Chương 41: Chuyển động Brown
Richard P. Feynman — The Feynman Lectures on Physics, Tập I, Chương 41: “The Brownian Movement”
41–1 Sự đẳng phân năng lượng
Chuyển động Brown được phát hiện vào năm 1827 bởi Robert Brown, một nhà thực vật học. Trong lúc nghiên cứu sự sống vi mô, ông để ý thấy những hạt phấn hoa nhỏ xíu của thực vật cứ rung lắc vòng quanh trong chất lỏng mà ông đang quan sát dưới kính hiển vi, và ông đủ khôn ngoan để nhận ra rằng những hạt này không phải là vật sống, mà chỉ là những mẩu bụi nhỏ đang chuyển động trong nước. Thật vậy, ông đã giúp chứng minh rằng hiện tượng này không liên quan gì đến sự sống bằng cách lấy từ trong lòng đất một mẩu thạch anh cổ, bên trong có một ít nước bị giam giữ. Nước hẳn đã bị giam ở đó hàng triệu triệu năm, nhưng bên trong ông vẫn nhìn thấy cùng một chuyển động ấy. Điều người ta nhìn thấy là những hạt rất nhỏ cứ rung lắc liên tục, mọi lúc.
Về sau, hiện tượng này được chứng minh là một trong những hệ quả của chuyển động phân tử, và chúng ta có thể hiểu nó một cách định tính bằng cách hình dung một quả bóng đẩy khổng lồ trên sân chơi, được nhìn từ rất xa, với rất nhiều người ở phía dưới, tất cả cùng đẩy quả bóng theo nhiều hướng khác nhau. Chúng ta không nhìn thấy những người đó vì chúng ta tưởng tượng rằng mình ở quá xa, nhưng chúng ta nhìn thấy quả bóng, và nhận thấy nó chuyển động vòng quanh khá là không đều. Chúng ta cũng biết, từ các định lý đã thảo luận trong những chương trước, rằng động năng trung bình của một hạt nhỏ lơ lửng trong một chất lỏng hay một chất khí sẽ là (3/2)kT cho dù nó rất nặng so với một phân tử. Nếu nó rất nặng, điều đó có nghĩa là các tốc độ tương đối chậm, nhưng hóa ra, trên thực tế, tốc độ cũng không thật sự chậm đến thế. Thật vậy, chúng ta không thể dễ dàng nhìn thấy tốc độ của một hạt như vậy, bởi vì mặc dù động năng trung bình là (3/2)kT, tương ứng với một tốc độ cỡ một milimét mỗi giây đối với một vật có đường kính một hay hai micrôn, nhưng điều này rất khó nhìn thấy ngay cả dưới kính hiển vi, bởi vì hạt liên tục đảo ngược hướng chuyển động của nó và chẳng đi được đến đâu cả. Nó đi được bao xa, chúng ta sẽ thảo luận ở cuối chương này. Bài toán này lần đầu tiên được Einstein giải vào đầu thế kỷ 20.
Nhân tiện, khi chúng ta nói rằng động năng trung bình của hạt này là (3/2)kT, chúng ta khẳng định đã suy ra kết quả này từ thuyết động học, tức là từ các định luật Newton. Chúng ta sẽ thấy rằng mình có thể suy ra đủ thứ — những điều kỳ diệu — từ thuyết động học, và điều thú vị nhất là dường như chúng ta có thể thu được nhiều đến thế từ ít đến thế. Dĩ nhiên chúng ta không có ý nói các định luật Newton là “ít” — thật ra chúng đủ để làm việc đó — ý chúng ta là chúng ta đã không làm gì nhiều lắm. Làm sao chúng ta thu được nhiều đến thế? Đáp án là chúng ta đã liên tục đưa ra một giả thiết quan trọng nào đó, đó là nếu một hệ cho trước đang ở cân bằng nhiệt tại một nhiệt độ nào đó, nó cũng sẽ ở cân bằng nhiệt với bất kỳ thứ gì khác ở cùng nhiệt độ đó. Chẳng hạn, nếu chúng ta muốn xem một hạt sẽ chuyển động thế nào nếu nó thật sự va chạm với nước, chúng ta có thể tưởng tượng có một chất khí hiện diện, gồm một loại hạt khác, những viên đạn nhỏ mịn mà (chúng ta giả thiết) không tương tác với nước, mà chỉ đập vào hạt bằng những va chạm “cứng”. Giả sử hạt có một cái mấu nhô ra khỏi nó; tất cả những gì các viên đạn của chúng ta phải làm là đập vào cái mấu đó. Chúng ta biết mọi thứ về chất khí tưởng tượng gồm các viên đạn này ở nhiệt độ T — nó là một khí lý tưởng. Nước thì phức tạp, nhưng một khí lý tưởng thì đơn giản. Bây giờ, hạt của chúng ta phải ở cân bằng với khí gồm các viên đạn. Do đó, chuyển động trung bình của hạt phải là thứ chúng ta thu được đối với các va chạm của chất khí, bởi vì nếu nó không chuyển động với đúng tốc độ so với nước mà, chẳng hạn, chuyển động nhanh hơn, điều đó có nghĩa là các viên đạn sẽ lấy năng lượng từ nó và trở nên nóng hơn nước. Nhưng chúng ta đã khởi đầu chúng ở cùng một nhiệt độ, và chúng ta giả thiết rằng nếu một vật đã một lần ở cân bằng, nó sẽ ở cân bằng mãi — các phần của nó không tự phát trở nên nóng hơn và các phần khác lạnh hơn.
Mệnh đề này là đúng và có thể được chứng minh từ các định luật cơ học, nhưng phép chứng minh rất phức tạp và chỉ có thể được thiết lập bằng cách dùng cơ học nâng cao. Nó dễ chứng minh hơn nhiều trong cơ học lượng tử so với trong cơ học cổ điển. Nó được Boltzmann chứng minh lần đầu tiên, nhưng hiện tại chúng ta đơn giản coi nó là đúng, và rồi chúng ta có thể lập luận rằng hạt của chúng ta phải có năng lượng (3/2)kT nếu nó bị đập bởi các viên đạn nhân tạo, vậy nó cũng phải có (3/2)kT khi nó đang bị nước ở cùng nhiệt độ đập vào và chúng ta lấy các viên đạn đi; vậy nó là (3/2)kT. Đây là một đường lối lập luận lạ lùng, nhưng hoàn toàn hợp lệ.
