Chương 32: Sự tắt dần do bức xạ. Sự tán xạ ánh sáng

32–1  Điện trở bức xạ

Trong chương trước, chúng ta đã biết rằng khi một hệ đang dao động, năng lượng được mang đi, và chúng ta đã suy ra một công thức cho năng lượng được bức xạ bởi một hệ dao động. Nếu chúng ta biết điện trường, thì trung bình của bình phương trường nhân với ε₀c là lượng năng lượng đi qua, mỗi mét vuông mỗi giây, một mặt vuông góc với hướng mà bức xạ đang đi:

S = ε₀c⟨E²⟩.   (32.1)

Bất kỳ điện tích dao động nào cũng bức xạ năng lượng; chẳng hạn, một anten được cấp nguồn sẽ bức xạ năng lượng. Nếu hệ bức xạ năng lượng, thì để thỏa mãn định luật bảo toàn năng lượng, chúng ta phải thấy rằng công suất đang được đưa vào dọc theo các dây dẫn đi vào anten. Tức là, đối với mạch cấp nguồn, anten hoạt động như một điện trở, hay một nơi mà năng lượng có thể bị “mất” (năng lượng thật ra không mất, nó thật sự được bức xạ ra ngoài, nhưng xét từ phía mạch điện thì năng lượng bị mất). Trong một điện trở thông thường, năng lượng “mất” đi chuyển thành nhiệt; trong trường hợp này năng lượng “mất” đi ra ngoài không gian. Nhưng xét từ quan điểm lý thuyết mạch, mà không xét năng lượng đi đâu, hiệu ứng ròng lên mạch là như nhau — năng lượng bị “mất” khỏi mạch đó. Vì vậy anten xuất hiện đối với máy phát như thể nó có một điện trở, mặc dù nó có thể được làm bằng đồng rất tốt. Thật vậy, nếu nó được chế tạo tốt, nó sẽ xuất hiện gần như là một điện trở thuần, với điện cảm hay điện dung rất nhỏ, bởi vì chúng ta muốn bức xạ càng nhiều năng lượng ra khỏi anten càng tốt. Điện trở mà một anten thể hiện này được gọi là điện trở bức xạ.

Nếu một dòng điện I đi vào anten, thì tốc độ trung bình mà công suất được đưa vào anten là trung bình của bình phương dòng điện nhân với điện trở. Tốc độ mà công suất được bức xạ bởi anten dĩ nhiên tỉ lệ với bình phương của dòng điện trong anten, bởi vì mọi trường đều tỉ lệ với các dòng điện, và năng lượng giải phóng tỉ lệ với bình phương của trường. Hệ số tỉ lệ giữa công suất bức xạ và ⟨I²⟩ là điện trở bức xạ.

Một câu hỏi thú vị là, điện trở bức xạ này là do đâu? Chúng ta hãy lấy một ví dụ đơn giản: giả sử các dòng điện được đưa lên xuống trong một anten. Chúng ta thấy rằng chúng ta phải thực hiện công vào, nếu anten phải bức xạ năng lượng. Nếu chúng ta lấy một vật tích điện và gia tốc nó lên xuống, nó bức xạ năng lượng; nếu nó không tích điện, nó sẽ không bức xạ năng lượng. Tính ra từ định luật bảo toàn năng lượng rằng năng lượng bị mất là một chuyện, nhưng trả lời câu hỏi chúng ta thực hiện công chống lại lực nào lại là chuyện khác. Đó là một câu hỏi thú vị và rất khó, chưa bao giờ được trả lời một cách trọn vẹn và thỏa đáng đối với electron, mặc dù đã được trả lời đối với anten. Điều xảy ra là thế này: trong một anten, các trường được tạo ra bởi các điện tích đang chuyển động ở một phần của anten tác dụng trở lại lên các điện tích đang chuyển động ở một phần khác của anten. Chúng ta có thể tính các lực này và tìm ra chúng thực hiện bao nhiêu công, và như vậy tìm ra quy tắc đúng cho điện trở bức xạ. Khi chúng ta nói “Chúng ta có thể tính —” thì điều đó không hoàn toàn đúng — chúng ta chưa thể, bởi vì chúng ta chưa nghiên cứu các định luật điện học ở các khoảng cách ngắn; chỉ ở các khoảng cách lớn chúng ta mới biết điện trường là gì. Chúng ta đã thấy công thức (28.3), nhưng hiện tại nó quá phức tạp để chúng ta tính các trường bên trong vùng sóng. Dĩ nhiên, vì định luật bảo toàn năng lượng có hiệu lực, chúng ta vẫn có thể tính ra kết quả mà không cần biết các trường ở khoảng cách ngắn. (Thật ra, bằng cách dùng lập luận này theo chiều ngược lại, hóa ra người ta chỉ có thể tìm ra công thức cho các lực ở khoảng cách ngắn bằng cách biết trường ở các khoảng cách rất lớn, nhờ dùng các định luật bảo toàn năng lượng, nhưng chúng ta sẽ không đi vào chuyện đó ở đây.)

