Chương 47: Âm thanh. Phương trình sóng

47–1  Sóng

Trong chương này chúng ta sẽ thảo luận hiện tượng sóng. Đây là một hiện tượng xuất hiện trong nhiều bối cảnh xuyên suốt vật lý, và do đó sự chú ý của chúng ta nên tập trung vào nó không chỉ vì ví dụ cụ thể được xét ở đây, đó là âm thanh, mà còn vì ứng dụng rộng rãi hơn nhiều của các ý tưởng này trong mọi ngành của vật lý.

Người ta đã chỉ ra, khi chúng ta nghiên cứu dao động tử điều hòa, rằng không chỉ có các ví dụ cơ học về các hệ dao động mà còn có các ví dụ điện nữa. Sóng có liên quan đến các hệ dao động, ngoại trừ việc các dao động sóng không chỉ xuất hiện dưới dạng dao động theo thời gian tại một nơi, mà còn lan truyền trong không gian nữa.

Chúng ta thật ra đã nghiên cứu sóng rồi. Khi chúng ta nghiên cứu ánh sáng, trong lúc tìm hiểu về các tính chất của sóng trong chủ đề đó, chúng ta đã đặc biệt chú ý tới sự giao thoa trong không gian của các sóng từ nhiều nguồn ở các vị trí khác nhau và tất cả ở cùng một tần số. Có hai hiện tượng sóng quan trọng chúng ta chưa thảo luận, chúng xảy ra trong ánh sáng, tức các sóng điện từ, cũng như trong bất kỳ dạng sóng nào khác. Hiện tượng đầu tiên trong số này là hiện tượng giao thoa theo thời gian thay vì giao thoa trong không gian. Nếu chúng ta có hai nguồn âm có tần số hơi khác nhau một chút và nếu chúng ta nghe cả hai cùng một lúc, thì đôi khi các sóng đến với các đỉnh cùng nhau và đôi khi với đỉnh và hõm cùng nhau (xem Hình 47–1). Sự lên xuống của âm thanh tạo thành là hiện tượng phách (beats), hay nói cách khác, là giao thoa theo thời gian. Hiện tượng thứ hai liên quan đến các dạng sóng tạo thành khi các sóng bị giới hạn trong một thể tích cho trước và phản xạ qua lại từ các vách.

Dĩ nhiên các hiệu ứng này có thể đã được thảo luận đối với trường hợp các sóng điện từ. Lý do chưa làm như vậy là nếu chỉ dùng một ví dụ chúng ta sẽ không tạo ra được cảm giác rằng mình thật sự đang học về nhiều chủ đề khác nhau cùng một lúc. Để nhấn mạnh tính áp dụng chung của sóng vượt ra ngoài điện động lực học, ở đây chúng ta xét một ví dụ khác, cụ thể là các sóng âm.

Các ví dụ khác về sóng là các sóng nước gồm những con sóng dài chúng ta thấy tiến vào bờ, hay các sóng nước nhỏ hơn gồm những gợn sóng sức căng bề mặt. Làm một ví dụ khác, có hai loại sóng đàn hồi trong chất rắn; một sóng nén (hay sóng dọc) trong đó các hạt của chất rắn dao động qua lại dọc theo hướng truyền của sóng (các sóng âm trong chất khí thuộc loại này), và một sóng ngang trong đó các hạt của chất rắn dao động theo hướng vuông góc với hướng truyền. Các sóng động đất chứa các sóng đàn hồi thuộc cả hai loại, được tạo ra bởi một chuyển động ở đâu đó trong vỏ trái đất.

Một ví dụ khác nữa về sóng được tìm thấy trong vật lý hiện đại. Đó là những sóng cho biên độ xác suất của việc tìm thấy một hạt tại một nơi cho trước — các “sóng vật chất” chúng ta đã thảo luận. Tần số của chúng tỉ lệ với năng lượng và số sóng của chúng tỉ lệ với động lượng. Chúng là các sóng của cơ học lượng tử.

Trong chương này chúng ta sẽ chỉ xét các sóng mà vận tốc của chúng không phụ thuộc vào bước sóng. Chẳng hạn, đây là trường hợp đối với ánh sáng trong chân không. Khi đó tốc độ ánh sáng là như nhau đối với sóng vô tuyến, ánh sáng xanh lam, ánh sáng lục, hay đối với bất kỳ bước sóng nào khác. Vì hành vi này, khi chúng ta bắt đầu mô tả hiện tượng sóng, lúc đầu chúng ta đã không để ý rằng mình có sự truyền sóng. Thay vào đó, chúng ta đã nói rằng nếu một điện tích được di chuyển tại một nơi, điện trường tại một khoảng cách x tỉ lệ với gia tốc, không phải tại thời điểm t, mà tại thời điểm sớm hơn t − x/c. Do đó nếu chúng ta hình dung điện trường trong không gian tại một thời điểm nào đó, như trong Hình 47–2, điện trường tại một thời điểm t sau đó sẽ di chuyển được một khoảng cách ct, như được chỉ ra trong hình. Về mặt toán học, chúng ta có thể nói rằng trong ví dụ một chiều chúng ta đang xét, điện trường là một hàm của x − ct. Chúng ta thấy rằng tại t = 0, nó là một hàm nào đó của x. Nếu chúng ta xét một thời điểm sau đó, chúng ta chỉ cần tăng x lên một chút để thu được cùng một giá trị của điện trường. Chẳng hạn, nếu trường cực đại xuất hiện tại x = 3 tại thời điểm bằng không, thì để tìm vị trí mới của trường cực đại tại thời điểm t chúng ta cần

x − ct = 3   hay   x = 3 + ct.