Ngoài chuyển động của các hạt keo mà chuyển động Brown lần đầu được phát hiện từ đó, còn có một số hiện tượng khác, cả trong phòng thí nghiệm lẫn trong những tình huống khác, nơi người ta có thể nhìn thấy chuyển động Brown. Nếu chúng ta đang cố chế tạo thiết bị tinh vi nhất có thể, chẳng hạn một chiếc gương rất nhỏ trên một sợi thạch anh mỏng cho một điện kế đạn đạo rất nhạy (Hình 41–1), chiếc gương không đứng yên tại chỗ, mà rung lắc liên tục — liên tục — sao cho khi chúng ta chiếu một ánh sáng lên nó và nhìn vào vị trí của đốm sáng, chúng ta không có một dụng cụ hoàn hảo bởi vì chiếc gương luôn luôn rung lắc. Tại sao? Bởi vì động năng quay trung bình của chiếc gương này, tính trung bình, phải bằng (1/2)kT.
Góc bình phương trung bình mà chiếc gương sẽ chao đảo trên đó là bao nhiêu? Giả sử chúng ta tìm chu kỳ dao động riêng của chiếc gương bằng cách gõ vào một phía và xem nó mất bao lâu để dao động qua lại, và chúng ta cũng biết mômen quán tính, I. Chúng ta biết công thức cho động năng quay — nó được cho bởi Phương trình (19.8): T = (1/2)Iω2. Đó là động năng, và thế năng đi kèm với nó sẽ tỉ lệ với bình phương của góc — nó là V = (1/2)αθ2. Nhưng, nếu chúng ta biết chu kỳ t0 và từ đó tính ra tần số riêng ω0 = 2π/t0, thì thế năng là V = (1/2)Iω02θ2. Bây giờ chúng ta biết động năng trung bình là (1/2)kT, nhưng vì nó là một dao động tử điều hòa nên thế năng trung bình cũng là (1/2)kT. Vậy
(1/2)Iω02⟨θ2⟩ = (1/2)kT,
hay
⟨θ2⟩ = kT/Iω02. (41.1)
Bằng cách này chúng ta có thể tính các dao động của một chiếc gương điện kế, và qua đó tìm ra những giới hạn của dụng cụ của chúng ta sẽ là gì. Nếu chúng ta muốn có các dao động nhỏ hơn, chúng ta phải làm lạnh chiếc gương. Một câu hỏi thú vị là, làm lạnh nó ở đâu. Điều này phụ thuộc vào việc nó nhận các “cú đá” của nó từ đâu. Nếu là qua sợi dây, chúng ta làm lạnh nó ở phía trên — nếu chiếc gương được bao quanh bởi một chất khí và bị đập chủ yếu bởi các va chạm trong chất khí, tốt hơn là làm lạnh chất khí. Thật vậy, nếu chúng ta biết sự tắt dần của các dao động đến từ đâu, hóa ra đó luôn luôn cũng là nguồn gốc của các thăng giáng, một điểm mà chúng ta sẽ quay lại.
Điều tương tự cũng hoạt động, đáng ngạc nhiên thay, trong các mạch điện. Giả sử chúng ta đang chế tạo một bộ khuếch đại rất nhạy, rất chính xác cho một tần số xác định và có một mạch cộng hưởng (Hình 41–2) ở đầu vào để làm nó rất nhạy với tần số nhất định này, giống như một máy thu thanh, nhưng là một máy thật sự tốt. Giả sử chúng ta muốn đi xuống tới giới hạn thấp nhất của mọi thứ, vậy chúng ta lấy điện áp, chẳng hạn trên cuộn cảm, và gửi nó vào phần còn lại của bộ khuếch đại. Dĩ nhiên, trong bất kỳ mạch nào như thế này, cũng có một lượng tổn hao nào đó. Nó không phải là một mạch cộng hưởng hoàn hảo, nhưng là một mạch rất tốt và có một ít điện trở, chẳng hạn (chúng ta đặt điện trở vào để có thể nhìn thấy nó, nhưng nó được giả thiết là nhỏ). Bây giờ chúng ta muốn tìm ra: điện áp trên cuộn cảm thăng giáng bao nhiêu?
Đáp án: Chúng ta biết rằng (1/2)LI2 là “động năng” — năng lượng gắn với một cuộn dây trong một mạch cộng hưởng (Chương 25). Do đó giá trị trung bình của (1/2)LI2 bằng (1/2)kT — điều đó cho chúng ta biết dòng điện hiệu dụng (rms) là bao nhiêu và chúng ta có thể tìm ra điện áp hiệu dụng từ dòng điện hiệu dụng. Bởi vì nếu chúng ta muốn điện áp trên cuộn cảm thì công thức là V̂L = iωLÎ, và điện áp bình phương tuyệt đối trung bình trên cuộn cảm là ⟨VL2⟩ = L2ω02⟨I2⟩, và đặt (1/2)L⟨I2⟩ = (1/2)kT, chúng ta thu được
⟨VL2⟩ = Lω02kT. (41.2)
Vậy bây giờ chúng ta có thể thiết kế các mạch và nói được khi nào chúng ta sẽ gặp thứ gọi là nhiễu Johnson, nhiễu gắn với các thăng giáng nhiệt!
Lần này các thăng giáng đến từ đâu? Chúng lại đến từ điện trở — chúng đến từ sự kiện các electron trong điện trở đang rung lắc vòng quanh bởi vì chúng ở cân bằng nhiệt với vật chất trong điện trở, và chúng tạo ra các thăng giáng trong mật độ electron. Như vậy chúng tạo ra những điện trường nhỏ xíu, các trường này điều khiển mạch cộng hưởng.
Các kỹ sư điện biểu diễn đáp án theo một cách khác. Về mặt vật lý, điện trở thực sự là nguồn của nhiễu. Tuy nhiên, chúng ta có thể thay mạch thực có một điện trở vật lý trung thực, thật sự đang gây nhiễu, bằng một mạch nhân tạo chứa một máy phát nhỏ sẽ đại diện cho nhiễu, và bây giờ điện trở mặt khác là lý tưởng — không có nhiễu nào đến từ nó. Toàn bộ nhiễu nằm trong máy phát nhân tạo. Và vậy nếu chúng ta biết các đặc trưng của nhiễu do một điện trở tạo ra, nếu chúng ta có công thức cho nó, thì chúng ta có thể tính mạch sẽ làm gì để đáp ứng với nhiễu đó. Vậy, chúng ta cần một công thức cho các thăng giáng nhiễu. Bây giờ nhiễu do điện trở tạo ra có mặt ở mọi tần số, vì bản thân điện trở không cộng hưởng. Dĩ nhiên mạch cộng hưởng chỉ “lắng nghe” phần ở gần tần số đúng, nhưng điện trở có nhiều tần số khác nhau trong nó. Chúng ta có thể mô tả máy phát mạnh đến mức nào, như sau: Công suất trung bình mà điện trở sẽ hấp thụ nếu nó được nối trực tiếp qua máy phát nhiễu sẽ là ⟨E2⟩/R, nếu E là điện áp từ máy phát. Nhưng chúng ta muốn biết chi tiết hơn xem có bao nhiêu công suất ở mỗi tần số. Công suất ở bất kỳ một tần số nào cũng rất ít; nó là một phân bố. Đặt P(ω) dω là công suất mà máy phát sẽ cung cấp trong dải tần số dω vào chính điện trở đó. Khi đó chúng ta có thể chứng minh (chúng ta sẽ chứng minh điều đó cho một trường hợp khác, nhưng toán học hoàn toàn giống nhau) rằng công suất cho ra
P(ω) dω = (2/π)kT dω, (41.3)
và không phụ thuộc vào điện trở khi được phát biểu theo cách này.