Bài toán trong trường hợp một electron đơn độc là thế này: nếu chỉ có một điện tích, thì lực có thể tác dụng lên cái gì? Trong lý thuyết cổ điển cũ, người ta đã đề xuất rằng điện tích là một quả cầu nhỏ, và một phần của điện tích tác dụng lên phần còn lại. Vì độ trễ trong tác dụng truyền qua electron nhỏ bé đó, lực không hoàn toàn cùng pha với chuyển động. Tức là, nếu chúng ta có electron đứng yên, chúng ta biết rằng “tác dụng bằng phản tác dụng”. Vậy các lực nội bộ khác nhau là bằng nhau, và không có lực ròng. Nhưng nếu electron đang gia tốc, thì vì độ trễ thời gian truyền qua nó, lực tác dụng lên phần trước từ phần sau không hoàn toàn giống như lực tác dụng lên phần sau từ phần trước, vì độ trễ trong hiệu ứng. Độ trễ về thời gian này gây ra sự mất cân bằng, cho nên, xét hiệu ứng ròng, vật tự giữ mình lại bằng chính quai giày của mình! Mô hình này về nguồn gốc của sức cản đối với gia tốc, tức điện trở bức xạ của một điện tích đang chuyển động, đã gặp nhiều khó khăn, bởi vì quan điểm hiện nay của chúng ta về electron là nó không phải một “quả cầu nhỏ”; bài toán này chưa bao giờ được giải quyết. Tuy nhiên dĩ nhiên chúng ta có thể tính chính xác lực điện trở bức xạ ròng phải là bao nhiêu, tức là khi chúng ta gia tốc một điện tích thì tổn thất phải là bao nhiêu, mặc dù không biết trực tiếp cơ chế mà lực đó vận hành như thế nào.

32–2  Tốc độ bức xạ năng lượng

Bây giờ chúng ta sẽ tính tổng năng lượng được bức xạ bởi một điện tích đang gia tốc. Để giữ cho thảo luận được tổng quát, chúng ta sẽ lấy trường hợp một điện tích gia tốc theo bất kỳ hướng nào, nhưng phi tương đối tính. Tại một thời điểm khi gia tốc, chẳng hạn, là thẳng đứng, chúng ta biết rằng điện trường được tạo ra là điện tích nhân với hình chiếu của gia tốc trễ, chia cho khoảng cách. Vậy chúng ta biết điện trường tại bất kỳ điểm nào, và do đó chúng ta biết bình phương của điện trường và như vậy năng lượng ε₀cE² rời khỏi qua một đơn vị diện tích mỗi giây.

Đại lượng ε₀c xuất hiện khá thường xuyên trong các biểu thức liên quan đến sự truyền sóng vô tuyến. Nghịch đảo của nó được gọi là trở kháng của chân không, và nó là một con số dễ nhớ: nó có giá trị 1/ε₀c = 377 ohm. Vậy công suất tính bằng watt trên mỗi mét vuông bằng trung bình của bình phương trường, chia cho 377.

Dùng biểu thức (29.1) của chúng ta cho điện trường, chúng ta tìm được rằng

S = q²a′² sin²θ / (16π²ε₀r²c³)   (32.2)

là công suất trên mỗi mét vuông được bức xạ theo hướng θ. Chúng ta nhận thấy nó đi tỉ lệ nghịch với bình phương của khoảng cách, như chúng ta đã nói trước đây. Bây giờ giả sử chúng ta muốn tổng năng lượng bức xạ theo mọi hướng: khi đó chúng ta phải tích phân (32.2) trên mọi hướng. Trước hết chúng ta nhân với diện tích, để tìm lượng chảy vào trong một góc nhỏ dθ (Hình 32–1). Chúng ta cần diện tích của một phần của mặt cầu. Cách nghĩ về nó là thế này: nếu r là bán kính, thì bề rộng của dải hình vòng là r dθ, và chu vi là 2πr sin θ, bởi vì r sin θ là bán kính của đường tròn. Vậy diện tích của mảnh nhỏ của mặt cầu là 2πr sin θ nhân với r dθ:

dA = 2πr² sin θ dθ.   (32.3)

Bằng cách nhân thông lượng [(32.2), công suất trên mỗi mét vuông] với diện tích tính bằng mét vuông chứa trong góc nhỏ dθ, chúng ta tìm được lượng năng lượng được giải phóng theo hướng này giữa θ và θ + dθ; rồi chúng ta tích phân nó trên mọi góc θ từ 0 đến 180°:

P = ∫ S dA = [q²a′² / (8πε₀c³)] ∫₀^π sin³θ dθ.   (32.4)

Bằng cách viết sin³ θ = (1 − cos²θ) sin θ, không khó để chứng tỏ rằng ∫₀^π sin³θ dθ = 4/3. Dùng sự kiện đó, cuối cùng chúng ta được

P = q²a′² / (6πε₀c³).   (32.5)

Biểu thức này đáng vài nhận xét. Trước hết, vì vector a′ có một hướng nhất định, nên a′² trong (32.5) sẽ là bình phương của vector a′, tức là a′·a′, độ dài của vector, bình phương lên. Thứ hai, thông lượng (32.2) đã được tính bằng gia tốc trễ; tức là, gia tốc tại thời gian mà năng lượng đang đi qua mặt cầu bây giờ đã được bức xạ. Chúng ta có thể muốn nói rằng năng lượng này thật sự đã được giải phóng tại thời gian sớm hơn này. Điều này không hoàn toàn đúng; nó chỉ là một ý tưởng xấp xỉ. Thời gian chính xác khi năng lượng được giải phóng không thể định nghĩa chính xác. Tất cả những gì chúng ta thật sự có thể tính chính xác là điều xảy ra trong một chuyển động hoàn chỉnh, như một dao động hay gì đó, trong đó gia tốc cuối cùng dừng lại. Khi đó điều chúng ta tìm được là tổng thông lượng năng lượng trên mỗi chu trình là trung bình của bình phương gia tốc, cho một chu trình trọn vẹn. Đó là điều thật sự nên xuất hiện trong (32.5). Hoặc, nếu đó là một chuyển động với gia tốc ban đầu và cuối cùng bằng không, thì tổng năng lượng đã chảy ra là tích phân theo thời gian của (32.5).

