Chương 31: Nguồn gốc của chiết suất

31–1  Chiết suất

Chúng ta đã nói trước đây rằng ánh sáng đi chậm hơn trong nước so với trong không khí, và chậm hơn một chút trong không khí so với trong chân không. Hiệu ứng này được mô tả bằng chiết suất n. Bây giờ chúng ta muốn hiểu làm thế nào một vận tốc chậm hơn như vậy có thể xuất hiện. Đặc biệt, chúng ta nên cố xem điều đó có quan hệ gì với một số giả thiết vật lý, hay phát biểu, mà chúng ta đã đưa ra trước đây, đó là những điều sau đây:

Rằng điện trường tổng cộng trong bất kỳ hoàn cảnh vật lý nào cũng luôn có thể được biểu diễn bằng tổng của các trường từ mọi điện tích trong vũ trụ.

Rằng trường từ một điện tích đơn lẻ được cho bởi gia tốc của nó được đánh giá với một độ trễ tại tốc độ c, luôn luôn (đối với trường bức xạ).

Nhưng, đối với một miếng thủy tinh, bạn có thể nghĩ: “Ồ, không, anh nên sửa đổi tất cả điều này. Anh nên nói nó bị trễ tại tốc độ c/n.” Tuy nhiên, điều đó không đúng, và chúng ta phải hiểu vì sao nó không đúng.

Đúng là một cách gần đúng, ánh sáng hay bất kỳ sóng điện nào có vẻ truyền đi với tốc độ c/n qua một vật liệu có chiết suất n, nhưng các trường vẫn được tạo ra bởi chuyển động của mọi điện tích — kể cả các điện tích chuyển động trong vật liệu — và với những đóng góp cơ bản này của trường truyền đi với vận tốc tối hậu c. Bài toán của chúng ta là hiểu làm thế nào vận tốc biểu kiến chậm hơn lại xuất hiện.

Chúng ta sẽ cố hiểu hiệu ứng này trong một trường hợp rất đơn giản. Một nguồn mà chúng ta sẽ gọi là “nguồn ngoài” được đặt ở một khoảng cách lớn xa khỏi một tấm mỏng vật liệu trong suốt, chẳng hạn thủy tinh. Chúng ta hỏi về trường ở một khoảng cách lớn ở phía đối diện của tấm. Tình huống được minh họa bằng sơ đồ trong Hình 31–1, trong đó S và P được tưởng tượng là ở rất xa tấm. Theo các nguyên lý chúng ta đã nêu trước đây, một điện trường ở bất cứ đâu xa mọi điện tích chuyển động là tổng (vector) của các trường do nguồn ngoài (tại S) tạo ra và các trường do mỗi điện tích trong tấm thủy tinh tạo ra, mỗi cái với độ trễ thích hợp của nó tại vận tốc c. Hãy nhớ rằng đóng góp của mỗi điện tích không bị thay đổi bởi sự có mặt của các điện tích khác. Đó là các nguyên lý cơ bản của chúng ta. Trường tại P có thể được viết như sau:

E = Σ_{mọi điện tích} E_{mỗi điện tích}   (31.1)

hay

E = E_s + Σ_{mọi điện tích khác} E_{mỗi điện tích},   (31.2)

trong đó E_s là trường do nguồn một mình gây ra và sẽ đúng là trường tại P nếu không có vật liệu nào hiện diện. Chúng ta kỳ vọng trường tại P sẽ khác với E_s nếu có bất kỳ điện tích chuyển động nào khác.

Vì sao lại có các điện tích chuyển động trong thủy tinh? Chúng ta biết rằng mọi vật chất đều gồm các nguyên tử chứa electron. Khi điện trường của nguồn tác dụng lên các nguyên tử này, nó đẩy các electron lên và xuống, bởi vì nó tác dụng một lực lên các electron. Và các electron chuyển động tạo ra một trường — chúng tạo thành các bộ bức xạ mới. Các bộ bức xạ mới này có liên quan tới nguồn S, bởi vì chúng được thúc đẩy bởi trường của nguồn. Trường tổng cộng không chỉ là trường của nguồn S, mà nó bị sửa đổi bởi đóng góp thêm từ các điện tích chuyển động khác. Điều này có nghĩa là trường không giống như trường đã có trước khi có thủy tinh ở đó, mà bị sửa đổi, và hóa ra nó bị sửa đổi theo cách sao cho trường bên trong thủy tinh có vẻ như đang chuyển động với một tốc độ khác. Đó là ý tưởng mà chúng ta muốn triển khai một cách định lượng.

Bây giờ điều này, trong trường hợp chính xác, khá phức tạp, bởi vì mặc dù chúng ta đã nói rằng mọi điện tích chuyển động khác đều được thúc đẩy bởi trường của nguồn, điều đó không hoàn toàn đúng. Nếu chúng ta nghĩ về một điện tích cụ thể, nó cảm thấy không chỉ nguồn, mà giống như bất cứ thứ gì khác trên đời, nó cảm thấy mọi điện tích đang chuyển động. Nó cảm thấy, đặc biệt, các điện tích đang chuyển động ở nơi khác trong thủy tinh. Vậy trường tổng cộng đang tác dụng lên một điện tích cụ thể là một tổ hợp của các trường từ các điện tích khác, mà chuyển động của chúng phụ thuộc vào việc điện tích cụ thể này đang làm gì! Bạn có thể thấy rằng sẽ cần một hệ phương trình phức tạp để thu được công thức đầy đủ và chính xác. Nó phức tạp đến mức chúng ta hoãn bài toán này cho tới năm sau.

Thay vào đó, chúng ta sẽ xử lý một trường hợp rất đơn giản để hiểu mọi nguyên lý vật lý thật rõ ràng. Chúng ta lấy một hoàn cảnh trong đó các hiệu ứng từ các nguyên tử khác rất nhỏ so với các hiệu ứng từ nguồn. Nói cách khác, chúng ta lấy một vật liệu trong đó trường tổng cộng không bị sửa đổi nhiều lắm bởi chuyển động của các điện tích khác. Điều đó tương ứng với một vật liệu trong đó chiết suất rất gần với 1, điều sẽ xảy ra, chẳng hạn, nếu mật độ các nguyên tử rất thấp. Tính toán của chúng ta sẽ có hiệu lực đối với bất kỳ trường hợp nào trong đó chiết suất, vì bất kỳ lý do gì, rất gần với 1. Bằng cách này chúng ta sẽ tránh được những phức tạp của nghiệm tổng quát, đầy đủ nhất.

