Chương 38: Mối quan hệ giữa quan điểm sóng và quan điểm hạt

38–1  Biên độ sóng xác suất

Trong chương này, chúng ta sẽ thảo luận mối quan hệ giữa quan điểm sóng và quan điểm hạt. Từ chương trước, chúng ta đã biết rằng cả quan điểm sóng lẫn quan điểm hạt đều không đúng. Thông thường, chúng ta đã cố trình bày mọi thứ một cách chính xác, hoặc ít nhất cũng đủ chính xác để chúng sẽ không phải thay đổi khi chúng ta biết thêm — chúng có thể được mở rộng, nhưng sẽ không bị thay đổi! Nhưng khi chúng ta cố nói về bức tranh sóng hay bức tranh hạt, cả hai đều chỉ là gần đúng, và cả hai đều sẽ thay đổi. Do đó, những gì chúng ta học trong chương này sẽ không chính xác theo một ý nghĩa nào đó; đó là một kiểu lập luận nửa trực giác sẽ được làm cho chính xác hơn về sau, nhưng một số điều sẽ bị thay đổi đôi chút khi chúng ta diễn giải chúng một cách đúng đắn trong cơ học lượng tử. Dĩ nhiên, lý do để làm một việc như vậy là chúng ta sẽ không đi thẳng vào cơ học lượng tử, mà muốn có ít nhất một ý niệm nào đó về các loại hiệu ứng mà chúng ta sẽ gặp. Hơn nữa, mọi kinh nghiệm của chúng ta đều là với sóng và với hạt, vì vậy dùng các ý tưởng sóng và hạt để hiểu phần nào những gì xảy ra trong các hoàn cảnh cho trước, trước khi biết toán học hoàn chỉnh của các biên độ cơ học lượng tử, là khá tiện lợi. Trên đường đi, chúng ta sẽ cố chỉ ra những chỗ yếu nhất, nhưng phần lớn trong đó là rất gần đúng — vấn đề chỉ là ở cách diễn giải.

Trước hết, chúng ta biết rằng cách mới để biểu diễn thế giới trong cơ học lượng tử — cái khung mới — là đưa ra một biên độ cho mọi sự kiện có thể xảy ra, và nếu sự kiện liên quan đến việc thu nhận một hạt thì chúng ta có thể đưa ra biên độ để tìm thấy hạt đó ở các nơi khác nhau và vào các thời điểm khác nhau. Xác suất tìm thấy hạt khi đó tỉ lệ với bình phương tuyệt đối của biên độ. Nói chung, biên độ để tìm thấy một hạt ở các nơi khác nhau vào các thời điểm khác nhau biến thiên theo vị trí và thời gian.

Trong một trường hợp đặc biệt, biên độ biến thiên theo hình sin trong không gian và thời gian như e^{i(ωt − k·r)} (đừng quên rằng các biên độ này là các số phức, không phải số thực) và bao hàm một tần số xác định ω và một số sóng k. Khi đó hóa ra trường hợp này tương ứng với một tình huống giới hạn cổ điển trong đó chúng ta hẳn đã tin rằng mình có một hạt mà năng lượng E của nó đã biết và liên hệ với tần số bởi

E = ħω,   (38.1)

và động lượng p của nó cũng đã biết và liên hệ với số sóng bởi

p = ħk.   (38.2)

Điều này có nghĩa là ý tưởng về một hạt bị giới hạn. Ý tưởng về một hạt — vị trí của nó, động lượng của nó, v.v. — mà chúng ta dùng rất nhiều, theo một số cách là không thỏa đáng. Chẳng hạn, nếu một biên độ để tìm thấy một hạt ở các nơi khác nhau được cho bởi e^{i(ωt − k·r)}, mà bình phương tuyệt đối của nó là một hằng số, thì điều đó có nghĩa là xác suất tìm thấy một hạt là như nhau tại mọi điểm. Điều đó có nghĩa là chúng ta không biết nó ở đâu — nó có thể ở bất cứ đâu — có một độ bất định lớn trong vị trí của nó.

Mặt khác, nếu vị trí của một hạt được biết ít nhiều rõ ràng và chúng ta có thể dự đoán nó khá chính xác, thì xác suất tìm thấy nó ở các nơi khác nhau phải bị giới hạn trong một vùng nhất định, mà độ dài của vùng đó chúng ta gọi là Δx. Bên ngoài vùng này, xác suất bằng không. Nay xác suất này là bình phương tuyệt đối của một biên độ, và nếu bình phương tuyệt đối bằng không thì biên độ cũng bằng không, thành ra chúng ta có một đoàn sóng mà độ dài của nó là Δx (Hình 38–1), và bước sóng (khoảng cách giữa các nút của các sóng trong đoàn sóng) của đoàn sóng đó là cái tương ứng với động lượng của hạt.

Ở đây chúng ta gặp một điều lạ về sóng; một điều rất đơn giản, hoàn toàn không liên quan chặt chẽ đến cơ học lượng tử. Đó là điều mà bất kỳ ai làm việc với sóng, dù không biết gì về cơ học lượng tử, cũng biết: cụ thể là, chúng ta không thể định nghĩa một bước sóng duy nhất cho một đoàn sóng ngắn. Một đoàn sóng như vậy không có một bước sóng xác định; có một độ không xác định trong số sóng liên quan đến độ dài hữu hạn của đoàn sóng, và do đó có một độ không xác định trong động lượng.

38–2  Đo vị trí và động lượng

Hãy xét hai ví dụ của ý tưởng này — để thấy lý do vì sao có một độ bất định trong vị trí và/hoặc động lượng, nếu cơ học lượng tử là đúng. Chúng ta cũng đã thấy trước đây rằng nếu không có một điều như vậy — nếu có thể đo vị trí và động lượng của bất kỳ vật gì đồng thời — chúng ta sẽ gặp một nghịch lý; thật may là chúng ta không có một nghịch lý như vậy, và việc một độ bất định như vậy nảy sinh một cách tự nhiên từ bức tranh sóng cho thấy mọi thứ đều nhất quán lẫn nhau.

