Hình 30–8, và vẽ một loạt các mũi tên có góc ngày càng tăng. Do đó tổng đóng góp phía trên điểm B_P tất cả đi dọc theo đường cong xoắn ốc. Nếu chúng ta dừng tích phân tại một nơi nào đó, thì tổng biên độ sẽ là một vector từ B tới điểm đó; trong bài toán cụ thể này chúng ta đang đi tới vô cực, nên đáp án tổng cộng là vector B_P∞. Bây giờ vị trí trên đường cong tương ứng với điểm B_P trên vật phụ thuộc vào điểm P ở đâu, vì điểm D, điểm uốn, luôn tương ứng với vị trí của điểm P. Như vậy, tùy thuộc vào P nằm ở đâu phía trên B, điểm bắt đầu sẽ rơi vào các vị trí khác nhau trên phần dưới bên trái của đường cong, và vector hợp thành B_P∞ sẽ có nhiều cực đại và cực tiểu (Hình 30–9).

Mặt khác, nếu chúng ta ở tại Q, ở phía bên kia của P, thì chúng ta chỉ đang dùng một đầu của đường cong xoắn ốc, chứ không phải đầu kia. Nói cách khác, chúng ta thậm chí không bắt đầu tại D, mà tại B_Q, nên ở phía này chúng ta được một cường độ liên tục giảm xuống khi Q đi xa hơn vào trong bóng.

Một điểm mà chúng ta có thể tính ngay một cách dễ dàng, để chứng tỏ rằng chúng ta thật sự hiểu nó, là cường độ đúng đối diện mép. Cường độ ở đây bằng 1/4 cường độ của ánh sáng tới. Lý do: Đúng tại mép (nên điểm cuối B của mũi tên ở tại D trong Hình 30–8) chúng ta có một nửa đường cong mà chúng ta sẽ có nếu chúng ta ở xa vào vùng sáng. Nếu điểm R của chúng ta ở xa vào trong ánh sáng chúng ta đi từ đầu này của đường cong tới đầu kia, tức là, một vector đơn vị đầy đủ; nhưng nếu chúng ta ở tại mép của bóng, chúng ta chỉ có một nửa biên độ — 1/4 cường độ.

Trong chương này chúng ta đã tìm cường độ được tạo ra theo các hướng khác nhau từ các phân bố khác nhau của các nguồn. Như một ví dụ cuối cùng chúng ta sẽ suy ra một công thức mà chúng ta sẽ cần cho chương tiếp theo về lý thuyết chiết suất. Cho tới thời điểm này các cường độ tương đối đã đủ cho mục đích của chúng ta, nhưng lần này chúng ta sẽ tìm công thức đầy đủ cho trường trong tình huống sau.

30–7  Trường của một mặt phẳng các điện tích dao động

Giả sử chúng ta có một mặt phẳng đầy các nguồn, tất cả dao động cùng nhau, với chuyển động của chúng trong mặt phẳng và tất cả có cùng biên độ và pha. Trường tại một khoảng cách hữu hạn, nhưng rất lớn, ra xa khỏi mặt phẳng là gì? (Dĩ nhiên chúng ta không thể đến rất gần, bởi vì chúng ta không có các công thức đúng cho trường gần các nguồn.) Nếu chúng ta để mặt phẳng của các điện tích là mặt phẳng xy, thì chúng ta muốn tìm trường tại điểm P ở xa ngoài trên trục z (Hình 30–10). Chúng ta giả sử rằng có η điện tích trên một đơn vị diện tích của mặt phẳng, và rằng mỗi điện tích có điện tích q. Tất cả các điện tích chuyển động với dao động điều hòa đơn giản, với cùng hướng, biên độ, và pha. Chúng ta để chuyển động của mỗi điện tích, so với vị trí trung bình riêng của nó, là x₀ cos ωt. Hay, dùng ký hiệu phức và nhớ rằng phần thực đại diện cho chuyển động thật, chuyển động có thể được mô tả bằng x₀e^iωt.

