Chương 46: Bánh cóc và con cóc

46–1  Cách một bánh cóc hoạt động

Trong chương này chúng ta thảo luận về bánh cóc và con cóc, một thiết bị rất đơn giản cho phép một trục chỉ quay theo một chiều. Khả năng có một thứ chỉ quay theo một chiều đòi hỏi một số phân tích chi tiết và cẩn thận, và có một số hệ quả rất thú vị.

Kế hoạch của bài thảo luận này nảy sinh khi chúng ta cố nghĩ ra một cách giải thích sơ cấp, từ quan điểm phân tử hay động học, cho sự kiện rằng có một lượng công cực đại có thể trích ra được từ một động cơ nhiệt. Dĩ nhiên chúng ta đã thấy cốt lõi của lập luận của Carnot, nhưng sẽ rất hay nếu tìm được một cách giải thích sơ cấp theo nghĩa chúng ta có thể nhìn thấy điều gì đang xảy ra về mặt vật lý.

Ngày nay, có những phép chứng minh toán học phức tạp suy ra từ các định luật Newton để chứng tỏ rằng chúng ta chỉ có thể thu được một lượng công nhất định khi nhiệt truyền từ nơi này sang nơi khác, nhưng có một khó khăn lớn trong việc biến điều đó thành một phép chứng minh sơ cấp. Nói ngắn gọn, chúng ta không hiểu nó, mặc dù chúng ta có thể theo được toán học.

Trong lập luận của Carnot, sự kiện không thể trích ra nhiều hơn một lượng công nhất định khi đi từ nhiệt độ này sang nhiệt độ khác được suy ra từ một tiên đề khác, đó là nếu mọi thứ ở cùng một nhiệt độ, nhiệt không thể được chuyển thành công bằng một quá trình tuần hoàn. Trước hết, hãy lùi lại và thử xem, ít nhất trong một ví dụ sơ cấp, vì sao phát biểu đơn giản hơn này lại đúng.

Hãy thử phát minh một thiết bị vi phạm Nguyên lý thứ hai của Nhiệt động lực học, tức là một dụng cụ sẽ sinh công từ một bể nhiệt với mọi thứ ở cùng một nhiệt độ. Giả sử ta có một hộp khí ở một nhiệt độ nào đó, và bên trong có một trục gắn các cánh quạt. (Xem Hình 46–1 nhưng lấy T₁ = T₂ = T, chẳng hạn.) Vì các phân tử khí bắn phá lên cánh quạt, cánh quạt dao động và rung lắc. Tất cả những gì ta phải làm là móc vào đầu kia của trục một bánh xe chỉ có thể quay theo một chiều — bánh cóc và con cóc. Khi đó khi trục cố rung lắc theo một chiều, nó sẽ không quay được, và khi nó rung lắc theo chiều kia, nó sẽ quay. Khi đó bánh xe sẽ quay chầm chậm, và thậm chí có khi ta còn buộc được một con bọ chét vào một sợi dây treo trên một trống ở trên trục, và nâng con bọ chét lên! Bây giờ hãy hỏi điều này có thể xảy ra hay không. Theo giả thuyết của Carnot, điều đó là không thể. Nhưng nếu chỉ nhìn vào nó, chúng ta thấy, prima facie (ngay từ cái nhìn đầu tiên), rằng nó có vẻ hoàn toàn có thể. Vậy chúng ta phải nhìn kỹ hơn. Thật vậy, nếu nhìn vào bánh cóc và con cóc, chúng ta thấy một số rắc rối.

Trước hết, bánh cóc lý tưởng hóa của chúng ta tuy đơn giản hết mức có thể, nhưng dù sao cũng có một con cóc, và phải có một lò xo trong con cóc. Con cóc phải quay trở lại sau khi rời khỏi một răng, nên lò xo là cần thiết.

Một đặc điểm khác của bánh cóc và con cóc này, không được thể hiện trong hình, lại khá thiết yếu. Giả sử thiết bị được làm bằng các bộ phận hoàn toàn đàn hồi. Sau khi con cóc được nâng khỏi đầu răng và bị lò xo đẩy trở lại, nó sẽ nảy vào bánh xe và tiếp tục nảy. Khi đó, khi một thăng giáng khác đến, bánh xe có thể quay theo chiều ngược lại, vì răng có thể luồn xuống dưới trong khoảnh khắc con cóc đang ở trên cao! Do đó một phần thiết yếu của tính không thuận nghịch của bánh xe của chúng ta là một cơ chế tắt dần hay làm chết chuyển động nảy, cơ chế này làm dừng sự nảy. Khi sự tắt dần xảy ra, dĩ nhiên, năng lượng có trong con cóc đi vào bánh xe và xuất hiện dưới dạng nhiệt. Vậy, khi nó quay, bánh xe sẽ ngày càng nóng hơn. Để làm cho mọi thứ đơn giản hơn, chúng ta có thể đặt một chất khí quanh bánh xe để hút bớt một phần nhiệt. Dù sao, giả sử chất khí cứ tăng nhiệt độ, cùng với bánh xe. Nó sẽ tiếp diễn mãi mãi chăng? Không! Con cóc và bánh xe, cả hai ở nhiệt độ T nào đó, cũng có chuyển động Brown. Chuyển động này diễn ra sao cho, thỉnh thoảng, một cách tình cờ, con cóc tự nâng mình lên và vượt qua một răng đúng vào khoảnh khắc chuyển động Brown ở các cánh quạt đang cố quay trục ngược lại. Và khi mọi thứ nóng lên, điều này xảy ra thường xuyên hơn.