Đây là một ví dụ cho thấy mối quan hệ giữa vị trí và động lượng trong một hoàn cảnh dễ hiểu. Giả sử chúng ta có một khe duy nhất, và các hạt đến từ rất xa với một năng lượng nào đó — sao cho tất cả chúng về cơ bản đều đến theo chiều ngang (Hình 38–2). Chúng ta sẽ tập trung vào các thành phần thẳng đứng của động lượng. Mọi hạt này đều có một động lượng ngang nào đó, chẳng hạn p₀, theo nghĩa cổ điển. Vậy, theo nghĩa cổ điển, động lượng thẳng đứng p_y, trước khi hạt đi qua lỗ, được biết chắc chắn. Hạt không chuyển động lên cũng không chuyển động xuống, vì nó đến từ một nguồn ở rất xa — và như vậy động lượng thẳng đứng dĩ nhiên bằng không. Nhưng bây giờ giả sử nó đi qua một lỗ có bề rộng là B. Khi đó, sau khi nó đã đi ra qua lỗ, chúng ta biết vị trí theo chiều thẳng đứng — vị trí y — với độ chính xác đáng kể — cụ thể là ±B.¹ Tức là, độ bất định trong vị trí, Δy, có cỡ B. Bây giờ chúng ta cũng có thể muốn nói rằng, vì chúng ta biết động lượng là hoàn toàn nằm ngang, nên Δp_y bằng không; nhưng điều đó là sai. Chúng ta đã từng biết động lượng là nằm ngang, nhưng chúng ta không còn biết nữa. Trước khi các hạt đi qua lỗ, chúng ta không biết vị trí thẳng đứng của chúng. Nay khi chúng ta đã tìm được vị trí thẳng đứng bằng cách cho hạt đi qua lỗ, chúng ta đã đánh mất thông tin về động lượng thẳng đứng của mình! Vì sao? Theo lý thuyết sóng, có một sự trải rộng ra, hay nhiễu xạ, của sóng sau khi chúng đi qua khe, đúng như với ánh sáng. Vì vậy có một xác suất nào đó để các hạt đi ra khỏi khe không đi đúng thẳng. Hình nhiễu xạ bị trải rộng bởi hiệu ứng nhiễu xạ, và góc trải rộng, mà chúng ta có thể định nghĩa là góc của cực tiểu đầu tiên, là một thước đo của độ bất định trong góc cuối cùng.

Làm thế nào mà hình nhiễu xạ lại trải rộng ra? Nói rằng nó trải rộng có nghĩa là có một khả năng nào đó để hạt chuyển động lên hoặc xuống, tức là có một thành phần động lượng hướng lên hoặc hướng xuống. Chúng ta nói khả năng và hạt bởi vì chúng ta có thể phát hiện hình nhiễu xạ này bằng một máy đếm hạt, và khi máy đếm nhận được hạt, chẳng hạn tại C trong Hình 38–2, nó nhận được toàn bộ hạt, thành ra, theo nghĩa cổ điển, hạt có một động lượng thẳng đứng, để đi được từ khe lên tới C.

Để có một ý niệm sơ bộ về độ trải rộng của động lượng, động lượng thẳng đứng p_y có một độ trải rộng bằng p₀ Δθ, trong đó p₀ là động lượng ngang. Và Δθ trong hình trải rộng lớn cỡ nào? Chúng ta biết rằng cực tiểu đầu tiên xuất hiện tại một góc Δθ sao cho các sóng từ một mép của khe phải đi xa hơn các sóng từ phía bên kia một bước sóng — chúng ta đã tính điều đó trước đây (Chương 30). Vì vậy Δθ là λ/B, và như thế Δp_y trong thí nghiệm này là p₀λ/B. Lưu ý rằng nếu chúng ta làm B nhỏ hơn và đo vị trí của hạt chính xác hơn, hình nhiễu xạ sẽ rộng hơn. Hãy nhớ, khi chúng ta khép các khe lại trong thí nghiệm với vi sóng, chúng ta có cường độ lớn hơn ở phía ngoài xa. Vậy khe càng hẹp, hình nhiễu xạ càng rộng, và khả năng chúng ta tìm thấy hạt có động lượng sang ngang càng lớn. Do đó độ bất định trong động lượng thẳng đứng tỉ lệ nghịch với độ bất định của y. Thật vậy, chúng ta thấy rằng tích của hai độ bất định bằng p₀λ. Nhưng λ là bước sóng và p₀ là động lượng, và theo cơ học lượng tử, bước sóng nhân với động lượng là hằng số Planck h. Vậy chúng ta thu được quy tắc rằng các độ bất định trong động lượng thẳng đứng và trong vị trí thẳng đứng có tích có cỡ h:

Δy Δp_y ≥ ħ/2.   (38.3)

Chúng ta không thể chuẩn bị một hệ trong đó chúng ta biết vị trí thẳng đứng của một hạt và có thể dự đoán nó sẽ chuyển động theo chiều thẳng đứng như thế nào với độ chắc chắn lớn hơn độ chắc chắn cho bởi (38.3). Tức là, độ bất định trong động lượng thẳng đứng phải vượt quá ħ/2Δy, trong đó Δy là độ bất định trong sự hiểu biết của chúng ta về vị trí.

Đôi khi người ta nói cơ học lượng tử hoàn toàn sai. Khi hạt đến từ phía trái, động lượng thẳng đứng của nó bằng không. Và bây giờ khi nó đã đi qua khe, vị trí của nó đã biết. Cả vị trí lẫn động lượng dường như đều được biết với độ chính xác tùy ý. Đúng là chúng ta có thể thu nhận một hạt, và khi thu nhận, xác định vị trí của nó là gì và động lượng của nó hẳn đã phải là bao nhiêu để nó đến được đó. Điều đó đúng, nhưng đó không phải là điều mà hệ thức bất định (38.3) nói tới. Phương trình (38.3) nói tới khả năng dự đoán của một tình huống, chứ không phải những nhận xét về quá khứ. Nói rằng “tôi đã biết động lượng là bao nhiêu trước khi nó đi qua khe, và bây giờ tôi biết vị trí” thì chẳng ích gì, bởi vì bây giờ tri thức về động lượng đã mất. Việc nó đã đi qua khe không còn cho phép chúng ta dự đoán động lượng thẳng đứng nữa. Chúng ta đang nói về một lý thuyết dự đoán, chứ không chỉ là các phép đo sau khi sự việc đã xảy ra. Vậy chúng ta phải nói về những gì chúng ta có thể dự đoán.