Bây giờ chúng ta tìm trường tại điểm P từ tất cả các điện tích bằng cách tìm trường ở đó từ mỗi điện tích q, rồi cộng các đóng góp từ tất cả các điện tích. Chúng ta biết rằng trường bức xạ tỉ lệ với gia tốc của điện tích, gia tốc là −ω²x₀e^iωt (và là như nhau đối với mọi điện tích). Điện trường chúng ta muốn tại điểm P do một điện tích tại điểm Q gây ra tỉ lệ với gia tốc của điện tích đó, nhưng chúng ta phải nhớ rằng trường tại điểm P tại thời điểm t được cho bởi gia tốc của điện tích tại thời gian sớm hơn t′ = t − r/c, trong đó r/c là thời gian cần cho sóng truyền quãng đường r từ Q tới P. Do đó trường tại P tỉ lệ với,

−ω²x₀e^{iω(t − r/c)}.   (30.10)

Dùng giá trị này cho gia tốc như được nhìn từ P trong công thức của chúng ta cho điện trường ở khoảng cách lớn từ một điện tích bức xạ, chúng ta được

(Điện trường tại P từ điện tích tại Q) ≈ q/(4πε₀c²) · ω²x₀e^{iω(t − r/c)}/r.   (30.11)

Bây giờ công thức này không hoàn toàn đúng, bởi vì chúng ta lẽ ra phải dùng không phải gia tốc của điện tích mà là thành phần của nó vuông góc với đường QP. Tuy nhiên chúng ta sẽ giả sử rằng điểm P ở rất xa, so với khoảng cách của điểm Q tính từ trục (khoảng cách ρ trong Hình 30–10), đối với những điện tích chúng ta cần xét tới, nên chúng ta có thể bỏ qua thừa số cosin (thừa số dù sao cũng gần bằng 1).

Để thu được tổng trường tại P, bây giờ chúng ta cộng hiệu ứng của tất cả các điện tích trong mặt phẳng. Dĩ nhiên chúng ta phải thực hiện một phép cộng vector. Nhưng vì hướng của điện trường gần như là như nhau đối với tất cả các điện tích, chúng ta có thể, phù hợp với xấp xỉ chúng ta đã thực hiện, chỉ cộng độ lớn của các trường. Theo xấp xỉ của chúng ta trường tại P chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r, nên tất cả các điện tích ở cùng r tạo ra các trường bằng nhau. Vậy chúng ta cộng, trước hết, trường của các điện tích trong một vành có bề rộng dρ và bán kính ρ. Sau đó, bằng cách lấy tích phân trên mọi ρ, chúng ta sẽ thu được tổng trường.

Số điện tích trong vành là tích của diện tích bề mặt của vành, 2πρ dρ, và η, số điện tích trên một đơn vị diện tích. Khi đó chúng ta có,

Tổng trường tại P = ∫ [q/(4πε₀c²) · ω²x₀e^{iω(t − r/c)}/r · η · 2πρ dρ].   (30.12)

Chúng ta muốn tính tích phân này từ ρ = 0 tới ρ = ∞. Biến số t, dĩ nhiên, được giữ cố định trong khi chúng ta thực hiện tích phân, nên các đại lượng biến thiên duy nhất là ρ và r. Bỏ qua tất cả các thừa số hằng số, bao gồm cả thừa số e^iωt, trong lúc này, tích phân chúng ta muốn là

∫_ρ=0^ρ=∞ e^−iωr/c/r · ρ dρ.   (30.13)

Để thực hiện tích phân này chúng ta cần dùng quan hệ giữa r và ρ:

r² = ρ² + z².   (30.14)

Vì z độc lập với ρ, khi chúng ta lấy vi phân của phương trình này, chúng ta được 2r dr = 2ρ dρ, điều này thật may mắn, vì trong tích phân của chúng ta chúng ta có thể thay ρ dρ bằng r dr và r sẽ triệt tiêu r ở mẫu số. Tích phân chúng ta muốn khi đó là tích phân đơn giản hơn

∫_r=z^r=∞ e^−iωr/c dr.   (30.15)

Việc tích phân một hàm mũ rất dễ. Chúng ta chia cho hệ số của r trong số mũ và tính hàm mũ tại các cận. Nhưng các cận của r không giống các cận của ρ. Khi ρ = 0, chúng ta có r = z, nên các cận của r là z tới vô cực. Chúng ta được cho tích phân

−(c/iω)[e^−i∞ − e^−(iω/c)z],   (30.16)

trong đó chúng ta đã viết ∞ cho (ω/c)∞, vì cả hai đều chỉ có nghĩa là một số rất lớn!

Bây giờ e^−i∞ là một đại lượng bí ẩn. Phần thực của nó, chẳng hạn, là cos(−∞), điều này, về mặt toán học, hoàn toàn không xác định (mặc dù chúng ta sẽ kỳ vọng nó ở đâu đó — hay ở khắp nơi (?) — giữa +1 và −1!). Nhưng trong một tình huống vật lý, nó có thể có nghĩa là một điều khá hợp lý, và thường có thể chỉ được lấy bằng không. Để thấy rằng điều này đúng trong trường hợp của chúng ta, chúng ta quay lại xét lại tích phân gốc (30.15).