Nhân tiện, bạn nên lưu ý rằng còn một hiệu ứng nữa do chuyển động của các điện tích trong tấm gây ra. Các điện tích này cũng sẽ bức xạ các sóng ngược về phía nguồn S. Trường đi ngược này là ánh sáng chúng ta thấy phản xạ từ các bề mặt của các vật liệu trong suốt. Nó không chỉ đến từ bề mặt. Bức xạ ngược đến từ khắp nơi trong phần trong, nhưng hóa ra hiệu ứng tổng cộng tương đương với một sự phản xạ từ các bề mặt. Các hiệu ứng phản xạ này nằm ngoài xấp xỉ của chúng ta lúc này bởi vì chúng ta sẽ bị giới hạn trong một tính toán cho một vật liệu có chiết suất gần với 1 đến mức rất ít ánh sáng bị phản xạ.

Trước khi chúng ta tiến hành nghiên cứu làm thế nào chiết suất xuất hiện, chúng ta nên hiểu rằng tất cả những gì cần để hiểu khúc xạ là hiểu vì sao vận tốc sóng biểu kiến khác nhau trong các vật liệu khác nhau. Sự bẻ cong của các tia sáng xuất hiện đúng là vì tốc độ hiệu dụng của các sóng khác nhau trong các vật liệu. Để nhắc bạn nhớ điều đó xuất hiện như thế nào, chúng ta đã vẽ trong Hình 31–2 vài đỉnh liên tiếp của một sóng điện tới từ chân không lên bề mặt của một khối thủy tinh. Mũi tên vuông góc với các đỉnh sóng chỉ hướng truyền của sóng. Bây giờ mọi dao động trong sóng phải có cùng tần số. (Chúng ta đã thấy rằng các dao động cưỡng bức có cùng tần số như nguồn thúc đẩy.) Điều này cũng có nghĩa là các đỉnh sóng đối với các sóng ở hai phía của bề mặt phải có cùng khoảng cách dọc theo bề mặt bởi vì chúng phải truyền cùng nhau, sao cho một điện tích ngồi tại biên giới sẽ chỉ cảm thấy một tần số. Tuy nhiên, khoảng cách ngắn nhất giữa các đỉnh của sóng là bước sóng, bước sóng này là vận tốc chia cho tần số. Ở phía chân không nó là λ₀ = 2πc/ω, và ở phía bên kia nó là λ = 2πv/ω hay 2πc/ωn, nếu v = c/n là vận tốc của sóng. Từ hình vẽ chúng ta có thể thấy rằng cách duy nhất để các sóng “khớp” đúng tại biên giới là các sóng trong vật liệu truyền đi ở một góc khác so với bề mặt. Từ hình học của hình vẽ bạn có thể thấy rằng để “khớp” chúng ta phải có λ₀/sin θ₀ = λ/sin θ, hay sin θ₀/sin θ = n, đó là định luật Snell. Trong phần còn lại của thảo luận, chúng ta sẽ chỉ xét vì sao ánh sáng có một tốc độ hiệu dụng c/n trong vật liệu có chiết suất n, và không còn lo lắng nữa, trong chương này, về sự bẻ cong của hướng ánh sáng.

Chúng ta quay lại bây giờ với tình huống được chỉ ra trong Hình 31–1. Chúng ta thấy rằng điều chúng ta phải làm là tính trường được tạo ra tại P bởi mọi điện tích dao động trong tấm thủy tinh. Chúng ta sẽ gọi phần này của trường là E_a, và nó đúng là tổng được viết như số hạng thứ hai trong phương trình (31.2). Khi chúng ta cộng nó với số hạng E_s, do nguồn gây ra, chúng ta sẽ có trường tổng cộng tại P.

Đây có lẽ là điều phức tạp nhất mà chúng ta sẽ làm trong năm nay, nhưng nó phức tạp chỉ ở chỗ có nhiều mảnh phải ghép lại với nhau; tuy nhiên mỗi mảnh lại rất đơn giản. Khác với các suy luận khác trong đó chúng ta nói, “Hãy quên suy luận đi, chỉ nhìn đáp án thôi!”, trong trường hợp này chúng ta không cần đáp án nhiều bằng suy luận. Nói cách khác, điều cần hiểu bây giờ là bộ máy vật lý cho việc tạo ra chiết suất.

Để thấy chúng ta đang đi đâu, trước hết hãy tìm hiểu “trường hiệu chỉnh” E_a sẽ phải là gì nếu trường tổng cộng tại P sẽ trông giống như bức xạ từ nguồn đã bị chậm lại khi đi qua tấm mỏng. Nếu tấm không có hiệu ứng gì lên nó, trường của một sóng truyền sang phải (dọc theo trục z) sẽ là

E_s = E₀ cos ω(t − z/c)   (31.3)

hay, dùng ký hiệu hàm mũ,

E_s = E₀e^{iω(t − z/c)}.   (31.4)

Bây giờ điều gì sẽ xảy ra nếu sóng truyền chậm hơn khi đi qua tấm? Hãy gọi bề dày của tấm là Δz. Nếu tấm không có ở đó, sóng sẽ truyền quãng đường Δz trong thời gian Δz/c. Nhưng nếu nó có vẻ truyền với tốc độ c/n thì nó sẽ cần thời gian dài hơn n Δz/c hay thời gian thêm Δt = (n − 1) Δz/c. Sau đó nó sẽ tiếp tục truyền với tốc độ c trở lại. Chúng ta có thể tính đến độ trễ thêm trong việc đi qua tấm bằng cách thay t trong phương trình (31.4) bằng (t − Δt) hay bằng [t − (n − 1) Δz/c]. Vậy sóng sau khi chèn tấm vào nên được viết là

E_{sau tấm} = E₀e^{iω[t − (n − 1)Δz/c − z/c]}.   (31.5)

Chúng ta cũng có thể viết phương trình này thành

E_{sau tấm} = e^{−iω(n−1)Δz/c} E₀e^{iω(t − z/c)},   (31.6)

điều này nói rằng sóng sau tấm được thu được từ sóng có thể tồn tại mà không có tấm, tức là từ E_s, bằng cách nhân với thừa số e^{−iω(n−1)Δz/c}. Bây giờ chúng ta biết rằng việc nhân một hàm dao động như e^iωt với một thừa số e^iθ đúng là nói rằng chúng ta thay đổi pha của dao động đi một góc θ, điều dĩ nhiên đúng là điều độ trễ thêm khi đi qua bề dày Δz đã làm. Nó đã làm trễ pha đi một lượng ω(n − 1) Δz/c (trễ, vì dấu trừ trong số mũ).