Để minh họa các hệ quả của công thức (32.5) khi chúng ta có một hệ dao động, chúng ta hãy xem điều gì xảy ra nếu độ dời x của điện tích đang dao động sao cho gia tốc a là −ω²x₀e^iωt. Trung bình của bình phương gia tốc trên một chu trình (hãy nhớ rằng chúng ta phải rất cẩn thận khi bình phương những thứ được viết theo ký hiệu phức — nó thật ra là cosin, và trung bình của cos² ωt là một nửa) do đó là

⟨a′²⟩ = ½ω⁴x₀².

Vì vậy,

P = q²ω⁴x₀² / (12πε₀c³).   (32.6)

Các công thức chúng ta đang thảo luận bây giờ tương đối cao cấp và ít nhiều hiện đại; chúng có từ đầu thế kỷ hai mươi, và chúng rất nổi tiếng. Vì giá trị lịch sử của chúng, điều quan trọng là chúng ta có thể đọc về chúng trong các sách cũ hơn. Thật vậy, các sách cũ cũng dùng một hệ đơn vị khác với hệ mks hiện nay của chúng ta. Tuy nhiên, mọi phức tạp này có thể được gỡ rối trong các công thức cuối cùng liên quan đến electron bằng quy tắc sau: Đại lượng q_e²/4πε₀, trong đó q_e là điện tích electron (tính bằng coulomb), trong lịch sử đã được viết là e². Rất dễ tính ra rằng e trong hệ mks bằng số là 1,5188×10⁻¹⁴, bởi vì chúng ta biết rằng, theo số, q_e = 1,60206×10⁻¹⁹ và 1/4πε₀ = 8,98748×10⁹. Vì vậy chúng ta sẽ thường dùng cách viết tắt tiện lợi

e² = q_e²/4πε₀.   (32.7)

Nếu chúng ta dùng giá trị số nêu trên của e trong các công thức cũ và đối xử với chúng như thể chúng được viết theo đơn vị mks, chúng ta sẽ được các kết quả số đúng. Chẳng hạn, dạng cũ của (32.5) là P = (2/3)e²a′²/c³. Một ví dụ nữa, thế năng của một proton và một electron ở khoảng cách r là q_e²/4πε₀r hay e²/r, với e = 1,5188×10⁻¹⁴ (mks).

32–3  Sự tắt dần do bức xạ

Bây giờ sự kiện là một dao động tử mất một năng lượng nhất định sẽ có nghĩa rằng nếu chúng ta có một điện tích ở đầu một lò xo (hay một electron trong một nguyên tử) có tần số riêng ω₀, và chúng ta cho nó bắt đầu dao động rồi buông ra, nó sẽ không dao động mãi mãi, ngay cả khi nó ở trong không gian trống rỗng cách mọi thứ hàng triệu dặm. Không có dầu, không có sức cản, theo nghĩa thông thường; không có “độ nhớt”. Nhưng tuy vậy nó sẽ không dao động, như chúng ta có thể từng nói, “mãi mãi”, bởi vì nếu nó tích điện thì nó đang bức xạ năng lượng, và do đó dao động sẽ từ từ tắt đi. Tắt chậm đến mức nào? Q của một dao động tử như vậy, gây ra bởi các hiệu ứng điện từ, tức cái gọi là điện trở bức xạ hay sự tắt dần do bức xạ của dao động tử, là bao nhiêu? Q của bất kỳ hệ dao động nào là tổng nội dung năng lượng của dao động tử tại bất kỳ thời điểm nào chia cho năng lượng mất mỗi radian:

Q = −W/(dW/dφ).

Hay (một cách viết khác), vì dW/dφ = (dW/dt)/(dφ/dt) = (dW/dt)/ω,

Q = −ωW/(dW/dt).   (32.8)

Nếu đối với một Q cho trước, điều này cho chúng ta biết năng lượng của dao động tắt đi như thế nào, dW/dt = −(ω/Q)W, có nghiệm W = W₀e^−ωt/Q nếu W₀ là năng lượng ban đầu (tại t = 0).

Để tìm Q cho một bộ bức xạ, chúng ta quay lại (32.8) và dùng (32.6) cho dW/dt.

Bây giờ chúng ta dùng gì cho năng lượng W của dao động tử? Động năng của dao động tử là ½mv², và động năng trung bình là mω²x₀²/4. Nhưng chúng ta nhớ rằng đối với tổng năng lượng của một dao động tử, trung bình một nửa là động năng và một nửa là thế năng, và vậy chúng ta nhân đôi kết quả của mình, và tìm được cho tổng năng lượng của dao động tử

W = ½mω²x₀².   (32.9)

Chúng ta dùng gì cho tần số trong các công thức của mình? Chúng ta dùng tần số riêng ω₀ bởi vì, cho mọi mục đích thực tế, đó là tần số mà nguyên tử của chúng ta đang bức xạ, và cho m chúng ta dùng khối lượng electron m_e. Khi đó, thực hiện các phép chia và rút gọn cần thiết, công thức rút xuống thành

1/Q = 4πe²/(3λ m_ec²).   (32.10)

(Để nhìn nó rõ hơn và dưới một dạng lịch sử hơn, chúng ta viết nó dùng cách viết tắt q_e²/4πε₀ = e² của chúng ta, và thừa số ω₀/c còn sót lại đã được viết là 2π/λ.)