Đó chính là lý do thiết bị này không hoạt động như một chuyển động vĩnh cửu. Khi các cánh quạt bị đá, đôi khi con cóc nâng lên và vượt qua đầu răng. Nhưng đôi khi, khi nó cố quay theo chiều ngược lại, con cóc đã nâng lên rồi do các thăng giáng của chuyển động ở phía bánh xe, và bánh xe quay trở lại theo chiều kia! Kết quả ròng là chẳng có gì cả. Không khó để chứng minh rằng khi nhiệt độ ở cả hai phía bằng nhau, sẽ không có chuyển động trung bình ròng nào của bánh xe. Dĩ nhiên bánh xe sẽ rung lắc rất nhiều theo chiều này và chiều kia, nhưng nó sẽ không làm điều chúng ta muốn, đó là chỉ quay theo một chiều.

Hãy xét lý do. Cần phải thực hiện công chống lại lò xo để nâng con cóc lên tới đỉnh của một răng. Hãy gọi năng lượng này là ε, và gọi θ là góc giữa các răng. Khả năng hệ có thể tích lũy đủ năng lượng ε để đưa con cóc qua đỉnh răng là e^−ε/kT. Nhưng xác suất con cóc tình cờ ở trên cao cũng là e^−ε/kT. Vậy số lần con cóc ở trên cao và bánh xe có thể quay ngược lại tự do bằng với số lần chúng ta có đủ năng lượng để quay nó tiến lên khi con cóc ở dưới. Như vậy chúng ta được một sự “cân bằng”, và bánh xe sẽ không quay vòng.

46–2  Bánh cóc như một động cơ

Bây giờ hãy đi xa hơn. Lấy ví dụ trong đó nhiệt độ của các cánh quạt là T₁ và nhiệt độ của bánh xe, hay bánh cóc, là T₂, và T₂ nhỏ hơn T₁. Vì bánh xe lạnh và các thăng giáng của con cóc tương đối hiếm, con cóc sẽ rất khó đạt được năng lượng ε. Vì nhiệt độ T₁ cao, các cánh quạt sẽ thường xuyên đạt được năng lượng ε, nên dụng cụ của chúng ta sẽ chạy theo một chiều, như đã thiết kế.

Bây giờ chúng ta muốn xem nó có thể nâng vật nặng hay không. Trên cái trống ở giữa, ta buộc một sợi dây, và đặt một vật nặng, chẳng hạn con bọ chét của chúng ta, lên sợi dây. Đặt L là mômen lực do vật nặng gây ra. Nếu L không quá lớn, máy của chúng ta sẽ nâng vật nặng lên vì các thăng giáng Brown khiến nó có khả năng chuyển động theo một chiều hơn là chiều kia. Chúng ta muốn tìm xem nó có thể nâng được bao nhiêu trọng lượng, nó quay nhanh đến mức nào, và những thứ tương tự.

Trước hết hãy xét một chuyển động tiến lên, chiều thông thường mà người ta thiết kế cho một bánh cóc chạy. Để thực hiện một bước tiến lên, cần phải vay bao nhiêu năng lượng từ phía cánh quạt? Chúng ta phải vay một năng lượng ε để nâng con cóc. Bánh xe quay qua một góc θ chống lại một mômen lực L, nên chúng ta còn cần năng lượng Lθ. Tổng lượng năng lượng chúng ta phải vay do đó là ε + Lθ. Xác suất chúng ta nhận được năng lượng này tỉ lệ với e^{−(ε + Lθ)/kT₁}. Thật ra, không chỉ là vấn đề nhận được năng lượng, mà chúng ta còn muốn biết số lần mỗi giây nó có năng lượng này. Xác suất mỗi giây tỉ lệ với e^{−(ε + Lθ)/kT₁}, và chúng ta sẽ gọi hằng số tỉ lệ là 1/τ. Dù sao nó cũng sẽ triệt tiêu ở cuối. Khi một bước tiến lên xảy ra, công thực hiện lên vật nặng là Lθ. Năng lượng lấy từ cánh quạt là ε + Lθ. Lò xo được lên dây với năng lượng ε, rồi nó kêu lách cách, lách cách, bang, và năng lượng này đi vào nhiệt. Toàn bộ năng lượng lấy ra đi vào việc nâng vật nặng và điều khiển con cóc, con cóc sau đó rơi trở lại và truyền nhiệt cho phía bên kia.

Bây giờ hãy xét trường hợp ngược lại, tức là chuyển động lùi lại. Điều gì xảy ra ở đây? Để bánh xe quay ngược lại, tất cả những gì chúng ta phải làm là cung cấp năng lượng để nâng con cóc đủ cao sao cho bánh cóc trượt qua. Năng lượng này vẫn là ε. Xác suất mỗi giây để con cóc nâng cao đến mức này bây giờ là (1/τ)e^−ε/kT₂. Hằng số tỉ lệ của chúng ta vẫn như cũ, nhưng lần này kT₂ xuất hiện vì nhiệt độ khác. Khi điều này xảy ra, công được giải phóng vì bánh xe trượt lùi lại. Nó mất đi một nấc, nên nó giải phóng công Lθ. Năng lượng lấy từ hệ bánh cóc là ε, và năng lượng truyền cho chất khí ở nhiệt độ T₁ ở phía cánh quạt là Lθ + ε. Cần suy nghĩ một chút mới thấy được lý do của điều đó.