Bây giờ hãy xét vấn đề theo chiều ngược lại. Hãy lấy một ví dụ khác của cùng hiện tượng, hơi định lượng hơn một chút. Trong ví dụ trước, chúng ta đo động lượng bằng một phương pháp cổ điển. Cụ thể, chúng ta xét hướng, vận tốc, các góc, v.v., thành ra chúng ta thu được động lượng bằng phân tích cổ điển. Nhưng vì động lượng liên hệ với số sóng, trong tự nhiên còn tồn tại một cách khác nữa để đo động lượng của một hạt — photon hay thứ gì khác — cách này không có tương tự cổ điển, bởi vì nó dùng Phương trình (38.2). Chúng ta đo bước sóng của sóng. Hãy thử đo động lượng theo cách này.

Giả sử chúng ta có một cách tử với một số lượng lớn các vạch (Hình 38–3), và gửi một chùm hạt vào cách tử. Chúng ta đã thảo luận bài toán này nhiều lần: nếu các hạt có một động lượng xác định, thì chúng ta thu được một hình rất sắc nét theo một hướng nào đó, vì sự giao thoa. Và chúng ta cũng đã nói về việc chúng ta có thể xác định động lượng đó chính xác đến mức nào, tức là, năng suất phân giải của một cách tử như vậy là bao nhiêu. Thay vì suy ra lại, chúng ta dẫn về Chương 30, trong đó chúng ta đã tìm thấy rằng độ bất định tương đối trong bước sóng có thể đo được bằng một cách tử cho trước là 1/Nm, trong đó N là số vạch trên cách tử và m là bậc của hình nhiễu xạ. Tức là,

Δλ/λ = 1/Nm.   (38.4)

Bây giờ công thức (38.4) có thể được viết lại thành

Δλ/λ² = 1/Nmλ = 1/L,   (38.5)

trong đó L là khoảng cách được chỉ ra trong Hình 38–3. Khoảng cách này là hiệu giữa tổng quãng đường mà hạt hay sóng hay bất cứ thứ gì phải đi nếu nó phản xạ từ đáy của cách tử, và quãng đường mà nó phải đi nếu nó phản xạ từ đỉnh của cách tử. Tức là, các sóng tạo thành hình nhiễu xạ là các sóng đến từ các phần khác nhau của cách tử. Những sóng đến đầu tiên đến từ đầu dưới của cách tử, từ đầu của đoàn sóng, và phần còn lại đến từ các phần muộn hơn của đoàn sóng, đến từ các phần khác nhau của cách tử, cho đến khi sóng cuối cùng tới, và sóng đó liên quan đến một điểm trong đoàn sóng cách điểm đầu tiên một khoảng L. Vậy để chúng ta có một vạch sắc nét trong quang phổ của mình tương ứng với một động lượng xác định, với một độ bất định cho bởi (38.4), chúng ta phải có một đoàn sóng dài ít nhất là L. Nếu đoàn sóng quá ngắn, chúng ta không dùng toàn bộ cách tử. Các sóng tạo thành quang phổ đang được phản xạ chỉ từ một đoạn rất ngắn của cách tử nếu đoàn sóng quá ngắn, và cách tử sẽ không hoạt động đúng — chúng ta sẽ thấy một độ trải rộng góc lớn. Để thu được độ trải rộng hẹp hơn, chúng ta cần dùng toàn bộ cách tử, sao cho ít nhất tại một thời điểm nào đó toàn bộ đoàn sóng đang tán xạ đồng thời từ mọi phần của cách tử. Do đó đoàn sóng phải có độ dài L để có một độ bất định trong bước sóng nhỏ hơn độ bất định cho bởi (38.5). Nhân thể,

Δλ/λ² = Δ(1/λ) = Δk/2π.   (38.6)

Vì vậy

Δk = 2π/L,   (38.7)

trong đó L là độ dài của đoàn sóng.

Điều này có nghĩa là nếu chúng ta có một đoàn sóng mà độ dài của nó nhỏ hơn L, độ bất định trong số sóng phải vượt quá 2π/L. Hay độ bất định trong số sóng nhân với độ dài của đoàn sóng — chúng ta sẽ tạm gọi độ dài đó là Δx — vượt quá 2π. Chúng ta gọi nó là Δx bởi vì đó là độ bất định trong vị trí của hạt. Nếu đoàn sóng chỉ tồn tại trong một độ dài hữu hạn, thì đó là nơi chúng ta có thể tìm thấy hạt, trong một độ bất định Δx. Nay tính chất này của sóng, rằng độ dài của đoàn sóng nhân với độ bất định của số sóng gắn với nó ít nhất là 2π, là một tính chất mà mọi người nghiên cứu sóng đều biết. Nó hoàn toàn không liên quan đến cơ học lượng tử. Đơn giản là nếu chúng ta có một đoàn sóng hữu hạn, chúng ta không thể đếm các sóng trong nó thật chính xác. Hãy thử một cách khác để thấy lý do của điều đó.

Giả sử chúng ta có một đoàn sóng hữu hạn có độ dài L; khi đó, vì cách nó phải giảm dần ở hai đầu, như trong Hình 38–1, số sóng trong độ dài L là không chắc chắn với một lượng cỡ ±1. Nhưng số sóng trong L là kL/2π. Do đó k là không chắc chắn, và chúng ta lại thu được kết quả (38.7), một tính chất thuần túy của sóng. Điều tương tự cũng đúng dù sóng ở trong không gian và k là số radian trên mỗi centimet và L là độ dài của đoàn sóng, hay sóng ở trong thời gian và ω là số radian trên mỗi giây và T là “độ dài” theo thời gian mà đoàn sóng kéo đến. Tức là, nếu chúng ta có một đoàn sóng chỉ kéo dài trong một thời gian hữu hạn nào đó T, thì độ bất định trong tần số được cho bởi

Δω = 2π/T.   (38.8)

Chúng ta đã cố nhấn mạnh rằng đây là các tính chất của sóng mà thôi, và chúng được biết rõ, chẳng hạn, trong lý thuyết âm học.

Vấn đề là trong cơ học lượng tử, chúng ta diễn giải số sóng như là một thước đo của động lượng của một hạt, với quy tắc p = ħk, thành ra hệ thức (38.7) cho chúng ta biết rằng Δp ≈ h/Δx. Đây, do đó, là một giới hạn của ý tưởng cổ điển về động lượng. (Dĩ nhiên, nó phải bị giới hạn theo một số cách nào đó nếu chúng ta sẽ biểu diễn các hạt bằng sóng!) Thật tốt là chúng ta đã tìm được một quy tắc cho chúng ta một ý niệm nào đó về khi nào các ý tưởng cổ điển bị phá vỡ.