41–2 Cân bằng nhiệt của bức xạ
Bây giờ chúng ta đi tiếp để xét một mệnh đề còn nâng cao và thú vị hơn nữa, như sau. Giả sử chúng ta có một dao động tử mang điện giống như những dao động tử chúng ta đã nói tới khi thảo luận về ánh sáng, chẳng hạn một electron dao động lên xuống trong một nguyên tử. Nếu nó dao động lên xuống, nó bức xạ ánh sáng. Bây giờ giả sử dao động tử này nằm trong một chất khí rất loãng gồm các nguyên tử khác, và thỉnh thoảng các nguyên tử va chạm với nó. Khi đó ở cân bằng, sau một thời gian dài, dao động tử này sẽ thu được năng lượng sao cho động năng dao động của nó là (1/2)kT, và vì nó là một dao động tử điều hòa, toàn bộ năng lượng của nó sẽ trở thành kT. Dĩ nhiên, đó là một mô tả sai cho đến nay, bởi vì dao động tử mang điện tích, và nếu nó có năng lượng kT nó đang lắc lên xuống và bức xạ ánh sáng. Do đó không thể có cân bằng của riêng vật chất thật mà không có các điện tích trong đó phát ra ánh sáng, và khi ánh sáng được phát ra, năng lượng chảy đi mất, dao động tử mất kT của nó theo thời gian, và như vậy toàn bộ chất khí đang va chạm với dao động tử dần dần nguội đi. Và đó, dĩ nhiên, là cách một bếp lò ấm nguội đi, bằng cách bức xạ ánh sáng lên bầu trời, bởi vì các nguyên tử đang rung lắc điện tích của chúng và chúng liên tục bức xạ, và một cách chậm chạp, vì bức xạ này, chuyển động rung lắc chậm dần.
Mặt khác, nếu chúng ta bao kín toàn bộ vật trong một cái hộp sao cho ánh sáng không đi mất ra vô cực, thì cuối cùng chúng ta có thể đạt cân bằng nhiệt. Chúng ta có thể hoặc đặt chất khí trong một cái hộp mà ở đó chúng ta có thể nói rằng có những bộ bức xạ khác trong các vách hộp gửi ánh sáng quay trở lại, hoặc, để lấy một ví dụ đẹp hơn, chúng ta có thể giả sử cái hộp có các vách gương. Nghĩ về trường hợp đó dễ hơn. Vậy chúng ta giả thiết rằng mọi bức xạ đi ra khỏi dao động tử cứ chạy vòng quanh trong hộp. Khi đó, dĩ nhiên, đúng là dao động tử bắt đầu bức xạ, nhưng khá nhanh nó có thể duy trì kT năng lượng của nó bất chấp sự kiện nó đang bức xạ, bởi vì nó đang được chiếu sáng, chúng ta có thể nói, bởi chính ánh sáng của nó phản xạ từ các vách của hộp. Tức là, sau một lúc có rất nhiều ánh sáng lao vòng quanh trong hộp, và mặc dù dao động tử đang bức xạ một ít, ánh sáng quay trở lại và trả lại một phần năng lượng đã bị bức xạ.
Bây giờ chúng ta sẽ xác định phải có bao nhiêu ánh sáng trong một cái hộp như vậy ở nhiệt độ T để cho việc ánh sáng chiếu lên dao động tử này sẽ tạo ra vừa đủ năng lượng để bù cho ánh sáng nó đã bức xạ.
Đặt các nguyên tử khí rất ít và ở xa nhau, sao cho chúng ta có một dao động tử lý tưởng không có điện trở nào ngoài điện trở bức xạ. Khi đó chúng ta xét rằng ở cân bằng nhiệt dao động tử đang làm hai việc cùng một lúc. Thứ nhất, nó có năng lượng trung bình kT, và chúng ta tính nó phát ra bao nhiêu bức xạ. Thứ hai, bức xạ này phải đúng bằng lượng sẽ sinh ra do sự kiện ánh sáng chiếu lên dao động tử bị tán xạ. Vì năng lượng không còn nơi nào khác để đi, bức xạ hiệu dụng này thật ra chỉ là ánh sáng bị tán xạ từ ánh sáng đang có ở trong đó.
Vậy trước hết chúng ta tính năng lượng được dao động tử bức xạ mỗi giây, nếu dao động tử có một năng lượng nhất định. (Chúng ta mượn từ Chương 32 về điện trở bức xạ một số phương trình mà không quay lại việc suy ra chúng.) Năng lượng bức xạ mỗi radian chia cho năng lượng của dao động tử được gọi là 1/Q (Phương trình 32.8): 1/Q = (dW/dt)/ω0W. Dùng đại lượng γ, hằng số tắt dần, điều này cũng có thể được viết là 1/Q = γ/ω0, trong đó ω0 là tần số riêng của dao động tử — nếu gamma rất nhỏ, Q rất lớn. Năng lượng bức xạ mỗi giây khi đó là
dW/dt = ω0W/Q = γW. (41.4)
Vậy năng lượng bức xạ mỗi giây đơn giản là gamma nhân với năng lượng của dao động tử. Bây giờ dao động tử phải có năng lượng trung bình kT, vậy chúng ta thấy gamma kT là lượng năng lượng trung bình được bức xạ mỗi giây:
⟨dW/dt⟩ = γkT. (41.5)
Bây giờ chúng ta chỉ phải biết gamma là gì. Gamma dễ dàng được tìm ra từ Phương trình (32.12). Nó là
γ = ω0/Q = (2/3) r0ω02/c, (41.6)
trong đó r0 = e2/mc2 là bán kính electron cổ điển, và chúng ta đã đặt λ = 2πc/ω0.