Giả sử con cóc đã tự nâng lên một cách tình cờ do một thăng giáng. Khi đó khi nó rơi trở lại và lò xo đẩy nó xuống chống lại răng, có một lực cố quay bánh xe, vì răng đang đẩy lên một mặt phẳng nghiêng. Lực này đang thực hiện công, và lực do vật nặng gây ra cũng vậy. Vậy cả hai cùng nhau tạo thành tổng lực, và toàn bộ năng lượng được giải phóng chầm chậm xuất hiện ở phía cánh quạt dưới dạng nhiệt. (Dĩ nhiên nó phải như vậy, do bảo toàn năng lượng, nhưng người ta phải cẩn thận nghĩ thông suốt mọi việc!) Chúng ta để ý rằng mọi năng lượng này đều y hệt như trước, nhưng đảo ngược. Vậy, tùy thuộc tốc độ nào trong hai tốc độ này lớn hơn, vật nặng hoặc được nâng lên chầm chậm hoặc được thả xuống chầm chậm. Dĩ nhiên, nó liên tục rung lắc vòng quanh, lên một lúc rồi xuống một lúc, nhưng chúng ta đang nói về cách hành xử trung bình.

Giả sử với một trọng lượng cụ thể nào đó, hai tốc độ tình cờ bằng nhau. Khi đó chúng ta thêm một trọng lượng vô cùng nhỏ vào sợi dây. Vật nặng sẽ chầm chậm đi xuống, và công sẽ được thực hiện lên máy. Năng lượng sẽ được lấy từ bánh xe và truyền cho các cánh quạt. Nếu thay vào đó chúng ta bỏ bớt một ít trọng lượng, thì sự mất cân bằng theo chiều ngược lại. Vật nặng được nâng lên, và nhiệt được lấy từ cánh quạt và đưa vào bánh xe. Vậy chúng ta có các điều kiện của chu trình thuận nghịch của Carnot, với điều kiện trọng lượng vừa đúng sao cho hai tốc độ này bằng nhau. Điều kiện này hiển nhiên là (ε + Lθ)/T₁ = ε/T₂. Giả sử máy đang chầm chậm nâng vật nặng. Năng lượng Q₁ được lấy từ các cánh quạt và năng lượng Q₂ được truyền cho bánh xe, và các năng lượng này có tỉ lệ (ε + Lθ)/ε. Nếu chúng ta hạ vật nặng xuống, chúng ta cũng có Q₁/Q₂ = (ε + Lθ)/ε. Như vậy (Bảng 46–1) chúng ta có

Q₁/Q₂ = T₁/T₂.

Hơn nữa, công chúng ta thu được so với năng lượng lấy từ cánh quạt như Lθ so với Lθ + ε, do đó như (T₁ − T₂)/T₁. Chúng ta thấy thiết bị của chúng ta không thể trích ra nhiều công hơn lượng này, khi hoạt động một cách thuận nghịch. Đây là kết quả chúng ta kỳ vọng từ lập luận của Carnot, và là kết quả chính của bài giảng này. Tuy nhiên, chúng ta có thể dùng thiết bị của mình để hiểu một vài hiện tượng khác, ngay cả khi ra khỏi cân bằng, và do đó nằm ngoài phạm vi của nhiệt động lực học.

Nếu hệ thuận nghịch, hai tốc độ bằng nhau, do đó (ε + Lθ)/T₁ = ε/T₂. Nhiệt truyền cho bánh cóc / Nhiệt lấy từ cánh quạt = ε/(Lθ + ε). Do đó Q₂/Q₁ = T₂/T₁.

Bây giờ hãy tính xem thiết bị một chiều của chúng ta sẽ quay nhanh đến mức nào nếu mọi thứ ở cùng một nhiệt độ và chúng ta treo một vật nặng lên trống. Nếu chúng ta kéo rất, rất mạnh, dĩ nhiên, có đủ thứ rắc rối. Con cóc trượt qua bánh cóc, hoặc lò xo gãy, hoặc cái gì đó. Nhưng giả sử chúng ta kéo đủ nhẹ để mọi thứ hoạt động tốt đẹp. Trong những hoàn cảnh đó, phân tích ở trên là đúng cho xác suất bánh xe đi tới và đi lui, nếu chúng ta nhớ rằng hai nhiệt độ bằng nhau. Trong mỗi bước, một góc θ đạt được, vậy vận tốc góc là θ nhân với xác suất của một trong những bước nhảy này mỗi giây. Nó đi tới với xác suất (1/τ)e^{−(ε + Lθ)/kT} và đi lui với xác suất (1/τ)e^−ε/kT, vậy đối với vận tốc góc chúng ta có

ω = (θ/τ)(e^{−(ε + Lθ)/kT} − e^−ε/kT) = (θ/τ)e^−ε/kT(e^−Lθ/kT − 1).   (46.1)

Nếu chúng ta vẽ đồ thị ω theo L, chúng ta thu được đường cong cho trong Hình 46–2. Chúng ta thấy nó tạo ra một khác biệt lớn việc L dương hay âm. Nếu L tăng trong vùng dương, điều xảy ra khi chúng ta cố lái bánh xe lùi lại, vận tốc lùi tiến tới một hằng số. Khi L trở nên âm, ω thật sự “cất cánh” tiến lên, vì e lũy thừa của một số cực lớn thì rất lớn!

Vận tốc góc thu được từ các lực khác nhau do đó rất không đối xứng. Đi theo một chiều thì dễ: chúng ta thu được rất nhiều vận tốc góc chỉ với một lực nhỏ. Đi theo chiều kia, chúng ta có thể đặt lên một lực lớn, mà bánh xe hầu như không quay vòng.