Vì Q không có thứ nguyên, tổ hợp e²/m_ec² phải là một tính chất chỉ của điện tích và khối lượng electron, một tính chất nội tại của electron, và nó phải là một độ dài. Nó đã được đặt cho một cái tên, bán kính electron cổ điển, bởi vì các mô hình nguyên tử sơ khai, được phát minh để giải thích điện trở bức xạ dựa trên lực của một phần của electron tác dụng lên các phần còn lại, đều cần có một electron mà kích thước của nó cỡ bậc độ lớn tổng quát này. Tuy nhiên, đại lượng này không còn mang ý nghĩa mà chúng ta tin rằng electron thật sự có một bán kính như vậy. Theo số, độ lớn của bán kính là

r₀ = e²/(m_ec²) = 2,82×10⁻¹⁵ m.   (32.11)

Bây giờ chúng ta hãy thật sự tính Q của một nguyên tử đang phát ánh sáng — giả sử một nguyên tử natri. Đối với một nguyên tử natri, bước sóng khoảng 6000 angstrom, trong phần màu vàng của quang phổ khả kiến, và đây là một bước sóng điển hình. Vậy

Q = 3λ/(4πr₀) ≈ 5×10⁷,   (32.12)

cho nên Q của một nguyên tử cỡ 10⁸. Điều này có nghĩa là một dao động tử nguyên tử sẽ dao động trong 10⁸ radian hay khoảng 10⁷ dao động, trước khi năng lượng của nó giảm đi một thừa số 1/e. Tần số dao động của ánh sáng tương ứng với 6000 angstrom, ν = c/λ, cỡ 10¹⁵ chu trình/giây, và vì vậy thời gian sống, thời gian cần để năng lượng của một nguyên tử đang bức xạ tắt đi một thừa số 1/e, cỡ 10⁻⁸ giây. Trong các hoàn cảnh thông thường, các nguyên tử phát xạ tự do thường mất khoảng ngần ấy thời gian để bức xạ. Điều này chỉ có hiệu lực đối với các nguyên tử ở trong không gian trống rỗng, không bị nhiễu loạn theo bất kỳ cách nào. Nếu electron ở trong một chất rắn và nó phải va chạm các nguyên tử khác hay các electron khác, thì có thêm các sức cản và sự tắt dần khác đi.

Số hạng điện trở hiệu dụng γ trong định luật điện trở cho dao động tử có thể tìm được từ quan hệ 1/Q = γ/ω₀, và chúng ta nhớ rằng độ lớn của γ quyết định đường cong cộng hưởng rộng đến mức nào (Hình 23–2). Vậy chúng ta vừa mới tính ra độ rộng của các vạch quang phổ cho các nguyên tử bức xạ tự do! Vì λ = 2πc/ω, chúng ta tìm được rằng

Δλ = 2πc Δω/ω² = 2πcγ/ω₀² = 2πc/Qω₀ = λ/Q = 4πr₀/3 = 1,18×10⁻¹⁴ m.   (32.13)

32–4  Các nguồn độc lập

Để chuẩn bị cho chủ đề thứ hai của chúng ta, sự tán xạ ánh sáng, bây giờ chúng ta phải thảo luận một đặc điểm nào đó của hiện tượng giao thoa mà chúng ta đã bỏ qua không thảo luận trước đây. Đó là câu hỏi khi nào giao thoa không xảy ra. Nếu chúng ta có hai nguồn S₁ và S₂, với các biên độ A₁ và A₂, và chúng ta thực hiện một quan sát theo một hướng nào đó trong đó các pha lúc đến của hai tín hiệu là φ₁ và φ₂ (một tổ hợp của thời gian dao động thật và thời gian trễ, phụ thuộc vào vị trí quan sát), thì năng lượng chúng ta nhận được có thể tìm được bằng cách tổ hợp hai vector số phức A₁ và A₂, một cái ở góc φ₁ và cái kia ở góc φ₂ (như chúng ta đã làm trong Chương 29) và chúng ta tìm được rằng năng lượng hợp thành tỉ lệ với

A_R² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂ cos (φ₁ − φ₂).   (32.14)

Bây giờ nếu số hạng chéo 2A₁A₂ cos (φ₁ − φ₂) không có ở đó, thì tổng năng lượng được nhận theo một hướng cho trước đơn giản sẽ là tổng của các năng lượng, A₁² + A₂², mà mỗi nguồn sẽ giải phóng riêng rẽ, điều mà chúng ta thường kỳ vọng. Tức là, cường độ kết hợp của ánh sáng chiếu lên một vật gì đó từ hai nguồn là tổng các cường độ của hai ánh sáng. Mặt khác, nếu chúng ta sắp đặt mọi thứ vừa đúng và chúng ta có một số hạng chéo, nó không còn là một tổng như vậy, bởi vì còn có một ít giao thoa. Nếu có những hoàn cảnh trong đó số hạng này không quan trọng, thì chúng ta sẽ nói giao thoa dường như bị mất đi. Dĩ nhiên, trong tự nhiên nó luôn ở đó, nhưng chúng ta có thể không phát hiện được nó.

Chúng ta hãy xét một vài ví dụ. Trước hết giả sử rằng hai nguồn cách nhau 7.000.000.000 bước sóng, một cách sắp xếp không phải là không thể. Khi đó theo một hướng cho trước, đúng là có một giá trị rất xác định của các hiệu pha này. Nhưng mặt khác, nếu chúng ta di chuyển chỉ một sợi tóc theo một hướng, vài bước sóng, một khoảng cách chẳng đáng gì (mắt của chúng ta đã có một lỗ trong đó lớn đến mức chúng ta đang lấy trung bình các hiệu ứng trên một khoảng rất rộng so với một bước sóng) thì chúng ta thay đổi pha tương đối, và cosin thay đổi rất nhanh. Nếu chúng ta lấy trung bình của cường độ trên một vùng nhỏ, thì cosin, đi cộng, trừ, cộng, trừ, khi chúng ta di chuyển quanh, sẽ trung bình thành không.

Vậy nếu chúng ta lấy trung bình trên các vùng trong đó pha biến thiên rất nhanh theo vị trí, chúng ta không được giao thoa nào.