Kết quả cuối cùng của chúng ta cho tốc độ bức xạ ánh sáng trung bình ở gần tần số ω0 do đó là
⟨dW/dt⟩ = (2/3) r0ω02kT/c. (41.7)
Tiếp theo chúng ta hỏi phải có bao nhiêu ánh sáng đang chiếu lên dao động tử. Nó phải đủ để năng lượng được hấp thụ từ ánh sáng (và qua đó bị tán xạ) đúng bằng chừng này. Nói cách khác, ánh sáng phát ra được giải thích là ánh sáng bị tán xạ từ ánh sáng đang chiếu lên dao động tử trong khoang. Vậy bây giờ chúng ta phải tính có bao nhiêu ánh sáng bị tán xạ khỏi dao động tử nếu có một lượng bức xạ tới — chưa biết — nào đó trên nó. Đặt I(ω) dω là lượng năng lượng ánh sáng có ở tần số ω, trong một khoảng dω nào đó (bởi vì không có ánh sáng ở đúng một tần số nhất định; nó trải ra trên toàn bộ phổ). Vậy I(ω) là một phân bố phổ nào đó mà chúng ta bây giờ sẽ tìm — nó là màu của một lò nung ở nhiệt độ T mà chúng ta nhìn thấy khi mở cửa và nhìn vào lỗ. Bây giờ có bao nhiêu ánh sáng được hấp thụ? Chúng ta đã tính lượng bức xạ được hấp thụ từ một chùm ánh sáng tới cho trước, và chúng ta đã tính nó theo một tiết diện. Nó giống hệt như thể chúng ta nói rằng mọi ánh sáng rơi trên một tiết diện nào đó đều được hấp thụ. Vậy tổng lượng được bức xạ lại (tán xạ) là cường độ tới I(ω) dω nhân với tiết diện σ.
Công thức cho tiết diện mà chúng ta đã suy ra (Phương trình 32.19) chưa bao gồm sự tắt dần. Không khó để làm lại phép suy ra và đưa vào số hạng điện trở, số hạng chúng ta đã bỏ qua. Nếu chúng ta làm điều đó, và tính tiết diện theo cùng một cách, chúng ta thu được
σs = (8πr02/3) [ω4 / ((ω2 − ω02)2 + γ2ω2)]. (41.8)
Bây giờ, như một hàm của tần số, σs chỉ có độ lớn đáng kể đối với ω rất gần với tần số riêng ω0. (Hãy nhớ rằng Q đối với một dao động tử bức xạ vào khoảng 108.) Dao động tử tán xạ rất mạnh khi ω bằng ω0, và rất yếu đối với các giá trị khác của ω. Do đó chúng ta có thể thay ω bằng ω0 và ω2 − ω02 bằng 2ω0(ω − ω0), và chúng ta thu được
σs = 2πr02ω02 / {3[(ω − ω0)2 + γ2/4]}. (41.9)
Bây giờ toàn bộ đường cong được định xứ ở gần ω = ω0. (Chúng ta không thật sự phải thực hiện bất kỳ phép gần đúng nào, nhưng làm các tích phân sẽ dễ hơn nhiều nếu chúng ta đơn giản hóa phương trình một chút.) Bây giờ chúng ta nhân cường độ trong một dải tần số cho trước với tiết diện tán xạ, để thu được lượng năng lượng bị tán xạ trong khoảng dω. Tổng năng lượng bị tán xạ khi đó là tích phân của lượng này trên mọi ω. Vậy
dWs/dt = ∫0∞ I(ω)σs(ω) dω = ∫0∞ 2πr02ω02I(ω) dω / {3[(ω − ω0)2 + γ2/4]}. (41.10)
Bây giờ chúng ta đặt dWs/dt = 3γkT. Tại sao lại ba? Bởi vì khi chúng ta phân tích tiết diện trong Chương 32, chúng ta đã giả thiết rằng sự phân cực là như vậy để ánh sáng có thể điều khiển dao động tử. Nếu chúng ta đã dùng một dao động tử chỉ có thể chuyển động theo một hướng, và ánh sáng, chẳng hạn, bị phân cực sai cách, nó sẽ không gây ra tán xạ nào cả. Vậy chúng ta phải hoặc lấy trung bình tiết diện của một dao động tử chỉ có thể đi theo một hướng, trên mọi hướng tới và phân cực của ánh sáng, hoặc, dễ hơn, chúng ta có thể tưởng tượng một dao động tử sẽ đi theo trường dù trường chỉ theo cách nào chăng nữa. Một dao động tử như vậy, có thể dao động như nhau theo ba hướng, sẽ có năng lượng trung bình 3kT bởi vì có 3 bậc tự do trong dao động tử đó. Vậy chúng ta phải dùng 3γkT vì 3 bậc tự do.
Bây giờ chúng ta phải thực hiện tích phân. Giả sử phân bố phổ chưa biết I(ω) của ánh sáng là một đường cong trơn tru và không biến thiên nhiều lắm trên vùng tần số rất hẹp nơi σs đạt cực đại (Hình 41–3). Khi đó đóng góp đáng kể duy nhất đến khi ω rất gần ω0, trong một lượng gamma, lượng này rất nhỏ. Vậy do đó, mặc dù I(ω) có thể là một hàm chưa biết và phức tạp, nơi duy nhất nó quan trọng là ở gần ω = ω0, và ở đó chúng ta có thể thay đường cong trơn tru bằng một đường phẳng — một “hằng số” — ở cùng độ cao. Nói cách khác, chúng ta đơn giản đưa I(ω) ra ngoài dấu tích phân và gọi nó là I(ω0). Chúng ta cũng có thể đưa phần còn lại của các hằng số ra trước tích phân, và thứ chúng ta còn lại là
(2/3)πr02ω02I(ω0) ∫0∞ dω/[(ω − ω0)2 + γ2/4] = 3γkT. (41.11)
Bây giờ, tích phân phải đi từ 0 đến ∞, nhưng 0 ở quá xa ω0 đến mức đường cong đã kết thúc hết vào lúc đó, vậy thay vào đó chúng ta đi tới trừ ∞ — nó chẳng tạo khác biệt gì và thực hiện tích phân dễ hơn nhiều. Tích phân là một hàm arctan dạng ∫ dx/(x2 + a2). Nếu chúng ta tra nó trong một cuốn sách, chúng ta thấy nó bằng π/a. Vậy đối với trường hợp của chúng ta nó thành 2π/γ. Do đó chúng ta thu được, với một ít sắp xếp lại,
I(ω0) = 9γ2kT/(4π2r02ω02). (41.12)
Khi đó chúng ta thay công thức (41.6) cho gamma (đừng lo về việc viết ω0; vì nó đúng với bất kỳ ω0 nào, chúng ta có thể gọi nó đơn giản là ω) và công thức cho I(ω) khi đó cho ra
I(ω) = ω2kT/(π2c2). (41.13)
Và điều đó cho chúng ta phân bố của ánh sáng trong một lò nung nóng. Nó được gọi là bức xạ vật đen. Đen, bởi vì cái lỗ trong lò nung mà chúng ta nhìn vào là đen khi nhiệt độ bằng không.