Chúng ta tìm thấy điều tương tự trong một bộ chỉnh lưu điện. Thay cho lực, chúng ta có điện trường, và thay cho vận tốc góc, chúng ta có dòng điện. Trong trường hợp một bộ chỉnh lưu, điện áp không tỉ lệ với điện trở, và tình huống không đối xứng. Cùng một phân tích chúng ta đã làm cho bộ chỉnh lưu cơ học cũng sẽ hoạt động đối với một bộ chỉnh lưu điện. Thật vậy, loại công thức chúng ta thu được ở trên là điển hình cho khả năng mang dòng của các bộ chỉnh lưu như một hàm của điện áp của chúng.

Bây giờ hãy lấy hết các vật nặng đi, và nhìn vào cỗ máy ban đầu. Nếu T₂ nhỏ hơn T₁, bánh cóc sẽ đi tới, như bất cứ ai cũng tin. Nhưng điều khó tin, ngay từ cái nhìn đầu tiên, là điều ngược lại. Nếu T₂ lớn hơn T₁, bánh cóc quay vòng theo chiều ngược lại! Một bánh cóc động lực học có nhiều nhiệt trong nó tự chạy ngược lại, vì con cóc đang nảy. Nếu con cóc, trong một khoảnh khắc, ở trên mặt nghiêng ở đâu đó, nó đẩy mặt phẳng nghiêng sang ngang. Nhưng nó luôn luôn đẩy lên một mặt phẳng nghiêng, vì nếu nó tình cờ nâng lên đủ cao để vượt qua đầu nhọn của một răng, thì mặt phẳng nghiêng trượt qua, và nó lại rơi xuống trên một mặt phẳng nghiêng. Vậy một bánh cóc và con cóc nóng được xây dựng một cách lý tưởng để quay vòng theo chiều đúng ngược lại với chiều nó được thiết kế ban đầu!

Bất chấp mọi sự khôn khéo trong thiết kế lệch lạc của chúng ta, nếu hai nhiệt độ đúng bằng nhau thì không có xu hướng nào quay theo chiều này hơn chiều kia. Khoảnh khắc chúng ta nhìn vào nó, có thể nó đang quay theo chiều này hay chiều kia, nhưng về lâu dài, nó chẳng đi đến đâu. Sự kiện nó chẳng đi đến đâu thật sự là nguyên lý sâu xa căn bản mà toàn bộ nhiệt động lực học dựa trên đó.

46–3  Tính thuận nghịch trong cơ học

Nguyên lý cơ học sâu xa nào cho chúng ta biết rằng, về lâu dài, nếu nhiệt độ được giữ như nhau ở khắp mọi nơi, dụng cụ của chúng ta sẽ không quay sang phải cũng không quay sang trái? Hiển nhiên chúng ta có một mệnh đề căn bản rằng không có cách nào thiết kế một cỗ máy mà, để mặc cho chính nó, sẽ có khả năng đang quay theo một chiều hơn là chiều kia sau một thời gian đủ dài. Chúng ta phải thử xem điều này tuân theo các định luật cơ học như thế nào.

Các định luật cơ học đại khái như thế này: khối lượng nhân với gia tốc là lực, và lực lên mỗi hạt là một hàm phức tạp nào đó của vị trí của mọi hạt khác. Có những tình huống khác trong đó các lực phụ thuộc vào vận tốc, chẳng hạn như trong từ học, nhưng bây giờ chúng ta đừng xét điều đó. Chúng ta lấy một trường hợp đơn giản hơn, chẳng hạn như trọng lực, nơi các lực chỉ phụ thuộc vào vị trí. Bây giờ giả sử chúng ta đã giải hệ phương trình của mình và chúng ta có một chuyển động x(t) nào đó cho mỗi hạt. Trong một hệ đủ phức tạp, các nghiệm rất phức tạp, và điều xảy ra theo thời gian hóa ra rất đáng ngạc nhiên. Nếu chúng ta viết xuống bất kỳ sự sắp xếp nào tùy ý cho các hạt, chúng ta sẽ thấy sự sắp xếp này thực sự xảy ra nếu chúng ta chờ đủ lâu! Nếu chúng ta theo dõi nghiệm của mình trong một thời gian đủ dài, có thể nói nó thử mọi thứ nó có thể làm. Điều này không tuyệt đối cần thiết trong những thiết bị đơn giản nhất, nhưng khi các hệ trở nên đủ phức tạp, với đủ nguyên tử, nó xảy ra. Bây giờ có một điều khác nghiệm có thể làm. Nếu chúng ta giải các phương trình chuyển động, chúng ta có thể thu được những hàm nào đó như t + t² + t³. Chúng ta khẳng định rằng một nghiệm khác sẽ là −t + t² − t³. Nói cách khác, nếu chúng ta thay −t ở khắp mọi nơi cho t trong toàn bộ nghiệm, chúng ta sẽ một lần nữa thu được một nghiệm của cùng phương trình. Điều này tuân theo sự kiện rằng nếu chúng ta thay −t cho t trong phương trình vi phân gốc, không có gì thay đổi, vì chỉ các đạo hàm cấp hai theo t mới xuất hiện. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta có một chuyển động nào đó, thì chuyển động đúng ngược lại cũng có thể. Trong sự hỗn loạn hoàn toàn đến nếu chúng ta chờ đủ lâu, nó thấy mình đôi lúc đi theo một chiều, và đôi lúc đi theo chiều kia. Không có gì đẹp hơn ở một trong hai chuyển động so với chuyển động kia. Vậy không thể thiết kế một cỗ máy mà, về lâu dài, có khả năng đi theo một chiều hơn là chiều kia, nếu cỗ máy đủ phức tạp.