Một ví dụ khác. Giả sử hai nguồn là hai dao động tử vô tuyến độc lập — không phải một dao động tử duy nhất được cấp bởi hai dây, điều bảo đảm các pha được giữ cùng nhau, mà là hai nguồn độc lập — và rằng chúng không được chỉnh chính xác ở cùng một tần số (rất khó làm chúng ở đúng cùng một tần số mà không thật sự nối dây chúng lại với nhau). Trong trường hợp này chúng ta có cái chúng ta gọi là hai nguồn độc lập. Dĩ nhiên, vì các tần số không hoàn toàn bằng nhau, mặc dù chúng bắt đầu cùng pha, một cái bắt đầu nhỉnh hơn cái kia một chút, và chẳng bao lâu chúng lệch pha, rồi nó còn nhỉnh hơn nữa, và chẳng bao lâu chúng lại cùng pha. Vậy hiệu pha giữa hai cái dần dần trôi theo thời gian, nhưng nếu quan sát của chúng ta thô đến mức chúng ta không thể thấy khoảng thời gian nhỏ đó, nếu chúng ta lấy trung bình trên một thời gian dài hơn nhiều, thì mặc dù cường độ phồng lên và xẹp xuống như cái chúng ta gọi là “phách” trong âm thanh, nếu những sự phồng lên và xẹp xuống này quá nhanh để thiết bị của chúng ta theo kịp, thì một lần nữa số hạng này trung bình triệt tiêu.

Nói cách khác, trong bất kỳ hoàn cảnh nào mà sự dịch pha trung bình triệt tiêu, chúng ta không được giao thoa nào!

Người ta thấy nhiều sách nói rằng hai nguồn sáng phân biệt không bao giờ giao thoa. Đây không phải là một phát biểu của vật lý, mà chỉ đơn thuần là một phát biểu về mức độ nhạy của kỹ thuật của các thí nghiệm tại thời điểm cuốn sách được viết. Điều xảy ra trong một nguồn sáng là đầu tiên một nguyên tử bức xạ, rồi một nguyên tử khác bức xạ, và cứ thế, và chúng ta vừa thấy rằng các nguyên tử chỉ bức xạ một đoàn sóng trong khoảng 10⁻⁸ giây; sau 10⁻⁸ giây, có lẽ một nguyên tử nào đó đã tiếp quản, rồi một nguyên tử khác tiếp quản, và cứ thế. Vậy các pha thật sự chỉ có thể giữ nguyên như nhau trong khoảng 10⁻⁸ giây.

Vì vậy, nếu chúng ta lấy trung bình trong thời gian dài hơn rất nhiều so với 10⁻⁸ giây, chúng ta không thấy một giao thoa từ hai nguồn khác nhau, bởi vì chúng không thể giữ các pha của chúng ổn định lâu hơn 10⁻⁸ giây. Với tế bào quang điện, việc dò tìm tốc độ rất cao là có thể, và người ta có thể chứng tỏ rằng có một giao thoa biến thiên theo thời gian, lên và xuống, trong khoảng 10⁻⁸ giây. Nhưng dĩ nhiên hầu hết thiết bị dò tìm không nhìn vào các khoảng thời gian tinh vi như vậy, và như vậy không thấy giao thoa nào. Chắc chắn với con mắt, có thời gian lấy trung bình một phần mười giây, không có bất kỳ cơ hội nào để thấy một giao thoa giữa hai nguồn thông thường khác nhau.

Gần đây người ta đã có thể làm các nguồn sáng vượt qua được hiệu ứng này bằng cách làm cho mọi nguyên tử phát xạ cùng nhau theo thời gian. Thiết bị làm điều này là một thứ rất phức tạp, và phải được hiểu theo cách cơ học lượng tử. Nó được gọi là một laser, và người ta có thể tạo ra từ một laser một nguồn trong đó thời gian mà pha được giữ hằng số dài hơn rất nhiều so với 10⁻⁸ giây. Nó có thể cỡ một phần trăm, một phần mười, hay thậm chí một giây, và vậy, với các tế bào quang điện thông thường, người ta có thể bắt được tần số giữa hai laser khác nhau. Người ta có thể dễ dàng phát hiện sự đập xung của các phách giữa hai nguồn laser. Chẳng bao lâu nữa, chắc chắn, ai đó sẽ có thể chứng minh hai nguồn chiếu lên một bức tường, trong đó các phách chậm đến mức người ta có thể nhìn thấy bức tường sáng lên và tối đi!

Một trường hợp khác trong đó giao thoa trung bình triệt tiêu là trường hợp, thay vì chỉ có hai nguồn, chúng ta có nhiều nguồn. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ viết biểu thức cho A_R² dưới dạng tổng của rất nhiều biên độ, các số phức, bình phương lên, và chúng ta sẽ được bình phương của mỗi cái, tất cả cộng lại với nhau, cộng thêm các số hạng chéo giữa mọi cặp, và nếu các hoàn cảnh là như thế mà các số hạng sau trung bình triệt tiêu, thì sẽ không có hiệu ứng giao thoa nào. Có thể là các nguồn khác nhau nằm ở những vị trí ngẫu nhiên đến mức, mặc dù hiệu pha giữa A₂ và A₃ cũng xác định, nó rất khác với hiệu pha giữa A₁ và A₂, v.v. Vậy chúng ta sẽ được rất nhiều cosin, nhiều cái cộng, nhiều cái trừ, tất cả trung bình triệt tiêu.

Chính vì thế mà trong nhiều hoàn cảnh chúng ta không thấy các hiệu ứng của giao thoa, mà chỉ thấy một cường độ tập thể, tổng cộng, bằng tổng của mọi cường độ.