Chúng ta có thể hiểu (30.15) như một tổng của nhiều số phức nhỏ, mỗi số có độ lớn Δr, và có góc θ = −ωr/c trong mặt phẳng phức. Chúng ta có thể cố tính tổng bằng một phương pháp đồ thị. Trong Hình 30–11 chúng ta đã vẽ năm mảnh đầu tiên của tổng. Mỗi đoạn của đường cong có chiều dài Δr và được đặt ở góc Δθ = −ω Δr/c so với mảnh trước. Tổng cho năm mảnh đầu tiên này được đại diện bằng mũi tên từ điểm bắt đầu tới cuối của đoạn thứ năm. Khi chúng ta tiếp tục cộng các mảnh chúng ta sẽ vạch ra một đa giác cho tới khi chúng ta quay trở lại điểm bắt đầu (xấp xỉ) rồi lại bắt đầu vòng quanh một lần nữa. Cộng thêm các mảnh, chúng ta cứ đi vòng vòng, ở gần một đường tròn mà bán kính của nó dễ dàng được chỉ ra là c/ω. Bây giờ chúng ta có thể thấy vì sao tích phân không cho một đáp án xác định!

Nhưng bây giờ chúng ta phải quay lại vật lý của tình huống. Trong bất kỳ tình huống thật nào mặt phẳng các điện tích không thể có phạm vi vô hạn, mà phải dừng lại ở một lúc nào đó. Nếu nó dừng đột ngột, và có hình dạng đúng là tròn, tích phân của chúng ta sẽ có một giá trị nào đó trên đường tròn trong Hình 30–11. Tuy nhiên, nếu chúng ta để số điện tích trong mặt phẳng giảm dần tới không ở một khoảng cách lớn nào đó tính từ tâm (hay dừng đột ngột nhưng theo một hình dạng bất thường sao cho với ρ lớn hơn toàn bộ vành có bề rộng dρ không còn đóng góp nữa), thì hệ số η trong tích phân chính xác sẽ giảm về không. Vì chúng ta đang cộng các mảnh nhỏ hơn nhưng vẫn quay qua cùng một góc, đồ thị của tích phân của chúng ta khi đó sẽ trở thành một đường cong là một đường xoắn ốc. Đường xoắn ốc cuối cùng sẽ kết thúc tại tâm của đường tròn gốc của chúng ta, như vẽ trong Hình 30–12. Tích phân đúng về mặt vật lý là số phức A trong hình được đại diện bằng khoảng từ điểm bắt đầu tới tâm của đường tròn, khoảng này đúng bằng

(c/iω) e^−iωz/c,   (30.17)

như bạn có thể tự tính ra. Đây là cùng kết quả chúng ta sẽ được từ Phương trình (30.16) nếu chúng ta đặt e^−i∞ = 0.

(Cũng có một lý do khác vì sao đóng góp vào tích phân giảm dần với các giá trị lớn của r, và đó là thừa số chúng ta đã bỏ qua cho hình chiếu của gia tốc lên mặt phẳng vuông góc với đường PQ.)

Dĩ nhiên chúng ta chỉ quan tâm tới các tình huống vật lý, nên chúng ta sẽ lấy e^−i∞ bằng không. Quay lại công thức gốc (30.12) của chúng ta cho trường và đặt lại tất cả các thừa số đi cùng tích phân, chúng ta có kết quả

Tổng trường tại P = −(ηq/2ε₀c) iωx₀e^{iω(t − z/c)}   (30.18)

(nhớ rằng 1/i = −i).

Thật thú vị khi lưu ý rằng (iωx₀e^iωt) đúng bằng vận tốc của các điện tích, nên chúng ta cũng có thể viết phương trình cho trường thành

Tổng trường tại P = −(ηq/2ε₀c) [vận tốc của các điện tích]_{tại t − z/c},   (30.19)

điều này hơi lạ, bởi vì độ trễ chỉ đúng bằng khoảng cách z, khoảng cách ngắn nhất từ P tới mặt phẳng các điện tích. Nhưng nó ra như vậy — may mắn là một công thức khá đơn giản. (Nhân tiện chúng ta có thể nói thêm rằng, mặc dù phép suy ra của chúng ta chỉ đúng cho các khoảng cách xa khỏi mặt phẳng các điện tích dao động, hóa ra công thức (30.18) hay (30.19) đúng ở bất kỳ khoảng cách z nào, ngay cả với z < λ.)