Người ta có thể nghĩ ra một ví dụ mà điều này hiển nhiên là không đúng. Nếu chúng ta lấy một bánh xe, chẳng hạn, và quay nó trong không gian trống, nó sẽ đi theo cùng một chiều mãi mãi. Vậy có một số điều kiện, như bảo toàn mômen động lượng, vi phạm lập luận trên. Điều này chỉ đòi hỏi lập luận phải được thực hiện cẩn thận hơn một chút. Có lẽ các vách lấy đi mômen động lượng, hay một cái gì đó tương tự, sao cho chúng ta không có các định luật bảo toàn đặc biệt nào. Khi đó, nếu hệ đủ phức tạp, lập luận là đúng. Nó dựa trên sự kiện các định luật cơ học là thuận nghịch.

Vì mối quan tâm lịch sử, chúng ta muốn nói về một thiết bị do Maxwell phát minh, người đầu tiên xây dựng thuyết động học của các chất khí. Ông giả định tình huống sau: Chúng ta có hai hộp khí ở cùng nhiệt độ, với một lỗ nhỏ giữa chúng. Ở lỗ ngồi một con quỷ nhỏ (dĩ nhiên con quỷ có thể là một cỗ máy!). Có một cánh cửa trên lỗ, có thể được con quỷ mở hay đóng. Nó quan sát các phân tử đến từ phía trái. Bất cứ khi nào nó thấy một phân tử nhanh, nó mở cửa. Khi nó thấy một phân tử chậm, nó để cửa đóng. Nếu chúng ta muốn nó là một con quỷ đặc biệt xuất sắc, nó có thể có mắt ở sau đầu, và làm điều ngược lại với các phân tử từ phía bên kia. Nó cho các phân tử chậm đi qua sang trái, và các phân tử nhanh đi qua sang phải. Chẳng bao lâu phía trái sẽ lạnh đi và phía phải nóng lên. Khi đó, các ý tưởng của nhiệt động lực học có bị vi phạm vì chúng ta có thể có một con quỷ như vậy không?

Hóa ra, nếu chúng ta chế tạo một con quỷ có kích thước hữu hạn, chính con quỷ sẽ trở nên ấm đến mức sau một thời gian nó không thể nhìn rõ nữa. Con quỷ đơn giản nhất có thể, làm ví dụ, sẽ là một cửa sập được giữ trên lỗ bởi một lò xo. Một phân tử nhanh đi qua, vì nó có thể nâng cửa sập lên. Phân tử chậm không thể đi qua, và nảy trở lại. Nhưng thứ này chẳng là gì khác ngoài bánh cóc và con cóc của chúng ta ở một dạng khác, và cuối cùng cơ chế sẽ nóng lên. Nếu chúng ta giả thiết nhiệt dung riêng của con quỷ không phải là vô hạn, nó phải nóng lên. Nó chỉ có một số hữu hạn bánh răng và bánh xe bên trong, nên nó không thể loại bỏ lượng nhiệt phụ thêm mà nó nhận được từ việc quan sát các phân tử. Chẳng bao lâu nó rung lắc vì chuyển động Brown nhiều đến mức nó không thể biết mình đang đến hay đang đi, càng không thể biết các phân tử đang đến hay đang đi, nên nó không hoạt động.

46–4  Tính không thuận nghịch

Có phải mọi định luật vật lý đều thuận nghịch? Hiển nhiên là không! Cứ thử khuấy lại một quả trứng đã khuấy chín mà xem! Chạy một cuốn phim ngược lại, và chỉ vài phút là mọi người bắt đầu cười. Đặc trưng tự nhiên nhất của mọi hiện tượng là tính không thuận nghịch hiển nhiên của chúng.

Tính không thuận nghịch đến từ đâu? Nó không đến từ các định luật Newton. Nếu chúng ta khẳng định rằng hành vi của mọi thứ cuối cùng phải được hiểu theo các định luật vật lý, và nếu hóa ra mọi phương trình đều có tính chất kỳ diệu là nếu chúng ta đặt t = −t chúng ta có một nghiệm khác, thì mọi hiện tượng đều thuận nghịch. Vậy làm sao trên quy mô lớn trong tự nhiên mọi thứ lại không thuận nghịch? Rõ ràng phải có một định luật nào đó, một phương trình căn bản nào đó còn mơ hồ, có lẽ trong điện học, có thể trong vật lý neutrino, trong đó việc thời gian đi theo chiều nào quả thực có ý nghĩa.

Bây giờ hãy thảo luận câu hỏi đó. Chúng ta đã biết một trong những định luật như vậy, định luật nói rằng entropy luôn luôn tăng. Nếu chúng ta có một vật nóng và một vật lạnh, nhiệt đi từ nóng sang lạnh. Vậy định luật entropy là một định luật như vậy. Nhưng chúng ta kỳ vọng hiểu được định luật entropy từ quan điểm cơ học. Thật vậy, chúng ta vừa thành công trong việc thu được mọi hệ quả của lập luận rằng nhiệt không thể tự chảy ngược lại chỉ từ các lập luận cơ học, và qua đó chúng ta thu được sự hiểu biết về Nguyên lý thứ hai. Dường như chúng ta có thể thu được tính không thuận nghịch từ các phương trình thuận nghịch. Nhưng có phải chúng ta chỉ dùng một lập luận cơ học hay không? Hãy xem xét kỹ hơn.