Bên trong một cái hộp kín ở nhiệt độ T, (41.13) là phân bố năng lượng của bức xạ, theo lý thuyết cổ điển. Trước hết, hãy để ý một đặc điểm đáng chú ý của biểu thức đó. Điện tích của dao động tử, khối lượng của dao động tử, mọi tính chất đặc thù của dao động tử, đều triệt tiêu, bởi vì một khi chúng ta đã đạt cân bằng với một dao động tử, chúng ta phải ở cân bằng với bất kỳ dao động tử nào khác có khối lượng khác, nếu không chúng ta sẽ gặp rắc rối. Vậy đây là một phép kiểm tra quan trọng đối với mệnh đề rằng cân bằng không phụ thuộc vào việc chúng ta ở cân bằng với cái gì, mà chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ. Bây giờ hãy vẽ một hình của đường cong I(ω) (Hình 41–4). Nó cho chúng ta biết có bao nhiêu ánh sáng ở các tần số khác nhau.
Lượng cường độ có trong hộp của chúng ta, trên một đơn vị khoảng tần số, đi, như chúng ta thấy, theo bình phương của tần số, điều đó có nghĩa là nếu chúng ta có một cái hộp ở bất kỳ nhiệt độ nào, và nếu chúng ta nhìn vào các tia X đang đi ra, sẽ có rất nhiều tia X!
Dĩ nhiên chúng ta biết điều này là sai. Khi chúng ta mở lò nung và nhìn vào nó, chúng ta hoàn toàn không bị cháy mắt bởi tia X chút nào. Nó hoàn toàn sai. Hơn nữa, tổng năng lượng trong hộp, tổng của mọi cường độ này cộng trên mọi tần số, sẽ là diện tích dưới đường cong vô hạn này. Do đó, có điều gì đó về cơ bản, mạnh mẽ, và tuyệt đối sai.
Như vậy lý thuyết cổ điển hoàn toàn không có khả năng mô tả đúng phân bố ánh sáng từ một vật đen, đúng như nó không có khả năng mô tả đúng nhiệt dung riêng của các chất khí. Các nhà vật lý đã đi đi lại lại trên phép suy ra này từ nhiều quan điểm khác nhau, và không có lối thoát. Đây là dự đoán của vật lý cổ điển. Phương trình (41.13) được gọi là định luật Rayleigh, và nó là dự đoán của vật lý cổ điển, và rõ ràng là phi lý.
41–3 Đẳng phân và dao tử lượng tử
Khó khăn ở trên là một phần khác của bài toán liên tục của vật lý cổ điển, bài toán bắt đầu với khó khăn về nhiệt dung riêng của các chất khí, và bây giờ đã được tập trung vào phân bố ánh sáng trong một vật đen. Bây giờ, dĩ nhiên, vào thời các nhà lý thuyết nghiên cứu điều này, cũng có nhiều phép đo đường cong thực tế. Và hóa ra đường cong đúng trông giống như các đường đứt nét trong Hình 41–4. Tức là, các tia X không có ở đó. Nếu chúng ta hạ nhiệt độ, toàn bộ đường cong đi xuống tỉ lệ với T, theo lý thuyết cổ điển, nhưng đường cong quan sát được cũng cắt sớm hơn ở một nhiệt độ thấp hơn. Vậy đầu tần số thấp của đường cong là đúng, nhưng đầu tần số cao là sai. Tại sao? Khi Sir James Jeans đang lo lắng về nhiệt dung riêng của các chất khí, ông để ý rằng các chuyển động có tần số cao bị “đóng băng” khi nhiệt độ trở nên quá thấp. Tức là, nếu nhiệt độ quá thấp, nếu tần số quá cao, các dao động tử không có năng lượng kT tính trung bình. Bây giờ hãy nhớ lại phép suy ra (41.13) của chúng ta đã hoạt động thế nào: Tất cả phụ thuộc vào năng lượng của một dao động tử ở cân bằng nhiệt. Cái kT trong (41.5) là gì, và cái kT cùng đó trong (41.13) là gì, đó là năng lượng trung bình của một dao động tử điều hòa có tần số ω ở nhiệt độ T. Theo cổ điển, nó là kT, nhưng theo thực nghiệm, không! — không phải khi nhiệt độ quá thấp hay tần số dao động tử quá cao. Và vậy lý do đường cong rơi xuống cũng là lý do nhiệt dung riêng của các chất khí thất bại. Nghiên cứu đường cong vật đen dễ hơn nghiên cứu nhiệt dung riêng của các chất khí, vốn rất phức tạp, do đó sự chú ý của chúng ta được tập trung vào việc xác định đường cong vật đen đúng, bởi vì đường cong này là một đường cong cho chúng ta biết một cách đúng đắn, ở mọi tần số, năng lượng trung bình của các dao động tử điều hòa thật sự là gì như một hàm của nhiệt độ.
Planck đã nghiên cứu đường cong này. Trước hết ông xác định đáp án theo thực nghiệm, bằng cách khớp đường cong quan sát được với một hàm đẹp khớp rất tốt. Vậy ông đã có một công thức thực nghiệm cho năng lượng trung bình của một dao động tử điều hòa như một hàm của tần số. Nói cách khác, ông đã có công thức đúng thay cho kT, và rồi bằng cách mày mò ông tìm ra một phép suy ra đơn giản cho nó, phép này liên quan đến một giả thiết rất kỳ lạ. Giả thiết đó là dao động tử điều hòa chỉ có thể thu năng lượng từng lượng ħω một lần. Ý tưởng rằng chúng có thể có bất kỳ năng lượng nào là sai. Dĩ nhiên, đó là khởi đầu của sự kết thúc của cơ học cổ điển.
Công thức cơ học lượng tử đúng đầu tiên từng được xác định bây giờ sẽ được suy ra. Giả sử các mức năng lượng được phép của một dao động tử điều hòa cách đều nhau một khoảng ħω0, sao cho dao động tử chỉ có thể nhận những năng lượng khác nhau này (Hình 41–5). Planck đã đưa ra một lập luận có phần phức tạp hơn lập luận đang được trình bày ở đây, bởi vì đó là khởi đầu của cơ học lượng tử và ông phải chứng minh một số điều. Nhưng chúng ta sẽ coi như một sự kiện (mà ông đã chứng minh trong trường hợp này) rằng xác suất chiếm một mức có năng lượng E là P(E) = αe−E/kT. Nếu chúng ta đi theo điều đó, chúng ta sẽ thu được kết quả đúng.