38–3  Nhiễu xạ bởi tinh thể

Tiếp theo, hãy xét sự phản xạ của sóng hạt từ một tinh thể. Một tinh thể là một vật dày có chứa rất nhiều nguyên tử giống nhau — chúng ta sẽ đưa vào một số phức tạp sau — trong một mảng đều đặn đẹp. Câu hỏi là làm thế nào sắp xếp mảng sao cho chúng ta thu được một cực đại phản xạ mạnh theo một hướng cho trước đối với một chùm cho trước, chẳng hạn ánh sáng (tia X), electron, neutron, hay bất cứ thứ gì khác. Để thu được một phản xạ mạnh, sự tán xạ từ mọi nguyên tử phải cùng pha. Không thể có số lượng bằng nhau cùng pha và lệch pha, nếu không các sóng sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Cách sắp xếp mọi thứ là tìm các vùng có pha không đổi, như chúng ta đã giải thích; chúng là các mặt phẳng tạo các góc bằng nhau với hướng ban đầu và hướng cuối cùng (Hình 38–4).

Nếu chúng ta xét hai mặt phẳng song song, như trong Hình 38–4, các sóng tán xạ từ hai mặt phẳng sẽ cùng pha với điều kiện hiệu quãng đường mà một mặt sóng phải đi là một số nguyên lần bước sóng. Hiệu này có thể thấy là 2d sin θ, trong đó d là khoảng cách vuông góc giữa các mặt phẳng. Do đó điều kiện cho phản xạ kết hợp là

2d sin θ = nλ   (n = 1, 2, …).   (38.9)

Nếu, chẳng hạn, tinh thể có cấu trúc sao cho các nguyên tử tình cờ nằm trên các mặt phẳng thỏa mãn điều kiện (38.9) với n = 1, thì sẽ có một phản xạ mạnh. Mặt khác, nếu có các nguyên tử khác cùng bản chất (mật độ bằng nhau) nằm ở giữa chừng, thì các mặt phẳng trung gian cũng sẽ tán xạ mạnh ngang như vậy và sẽ giao thoa với các mặt phẳng còn lại và không tạo ra hiệu ứng nào. Vậy d trong (38.9) phải là khoảng cách giữa các mặt phẳng kề nhau; chúng ta không thể lấy một mặt phẳng lùi xa hơn năm lớp và dùng công thức này!

Nhân thể, điều thú vị là các tinh thể thật thường không đơn giản như một loại nguyên tử duy nhất được lặp lại theo một cách nào đó. Thay vào đó, nếu chúng ta làm một tương tự hai chiều, chúng rất giống giấy dán tường, trong đó có một hình nào đó lặp lại khắp tờ giấy. Với từ “hình”, chúng ta muốn nói, trong trường hợp các nguyên tử, một sắp xếp nào đó — một canxi và một carbon và ba oxy, v.v., đối với canxi carbonat, và cứ thế — có thể bao gồm một số lượng nguyên tử tương đối lớn. Nhưng dù nó là gì, hình đó được lặp lại theo một mẫu. Hình cơ bản này được gọi là một ô đơn vị (unit cell).

Mẫu lặp lại cơ bản định nghĩa cái chúng ta gọi là kiểu mạng; kiểu mạng có thể được xác định ngay lập tức bằng cách nhìn vào các phản xạ và thấy tính đối xứng của chúng là gì. Nói cách khác, việc chúng ta tìm thấy phản xạ ở đâu chăng nữa xác định kiểu mạng, nhưng để xác định cái gì nằm trong mỗi phần tử của mạng, người ta phải tính đến cường độ của sự tán xạ tại các hướng khác nhau. Những hướng nào tán xạ phụ thuộc vào kiểu mạng, nhưng mỗi hướng tán xạ mạnh đến mức nào được xác định bởi cái gì nằm bên trong mỗi ô đơn vị, và bằng cách đó cấu trúc của các tinh thể được tìm ra.

Hai ảnh chụp các hình nhiễu xạ tia X được cho trong các Hình 38–5 và 38–6; chúng minh họa sự tán xạ từ muối đá và từ myoglobin, tương ứng.

Nhân thể, một điều thú vị xảy ra nếu khoảng cách giữa các mặt phẳng gần nhất nhỏ hơn λ/2. Trong trường hợp này (38.9) không có nghiệm cho n. Vậy nếu λ lớn hơn hai lần khoảng cách giữa các mặt phẳng kề nhau thì không có hình nhiễu xạ sang bên, và ánh sáng — hay bất cứ thứ gì — sẽ đi thẳng qua vật liệu mà không bị dội lại hay bị mất đi. Vì vậy trong trường hợp ánh sáng, trong đó λ lớn hơn nhiều so với khoảng cách đó, dĩ nhiên nó đi qua và không có hình phản xạ từ các mặt phẳng của tinh thể.

Sự kiện này cũng có một hệ quả thú vị trong trường hợp các lò sản xuất neutron (đây hiển nhiên là các hạt, đối với bất kỳ ai đi nữa!). Nếu chúng ta lấy các neutron này và cho chúng đi vào một khối graphite dài, các neutron khuếch tán và tìm đường đi dọc theo khối (Hình 38–7). Chúng khuếch tán vì chúng bị các nguyên tử làm dội lại, nhưng nói chặt chẽ, trong lý thuyết sóng, chúng bị các nguyên tử làm dội lại vì sự nhiễu xạ từ các mặt phẳng tinh thể. Hóa ra nếu chúng ta lấy một miếng graphite rất dài, các neutron đi ra ở đầu xa đều có bước sóng dài! Thật vậy, nếu người ta vẽ cường độ theo bước sóng, chúng ta không thu được gì ngoại trừ các bước sóng dài hơn một cực tiểu nào đó (Hình 38–8). Nói cách khác, chúng ta có thể thu được các neutron rất chậm theo cách đó. Chỉ các neutron chậm nhất mới đi qua được; chúng không bị nhiễu xạ hay tán xạ bởi các mặt phẳng tinh thể của graphite, mà cứ đi thẳng qua như ánh sáng qua thủy tinh, và không bị tán xạ ra các phía. Có nhiều minh chứng khác về thực tại của sóng neutron và sóng của các hạt khác.