32–5  Sự tán xạ ánh sáng

Điều trên dẫn chúng ta tới một hiệu ứng xảy ra trong không khí như một hệ quả của các vị trí không đều của các nguyên tử. Khi chúng ta thảo luận chỉ số khúc xạ, chúng ta đã thấy rằng một chùm ánh sáng tới sẽ làm các nguyên tử bức xạ trở lại. Điện trường của chùm tới thúc các electron lên xuống, và chúng bức xạ vì gia tốc của chúng. Bức xạ tán xạ này tổ hợp lại để cho một chùm theo cùng hướng với chùm tới, nhưng có pha hơi khác, và đây là nguồn gốc của chỉ số khúc xạ.

Nhưng chúng ta có thể nói gì về lượng ánh sáng bức xạ trở lại theo một hướng khác nào đó? Thông thường, nếu các nguyên tử được sắp xếp rất đẹp trong một mẫu hình tử tế, dễ chứng tỏ rằng chúng ta không được gì theo các hướng khác, bởi vì chúng ta đang cộng rất nhiều vector với các pha của chúng luôn thay đổi, và kết quả thành không. Nhưng nếu các vật được sắp xếp ngẫu nhiên, thì tổng cường độ theo bất kỳ hướng nào là tổng của các cường độ được tán xạ bởi mỗi nguyên tử, như chúng ta vừa thảo luận. Hơn nữa, các nguyên tử trong một chất khí thật sự đang chuyển động, cho nên mặc dù pha tương đối của hai nguyên tử là một lượng xác định lúc này, lúc sau pha sẽ hoàn toàn khác, và vì vậy mỗi số hạng cosin sẽ trung bình triệt tiêu. Vì vậy, để tìm ra bao nhiêu ánh sáng bị tán xạ theo một hướng cho trước bởi một chất khí, chúng ta đơn thuần nghiên cứu các hiệu ứng của một nguyên tử và nhân cường độ nó bức xạ với số nguyên tử.

Trước đây, chúng ta đã nhận xét rằng hiện tượng tán xạ ánh sáng có bản chất này là nguồn gốc của màu xanh của bầu trời. Ánh sáng mặt trời đi qua không khí, và khi chúng ta nhìn sang một bên của mặt trời — chẳng hạn ở 90° so với chùm tia — chúng ta thấy ánh sáng xanh; điều chúng ta bây giờ phải tính là chúng ta thấy bao nhiêu ánh sáng và vì sao nó có màu xanh.

Nếu chùm tia tới có điện trường¹ E = Ê₀e^iωt tại điểm nơi nguyên tử nằm, chúng ta biết rằng một electron trong nguyên tử sẽ dao động lên xuống đáp ứng với E này (Hình 32–2). Từ Công thức (23.8), đáp ứng sẽ là

x̂ = q_eÊ₀ / [m(ω₀² − ω² + iγω)].   (32.15)

Chúng ta có thể đưa vào sự tắt dần và khả năng nguyên tử hoạt động như vài dao động tử có tần số khác nhau và cộng tổng trên các tần số khác nhau, nhưng để đơn giản chúng ta chỉ lấy một dao động tử và bỏ qua sự tắt dần. Khi đó đáp ứng với điện trường ngoài, điều chúng ta đã dùng trong tính toán chỉ số khúc xạ, đơn giản là

x̂ = q_eÊ₀ / [m(ω₀² − ω²)].   (32.16)

Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tính cường độ ánh sáng được phát ra theo nhiều hướng khác nhau, dùng công thức (32.2) và gia tốc tương ứng với x̂ ở trên.

Tuy nhiên, thay vì làm điều này, chúng ta sẽ đơn thuần tính tổng lượng ánh sáng bị tán xạ theo mọi hướng, chỉ để tiết kiệm thời gian. Tổng lượng năng lượng ánh sáng mỗi giây, bị tán xạ theo mọi hướng bởi nguyên tử đơn độc, dĩ nhiên được cho bởi Công thức (32.6). Vậy, gộp các mảnh khác nhau lại với nhau và nhóm chúng lại, chúng ta được

P = (½ε₀cE₀²)(8πr₀²/3) · [ω⁴/(ω² − ω₀²)²]   (32.17)

cho tổng công suất bị tán xạ, bức xạ theo mọi hướng.

Chúng ta đã viết kết quả dưới dạng trên bởi vì khi đó dễ nhớ: Trước hết, tổng năng lượng bị tán xạ tỉ lệ với bình phương của trường tới. Điều đó nghĩa là gì? Hiển nhiên, bình phương của trường tới tỉ lệ với năng lượng đang đi vào mỗi giây. Thật vậy, năng lượng tới trên mỗi mét vuông mỗi giây là ε₀c nhân trung bình ⟨E²⟩ của bình phương điện trường, và nếu E₀ là giá trị cực đại của E, thì ⟨E²⟩ = ½E₀². Nói cách khác, tổng năng lượng bị tán xạ tỉ lệ với năng lượng trên mỗi mét vuông đi vào; ánh sáng mặt trời chiếu trên bầu trời càng sáng, bầu trời trông sẽ càng sáng.