Giả sử bây giờ chúng ta có rất nhiều dao động tử, và mỗi cái là một bộ rung có tần số ω0. Một số bộ rung trong số này sẽ ở trạng thái lượng tử thấp nhất, một số sẽ ở trạng thái tiếp theo, và cứ thế. Điều chúng ta muốn biết là năng lượng trung bình của mọi dao động tử này. Để tìm ra, hãy tính tổng năng lượng của mọi dao động tử và chia cho số dao động tử. Đó sẽ là năng lượng trung bình trên một dao động tử ở cân bằng nhiệt, và cũng sẽ là năng lượng ở cân bằng với bức xạ vật đen và phải đi vào Phương trình (41.13) thay cho kT. Vậy đặt N0 là số dao động tử ở trạng thái nền (trạng thái năng lượng thấp nhất); N1 là số dao động tử ở trạng thái E1; N2 là số ở trạng thái E2; và cứ thế. Theo giả thuyết (mà chúng ta chưa chứng minh) rằng trong cơ học lượng tử định luật thay thế xác suất e−thế năng/kT hay e−động năng/kT trong cơ học cổ điển là xác suất giảm đi theo e−ΔE/kT, trong đó ΔE là năng lượng dư, chúng ta sẽ giả thiết rằng số N1 ở trạng thái thứ nhất sẽ là số N0 ở trạng thái nền, nhân với e−ħω/kT. Tương tự, N2, số dao động tử ở trạng thái thứ hai, là N2 = N0e−2ħω/kT. Để đơn giản hóa đại số, đặt e−ħω/kT = x. Khi đó chúng ta đơn giản có N1 = N0x, N2 = N0x2, …, Nn = N0xn.
Trước hết phải tính tổng năng lượng của mọi dao động tử. Nếu một dao động tử ở trạng thái nền, không có năng lượng. Nếu nó ở trạng thái thứ nhất, năng lượng là ħω, và có N1 dao động tử như vậy. Vậy N1ħω, hay ħωN0x là lượng năng lượng chúng ta thu được từ những dao động tử đó. Những dao động tử ở trạng thái thứ hai có 2ħω, và có N2 dao động tử như vậy, vậy N2·2ħω = 2ħωN0x2 là lượng năng lượng chúng ta thu được, và cứ thế. Khi đó chúng ta cộng tất cả lại với nhau để thu được Etổng = N0ħω(0 + x + 2x2 + 3x3 + …).
Và bây giờ, có bao nhiêu dao động tử? Dĩ nhiên, N0 là số ở trạng thái nền, N1 ở trạng thái thứ nhất, và cứ thế, và chúng ta cộng chúng lại với nhau: Ntổng = N0(1 + x + x2 + x3 + …). Vậy năng lượng trung bình là
⟨E⟩ = Etổng/Ntổng = N0ħω(0 + x + 2x2 + 3x3 + …) / [N0(1 + x + x2 + x3 + …)]. (41.14)
Bây giờ hai tổng xuất hiện ở đây chúng ta sẽ để cho độc giả chơi với chúng và vui một chút. Khi chúng ta đã hoàn tất việc cộng và thay x trong tổng, chúng ta sẽ thu được — nếu chúng ta không mắc lỗi nào trong phép cộng —
⟨E⟩ = ħω/(eħω/kT − 1). (41.15)
Đây, vậy, là công thức cơ học lượng tử đầu tiên từng được biết, hay từng được thảo luận, và nó là đỉnh cao đẹp đẽ của hàng thập kỷ băn khoăn. Maxwell đã biết có điều gì đó sai, và bài toán là, điều gì là đúng? Đây là đáp án định lượng về điều gì là đúng thay cho kT. Biểu thức này, dĩ nhiên, phải tiến tới kT khi ω → 0 hay khi T → ∞. Hãy xem bạn có thể chứng minh điều đó không — hãy học cách làm toán này.
Đây là thừa số cắt nổi tiếng mà Jeans đang tìm kiếm, và nếu chúng ta dùng nó thay cho kT trong (41.13), chúng ta thu được, đối với phân bố ánh sáng trong một hộp đen,
I(ω) dω = ħω3 dω / [π2c2(eħω/kT − 1)]. (41.16)
Chúng ta thấy rằng đối với một ω lớn, mặc dù chúng ta có ω3 ở tử số, có một e được nâng lên một lũy thừa khổng lồ ở mẫu số, vậy đường cong lại đi xuống và không “bùng nổ” — chúng ta không thu được ánh sáng tử ngoại và tia X ở nơi chúng ta không trông đợi chúng!
Người ta có thể phàn nàn rằng trong phép suy ra (41.16) của chúng ta, chúng ta đã dùng lý thuyết lượng tử cho các mức năng lượng của dao động tử điều hòa, nhưng lại dùng lý thuyết cổ điển trong việc xác định tiết diện σs. Nhưng lý thuyết lượng tử về ánh sáng tương tác với một dao động tử điều hòa cho ra đúng cùng kết quả như kết quả của lý thuyết cổ điển. Thật vậy, đó là lý do chúng ta được biện minh trong việc dành nhiều thời gian đến thế cho việc phân tích chiết suất và sự tán xạ ánh sáng, dùng một mô hình nguyên tử như những dao động tử nhỏ xíu — các công thức lượng tử về cơ bản là giống nhau.
Bây giờ hãy quay lại nhiễu Johnson trong một điện trở. Chúng ta đã nhận xét rằng lý thuyết về công suất nhiễu này thật ra là cùng một lý thuyết như lý thuyết về phân bố vật đen cổ điển. Thật vậy, khá thú vị là, chúng ta đã nói rằng nếu điện trở trong một mạch không phải là một điện trở thật, mà là một anten (một anten hành xử như một điện trở bởi vì nó bức xạ năng lượng), một điện trở bức xạ, sẽ dễ dàng cho chúng ta tính công suất sẽ là gì. Nó sẽ đúng là công suất chạy vào anten từ ánh sáng ở khắp xung quanh, và chúng ta sẽ thu được cùng một phân bố, chỉ thay đổi bởi một hay hai thừa số. Chúng ta có thể giả sử điện trở là một máy phát với một phổ công suất chưa biết P(ω). Phổ được xác định bởi sự kiện cùng máy phát này, được nối với một mạch cộng hưởng có bất kỳ tần số nào, như trong Hình 41–2(b), tạo ra trong cuộn cảm một điện áp có độ lớn được cho trong Phương trình (41.2). Như vậy người ta được dẫn tới cùng tích phân như trong (41.10), và cùng phương pháp hoạt động để cho ra Phương trình (41.3). Đối với các nhiệt độ thấp, kT trong (41.3) dĩ nhiên phải được thay bằng (41.15). Hai lý thuyết (bức xạ vật đen và nhiễu Johnson) cũng liên quan chặt chẽ với nhau về mặt vật lý, bởi vì chúng ta dĩ nhiên có thể nối một mạch cộng hưởng với một anten, vậy điện trở R là một điện trở bức xạ thuần túy. Vì (41.2) không phụ thuộc vào nguồn gốc vật lý của điện trở, chúng ta biết máy phát G đối với một điện trở thật và đối với điện trở bức xạ là giống nhau. Nguồn gốc của công suất được tạo ra P(ω) là gì nếu điện trở R chỉ là một anten lý tưởng ở cân bằng với môi trường của nó ở nhiệt độ T? Nó là bức xạ I(ω) trong không gian ở nhiệt độ T, bức xạ đập vào anten và, như “các tín hiệu thu được”, tạo thành một máy phát hiệu dụng. Do đó người ta có thể suy ra một quan hệ trực tiếp của P(ω) và I(ω), từ đó dẫn, từ (41.13), tới (41.3).