Vì câu hỏi của chúng ta liên quan đến entropy, bài toán của chúng ta là thử tìm một mô tả vi mô của entropy. Nếu chúng ta nói chúng ta có một lượng năng lượng nào đó trong một thứ gì đó, như một chất khí, thì chúng ta có thể thu được một bức tranh vi mô của nó, và nói rằng mỗi nguyên tử có một năng lượng nào đó. Mọi năng lượng này cộng lại cho chúng ta tổng năng lượng. Tương tự, có lẽ mỗi nguyên tử có một entropy nào đó. Nếu chúng ta cộng mọi thứ lại, chúng ta sẽ có tổng entropy. Điều đó không hoạt động tốt lắm, nhưng hãy xem điều gì xảy ra.

Làm một ví dụ, chúng ta tính hiệu entropy giữa một chất khí ở một nhiệt độ nhất định tại một thể tích, và một chất khí ở cùng nhiệt độ tại một thể tích khác. Chúng ta nhớ lại, từ Chương 44, rằng chúng ta có, đối với sự thay đổi entropy,

ΔS = ∫ dQ/T.

Trong trường hợp hiện tại, năng lượng của chất khí là như nhau trước và sau khi giãn nở, vì nhiệt độ không thay đổi. Vậy chúng ta phải thêm vào đủ nhiệt để bằng công thực hiện bởi chất khí hay, đối với mỗi thay đổi nhỏ của thể tích,

dQ = P dV.

Đặt điều này vào cho dQ, chúng ta thu được

ΔS = ∫_V1^V₂ P dV/T = ∫_V1^V₂ (NkT/V) dV/T = Nk ln(V₂/V₁),

như chúng ta đã thu được trong Chương 44. Chẳng hạn, nếu chúng ta tăng thể tích lên gấp 2, sự thay đổi entropy là Nk ln 2.

Bây giờ hãy xét một ví dụ thú vị khác. Giả sử chúng ta có một hộp với một vách ngăn ở giữa. Ở một phía là neon (các phân tử “đen”), và ở phía kia, argon (các phân tử “trắng”). Bây giờ chúng ta lấy vách ngăn ra, và để chúng trộn lẫn. Entropy đã thay đổi bao nhiêu? Có thể hình dung rằng thay cho vách ngăn chúng ta có một pít-tông, với các lỗ trong đó cho phép các phân tử trắng đi qua nhưng không cho các phân tử đen, và một loại pít-tông khác thì ngược lại. Nếu chúng ta di chuyển mỗi pít-tông tới một đầu, chúng ta thấy rằng, đối với mỗi chất khí, bài toán giống như bài toán chúng ta vừa giải. Vậy chúng ta thu được một sự thay đổi entropy là Nk ln 2, điều đó có nghĩa là entropy đã tăng thêm k ln 2 cho mỗi phân tử. Số 2 có liên quan đến khoảng không gian phụ thêm mà phân tử có, điều này khá kỳ lạ. Nó không phải là một tính chất của chính phân tử, mà là của lượng không gian phân tử có để chạy vòng quanh trong đó. Đây là một tình huống kỳ lạ, nơi entropy tăng nhưng nơi mọi thứ có cùng nhiệt độ và cùng năng lượng! Điều duy nhất thay đổi là các phân tử được phân bố khác đi.

Chúng ta biết rõ rằng nếu chúng ta chỉ rút vách ngăn ra, mọi thứ sẽ bị trộn lẫn sau một thời gian dài, do va chạm, rung lắc, đập phá, và những thứ tương tự. Thỉnh thoảng một phân tử trắng đi về phía một phân tử đen, và một phân tử đen đi về phía một phân tử trắng, và chúng có thể đi qua nhau. Dần dần các phân tử trắng len lỏi, một cách tình cờ, sang phía không gian của các phân tử đen, và các phân tử đen len lỏi, một cách tình cờ, vào không gian của các phân tử trắng. Nếu chúng ta chờ đủ lâu chúng ta thu được một hỗn hợp.

Rõ ràng, đây là một quá trình không thuận nghịch trong thế giới thực, và phải liên quan đến một sự tăng entropy.

Ở đây chúng ta có một ví dụ đơn giản về một quá trình không thuận nghịch hoàn toàn được cấu thành từ các sự kiện thuận nghịch. Mỗi lần có một va chạm giữa hai phân tử bất kỳ, chúng ra đi theo những hướng nhất định. Nếu chúng ta quay một cuốn phim về một va chạm theo chiều ngược lại, sẽ không có gì sai với cuốn phim cả. Thật vậy, một loại va chạm cũng có khả năng xảy ra ngang một loại va chạm khác. Vậy sự trộn lẫn hoàn toàn thuận nghịch, nhưng nó lại không thuận nghịch. Mọi người đều biết rằng nếu chúng ta bắt đầu với trắng và đen, tách riêng, chúng ta sẽ thu được một hỗn hợp trong vòng vài phút. Nếu chúng ta ngồi và nhìn nó thêm vài phút nữa, nó sẽ không tách ra trở lại mà sẽ giữ nguyên trạng thái đã trộn. Vậy chúng ta có một tính không thuận nghịch dựa trên các tình huống thuận nghịch. Nhưng bây giờ chúng ta cũng thấy lý do. Chúng ta bắt đầu với một sự sắp xếp, theo một nghĩa nào đó, có trật tự. Do sự hỗn loạn của các va chạm, nó trở nên mất trật tự. Chính sự thay đổi từ một sự sắp xếp có trật tự sang một sự sắp xếp mất trật tự là nguồn gốc của tính không thuận nghịch.