Chúng ta đã nói trước đây rằng tấm nên cộng thêm một trường E_a vào trường gốc E_s = E₀e^iω(t−z/c), nhưng thay vào đó chúng ta đã tìm thấy rằng hiệu ứng của tấm là nhân trường với một thừa số làm dịch pha của nó. Tuy nhiên, điều đó thật ra hoàn toàn ổn bởi vì chúng ta có thể thu được cùng kết quả bằng cách cộng một số phức thích hợp. Đặc biệt dễ tìm được số đúng cần cộng trong trường hợp Δz nhỏ, bởi vì bạn sẽ nhớ rằng nếu x là một số nhỏ thì e^x gần bằng (1 + x). Vậy chúng ta có thể viết

e^{−iω(n−1)Δz/c} ≈ 1 − iω(n−1)Δz/c.   (31.7)

Dùng xấp xỉ này trong phương trình (31.6), chúng ta có

E_{sau tấm} = E₀e^iω(t−z/c) − [iω(n−1)Δz/c] E₀e^iω(t−z/c)   (31.8)

Số hạng thứ nhất đúng là trường từ nguồn, và số hạng thứ hai phải đúng bằng E_a, trường được tạo ra ở phía bên phải của tấm bởi các điện tích dao động của tấm — được biểu diễn ở đây theo chiết suất n, và dĩ nhiên phụ thuộc vào độ mạnh của sóng từ nguồn.

Điều chúng ta vừa làm rất dễ hình dung nếu chúng ta nhìn vào sơ đồ số phức trong Hình 31–3. Trước hết chúng ta vẽ số E_s (chúng ta chọn một số giá trị cho z và t sao cho E_s ra nằm ngang, nhưng điều này không cần thiết). Độ trễ do việc chậm lại trong tấm sẽ làm trễ pha của số này, tức là nó sẽ quay E_s đi một góc âm. Nhưng điều này tương đương với việc cộng thêm vector nhỏ E_a gần như vuông góc với E_s. Nhưng đó đúng là điều thừa số −i có nghĩa trong số hạng thứ hai của phương trình (31.8). Nó nói rằng nếu E_s là thực, thì E_a là ảo âm hay rằng, nói chung, E_s và E_a tạo thành một góc vuông.

31–2  Trường do vật chất gây ra

Bây giờ chúng ta phải hỏi: Trường E_a thu được trong số hạng thứ hai của phương trình (31.8) có phải là loại trường chúng ta kỳ vọng từ các điện tích dao động trong tấm hay không? Nếu chúng ta có thể chứng minh rằng nó là như vậy, khi đó chúng ta sẽ tính được chiết suất n nên là gì! [Vì n là số không cơ bản duy nhất trong phương trình (31.8).] Bây giờ chúng ta chuyển sang tính trường E_a mà các điện tích trong vật liệu sẽ tạo ra. (Để giúp bạn theo dõi nhiều ký hiệu chúng ta đã dùng tới nay, và sẽ dùng trong phần còn lại của tính toán, chúng ta đã đặt tất cả chúng lại với nhau trong Bảng 31–1.)

Nếu nguồn S (của Hình 31–1) ở xa về phía trái, thì trường E_s sẽ có cùng pha ở khắp nơi trên tấm, vậy chúng ta có thể viết rằng trong vùng lân cận của tấm

E_s = E₀e^iω(t−z/c).   (31.9)

Ngay tại tấm, nơi z = 0, chúng ta sẽ có

E_s = E₀e^iωt (tại tấm).   (31.10)

Mỗi electron trong các nguyên tử của tấm sẽ cảm thấy điện trường này và sẽ bị thúc đẩy lên và xuống (chúng ta giả thiết hướng của E₀ là thẳng đứng) bởi điện lực qE. Để tìm chuyển động chúng ta kỳ vọng cho các electron, chúng ta sẽ giả thiết rằng các nguyên tử là các dao động tử nhỏ, tức là các electron được gắn một cách đàn hồi vào các nguyên tử, điều có nghĩa là nếu một lực được tác dụng lên một electron thì độ dịch chuyển của nó khỏi vị trí bình thường sẽ tỉ lệ với lực.

Bạn có thể nghĩ rằng đây là một mô hình kỳ lạ của một nguyên tử nếu bạn đã nghe về các electron quay vòng trong các quỹ đạo. Nhưng đó chỉ là một bức tranh quá đơn giản hóa. Bức tranh đúng của một nguyên tử, được lý thuyết cơ học sóng cho, nói rằng, trong chừng mực các bài toán liên quan tới ánh sáng được xét tới, các electron hành xử như thể chúng được giữ bởi các lò xo. Vậy chúng ta sẽ giả thiết rằng các electron có một lực hồi phục tuyến tính, cùng với khối lượng m của chúng, làm cho chúng hành xử như các dao động tử nhỏ, với một tần số cộng hưởng ω₀. Chúng ta đã nghiên cứu các dao động tử như vậy rồi, và chúng ta biết rằng phương trình chuyển động của chúng được viết như thế này:

m(d²x/dt² + ω₀²x) = F,   (31.11)

trong đó F là lực thúc đẩy.

Đối với bài toán của chúng ta, lực thúc đẩy đến từ điện trường của sóng từ nguồn, vậy chúng ta nên dùng

F = q_eE_s = q_eE₀e^iωt,   (31.12)

trong đó q_e là điện tích trên electron và đối với E_s chúng ta dùng biểu thức E_s = E₀e^iωt từ (31.10). Phương trình chuyển động của chúng ta cho electron khi đó là

m(d²x/dt² + ω₀²x) = q_eE₀e^iωt.   (31.13)

Chúng ta đã giải phương trình này trước đây, và chúng ta biết rằng nghiệm là

x = x₀e^iωt,   (31.14)

trong đó, bằng cách thay vào (31.13), chúng ta tìm thấy rằng

x₀ = q_eE₀ / [m(ω₀² − ω²)],   (31.15)

vậy

x = [q_eE₀ / (m(ω₀² − ω²))] e^iωt.   (31.16)

Chúng ta đã có điều chúng ta cần biết — chuyển động của các electron trong tấm. Và nó là như nhau đối với mọi electron, ngoại trừ vị trí trung bình (“điểm không” của chuyển động) dĩ nhiên khác nhau đối với mỗi electron.