38–4  Kích thước của một nguyên tử

Bây giờ chúng ta xét một ứng dụng khác của hệ thức bất định, Phương trình (38.3). Không nên coi nó quá nghiêm trọng; ý tưởng là đúng nhưng phân tích không thật chính xác. Ý tưởng liên quan đến việc xác định kích thước của các nguyên tử, và sự kiện là, theo cổ điển, các electron sẽ bức xạ ánh sáng và xoáy dần vào trong cho đến khi chúng lắng xuống ngay trên đỉnh hạt nhân. Nhưng điều đó không thể đúng theo cơ học lượng tử, bởi vì khi đó chúng ta sẽ biết mỗi electron ở đâu và nó đang chuyển động nhanh như thế nào.

Giả sử chúng ta có một nguyên tử hydro, và đo vị trí của electron; chúng ta không được có khả năng dự đoán chính xác electron sẽ ở đâu, nếu không độ trải rộng động lượng khi đó sẽ hóa ra là vô hạn. Mỗi lần chúng ta nhìn vào electron, nó ở một nơi nào đó, nhưng nó có một biên độ để ở các nơi khác nhau, thành ra có một xác suất để nó được tìm thấy ở các nơi khác nhau. Các nơi này không thể tất cả đều ở tại hạt nhân; chúng ta sẽ giả sử có một độ trải rộng trong vị trí cỡ a. Tức là, khoảng cách của electron tới hạt nhân thường vào khoảng a. Chúng ta sẽ xác định a bằng cách cực tiểu hóa tổng năng lượng của nguyên tử.

Độ trải rộng trong động lượng vào khoảng ħ/a vì hệ thức bất định, thành ra nếu chúng ta thử đo động lượng của electron bằng một cách nào đó, chẳng hạn bằng cách tán xạ tia X khỏi nó và tìm hiệu ứng Doppler từ một vật tán xạ đang chuyển động, chúng ta sẽ kỳ vọng không thu được không (zero) trong mọi lần — electron không đứng yên — mà các động lượng phải có cỡ p ≈ ħ/a. Khi đó động năng vào khoảng ½mv² = p²/2m = ħ²/2ma². (Theo một ý nghĩa nào đó, đây là một kiểu phân tích thứ nguyên để tìm ra động năng phụ thuộc như thế nào vào hằng số Planck rút gọn, vào m, và vào kích thước của nguyên tử. Chúng ta không cần tin đáp án của mình trong phạm vi các thừa số như 2, π, v.v. Chúng ta thậm chí còn chưa định nghĩa a thật chính xác.) Nay thế năng là trừ e² chia cho khoảng cách tới tâm, chẳng hạn −e²/a, trong đó, chúng ta nhớ rằng, e² là điện tích của một electron bình phương, chia cho 4πε₀. Nay vấn đề là thế năng giảm nếu a nhỏ hơn, nhưng a càng nhỏ, động lượng đòi hỏi càng cao, vì nguyên lý bất định, và do đó động năng càng cao. Tổng năng lượng là

E = ħ²/2ma² − e²/a.   (38.10)

Chúng ta không biết a là gì, nhưng chúng ta biết rằng nguyên tử sẽ tự sắp xếp để tạo ra một thỏa hiệp nào đó sao cho năng lượng là nhỏ nhất có thể. Để cực tiểu hóa E, chúng ta lấy đạo hàm theo a, đặt đạo hàm bằng không, và giải tìm a. Đạo hàm của E là

dE/da = −ħ²/ma³ + e²/a²,   (38.11)

và đặt dE/da = 0 cho ra đối với a giá trị

a₀ = ħ²/me² = 0,529 angstrom = 0,529 × 10⁻¹⁰ mét.   (38.12)

Khoảng cách cụ thể này được gọi là bán kính Bohr, và như vậy chúng ta đã biết được rằng các kích thước nguyên tử có cỡ angstrom, điều này là đúng: Điều này khá tốt — thật ra, nó thật đáng kinh ngạc, vì cho đến nay chúng ta chưa hề có cơ sở nào để hiểu kích thước của các nguyên tử! Các nguyên tử là hoàn toàn không thể có được theo quan điểm cổ điển, vì các electron sẽ xoáy vào trong hạt nhân.

Bây giờ nếu chúng ta đặt giá trị (38.12) của a₀ vào (38.10) để tìm năng lượng, nó cho ra

E₀ = −e²/2a₀ = −me⁴/2ħ² = −13,6 eV.   (38.13)

Năng lượng âm có nghĩa là gì? Nó có nghĩa là electron có ít năng lượng hơn khi nó ở trong nguyên tử so với khi nó tự do. Nó có nghĩa là nó bị liên kết. Nó có nghĩa là cần năng lượng để đá electron ra ngoài; cần một năng lượng cỡ 13,6 eV để ion hóa một nguyên tử hydro. Chúng ta không có lý do gì để nghĩ rằng nó không phải là hai hay ba lần con số này — hay một nửa con số này — hay (1/π) lần con số này, bởi vì chúng ta đã dùng một lập luận rất cẩu thả. Tuy nhiên, chúng ta đã gian lận, chúng ta đã dùng mọi hằng số theo một cách sao cho nó tình cờ cho ra đúng con số! Con số này, 13,6 electron volt, được gọi là một Rydberg năng lượng; nó là năng lượng ion hóa của hydro.

Vậy bây giờ chúng ta hiểu vì sao chúng ta không rơi xuyên qua sàn. Khi chúng ta đi, đôi giày của chúng ta với khối lượng nguyên tử của chúng đẩy vào sàn với khối lượng nguyên tử của nó. Để ép các nguyên tử lại gần nhau hơn, các electron sẽ bị giam vào một không gian nhỏ hơn và, theo nguyên lý bất định, động lượng của chúng trung bình sẽ phải cao hơn, và điều đó có nghĩa là năng lượng cao; sức cản đối với sự nén nguyên tử là một hiệu ứng cơ học lượng tử chứ không phải một hiệu ứng cổ điển. Theo cổ điển, chúng ta sẽ kỳ vọng rằng nếu chúng ta kéo mọi electron và proton lại gần nhau hơn, năng lượng sẽ còn giảm nữa, và cách sắp xếp tốt nhất của các điện tích dương và âm trong vật lý cổ điển là tất cả chồng lên nhau. Điều này đã được biết rõ trong vật lý cổ điển và đã là một điều khó hiểu vì sự tồn tại của nguyên tử. Dĩ nhiên, các nhà khoa học thời đầu đã nghĩ ra một số cách thoát khỏi rắc rối — nhưng mặc kệ, bây giờ chúng ta đã có cách thoát đúng! (Có lẽ vậy.)