Đúng là nếu chúng ta lấy một cuốn phim về điều này, và chiếu ngược lại, chúng ta sẽ thấy nó dần dần trở nên có trật tự. Ai đó sẽ nói, “Điều đó trái với các định luật vật lý!” Vậy chúng ta sẽ chạy cuốn phim lại, và chúng ta sẽ nhìn vào mọi va chạm. Mỗi va chạm đều hoàn hảo, và mỗi va chạm đều tuân theo các định luật vật lý. Lý do, dĩ nhiên, là mọi vận tốc của các phân tử đều vừa đúng, vậy nếu các đường đi đều được đi theo ngược lại, chúng trở lại điều kiện ban đầu. Nhưng đó là một hoàn cảnh rất khó xảy ra. Nếu chúng ta bắt đầu với chất khí trong một sự sắp xếp không đặc biệt, chỉ trắng và đen, nó sẽ không bao giờ quay trở lại.

46–5  Trật tự và entropy

Vậy bây giờ chúng ta phải nói về điều chúng ta muốn nói khi nói mất trật tự và điều chúng ta muốn nói khi nói trật tự. Đó không phải là vấn đề trật tự dễ chịu hay mất trật tự khó chịu. Điều khác nhau trong các trường hợp đã trộn và chưa trộn của chúng ta là như sau. Giả sử chúng ta chia không gian thành các phần tử thể tích nhỏ. Nếu chúng ta có các phân tử trắng và đen, có bao nhiêu cách chúng ta có thể phân bố chúng giữa các phần tử thể tích sao cho trắng ở một phía, và đen ở phía kia? Mặt khác, có bao nhiêu cách chúng ta có thể phân bố chúng mà không có hạn chế nào về việc phân tử nào đi đâu? Rõ ràng, có nhiều cách sắp xếp chúng hơn nhiều trong trường hợp sau. Chúng ta đo “sự mất trật tự” bằng số cách phần bên trong có thể được sắp xếp, sao cho từ bên ngoài nó trông vẫn như cũ. Logarit của số cách đó là entropy. Số cách trong trường hợp đã tách riêng nhỏ hơn, nên entropy nhỏ hơn, hay “sự mất trật tự” nhỏ hơn.

Vậy với định nghĩa kỹ thuật trên về sự mất trật tự, chúng ta có thể hiểu mệnh đề. Thứ nhất, entropy đo sự mất trật tự. Thứ hai, vũ trụ luôn luôn đi từ “trật tự” sang “mất trật tự”, nên entropy luôn luôn tăng. Trật tự không phải là trật tự theo nghĩa chúng ta thích sự sắp xếp đó, mà theo nghĩa số cách khác nhau chúng ta có thể nối kết nó lại, mà vẫn có nó trông như cũ từ bên ngoài, là tương đối bị hạn chế. Trong trường hợp chúng ta đảo ngược cuốn phim về sự trộn lẫn khí, đã không có nhiều sự mất trật tự như chúng ta tưởng. Mỗi nguyên tử đơn lẻ đều có đúng tốc độ và hướng chính xác để kết quả thành ra đúng! Entropy rốt cuộc không cao, mặc dù nó có vẻ như vậy.

Còn tính thuận nghịch của các định luật vật lý khác thì sao? Khi chúng ta nói về điện trường sinh ra từ một điện tích đang tăng tốc, người ta đã nói rằng chúng ta phải lấy trường trễ. Tại một thời điểm t và tại một khoảng cách r từ điện tích, chúng ta lấy trường do gia tốc gây ra tại thời điểm t − r/c, không phải t + r/c. Vậy trông, ngay từ đầu, như thể định luật điện học không thuận nghịch. Tuy nhiên, rất kỳ lạ, các định luật chúng ta dùng đến từ một hệ phương trình gọi là các phương trình Maxwell, những phương trình này, trên thực tế, là thuận nghịch. Hơn nữa, có thể lập luận rằng nếu chúng ta chỉ dùng trường sớm, trường do trạng thái sự việc tại t + r/c gây ra, và làm điều đó một cách tuyệt đối nhất quán trong một không gian hoàn toàn kín, mọi thứ xảy ra đúng y hệt như khi chúng ta dùng các trường trễ! Tính không thuận nghịch biểu kiến này trong điện học, ít nhất trong một không gian kín, do đó không phải là một tính không thuận nghịch thật sự. Chúng ta đã có một chút cảm giác về điều đó rồi, vì chúng ta biết rằng khi chúng ta có một điện tích dao động tạo ra các trường được nảy trở lại từ các vách của một không gian kín, cuối cùng chúng ta đi đến một cân bằng trong đó không có tính một chiều nào. Cách tiếp cận trường trễ chỉ là một tiện lợi trong phương pháp giải.

Trong chừng mực chúng ta biết, mọi định luật căn bản của vật lý, như các phương trình Newton, đều thuận nghịch. Vậy tính không thuận nghịch đến từ đâu? Nó đến từ việc trật tự đi sang mất trật tự, nhưng chúng ta không hiểu điều này cho đến khi chúng ta biết nguồn gốc của trật tự. Tại sao các tình huống chúng ta thấy mình ở trong đó mỗi ngày luôn luôn ra khỏi cân bằng? Một cách giải thích có thể là như sau. Hãy nhìn lại hộp của chúng ta gồm các phân tử trắng và đen đã trộn lẫn. Bây giờ có thể, nếu chúng ta chờ đủ lâu, do một tai nạn tuyệt đối cực kỳ khó xảy ra, nhưng có thể, mà sự phân bố của các phân tử trở thành phần lớn trắng ở một phía và phần lớn đen ở phía kia. Sau đó, khi thời gian trôi đi và các tai nạn tiếp tục, chúng lại trở nên trộn lẫn hơn.