Bây giờ chúng ta sẵn sàng tìm trường E_a mà các nguyên tử này tạo ra tại điểm P, bởi vì chúng ta đã tính ra rồi (ở cuối Chương 30) trường nào được tạo ra bởi một lớp điện tích mà tất cả chuyển động cùng nhau. Tham chiếu lại phương trình (30.19), chúng ta thấy rằng trường E_a tại P đúng là một hằng số âm nhân với vận tốc của các điện tích bị trễ theo thời gian một lượng z/c. Lấy đạo hàm x trong phương trình (31.16) để thu được vận tốc, và đưa độ trễ vào [hay chỉ đặt x₀ từ (31.15) vào (30.18)] cho ra

E_a = −[ηq_e / (2ε₀c)] [iω q_eE₀ / (m(ω₀² − ω²)) e^iω(t−z/c)].   (31.17)

Đúng như chúng ta kỳ vọng, chuyển động bị thúc đẩy của các electron đã tạo ra một sóng thêm truyền sang phải (đó là điều thừa số e^iω(t−z/c) nói), và biên độ của sóng này tỉ lệ với số nguyên tử trên một đơn vị diện tích trong tấm (thừa số η) và cũng tỉ lệ với độ mạnh của trường nguồn (thừa số E₀). Sau đó có một số thừa số phụ thuộc vào các tính chất nguyên tử (q_e, m, và ω₀), như chúng ta nên kỳ vọng.

Điều quan trọng nhất, tuy nhiên, là công thức (31.17) này cho E_a trông rất giống biểu thức cho E_a mà chúng ta thu được trong phương trình (31.8) bằng cách nói rằng sóng gốc bị trễ khi đi qua một vật liệu có chiết suất n. Hai biểu thức, trên thực tế, sẽ đồng nhất nếu

(n − 1) Δz = ηq_e² / [2ε₀m(ω₀² − ω²)].   (31.18)

Hãy lưu ý rằng cả hai vế đều tỉ lệ với Δz, vì η, là số nguyên tử trên một đơn vị diện tích, bằng N Δz, trong đó N là số nguyên tử trên một đơn vị thể tích của tấm. Thay N Δz cho η và khử Δz, chúng ta thu được kết quả chính của mình, một công thức cho chiết suất theo các tính chất của các nguyên tử của vật liệu — và của tần số của ánh sáng:

n = 1 + Nq_e² / [2ε₀m(ω₀² − ω²)].   (31.19)

Phương trình này cho “lời giải thích” về chiết suất mà chúng ta muốn thu được.

31–3  Sự tán sắc

Hãy lưu ý rằng trong quá trình trên chúng ta đã thu được một điều rất thú vị. Bởi vì chúng ta không chỉ có một con số cho chiết suất có thể được tính từ các đại lượng nguyên tử cơ bản, mà chúng ta còn học được chiết suất nên biến thiên như thế nào theo tần số ω của ánh sáng. Đây là điều chúng ta sẽ không bao giờ hiểu được từ phát biểu đơn giản rằng “ánh sáng truyền chậm hơn trong một vật liệu trong suốt.” Chúng ta vẫn còn bài toán, dĩ nhiên, là biết có bao nhiêu nguyên tử trên một đơn vị thể tích, và tần số tự nhiên ω₀ của chúng là gì. Chúng ta chưa biết điều đó lúc này, bởi vì nó khác nhau đối với mỗi vật liệu khác nhau, và chúng ta không thể thu được một lý thuyết tổng quát về điều đó bây giờ. Việc xây dựng một lý thuyết tổng quát về các tính chất của các chất khác nhau — các tần số tự nhiên của chúng, và cứ thế — chỉ có thể thực hiện được với cơ học nguyên tử lượng tử. Ngoài ra, các vật liệu khác nhau có các tính chất khác nhau và các chiết suất khác nhau, vậy dù sao chúng ta cũng không thể kỳ vọng thu được một công thức tổng quát cho chiết suất sẽ áp dụng cho mọi chất.

Tuy nhiên, chúng ta sẽ thảo luận công thức chúng ta đã thu được, trong các hoàn cảnh khả dĩ khác nhau. Trước hết, đối với hầu hết các khí thông thường (chẳng hạn, đối với không khí, hầu hết các khí không màu, hiđrô, heli, và cứ thế) các tần số tự nhiên của các dao động tử electron tương ứng với ánh sáng tử ngoại. Các tần số này cao hơn các tần số của ánh sáng khả kiến, tức là ω₀ lớn hơn nhiều so với ω của ánh sáng khả kiến, và trong một xấp xỉ bậc nhất, chúng ta có thể bỏ qua ω² so với ω₀². Khi đó chúng ta tìm thấy rằng chiết suất gần như hằng số. Vậy đối với một chất khí, chiết suất gần như hằng số. Điều này cũng đúng đối với hầu hết các chất trong suốt khác, như thủy tinh. Nếu chúng ta nhìn biểu thức của mình kỹ hơn một chút, tuy nhiên, chúng ta lưu ý rằng khi ω tăng lên, lấy đi một ít nữa khỏi mẫu số, chiết suất cũng tăng lên. Vậy n tăng chậm theo tần số. Chiết suất đối với ánh sáng xanh lam cao hơn đối với ánh sáng đỏ. Đó là lý do vì sao một lăng kính bẻ cong ánh sáng ở phía xanh lam nhiều hơn ở phía đỏ.

Hiện tượng chiết suất phụ thuộc vào tần số được gọi là hiện tượng tán sắc, bởi vì nó là cơ sở của việc ánh sáng bị “tán” bởi một lăng kính thành một quang phổ. Phương trình cho chiết suất theo hàm của tần số được gọi là một phương trình tán sắc. Vậy chúng ta đã thu được một phương trình tán sắc. (Trong vài năm qua “các phương trình tán sắc” đã tìm thấy một ứng dụng mới trong lý thuyết các hạt cơ bản.)