Nhân thể, mặc dù hiện tại chúng ta không có lý do gì để hiểu điều đó, trong một tình huống có nhiều electron, hóa ra chúng cố tránh xa nhau. Nếu một electron đang chiếm một không gian nào đó, thì một electron khác không chiếm cùng không gian đó. Chính xác hơn, có hai trường hợp spin, thành ra hai electron có thể ngồi chồng lên nhau, một cái quay theo một chiều và cái kia theo chiều ngược lại. Nhưng sau đó chúng ta không thể đặt thêm electron nào nữa ở đó. Chúng ta phải đặt các electron khác ở một nơi khác, và đó là lý do thật sự khiến vật chất có độ cứng. Nếu chúng ta có thể đặt mọi electron vào cùng một nơi, nó sẽ còn ngưng tụ hơn nữa. Chính sự kiện các electron không thể tất cả chồng lên nhau khiến cho bàn và mọi thứ khác trở nên rắn chắc.

Hiển nhiên, để hiểu các tính chất của vật chất, chúng ta sẽ phải dùng cơ học lượng tử và không bằng lòng với cơ học cổ điển.

38–5  Các mức năng lượng

Chúng ta đã nói về nguyên tử ở điều kiện năng lượng thấp nhất có thể của nó, nhưng hóa ra electron còn có thể làm những việc khác. Nó có thể lúc lắc và ngọ nguậy theo một cách nhiều năng lượng hơn, và như vậy có nhiều chuyển động khả dĩ khác nhau cho nguyên tử. Theo cơ học lượng tử, trong một điều kiện dừng, một nguyên tử chỉ có thể có các năng lượng xác định. Chúng ta làm một giản đồ (Hình 38–9) trong đó chúng ta vẽ năng lượng theo chiều dọc, và chúng ta vẽ một đường ngang cho mỗi giá trị cho phép của năng lượng. Khi electron tự do, tức là khi năng lượng của nó dương, nó có thể có bất kỳ năng lượng nào; nó có thể chuyển động với bất kỳ tốc độ nào. Nhưng các năng lượng liên kết không phải tùy ý. Nguyên tử phải có một trong một tập hợp các giá trị cho phép, chẳng hạn như các giá trị trong Hình 38–9.

Bây giờ hãy gọi các giá trị cho phép của năng lượng là E₀, E₁, E₂, E₃. Nếu một nguyên tử ban đầu ở trong một trong các “trạng thái kích thích” này, E₁, E₂, v.v., nó không ở mãi trong trạng thái đó. Sớm hay muộn nó cũng rơi xuống một trạng thái thấp hơn và bức xạ năng lượng dưới dạng ánh sáng. Tần số của ánh sáng được phát ra được xác định bởi sự bảo toàn năng lượng cộng với hiểu biết cơ học lượng tử rằng tần số của ánh sáng liên hệ với năng lượng của ánh sáng bởi (38.1). Vì vậy tần số của ánh sáng được giải phóng trong một chuyển dời từ năng lượng E₃ xuống năng lượng E₁ (chẳng hạn) là

ω₃₁ = (E₃ − E₁)/ħ.   (38.14)

Đây, do đó, là một tần số đặc trưng của nguyên tử và định nghĩa một vạch phát xạ phổ. Một chuyển dời khả dĩ khác sẽ là từ E₃ xuống E₀. Chuyển dời đó sẽ có một tần số khác

ω₃₀ = (E₃ − E₀)/ħ.   (38.15)

Một khả năng khác là nếu nguyên tử được kích thích lên trạng thái E₁, nó có thể rơi xuống trạng thái cơ bản E₀, phát ra một photon có tần số

ω₁₀ = (E₁ − E₀)/ħ.   (38.16)

Lý do chúng ta nêu ra ba chuyển dời là để chỉ ra một mối quan hệ thú vị. Dễ thấy từ (38.14), (38.15), và (38.16) rằng

ω₃₀ = ω₃₁ + ω₁₀.   (38.17)

Nói chung, nếu chúng ta tìm thấy hai vạch phổ, chúng ta sẽ kỳ vọng tìm thấy một vạch khác ở tổng của các tần số (hay hiệu của các tần số), và rằng mọi vạch đều có thể được hiểu bằng cách tìm một dãy các mức sao cho mỗi vạch tương ứng với hiệu năng lượng của một cặp mức nào đó. Sự trùng hợp đáng chú ý này trong các tần số phổ đã được ghi nhận trước khi cơ học lượng tử được khám phá, và nó được gọi là nguyên lý tổ hợp Ritz. Đây lại là một bí ẩn theo quan điểm của cơ học cổ điển. Chúng ta sẽ không nhấn mạnh thêm điểm rằng cơ học cổ điển là một thất bại trong lĩnh vực nguyên tử; dường như chúng ta đã chứng minh điều đó khá đầy đủ.

Chúng ta đã nói về cơ học lượng tử như được biểu diễn bởi các biên độ cư xử như sóng, với các tần số và số sóng nào đó. Hãy quan sát xem, theo quan điểm của các biên độ, làm thế nào mà nguyên tử lại có các trạng thái năng lượng xác định. Đây là điều chúng ta không thể hiểu từ những gì đã nói cho đến nay, nhưng tất cả chúng ta đều quen thuộc với sự kiện là các sóng bị giam giữ có các tần số xác định. Chẳng hạn, nếu âm thanh bị giam trong một ống đàn organ, hay thứ gì tương tự, thì có nhiều hơn một cách mà âm thanh có thể dao động, nhưng đối với mỗi cách như vậy có một tần số xác định. Như vậy một vật trong đó các sóng bị giam giữ có các tần số cộng hưởng nào đó. Do đó, việc các sóng trong một không gian bị giam giữ chỉ tồn tại ở các tần số xác định là một tính chất của sóng — một chủ đề mà chúng ta sẽ thảo luận chi tiết bằng công thức về sau. Và vì mối quan hệ tổng quát tồn tại giữa các tần số của biên độ và năng lượng, chúng ta không ngạc nhiên khi tìm thấy các năng lượng xác định gắn với các electron bị liên kết trong các nguyên tử.