Tiếp theo, phần nào của ánh sáng tới bị tán xạ? Chúng ta hãy tưởng tượng một “bia” với một diện tích nào đó, giả sử σ, trong chùm tia (không phải một bia thật, bằng vật chất, bởi vì cái này sẽ nhiễu xạ ánh sáng, v.v.; chúng ta muốn nói một diện tích tưởng tượng được vẽ trong không gian). Tổng lượng năng lượng sẽ đi qua mặt σ này trong một hoàn cảnh cho trước tỉ lệ với cả cường độ tới và σ, và tổng công suất sẽ là

P = (½ε₀cE₀²)σ.   (32.18)

Bây giờ chúng ta phát minh một ý tưởng: chúng ta nói rằng nguyên tử tán xạ một tổng lượng cường độ là lượng sẽ rơi lên một diện tích hình học nào đó, và chúng ta đưa ra đáp án bằng cách đưa ra diện tích đó. Đáp án đó, khi đó, độc lập với cường độ tới; nó cho tỉ số của năng lượng bị tán xạ với năng lượng tới trên mỗi mét vuông. Nói cách khác, tỉ số

(tổng năng lượng tán xạ mỗi giây) / (năng lượng tới trên mỗi mét vuông mỗi giây) là một diện tích.

Ý nghĩa của diện tích này là, nếu mọi năng lượng chạm vào diện tích đó bị phun ra theo mọi hướng, thì đó là lượng năng lượng sẽ bị tán xạ bởi nguyên tử.

Diện tích này được gọi là một tiết diện tán xạ; ý tưởng tiết diện được dùng liên tục, mỗi khi một hiện tượng nào đó xảy ra tỉ lệ với cường độ của một chùm tia. Trong các trường hợp như vậy người ta luôn mô tả lượng của hiện tượng bằng cách nói diện tích hiệu dụng sẽ phải là bao nhiêu để thu được chừng đó của chùm tia. Nó không có nghĩa theo bất kỳ cách nào rằng dao động tử này thật sự có một diện tích như vậy. Nếu không có gì hiện diện ngoài một electron tự do lắc lên xuống thì sẽ không có diện tích nào liên kết trực tiếp với nó, về mặt vật lý. Nó chỉ đơn thuần là một cách biểu diễn đáp án cho một loại bài toán nào đó; nó cho chúng ta biết chùm tia tới sẽ phải chạm vào diện tích nào để giải thích cho chừng đó năng lượng đi ra. Vậy, đối với trường hợp của chúng ta,

σ_s = (8πr₀²/3) · [ω⁴/(ω² − ω₀²)²]   (32.19)

(chỉ số dưới s là cho “tán xạ” — scattering).

Chúng ta hãy xem một vài ví dụ. Trước hết, nếu chúng ta đi tới một tần số riêng ω₀ rất thấp, hay tới các electron hoàn toàn không bị liên kết, mà đối với chúng ω₀ = 0, thì tần số ω triệt tiêu và tiết diện là một hằng số. Giới hạn tần số thấp này, hay tiết diện electron tự do, được gọi là tiết diện tán xạ Thomson. Nó là một diện tích mà kích thước của nó xấp xỉ 10⁻¹⁵ mét, ít nhiều, mỗi chiều, tức là 10⁻³⁰ mét vuông, khá là nhỏ!

Mặt khác, nếu chúng ta lấy trường hợp ánh sáng trong không khí, chúng ta nhớ rằng đối với không khí các tần số riêng của các dao động tử cao hơn tần số của ánh sáng chúng ta dùng. Điều này có nghĩa là, theo một xấp xỉ bậc nhất, chúng ta có thể bỏ qua ω² trong mẫu số, và chúng ta tìm được rằng tán xạ tỉ lệ với lũy thừa bốn của tần số. Tức là, ánh sáng có tần số cao hơn, chẳng hạn, một thừa số hai, bị tán xạ mạnh hơn mười sáu lần, một hiệu số khá lớn. Điều này có nghĩa là ánh sáng xanh, có tần số khoảng gấp đôi đầu đỏ của quang phổ, bị tán xạ ở mức độ lớn hơn rất nhiều so với ánh sáng đỏ. Vậy khi chúng ta nhìn bầu trời nó trông có màu xanh huy hoàng mà chúng ta thấy mọi lúc!

Có vài điểm cần nêu về các kết quả trên. Một câu hỏi thú vị là, vì sao chúng ta bao giờ nhìn thấy các đám mây? Các đám mây đến từ đâu? Mọi người đều biết đó là sự ngưng tụ của hơi nước. Nhưng, dĩ nhiên, hơi nước đã ở trong khí quyển trước khi nó ngưng tụ, vậy vì sao chúng ta không nhìn thấy nó khi đó? Sau khi nó ngưng tụ thì nó hoàn toàn hiển nhiên. Nó đã không ở đó, bây giờ nó ở đó. Vậy bí ẩn về các đám mây đến từ đâu không thật sự là một bí ẩn trẻ con như “Nước đến từ đâu, bố ơi?” mà phải được giải thích.

Chúng ta vừa giải thích rằng mọi nguyên tử đều tán xạ ánh sáng, và dĩ nhiên hơi nước cũng sẽ tán xạ ánh sáng. Bí ẩn là vì sao, khi nước ngưng tụ thành mây, nó lại tán xạ một lượng ánh sáng lớn khủng khiếp hơn như vậy?

Hãy xét điều sẽ xảy ra nếu, thay vì một nguyên tử đơn độc, chúng ta có một khối tụ của các nguyên tử, giả sử hai cái, rất gần nhau so với bước sóng của ánh sáng. Hãy nhớ, các nguyên tử chỉ rộng khoảng một angstrom hay cỡ đó, trong khi bước sóng của ánh sáng khoảng 5000 angstrom, cho nên khi chúng tạo thành một cụm, vài nguyên tử với nhau, chúng có thể ở rất gần nhau so với bước sóng của ánh sáng. Khi đó khi điện trường tác dụng, cả hai nguyên tử sẽ chuyển động cùng nhau. Điện trường bị tán xạ khi đó sẽ là tổng của hai điện trường cùng pha, tức là gấp đôi biên độ đã có với một nguyên tử đơn độc, và năng lượng bị tán xạ do đó gấp bốn lần so với một nguyên tử đơn độc, không phải hai lần!