Phương trình tán sắc của chúng ta gợi ý các hiệu ứng thú vị khác. Nếu chúng ta có một tần số tự nhiên ω₀ nằm trong vùng khả kiến, hay nếu chúng ta đo chiết suất của một vật liệu như thủy tinh trong vùng tử ngoại, nơi ω tiến gần tới ω₀, chúng ta thấy rằng tại các tần số rất gần với tần số tự nhiên chiết suất có thể trở nên cực kỳ lớn, bởi vì mẫu số có thể tiến tới không. Tiếp theo, giả sử rằng ω lớn hơn ω₀. Điều này sẽ xảy ra, chẳng hạn, nếu chúng ta lấy một vật liệu như thủy tinh, và chiếu bức xạ tia X lên nó. Trên thực tế, vì nhiều vật liệu mờ đục đối với ánh sáng khả kiến, như than chì chẳng hạn, lại trong suốt đối với tia X, chúng ta cũng có thể nói về chiết suất của carbon đối với tia X. Mọi tần số tự nhiên của các nguyên tử carbon sẽ thấp hơn nhiều so với tần số chúng ta đang dùng trong tia X, vì bức xạ tia X có tần số rất cao. Chiết suất là chiết suất được cho bởi phương trình tán sắc của chúng ta nếu chúng ta đặt ω₀ bằng không (chúng ta bỏ qua ω₀² so với ω²).

Một tình huống tương tự sẽ xảy ra nếu chúng ta chiếu các sóng vô tuyến (hay ánh sáng) lên một chất khí gồm các electron tự do. Trong tầng khí quyển trên, các electron được giải phóng khỏi các nguyên tử của chúng bởi ánh sáng tử ngoại từ mặt trời và chúng ở trên đó như các electron tự do. Đối với các electron tự do ω₀ = 0 (không có lực hồi phục đàn hồi). Đặt ω₀ = 0 trong phương trình tán sắc của chúng ta cho ra công thức đúng cho chiết suất đối với sóng vô tuyến trong tầng bình lưu, trong đó N bây giờ biểu diễn mật độ các electron tự do (số trên một đơn vị thể tích) trong tầng bình lưu. Nhưng hãy nhìn lại phương trình, nếu chúng ta chiếu tia X lên vật chất, hay sóng vô tuyến (hay bất kỳ sóng điện nào) lên các electron tự do, số hạng (ω₀² − ω²) trở nên âm, và chúng ta thu được kết quả rằng n nhỏ hơn một. Điều đó có nghĩa là tốc độ hiệu dụng của các sóng trong chất lớn hơn c! Điều đó có thể đúng không?

Nó đúng. Bất chấp việc người ta nói rằng bạn không thể gửi tín hiệu nhanh hơn tốc độ ánh sáng, vẫn đúng là chiết suất của các vật liệu tại một tần số cụ thể có thể lớn hơn hay nhỏ hơn 1. Điều này chỉ có nghĩa là độ dịch pha được tạo ra bởi ánh sáng tán xạ có thể dương hay âm. Tuy nhiên, có thể chứng minh rằng tốc độ bạn có thể gửi một tín hiệu không được xác định bởi chiết suất tại một tần số, mà phụ thuộc vào chiết suất là gì tại nhiều tần số. Điều chiết suất cho chúng ta biết là tốc độ mà các nút (hay các đỉnh) của sóng truyền đi. Nút của một sóng không tự nó là một tín hiệu. Trong một sóng hoàn hảo, không có điều biến nào dưới bất kỳ dạng nào, tức là một dao động đều đặn, bạn thật sự không thể nói khi nào nó “bắt đầu”, vậy bạn không thể dùng nó cho một tín hiệu thời gian. Để gửi một tín hiệu bạn phải thay đổi sóng bằng cách nào đó, tạo một vết khía trong nó, làm nó béo hơn hay mỏng hơn một chút. Điều đó có nghĩa là bạn phải có nhiều hơn một tần số trong sóng, và có thể chứng minh rằng tốc độ các tín hiệu truyền đi không phụ thuộc vào chiết suất một mình, mà phụ thuộc vào cách chiết suất thay đổi theo tần số. Chủ đề này chúng ta cũng phải hoãn lại (cho tới Chương 48). Khi đó chúng ta sẽ tính cho bạn tốc độ thực của các tín hiệu qua một miếng thủy tinh như vậy, và bạn sẽ thấy rằng nó sẽ không nhanh hơn tốc độ ánh sáng, mặc dù các nút, là các điểm toán học, thật sự truyền nhanh hơn tốc độ ánh sáng.

Chỉ để cho một gợi ý nhỏ về việc điều đó xảy ra như thế nào, bạn sẽ lưu ý rằng khó khăn thực sự liên quan tới việc đáp ứng của các điện tích ngược với trường, tức là dấu đã bị đảo ngược. Vậy trong biểu thức của chúng ta cho x (phương trình 31.16) độ dịch chuyển của điện tích theo hướng ngược với trường thúc đẩy, bởi vì (ω₀² − ω²) âm đối với ω₀ nhỏ. Công thức nói rằng khi điện trường đang kéo theo một hướng, điện tích đang chuyển động theo hướng ngược lại.

Làm thế nào điện tích lại tình cờ đi theo hướng ngược lại? Nó chắc chắn không bắt đầu đi theo hướng ngược lại khi trường lần đầu được bật lên. Khi chuyển động lần đầu bắt đầu có một quá độ, quá độ này lắng xuống sau một lúc, và chỉ khi đó pha của dao động của điện tích mới ngược với trường thúc đẩy. Và chính khi đó pha của trường truyền qua mới có thể có vẻ sớm so với sóng nguồn. Chính sự sớm pha này được ngụ ý khi chúng ta nói rằng “vận tốc pha” hay vận tốc của các nút lớn hơn c. Trong Hình 31–4 chúng ta cho một ý tưởng sơ đồ về các sóng có thể trông như thế nào đối với một trường hợp trong đó sóng được bật lên đột ngột (để tạo một tín hiệu). Bạn sẽ thấy từ sơ đồ rằng tín hiệu (tức là điểm bắt đầu của sóng) không sớm hơn đối với sóng cuối cùng có một sự sớm pha.

Bây giờ hãy nhìn lại phương trình tán sắc của chúng ta. Chúng ta nên nhận xét rằng phân tích của chúng ta về chiết suất cho một kết quả hơi đơn giản hơn điều bạn sẽ thật sự tìm thấy trong tự nhiên. Để hoàn toàn chính xác chúng ta phải thêm một số tinh chỉnh. Trước hết, chúng ta nên kỳ vọng rằng mô hình dao động tử nguyên tử của chúng ta nên có một lực tắt dần nào đó (nếu không một khi đã bắt đầu nó sẽ dao động mãi mãi, và chúng ta không kỳ vọng điều đó xảy ra). Chúng ta đã tính ra trước đây (phương trình 23.8) chuyển động của một dao động tử tắt dần và kết quả là mẫu số trong phương trình (31.16), và do đó trong (31.19), được thay đổi từ (ω₀² − ω²) thành (ω₀² − ω² + iγω), trong đó γ là hệ số tắt dần.