38–6  Các hệ quả triết học

Hãy xét vắn tắt một số hệ quả triết học của cơ học lượng tử. Như thường lệ, có hai khía cạnh của vấn đề: một là hệ quả triết học đối với vật lý, và khía cạnh kia là sự ngoại suy các vấn đề triết học sang các lĩnh vực khác. Khi các ý tưởng triết học gắn với khoa học bị lôi vào một lĩnh vực khác, chúng thường bị bóp méo hoàn toàn. Vì vậy chúng ta sẽ giới hạn các nhận xét của mình càng nhiều càng tốt trong chính vật lý.

Trước hết, khía cạnh thú vị nhất là ý tưởng về nguyên lý bất định; việc thực hiện một quan sát ảnh hưởng đến hiện tượng. Người ta vẫn luôn biết rằng việc thực hiện các quan sát ảnh hưởng đến một hiện tượng, nhưng vấn đề là hiệu ứng đó không thể bị bỏ qua hay cực tiểu hóa hay giảm đi một cách tùy ý bằng cách sắp xếp lại thiết bị. Khi chúng ta tìm kiếm một hiện tượng nào đó, chúng ta không thể không làm nhiễu loạn nó theo một cách tối thiểu nào đó, và sự nhiễu loạn đó là cần thiết cho tính nhất quán của quan điểm. Người quan sát đôi khi quan trọng trong vật lý tiền lượng tử, nhưng chỉ theo một ý nghĩa khá tầm thường. Vấn đề đã được nêu ra: nếu một cái cây đổ trong rừng và không có ai ở đó để nghe, nó có tạo ra tiếng động không? Một cái cây thật đổ trong một khu rừng thật dĩ nhiên tạo ra một âm thanh, ngay cả khi không có ai ở đó. Ngay cả khi không có ai hiện diện để nghe nó, vẫn còn các dấu vết khác sót lại. Âm thanh sẽ làm rung một số lá, và nếu chúng ta đủ cẩn thận, chúng ta có thể tìm thấy ở đâu đó rằng một cái gai nào đó đã cọ vào một chiếc lá và tạo ra một vết xước nhỏ không thể giải thích được trừ khi chúng ta giả sử chiếc lá đã đang dao động. Vậy theo một ý nghĩa nào đó, chúng ta sẽ phải thừa nhận rằng có một âm thanh được tạo ra. Chúng ta có thể hỏi: có một cảm giác về âm thanh không? Không, các cảm giác có lẽ liên quan đến ý thức. Và liệu kiến có ý thức hay không, và liệu có kiến trong rừng hay không, hay liệu cái cây có ý thức hay không, chúng ta không biết. Hãy để vấn đề ở dạng đó.

Một điều khác mà người ta đã nhấn mạnh từ khi cơ học lượng tử được phát triển là ý tưởng rằng chúng ta không nên nói về những thứ mà chúng ta không thể đo. (Thật ra lý thuyết tương đối cũng đã nói điều này.) Trừ khi một thứ có thể được định nghĩa bằng phép đo, nó không có chỗ trong một lý thuyết. Và vì một giá trị chính xác của động lượng của một hạt đã được định vị không thể được định nghĩa bằng phép đo, nên nó do đó không có chỗ trong lý thuyết. Ý tưởng rằng đây là điều đã sai ở lý thuyết cổ điển là một lập trường sai. Đó là một phân tích cẩu thả về tình huống. Chỉ vì chúng ta không thể đo vị trí và động lượng một cách chính xác, điều đó không có nghĩa a priori là chúng ta không thể nói về chúng. Nó chỉ có nghĩa là chúng ta không cần nói về chúng. Tình huống trong các khoa học là thế này: Một khái niệm hay một ý tưởng không thể đo được hay không thể được quy trực tiếp về thí nghiệm có thể có ích hoặc không. Nó không cần phải tồn tại trong một lý thuyết. Nói cách khác, giả sử chúng ta so sánh lý thuyết cổ điển về thế giới với lý thuyết lượng tử về thế giới, và giả sử rằng đúng theo thực nghiệm là chúng ta chỉ có thể đo vị trí và động lượng một cách không chính xác. Câu hỏi là liệu các ý tưởng về vị trí chính xác của một hạt và động lượng chính xác của một hạt có hợp lệ hay không. Lý thuyết cổ điển thừa nhận các ý tưởng đó; lý thuyết lượng tử thì không. Điều đó tự nó không có nghĩa là vật lý cổ điển sai. Khi cơ học lượng tử mới được khám phá, phe cổ điển — bao gồm mọi người ngoại trừ Heisenberg, Schrödinger, và Born — đã nói: “Nhìn xem, lý thuyết của anh chẳng tốt chút nào vì anh không thể trả lời một số câu hỏi như: vị trí chính xác của một hạt là gì?, nó đi qua lỗ nào?, và một số câu hỏi khác.” Đáp án của Heisenberg là: “Tôi không cần trả lời các câu hỏi như vậy bởi vì anh không thể đặt ra một câu hỏi như vậy bằng thực nghiệm.” Vấn đề là chúng ta không phải làm vậy. Xét hai lý thuyết (a) và (b); (a) chứa một ý tưởng không thể kiểm tra trực tiếp nhưng được dùng trong phân tích, và lý thuyết kia, (b), không chứa ý tưởng đó. Nếu chúng bất đồng trong các dự đoán của chúng, người ta không thể khẳng định rằng (b) sai vì nó không thể giải thích ý tưởng này vốn có trong (a), bởi vì ý tưởng đó là một trong những thứ không thể kiểm tra trực tiếp. Biết được những ý tưởng nào không thể kiểm tra trực tiếp luôn là điều tốt, nhưng không cần thiết phải loại bỏ tất cả chúng. Không đúng khi nói rằng chúng ta có thể theo đuổi khoa học một cách hoàn toàn chỉ bằng cách dùng các khái niệm trực tiếp chịu sự chi phối của thí nghiệm.