Như vậy một cách giải thích có thể cho mức độ trật tự cao trong thế giới ngày nay là đó chỉ là vấn đề may rủi. Có lẽ vũ trụ của chúng ta tình cờ đã có một thăng giáng nào đó trong quá khứ, trong đó mọi thứ trở nên có phần nào tách riêng, và bây giờ chúng đang chạy trở lại với nhau. Loại lý thuyết này không phải là không đối xứng, vì chúng ta có thể hỏi khí đã tách riêng trông như thế nào hoặc một chút trong tương lai hoặc một chút trong quá khứ. Trong cả hai trường hợp, chúng ta đều thấy một vệt xám ở mặt phân cách, vì các phân tử đang trộn lẫn trở lại. Dù chúng ta chạy thời gian theo chiều nào, khí cũng trộn lẫn. Vậy lý thuyết này sẽ nói tính không thuận nghịch chỉ là một trong những tai nạn của cuộc sống.

Chúng ta muốn lập luận rằng điều này không phải như vậy. Giả sử chúng ta không nhìn vào toàn bộ hộp cùng một lúc, mà chỉ nhìn vào một phần của hộp. Khi đó, tại một thời điểm nào đó, giả sử chúng ta phát hiện một lượng trật tự nào đó. Trong phần nhỏ này, trắng và đen tách riêng. Chúng ta nên suy ra điều gì về điều kiện ở những nơi chúng ta chưa nhìn? Nếu chúng ta thật sự tin rằng trật tự nảy sinh từ sự mất trật tự hoàn toàn do một thăng giáng, chúng ta chắc chắn phải lấy thăng giáng có khả năng nhất có thể tạo ra nó, và điều kiện có khả năng nhất không phải là phần còn lại của nó cũng đã trở nên không rối nữa! Do đó, từ giả thuyết rằng thế giới là một thăng giáng, mọi dự đoán đều là nếu chúng ta nhìn vào một phần của thế giới chúng ta chưa từng thấy trước đây, chúng ta sẽ thấy nó bị trộn lẫn, và không giống phần chúng ta vừa nhìn. Nếu trật tự của chúng ta là do một thăng giáng, chúng ta sẽ không kỳ vọng có trật tự ở bất cứ đâu ngoài nơi chúng ta vừa để ý thấy nó.

Bây giờ chúng ta giả thiết sự tách riêng là vì quá khứ của vũ trụ thật sự có trật tự. Nó không phải do một thăng giáng, mà toàn bộ mọi thứ trước đây vốn là trắng và đen. Lý thuyết này bây giờ dự đoán rằng sẽ có trật tự ở những nơi khác — trật tự không phải do một thăng giáng, mà do một sự sắp xếp có trật tự cao hơn nhiều ở khởi đầu của thời gian. Khi đó chúng ta sẽ kỳ vọng tìm thấy trật tự ở những nơi chúng ta chưa nhìn.

Các nhà thiên văn học, chẳng hạn, chỉ mới nhìn vào một số ngôi sao. Mỗi ngày họ hướng kính thiên văn của họ tới các ngôi sao khác, và các ngôi sao mới đang làm cùng một việc như các ngôi sao khác. Do đó chúng ta kết luận rằng vũ trụ không phải là một thăng giáng, và rằng trật tự là một ký ức về các điều kiện khi mọi thứ bắt đầu. Điều này không có nghĩa là chúng ta hiểu logic của nó. Vì một lý do nào đó, vũ trụ tại một thời điểm đã có một entropy rất thấp so với hàm lượng năng lượng của nó, và từ đó đến nay entropy đã tăng. Vậy đó là chiều hướng tới tương lai. Đó là nguồn gốc của mọi tính không thuận nghịch, đó là điều tạo ra các quá trình lớn lên và suy tàn, điều khiến chúng ta nhớ quá khứ chứ không nhớ tương lai, nhớ những thứ gần hơn với khoảnh khắc đó trong lịch sử của vũ trụ khi trật tự cao hơn bây giờ, và tại sao chúng ta không thể nhớ những thứ nơi sự mất trật tự cao hơn bây giờ, những thứ chúng ta gọi là tương lai. Vậy, như chúng ta đã nhận xét trong một chương trước, toàn bộ vũ trụ nằm trong một ly rượu vang, nếu chúng ta nhìn vào nó đủ kỹ. Trong trường hợp này ly rượu vang phức tạp, vì có nước và thủy tinh và ánh sáng và mọi thứ khác.

Một niềm vui khác của môn vật lý của chúng ta là ngay cả những thứ đơn giản và lý tưởng hóa, như bánh cóc và con cóc, cũng chỉ hoạt động vì chúng là một phần của vũ trụ. Bánh cóc và con cóc hoạt động chỉ theo một chiều vì nó có một liên hệ tối hậu nào đó với phần còn lại của vũ trụ. Nếu bánh cóc và con cóc ở trong một hộp và bị cô lập trong một thời gian đủ dài, bánh xe sẽ không có khả năng đi theo một chiều hơn là chiều kia. Nhưng vì chúng ta kéo rèm lên và để ánh sáng ra ngoài, vì chúng ta làm mát trên trái đất và nhận nhiệt từ mặt trời, những bánh cóc và con cóc chúng ta chế tạo có thể quay theo một chiều. Tính một chiều này có liên quan lẫn nhau với sự kiện bánh cóc là một phần của vũ trụ. Nó là một phần của vũ trụ không chỉ theo nghĩa nó tuân theo các định luật vật lý của vũ trụ, mà hành vi một chiều của nó gắn liền với hành vi một chiều của toàn bộ vũ trụ. Nó không thể được hiểu hoàn toàn cho đến khi bí ẩn về những khởi đầu của lịch sử vũ trụ được thu hẹp hơn nữa từ suy đoán sang hiểu biết khoa học.