Chúng ta cần một sửa đổi thứ hai để tính đến việc có vài tần số cộng hưởng đối với một loại nguyên tử cụ thể. Rất dễ sửa phương trình tán sắc của chúng ta bằng cách tưởng tượng rằng có vài loại dao động tử khác nhau, nhưng mỗi dao động tử hoạt động riêng rẽ, và vậy chúng ta đơn giản cộng các đóng góp của mọi dao động tử. Hãy nói rằng có N_k electron trên một đơn vị thể tích, có tần số tự nhiên là ω_k và hệ số tắt dần là γ_k. Khi đó chúng ta sẽ có đối với phương trình tán sắc của mình

n = 1 + [q_e² / (2ε₀m)] Σ_k N_k / (ω_k² − ω² + iγ_kω).   (31.20)

Cuối cùng, chúng ta có một biểu thức đầy đủ mô tả chiết suất được quan sát đối với nhiều chất.¹ Phần thực của chiết suất được mô tả bởi công thức này biến thiên theo tần số gần giống như đường cong được chỉ ra trong Hình 31–5(a).

Bạn sẽ lưu ý rằng chừng nào ω không quá gần một trong các tần số cộng hưởng, độ dốc của đường cong là dương. Một độ dốc dương như vậy được gọi là tán sắc “thường” (bởi vì nó rõ ràng là trường hợp xảy ra phổ biến nhất). Tuy nhiên, rất gần các tần số cộng hưởng, có một khoảng nhỏ các ω mà độ dốc âm. Một độ dốc âm như vậy thường được gọi là tán sắc “dị thường” (có nghĩa là bất thường), bởi vì nó có vẻ bất thường khi nó lần đầu được quan sát, rất lâu trước khi bất kỳ ai biết có những thứ như electron. Từ quan điểm của chúng ta, cả hai độ dốc đều khá “thường”!

31–4  Sự hấp thụ

Có lẽ bạn đã lưu ý một điều hơi lạ về dạng cuối cùng (phương trình 31.20) chúng ta thu được cho phương trình tán sắc của mình. Vì số hạng iγ chúng ta đưa vào để tính đến sự tắt dần, chiết suất bây giờ là một số phức! Điều đó có nghĩa là gì? Bằng cách tính ra phần thực và phần ảo của n là gì chúng ta có thể viết

n = n′ − in″,   (31.21)

trong đó n′ và n″ là các số thực. (Chúng ta dùng dấu trừ trước in″ bởi vì khi đó n″ sẽ hóa ra là một số dương, như bạn có thể tự chứng minh.)

Chúng ta có thể thấy một chiết suất phức như vậy có nghĩa là gì khi chỉ có một tần số cộng hưởng bằng cách quay lại phương trình (31.6), là phương trình của sóng sau khi nó đi qua một tấm vật liệu có chiết suất n. Nếu chúng ta đặt n phức của chúng ta vào phương trình này, và làm một ít sắp xếp lại, chúng ta thu được

E_{sau tấm} = e^{−ωn″Δz/c} · e^{−iω(n′−1)Δz/c} E₀e^iω(t−z/c).   (31.22)

Các thừa số cuối cùng, được đánh dấu B trong phương trình (31.22) trong bản gốc, đúng là dạng chúng ta đã có trước đây, và lại mô tả một sóng có pha đã bị trễ đi một góc ω(n′ − 1) Δz/c khi truyền qua vật liệu. Thừa số thứ nhất (A) là mới và là một thừa số hàm mũ với một số mũ thực, bởi vì có hai i đã triệt tiêu nhau. Ngoài ra, số mũ âm, vậy thừa số là một số thực nhỏ hơn một. Nó mô tả một sự giảm độ lớn của trường và, như chúng ta nên kỳ vọng, một lượng lớn hơn khi Δz càng lớn. Khi sóng đi qua vật liệu, nó bị yếu đi. Vật liệu đang “hấp thụ” một phần của sóng. Sóng ra phía bên kia với năng lượng ít hơn. Chúng ta không nên ngạc nhiên về điều này, bởi vì sự tắt dần chúng ta đưa vào cho các dao động tử thật sự là một lực ma sát và phải được kỳ vọng gây ra một sự mất năng lượng. Chúng ta thấy rằng phần ảo n″ của một chiết suất phức biểu diễn một sự hấp thụ (hay “suy giảm”) của sóng. Trên thực tế, n″ đôi khi được gọi là “chỉ số hấp thụ.”

Chúng ta cũng có thể chỉ ra rằng một phần ảo đối với chiết suất n tương ứng với việc bẻ cong mũi tên E_a trong Hình 31–3 về phía gốc tọa độ. Rõ ràng vì sao trường truyền qua khi đó bị giảm.

Thông thường, chẳng hạn như trong thủy tinh, sự hấp thụ ánh sáng rất nhỏ. Điều này được kỳ vọng từ phương trình (31.20) của chúng ta, bởi vì phần ảo của mẫu số, iγ_kω, nhỏ hơn nhiều so với số hạng (ω_k² − ω²). Nhưng nếu tần số ánh sáng ω rất gần với ω_k thì số hạng cộng hưởng (ω_k² − ω²) có thể trở nên nhỏ so với iγ_kω và chiết suất trở nên gần như hoàn toàn ảo, như được chỉ ra trong Hình 31–5(b). Sự hấp thụ ánh sáng trở thành hiệu ứng trội. Chính hiệu ứng này cho ra các vạch tối trong quang phổ của ánh sáng chúng ta nhận được từ mặt trời. Ánh sáng từ bề mặt mặt trời đã đi qua khí quyển của mặt trời (cũng như của trái đất), và ánh sáng đã bị hấp thụ mạnh tại các tần số cộng hưởng của các nguyên tử trong khí quyển mặt trời.

Việc quan sát các vạch phổ như vậy trong ánh sáng mặt trời cho phép chúng ta biết các tần số cộng hưởng của các nguyên tử và do đó thành phần hóa học của khí quyển mặt trời. Cùng loại quan sát cho chúng ta biết về các vật liệu trong các ngôi sao. Từ các phép đo như vậy chúng ta biết rằng các nguyên tố hóa học trong mặt trời và trong các ngôi sao giống như các nguyên tố chúng ta tìm thấy trên trái đất.