Vậy các cụm nguyên tử bức xạ hay tán xạ nhiều năng lượng hơn so với khi chúng là các nguyên tử đơn độc. Lập luận của chúng ta rằng các pha là độc lập dựa trên giả định rằng có một hiệu số pha thật và lớn giữa hai nguyên tử bất kỳ, điều chỉ đúng nếu chúng cách nhau vài bước sóng và có khoảng cách ngẫu nhiên, hay đang chuyển động. Nhưng nếu chúng ở ngay cạnh nhau, chúng nhất thiết tán xạ cùng pha, và chúng có một giao thoa kết hợp làm tăng sự tán xạ.

Nếu chúng ta có N nguyên tử trong một cụm, là một giọt nước nhỏ xíu, thì mỗi nguyên tử sẽ bị thúc đẩy bởi điện trường khoảng cùng một cách như trước (hiệu ứng của một nguyên tử lên nguyên tử khác không quan trọng; dù sao nó cũng chỉ là để nắm ý tưởng) và biên độ tán xạ từ mỗi nguyên tử là như nhau, cho nên tổng trường bị tán xạ tăng lên N lần. Cường độ của ánh sáng bị tán xạ khi đó là bình phương, hay tăng lên N² lần. Chúng ta sẽ kỳ vọng, nếu các nguyên tử trải ra trong không gian, chỉ N lần so với 1, trong khi chúng ta được N² lần so với 1! Tức là, sự tán xạ của nước trong các cụm mỗi cụm N phân tử mạnh hơn N lần so với sự tán xạ của các nguyên tử đơn độc. Vậy khi nước tụ lại, sự tán xạ tăng lên. Nó có tăng đến vô cùng không? Không! Khi nào phân tích này bắt đầu sụp đổ? Chúng ta có thể đặt bao nhiêu nguyên tử lại với nhau trước khi chúng ta không thể đẩy lập luận này xa hơn nữa? Đáp án: Nếu giọt nước lớn đến mức từ đầu này tới đầu kia là khoảng một bước sóng, thì các nguyên tử không còn đều cùng pha nữa bởi vì chúng quá xa nhau. Vậy khi chúng ta tiếp tục tăng kích thước của các giọt, chúng ta được càng ngày càng nhiều tán xạ, cho đến một lúc khi một giọt đạt khoảng kích thước của một bước sóng, và khi đó sự tán xạ không tăng nhanh gần bằng giọt trở nên lớn hơn nữa. Hơn nữa, màu xanh biến mất, bởi vì đối với các bước sóng dài các giọt có thể lớn hơn, trước khi giới hạn này đạt tới, so với chúng có thể đối với các bước sóng ngắn. Mặc dù các sóng ngắn tán xạ trên mỗi nguyên tử nhiều hơn các sóng dài, có một sự tăng cường lớn hơn cho đầu đỏ của quang phổ so với đầu xanh khi mọi giọt đều lớn hơn bước sóng, cho nên màu bị dịch chuyển từ xanh về phía đỏ.

Bây giờ chúng ta có thể làm một thí nghiệm chứng minh điều này. Chúng ta có thể làm các hạt lúc đầu rất nhỏ, và rồi dần dần lớn lên theo kích thước. Chúng ta dùng một dung dịch natri thiosunfat (hypo) với axit sunfuric, chất này kết tủa các hạt lưu huỳnh rất mịn. Khi lưu huỳnh kết tủa, các hạt đầu tiên bắt đầu rất nhỏ, và sự tán xạ hơi xanh. Khi nó kết tủa nhiều hơn nó trở nên mạnh hơn, và rồi nó sẽ trở nên trắng đục khi các hạt lớn hơn. Ngoài ra, ánh sáng đi thẳng qua sẽ bị lấy mất màu xanh. Đó là lý do vì sao hoàng hôn có màu đỏ, dĩ nhiên, bởi vì ánh sáng đi qua rất nhiều không khí, tới mắt, đã bị tán xạ mất rất nhiều ánh sáng xanh, cho nên nó vàng-đỏ.

Cuối cùng, còn một đặc điểm quan trọng nữa thật sự thuộc về chương tiếp theo, về sự phân cực, nhưng nó thú vị đến mức chúng ta chỉ ra nó ngay bây giờ. Đó là điện trường của ánh sáng tán xạ có xu hướng dao động theo một hướng đặc biệt. Điện trường trong ánh sáng tới đang dao động theo một cách nào đó, và dao động tử bị thúc đẩy đi theo cùng hướng này, và nếu chúng ta ở vị trí khoảng vuông góc với chùm tia, chúng ta sẽ thấy ánh sáng phân cực, tức là ánh sáng trong đó điện trường chỉ đi theo một chiều. Nói chung, các nguyên tử có thể dao động theo bất kỳ hướng nào vuông góc với chùm tia, nhưng nếu chúng bị thúc đẩy trực tiếp về phía chúng ta hay ra xa chúng ta, chúng ta không thấy nó. Vậy nếu ánh sáng tới có một điện trường thay đổi và dao động theo bất kỳ hướng nào, điều chúng ta gọi là ánh sáng không phân cực, thì ánh sáng đi ra ở 90° so với chùm tia chỉ dao động theo một hướng! (Xem Hình 32–3.)

Có một chất gọi là polaroid có tính chất là khi ánh sáng đi qua nó, chỉ phần của điện trường dọc theo một trục đặc biệt nào đó có thể đi qua. Chúng ta có thể dùng cái này để kiểm tra sự phân cực, và thật vậy chúng ta thấy ánh sáng bị tán xạ bởi dung dịch hypo bị phân cực mạnh.