Trong chính cơ học lượng tử, có một biên độ hàm sóng, có một thế, và có nhiều cấu trúc mà chúng ta không thể đo trực tiếp. Nền tảng của một khoa học là khả năng dự đoán của nó. Dự đoán có nghĩa là nói điều gì sẽ xảy ra trong một thí nghiệm chưa bao giờ được thực hiện. Làm sao chúng ta có thể làm điều đó? Bằng cách giả sử rằng chúng ta biết cái gì có ở đó, độc lập với thí nghiệm. Chúng ta phải ngoại suy các thí nghiệm tới một vùng mà chúng chưa được thực hiện. Chúng ta phải lấy các khái niệm của mình và mở rộng chúng tới những nơi mà chúng chưa được kiểm tra. Nếu chúng ta không làm điều đó, chúng ta không có dự đoán nào. Vậy việc các nhà vật lý cổ điển vui vẻ tiến bước và giả sử rằng vị trí — thứ hiển nhiên có ý nghĩa đối với một quả bóng chày — cũng có ý nghĩa đối với một electron, là hoàn toàn hợp lý. Đó không phải là ngu ngốc. Đó là một thủ tục hợp lý. Ngày nay chúng ta nói rằng định luật tương đối được giả định là đúng ở mọi năng lượng, nhưng một ngày nào đó có thể có người xuất hiện và nói chúng ta đã ngu ngốc biết bao. Chúng ta không biết chúng ta “ngu ngốc” ở đâu cho đến khi chúng ta “thò cổ ra”, và như vậy toàn bộ ý tưởng là thò cổ của mình ra. Và cách duy nhất để biết rằng chúng ta sai là tìm ra các dự đoán của chúng ta là gì. Việc tạo ra các cấu trúc là tuyệt đối cần thiết.

Chúng ta đã có một vài nhận xét về tính không xác định của cơ học lượng tử. Tức là, hiện nay chúng ta không thể dự đoán điều gì sẽ xảy ra trong vật lý trong một hoàn cảnh vật lý cho trước được sắp xếp càng cẩn thận càng tốt. Nếu chúng ta có một nguyên tử đang ở trạng thái kích thích và như vậy sẽ phát ra một photon, chúng ta không thể nói khi nào nó sẽ phát ra photon. Nó có một biên độ nào đó để phát ra photon vào bất kỳ thời điểm nào, và chúng ta chỉ có thể dự đoán một xác suất cho sự phát xạ; chúng ta không thể dự đoán tương lai một cách chính xác. Điều này đã làm nảy sinh đủ thứ vô nghĩa và các câu hỏi về ý nghĩa của tự do ý chí, và về ý tưởng rằng thế giới là bất định.

Dĩ nhiên chúng ta phải nhấn mạnh rằng vật lý cổ điển cũng bất định, theo một ý nghĩa nào đó. Người ta thường nghĩ rằng tính bất định này, rằng chúng ta không thể dự đoán tương lai, là một điều quan trọng thuộc cơ học lượng tử, và điều này được nói là giải thích hành vi của tâm trí, cảm giác về tự do ý chí, v.v. Nhưng nếu thế giới là cổ điển — nếu các định luật của cơ học là cổ điển — thì không hoàn toàn hiển nhiên rằng tâm trí sẽ không cảm thấy ít nhiều giống như vậy. Đúng theo cổ điển là nếu chúng ta biết vị trí và vận tốc của mọi hạt trong thế giới, hay trong một hộp khí, chúng ta có thể dự đoán chính xác điều gì sẽ xảy ra. Và do đó thế giới cổ điển là tất định. Tuy nhiên, giả sử rằng chúng ta có một độ chính xác hữu hạn và không biết chính xác chỉ một nguyên tử ở đâu, chẳng hạn với độ chính xác một phần tỉ. Khi đó khi nó chuyển động, nó va vào một nguyên tử khác, và vì chúng ta không biết vị trí tốt hơn một phần tỉ, chúng ta thấy một sai số còn lớn hơn nữa trong vị trí sau va chạm. Và điều đó dĩ nhiên được khuếch đại trong va chạm tiếp theo, thành ra nếu chúng ta bắt đầu chỉ với một sai số rất nhỏ, nó nhanh chóng phóng đại thành một độ bất định rất lớn. Cho một ví dụ: nếu nước rơi qua một đập, nó bắn tung tóe. Nếu chúng ta đứng gần đó, thỉnh thoảng một giọt nước sẽ rơi lên mũi chúng ta. Điều này dường như là hoàn toàn ngẫu nhiên, thế nhưng một hành vi như vậy sẽ được dự đoán bởi các định luật thuần túy cổ điển. Vị trí chính xác của mọi giọt nước phụ thuộc vào những lúc lắc chính xác của nước trước khi nó đi qua đập. Bằng cách nào? Những bất đều nhỏ nhất bị phóng đại khi rơi, thành ra chúng ta thu được tính ngẫu nhiên hoàn toàn. Hiển nhiên, chúng ta thật sự không thể dự đoán vị trí của các giọt nước trừ khi chúng ta biết chuyển động của nước một cách tuyệt đối chính xác.

Nói chính xác hơn, cho một độ chính xác tùy ý, dù chính xác đến đâu, người ta có thể tìm thấy một khoảng thời gian đủ dài mà chúng ta không thể đưa ra các dự đoán có giá trị cho khoảng thời gian dài như vậy. Nay vấn đề là khoảng thời gian này không lớn lắm. Không phải là khoảng thời gian đó là hàng triệu năm nếu độ chính xác là một phần tỉ. Thời gian, thật vậy, chỉ tăng theo logarit với sai số, và hóa ra chỉ trong một khoảng thời gian rất, rất nhỏ chúng ta đã mất mọi thông tin của mình. Nếu độ chính xác được lấy là một phần trong hàng tỉ tỉ tỉ — dù bao nhiêu tỉ chúng ta muốn, miễn là chúng ta dừng lại ở đâu đó — thì chúng ta có thể tìm thấy một khoảng thời gian ngắn hơn khoảng thời gian cần để phát biểu độ chính xác đó — sau khoảng thời gian đó chúng ta không còn có thể dự đoán điều gì sẽ xảy ra nữa! Do đó, thật không công bằng khi nói rằng từ sự tự do và tính bất định biểu kiến của tâm trí con người, chúng ta đáng lẽ phải nhận ra rằng vật lý “tất định” cổ điển không bao giờ có thể hy vọng hiểu được nó, và chào đón cơ học lượng tử như một sự giải thoát khỏi một vũ trụ “hoàn toàn cơ giới”. Bởi vì ngay trong cơ học cổ điển đã có tính không thể xác định được theo quan điểm thực tế.