31–5  Năng lượng sóng điện mang theo

Chúng ta đã thấy rằng phần ảo của chiết suất có nghĩa là sự hấp thụ. Bây giờ chúng ta sẽ dùng kiến thức này để tìm ra bao nhiêu năng lượng được một sóng ánh sáng mang theo. Chúng ta đã cho trước đây một lập luận rằng năng lượng ánh sáng mang theo tỉ lệ với E² trung bình theo thời gian, trung bình theo thời gian của bình phương điện trường trong sóng. Sự giảm E do hấp thụ phải có nghĩa là một sự mất năng lượng, năng lượng này sẽ đi vào một ma sát nào đó của các electron và, chúng ta có thể đoán, sẽ kết thúc thành nhiệt trong vật liệu.

Nếu chúng ta xét ánh sáng tới trên một đơn vị diện tích, chẳng hạn một centimet vuông, của tấm của chúng ta trong Hình 31–1, thì chúng ta có thể viết phương trình năng lượng sau đây (nếu chúng ta giả thiết rằng năng lượng được bảo toàn, như chúng ta làm!):

Năng lượng vào mỗi giây = năng lượng ra mỗi giây + công thực hiện mỗi giây.   (31.23)

Đối với số hạng thứ nhất chúng ta có thể viết α·trung bình của E_s², trong đó α là hằng số tỉ lệ chưa biết liên hệ giá trị trung bình của E² với năng lượng đang được mang theo. Đối với số hạng thứ hai chúng ta phải bao gồm phần từ các nguyên tử bức xạ của vật liệu, vậy chúng ta nên dùng α·trung bình của (E_s + E_a)², hay (đánh giá bình phương) α(trung bình của E_s² + 2·trung bình của E_sE_a + trung bình của E_a²).

Mọi tính toán của chúng ta đã được thực hiện cho một lớp mỏng vật liệu có chiết suất không quá xa 1, sao cho E_a sẽ luôn nhỏ hơn nhiều so với E_s (chỉ để làm các tính toán dễ hơn). Để phù hợp với các xấp xỉ của chúng ta, do đó chúng ta nên bỏ đi số hạng trung bình của E_a², bởi vì nó nhỏ hơn nhiều so với trung bình của E_sE_a. Bạn có thể nói: “Vậy thì bạn cũng nên bỏ đi trung bình của E_sE_a cũng vậy, bởi vì nó nhỏ hơn nhiều so với trung bình của E_s².” Đúng là trung bình của E_sE_a nhỏ hơn nhiều so với trung bình của E_s², nhưng chúng ta phải giữ trung bình của E_sE_a nếu không xấp xỉ của chúng ta sẽ là xấp xỉ áp dụng nếu chúng ta bỏ qua sự có mặt của vật liệu hoàn toàn! Một cách kiểm tra rằng các tính toán của chúng ta nhất quán là thấy rằng chúng ta luôn giữ các số hạng tỉ lệ với N Δz, mật độ diện tích của các nguyên tử trong vật liệu, nhưng chúng ta bỏ đi các số hạng tỉ lệ với (N Δz)² hay bất kỳ lũy thừa cao hơn nào của N Δz. Xấp xỉ của chúng ta là điều nên được gọi là một “xấp xỉ mật độ thấp.”

Trong cùng tinh thần, chúng ta có thể nhận xét rằng phương trình năng lượng của chúng ta đã bỏ qua năng lượng trong sóng phản xạ. Nhưng điều đó ổn bởi vì số hạng này cũng tỉ lệ với (N Δz)², vì biên độ của sóng phản xạ tỉ lệ với N Δz.

Đối với số hạng cuối cùng trong phương trình (31.23) chúng ta muốn tính tốc độ sóng tới thực hiện công lên các electron. Chúng ta biết rằng công là lực nhân với khoảng cách, vậy tốc độ thực hiện công (cũng được gọi là công suất) là lực nhân với vận tốc. Nó thật sự là F·v, nhưng chúng ta không cần lo về tích vô hướng khi vận tốc và lực cùng dọc theo cùng một hướng như ở đây (ngoại trừ một dấu trừ có thể). Vậy đối với mỗi nguyên tử chúng ta lấy trung bình của q_eE_sv cho tốc độ thực hiện công trung bình. Vì có N Δz nguyên tử trong một đơn vị diện tích, số hạng cuối cùng trong phương trình (31.23) nên là N Δz q_e·trung bình của E_sv. Phương trình năng lượng của chúng ta bây giờ trông như

α·E_s²‾ = α·E_s²‾ + 2α·E_sE_a‾ + NΔz q_e·E_sv‾.   (31.24)

Các số hạng trung bình của E_s² triệt tiêu nhau, và chúng ta có

2α·E_sE_a‾ = −NΔz q_e·E_sv‾.   (31.25)

Bây giờ chúng ta quay lại phương trình (30.19), phương trình này cho chúng ta biết rằng đối với z lớn

E_a = −[NΔz q_e / (2ε₀c)] v (trễ bởi z/c)   (31.26)

(nhớ lại rằng η = N Δz). Đặt phương trình (31.26) vào vế trái của (31.25), chúng ta thu được −2α [NΔz q_e / (2ε₀c)] · trung bình của [E_s (tại z) · v (trễ bởi z/c)]. Tuy nhiên, E_s (tại z) là E_s (tại các nguyên tử) bị trễ bởi z/c. Vì giá trị trung bình không phụ thuộc vào thời gian, nó bây giờ giống như bị trễ bởi z/c, hay là trung bình của [E_s (tại các nguyên tử) · v], cùng giá trị trung bình xuất hiện ở vế phải của (31.25). Hai vế do đó bằng nhau nếu

α/(ε₀c) = 1,   hay   α = ε₀c.   (31.27)

Chúng ta đã khám phá ra rằng nếu năng lượng được bảo toàn, năng lượng được mang trong một sóng điện trên một đơn vị diện tích và trên một đơn vị thời gian (hay điều chúng ta đã gọi là cường độ) phải được cho bởi ε₀c·trung bình của E². Nếu chúng ta gọi cường độ là S trung bình, chúng ta có

S‾ = {cường độ hay năng lượng/diện tích/thời gian} = ε₀c·E²‾,   (31.28)

trong đó dấu gạch ngang có nghĩa là trung bình theo thời gian. Chúng ta có một kết quả phụ rất hay từ lý thuyết của chúng ta về chiết suất!