Mọi thứ chúng ta đã nói tới — cái gọi là nhiễu Johnson và phân bố Planck, và lý thuyết đúng của chuyển động Brown mà chúng ta sắp mô tả — đều là những phát triển của khoảng thập kỷ đầu tiên của thế kỷ 20. Bây giờ với những điểm đó và lịch sử đó trong đầu, chúng ta quay lại chuyển động Brown.
41–4 Bước đi ngẫu nhiên
Hãy xét vị trí của một hạt đang rung lắc phải thay đổi theo thời gian như thế nào, đối với những thời gian rất dài so với thời gian giữa các “cú đá”. Xét một hạt chuyển động Brown nhỏ xíu đang rung lắc vòng quanh bởi vì nó bị bắn phá từ mọi phía bởi các phân tử nước đang rung lắc không đều. Câu hỏi: Sau một khoảng thời gian cho trước, nó có khả năng ở xa bao nhiêu so với nơi nó bắt đầu? Bài toán này được Einstein và Smoluchowski giải. Nếu chúng ta tưởng tượng chia thời gian thành những khoảng nhỏ, chẳng hạn khoảng một phần trăm giây, thì sau một phần trăm giây đầu tiên nó chuyển động tới đây, và trong phần trăm tiếp theo nó chuyển động thêm một ít nữa, trong phần trăm giây tiếp theo nó chuyển động tới đâu đó khác, và cứ thế. Theo tốc độ bắn phá, một phần trăm giây là một thời gian rất dài. Độc giả có thể dễ dàng kiểm chứng rằng số va chạm một phân tử nước đơn lẻ nhận trong một giây vào khoảng 1014, vậy trong một phần trăm giây nó có 1012 va chạm, con số này rất nhiều! Do đó, sau một phần trăm giây nó sẽ không nhớ điều gì đã xảy ra trước đó. Nói cách khác, các va chạm đều ngẫu nhiên, vậy một “bước” không liên quan đến “bước” trước. Nó giống như bài toán thủy thủ say rượu nổi tiếng: người thủy thủ bước ra khỏi quán bar và thực hiện một dãy bước, nhưng mỗi bước được chọn ở một góc tùy ý, một cách ngẫu nhiên (Hình 41–6). Câu hỏi là: Sau một thời gian dài, người thủy thủ ở đâu? Dĩ nhiên chúng ta không biết! Không thể nói được. Ý chúng ta là gì — anh ta chỉ ở đâu đó ít nhiều ngẫu nhiên. Vậy thì, tính trung bình, anh ta ở đâu? Tính trung bình, anh ta đã đi bao xa khỏi quán bar? Chúng ta đã trả lời câu hỏi này rồi, bởi vì có lần chúng ta đã thảo luận sự chồng chất của ánh sáng từ rất nhiều nguồn khác nhau ở các pha khác nhau, và điều đó có nghĩa là cộng rất nhiều mũi tên ở các góc khác nhau (Chương 30). Ở đó chúng ta đã khám phá rằng bình phương trung bình của khoảng cách từ đầu này tới đầu kia của chuỗi các bước ngẫu nhiên, thứ vốn là cường độ của ánh sáng, là tổng các cường độ của các mảnh riêng lẻ. Và vậy, bằng cùng một loại toán học, chúng ta có thể chứng minh ngay rằng nếu RN là khoảng cách vectơ khỏi gốc sau N bước, bình phương trung bình của khoảng cách khỏi gốc tỉ lệ với số N bước. Tức là, ⟨RN2⟩ = NL2, trong đó L là độ dài của mỗi bước. Vì số bước tỉ lệ với thời gian trong bài toán hiện tại của chúng ta, bình phương trung bình của khoảng cách tỉ lệ với thời gian:
⟨R2⟩ = αt. (41.17)
Điều này không có nghĩa là khoảng cách trung bình tỉ lệ với thời gian. Nếu khoảng cách trung bình tỉ lệ với thời gian, điều đó có nghĩa là sự trôi dạt diễn ra với một vận tốc đều đặn đẹp đẽ. Người thủy thủ đang tạo ra một tiến triển tương đối có ý nghĩa, nhưng chỉ đến mức bình phương trung bình của khoảng cách của anh ta tỉ lệ với thời gian. Đó là đặc trưng của một bước đi ngẫu nhiên.