31–6  Nhiễu xạ ánh sáng bởi một màn chắn

Bây giờ là một thời điểm tốt để xem xét một vấn đề hơi khác mà chúng ta có thể xử lý với bộ máy của chương này. Trong chương trước chúng ta đã nói rằng khi bạn có một màn chắn mờ đục và ánh sáng có thể đi qua một số lỗ, sự phân bố cường độ — mẫu nhiễu xạ — có thể được thu được bằng cách tưởng tượng thay vào đó rằng các lỗ được thay bằng các nguồn (dao động tử) phân bố đều trên lỗ. Nói cách khác, sóng nhiễu xạ giống như thể lỗ là một nguồn mới. Chúng ta phải giải thích lý do cho điều đó, bởi vì lỗ, dĩ nhiên, đúng là nơi không có nguồn nào, nơi không có điện tích gia tốc nào.

Trước hết hãy hỏi: “Một màn chắn mờ đục là gì?” Giả sử chúng ta có một màn chắn hoàn toàn mờ đục giữa một nguồn S và một người quan sát tại P, như trong Hình 31–6(a). Nếu màn chắn “mờ đục” thì không có trường tại P. Vì sao không có trường ở đó? Theo các nguyên lý cơ bản chúng ta nên thu được trường tại P như trường E_s của nguồn bị trễ, cộng với trường từ mọi điện tích khác xung quanh. Nhưng, như chúng ta đã thấy ở trên, các điện tích trong màn chắn sẽ được đặt vào chuyển động bởi trường E_s, và các chuyển động này tạo ra một trường mới mà, nếu màn chắn mờ đục, phải triệt tiêu đúng trường E_s ở phía sau của màn chắn. Bạn nói: “Thật là một phép màu khi nó cân bằng đúng! Giả sử nó không đúng hoàn toàn thì sao!” Nếu nó không đúng hoàn toàn (hãy nhớ rằng màn chắn mờ đục này có một bề dày nào đó), trường hướng về phía phần sau của màn chắn sẽ không đúng bằng không. Vậy, không bằng không, nó sẽ đặt một số điện tích khác trong vật liệu của màn chắn vào chuyển động, và do đó tạo thêm một ít trường, cố gắng làm tổng cân bằng ra. Vậy nếu chúng ta làm màn chắn đủ dày, không có trường dư, bởi vì có đủ cơ hội để cuối cùng làm mọi thứ lặng xuống. Theo các công thức của chúng ta ở trên chúng ta sẽ nói rằng màn chắn có một chiết suất lớn và ảo, vậy sóng bị hấp thụ theo hàm mũ khi nó đi qua. Bạn biết, dĩ nhiên, rằng một tấm đủ mỏng của vật liệu mờ đục nhất, ngay cả vàng, cũng trong suốt một phần.

Bây giờ hãy xem điều gì xảy ra với một màn chắn mờ đục có các lỗ trong nó, như trong Hình 31–6(b). Chúng ta kỳ vọng trường gì tại P? Trường tại P có thể được biểu diễn như tổng của hai phần — trường do nguồn S gây ra cộng với trường do tường gây ra, tức là do chuyển động của các điện tích trong các tường. Chúng ta có thể kỳ vọng chuyển động của các điện tích trong các tường sẽ phức tạp, nhưng chúng ta có thể tìm ra trường chúng tạo ra theo một cách khá đơn giản.

Giả sử chúng ta lấy cùng màn chắn đó, nhưng bịt các lỗ lại, như được chỉ ra trong phần (c) của hình. Chúng ta tưởng tượng rằng các nút bịt có đúng cùng vật liệu như tường. Hãy lưu ý, các nút bịt đi vào nơi các lỗ đã ở trong trường hợp (b). Bây giờ hãy tính trường tại P. Trường tại P chắc chắn bằng không trong trường hợp (c), nhưng nó cũng bằng trường từ nguồn cộng với trường do mọi chuyển động của các nguyên tử trong các tường và trong các nút bịt. Chúng ta có thể viết các phương trình sau:

Trường hợp (b):   E_{tại P} = E_s + E_tường

Trường hợp (c):   E_{tại P}′ = 0 = E_s + E_tường′ + E_{nút bịt}′,

trong đó các dấu phẩy trên chỉ trường hợp các nút bịt ở đúng chỗ, nhưng E_s, dĩ nhiên, giống nhau trong cả hai trường hợp. Bây giờ nếu chúng ta trừ hai phương trình, chúng ta thu được

E_{tại P} = (E_tường − E_tường′) − E_{nút bịt}′.

Bây giờ nếu các lỗ không quá nhỏ (chẳng hạn nhiều bước sóng ngang qua), chúng ta sẽ không kỳ vọng sự có mặt của các nút bịt thay đổi các trường tới các tường ngoại trừ có thể một ít xung quanh các mép của các lỗ. Bỏ qua hiệu ứng nhỏ này, chúng ta có thể đặt E_tường = E_tường′ và thu được rằng

E_{tại P} = −E_{nút bịt}′.

Chúng ta có kết quả rằng trường tại P khi có các lỗ trong một màn chắn (trường hợp b) giống (ngoại trừ dấu) như trường được tạo ra bởi phần đó của một tường mờ đục hoàn toàn nằm ở nơi các lỗ ở! (Dấu không quá thú vị, vì chúng ta thường quan tâm tới cường độ tỉ lệ với bình phương của trường.) Nó có vẻ như một lập luận ngược-xuôi kỳ diệu. Tuy nhiên, nó không chỉ đúng (một cách gần đúng đối với các lỗ không quá nhỏ), mà còn hữu ích, và là sự biện minh cho lý thuyết thông thường về nhiễu xạ.

Trường E_{nút bịt}′ được tính trong bất kỳ trường hợp cụ thể nào bằng cách nhớ rằng chuyển động của các điện tích ở khắp nơi trong màn chắn đúng là chuyển động sẽ triệt tiêu trường E_s ở phía sau của màn chắn. Một khi chúng ta biết các chuyển động này, chúng ta cộng các trường bức xạ tại P do chỉ các điện tích trong các nút bịt gây ra.

Chúng ta nhận xét lại rằng lý thuyết nhiễu xạ này chỉ là gần đúng, và sẽ chỉ tốt nếu các lỗ không quá nhỏ. Đối với các lỗ quá nhỏ số hạng E_{nút bịt}′ sẽ nhỏ và khi đó hiệu giữa E_tường′ và E_tường (hiệu mà chúng ta đã lấy bằng không) có thể so sánh được với hay lớn hơn số hạng E_{nút bịt}′ nhỏ, và xấp xỉ của chúng ta sẽ không còn hiệu lực nữa.