Chúng ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng trong mỗi bước liên tiếp, bình phương của khoảng cách tăng, tính trung bình, một lượng L2. Bởi vì nếu chúng ta viết RN = RN−1 + L, chúng ta thấy rằng RN2 là
RN·RN = RN2 = RN−12 + 2RN−1·L + L2,
và lấy trung bình trên nhiều lần thử, chúng ta có ⟨RN2⟩ = ⟨RN−12⟩ + L2, vì ⟨RN−1·L⟩ = 0. Vậy, bằng quy nạp,
⟨RN2⟩ = NL2. (41.18)
Bây giờ chúng ta muốn tính hệ số α trong Phương trình (41.17), và để làm vậy chúng ta phải thêm một đặc điểm. Chúng ta sẽ giả sử rằng nếu chúng ta đặt một lực lên hạt này (không liên quan gì đến chuyển động Brown — chúng ta đang lấy một vấn đề phụ trong chốc lát), thì nó sẽ phản ứng với lực theo cách sau. Trước hết, sẽ có quán tính. Đặt m là hệ số quán tính, khối lượng hiệu dụng của vật (không nhất thiết giống khối lượng thật của hạt thật, bởi vì nước phải chuyển động vòng quanh hạt nếu chúng ta kéo nó). Vậy nếu chúng ta nói về chuyển động theo một hướng, có một số hạng dạng m(d2x/dt2) ở một phía. Và tiếp theo, chúng ta cũng muốn giả thiết rằng nếu chúng ta giữ một lực kéo đều lên vật, sẽ có một lực cản lên nó từ chất lưu, tỉ lệ với vận tốc của nó. Ngoài quán tính của chất lưu, còn có một sức cản đối với dòng chảy do độ nhớt và tính phức tạp của chất lưu. Điều tuyệt đối thiết yếu là phải có một số tổn hao không thuận nghịch nào đó, một thứ gì đó giống như điện trở, để cho có các thăng giáng. Không có cách nào tạo ra kT trừ phi cũng có các tổn hao. Nguồn gốc của các thăng giáng liên quan rất chặt chẽ với các tổn hao này. Cơ chế của lực cản này là gì, chúng ta sẽ thảo luận sớm — chúng ta sẽ nói về các lực tỉ lệ với vận tốc và chúng đến từ đâu. Nhưng hiện tại hãy giả sử có một sức cản như vậy. Khi đó công thức cho chuyển động dưới một ngoại lực, khi chúng ta đang kéo nó theo cách thông thường, là
m d2x/dt2 + μ dx/dt = Fngoại. (41.19)
Đại lượng μ có thể được xác định trực tiếp từ thực nghiệm. Chẳng hạn, chúng ta có thể quan sát giọt rơi dưới trọng lực. Khi đó chúng ta biết lực là mg, và μ là mg chia cho tốc độ rơi mà giọt cuối cùng đạt được. Hay chúng ta có thể đặt giọt trong một máy ly tâm và xem nó lắng xuống nhanh đến mức nào. Hay nếu nó mang điện, chúng ta có thể đặt một điện trường lên nó. Vậy μ là một thứ có thể đo được, không phải một thứ nhân tạo, và nó được biết đối với nhiều loại hạt keo, v.v…
Bây giờ hãy dùng cùng công thức trong trường hợp lực không phải là ngoại lực, mà bằng các lực không đều của chuyển động Brown. Khi đó chúng ta sẽ cố xác định khoảng cách bình phương trung bình mà vật đi được. Thay vì lấy các khoảng cách trong ba chiều, hãy chỉ lấy một chiều, và tìm trung bình của x2, chỉ để chuẩn bị cho mình. (Hiển nhiên trung bình của x2 giống trung bình của y2 giống trung bình của z2, và do đó bình phương trung bình của khoảng cách đúng bằng 3 lần thứ chúng ta sắp tính.) Thành phần x của các lực không đều, dĩ nhiên, cũng không đều hệt như bất kỳ thành phần nào khác. Tốc độ thay đổi của x2 là gì? Nó là d(x2)/dt = 2x(dx/dt), vậy thứ chúng ta phải tìm là trung bình của vị trí nhân với vận tốc. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nó là một hằng số, và do đó bán kính bình phương trung bình sẽ tăng tỉ lệ với thời gian, và với tốc độ nào. Bây giờ nếu chúng ta nhân Phương trình (41.19) với x, mx(d2x/dt2) + μx(dx/dt) = xFx. Chúng ta muốn trung bình theo thời gian của x(dx/dt), vậy hãy lấy trung bình của toàn bộ phương trình, và nghiên cứu ba số hạng. Bây giờ còn x nhân với lực thì sao? Nếu hạt tình cờ đã đi được một khoảng x nào đó, thì, vì lực không đều là hoàn toàn không đều và không biết hạt bắt đầu từ đâu, xung tiếp theo có thể theo bất kỳ hướng nào so với x. Nếu x dương, không có lý do gì lực trung bình cũng phải theo hướng đó. Nó cũng có khả năng theo cách này như cách kia. Các lực bắn phá không đang đẩy nó theo một hướng xác định. Vậy giá trị trung bình của x nhân với F bằng không. Mặt khác, đối với số hạng mx(d2x/dt2) chúng ta sẽ phải khéo một chút, và viết nó là
mx d2x/dt2 = m d[x(dx/dt)]/dt − m(dx/dt)2.
Vậy chúng ta đưa hai số hạng này vào và lấy trung bình của cả hai. Vậy hãy xem số hạng thứ nhất phải bằng bao nhiêu. Bây giờ x nhân với vận tốc có một trung bình không thay đổi theo thời gian, bởi vì khi nó đến một vị trí nào đó nó không có ký ức về việc nó đã ở đâu trước đó, vậy mọi thứ không còn thay đổi theo thời gian nữa. Vậy đại lượng này, tính trung bình, bằng không. Chúng ta còn lại đại lượng mv2, và đó là thứ duy nhất chúng ta biết: mv2/2 có giá trị trung bình (1/2)kT. Do đó chúng ta tìm được rằng
⟨mx d2x/dt2⟩ + μ ⟨x dx/dt⟩ = ⟨xFx⟩
suy ra
−⟨mv2⟩ + (μ/2) d/dt ⟨x2⟩ = 0,
hay
d⟨x2⟩/dt = 2 kT/μ. (41.20)
Do đó vật có một khoảng cách bình phương trung bình ⟨R2⟩, ở cuối một khoảng t nào đó, bằng
⟨R2⟩ = 6kT t/μ. (41.21)
Và vậy chúng ta thật sự có thể xác định các hạt đi bao xa! Trước hết chúng ta phải xác định chúng phản ứng với một lực đều như thế nào, chúng trôi nhanh đến mức nào dưới một lực đã biết (để tìm μ), và rồi chúng ta có thể xác định chúng đi bao xa trong các chuyển động ngẫu nhiên của chúng. Phương trình này có tầm quan trọng đáng kể về mặt lịch sử, bởi vì nó là một trong những cách đầu tiên hằng số k được xác định. Xét cho cùng, chúng ta có thể đo μ, thời gian, các hạt đi bao xa, và chúng ta có thể lấy một trung bình. Lý do việc xác định k là quan trọng là trong định luật PV = RT cho một mol, chúng ta biết rằng R, đại lượng cũng có thể đo được, bằng số nguyên tử trong một mol nhân với k. Một mol ban đầu được định nghĩa là bao nhiêu đó gam oxy-16 (bây giờ cacbon được dùng), vậy số nguyên tử trong một mol ban đầu chưa được biết. Đó, dĩ nhiên, là một bài toán rất thú vị và quan trọng. Các nguyên tử lớn đến mức nào? Có bao nhiêu nguyên tử? Vậy một trong những phép xác định sớm nhất về số nguyên tử là bằng phép xác định một hạt nhỏ bẩn sẽ chuyển động bao xa nếu chúng ta kiên nhẫn quan sát nó dưới kính hiển vi trong một khoảng thời gian nào đó. Và như vậy hằng số Boltzmann k và số Avogadro N0 đã được xác định bởi vì R đã được đo rồi.