Chúng ta thấy rằng loại hàm này biểu diễn sự lan truyền của một sóng.

Một hàm như vậy, f(x − ct), do đó biểu diễn một sóng. Chúng ta có thể tóm tắt mô tả này về một sóng bằng cách đơn giản nói rằng

f(x − ct) = f(x + Δx − c(t + Δt)),

khi Δx = c Δt. Dĩ nhiên, còn một khả năng khác, tức là, thay vì một nguồn ở phía trái như được chỉ ra trong Hình 47–2, chúng ta có một nguồn ở phía phải, sao cho sóng lan truyền về phía x âm. Khi đó sóng sẽ được mô tả bởi g(x + ct).

Còn một khả năng nữa là có nhiều hơn một sóng tồn tại trong không gian tại cùng một thời điểm, và vậy điện trường là tổng của hai trường, mỗi trường lan truyền một cách độc lập. Hành vi này của các điện trường có thể được mô tả bằng cách nói rằng nếu f₁(x − ct) là một sóng, và nếu f₂(x − ct) là một sóng khác, thì tổng của chúng cũng là một sóng. Điều này được gọi là nguyên lý chồng chất. Nguyên lý này cũng đúng trong âm thanh.

Chúng ta quen thuộc với sự kiện rằng nếu một âm thanh được tạo ra, chúng ta nghe với độ trung thực hoàn toàn cùng một dãy âm thanh như đã được tạo ra. Nếu các tần số cao truyền nhanh hơn các tần số thấp, một tiếng ồn ngắn, sắc sẽ được nghe thành một dãy các âm nhạc. Tương tự, nếu ánh sáng đỏ truyền nhanh hơn ánh sáng xanh lam, một chớp sáng trắng sẽ được nhìn thấy đầu tiên là đỏ, rồi trắng, và cuối cùng là xanh lam. Chúng ta quen thuộc với sự kiện rằng điều này không xảy ra. Cả âm thanh lẫn ánh sáng đều truyền với một tốc độ trong không khí gần như không phụ thuộc vào tần số. Các ví dụ về sự truyền sóng mà tính không phụ thuộc này không đúng sẽ được xét trong Chương 48.

Trong trường hợp ánh sáng (các sóng điện từ) chúng ta đã đưa ra một quy tắc xác định điện trường tại một điểm như kết quả của gia tốc của một điện tích. Bây giờ người ta có thể kỳ vọng rằng điều chúng ta nên làm là đưa ra một quy tắc theo đó một tính chất nào đó của không khí, chẳng hạn áp suất, được xác định tại một khoảng cách cho trước từ một nguồn theo chuyển động của nguồn, bị trễ đi một lượng bằng thời gian truyền của âm thanh. Trong trường hợp ánh sáng, thủ tục này có thể chấp nhận được vì tất cả những gì chúng ta biết là một điện tích ở một nơi tác dụng một lực lên một điện tích khác ở một nơi khác. Các chi tiết của sự lan truyền từ nơi này sang nơi kia không tuyệt đối thiết yếu. Tuy nhiên, trong trường hợp âm thanh, chúng ta biết rằng nó lan truyền qua không khí giữa nguồn và người nghe, và chắc chắn việc hỏi, tại bất kỳ thời điểm cho trước nào, áp suất của không khí là bao nhiêu, là một câu hỏi tự nhiên. Ngoài ra, chúng ta còn muốn biết chính xác không khí chuyển động như thế nào. Trong trường hợp điện, chúng ta có thể chấp nhận một quy tắc, vì chúng ta có thể nói rằng chúng ta chưa biết các định luật của điện, nhưng chúng ta không thể nói điều tương tự đối với âm thanh. Chúng ta sẽ không thỏa mãn với một quy tắc phát biểu áp suất âm thanh di chuyển qua không khí như thế nào, vì quá trình đó phải có thể hiểu được như một hệ quả của các định luật cơ học. Nói ngắn gọn, âm thanh là một ngành của cơ học, và vậy nó phải được hiểu theo các định luật Newton. Sự lan truyền của âm thanh từ nơi này sang nơi khác chỉ là một hệ quả của cơ học và các tính chất của các chất khí, nếu nó lan truyền trong một chất khí, hoặc của các tính chất của các chất lỏng hay chất rắn, nếu nó lan truyền qua những môi trường như vậy. Về sau chúng ta sẽ suy ra các tính chất của ánh sáng và sự truyền sóng của nó theo một cách tương tự từ các định luật điện động lực học.

47–2  Sự truyền âm

Chúng ta sẽ đưa ra một phép suy ra các tính chất của sự truyền âm giữa nguồn và máy thu như một hệ quả của các định luật Newton, và chúng ta sẽ không xét tương tác với nguồn và máy thu. Thông thường chúng ta nhấn mạnh một kết quả hơn là một phép suy ra cụ thể về nó. Trong chương này chúng ta có quan điểm ngược lại. Điểm mấu chốt ở đây, theo một nghĩa nào đó, chính là phép suy ra. Bài toán giải thích các hiện tượng mới theo các hiện tượng cũ, khi chúng ta biết các định luật của các hiện tượng cũ, có lẽ là nghệ thuật vĩ đại nhất của vật lý toán học. Nhà vật lý toán học có hai bài toán: một là tìm các nghiệm, cho trước các phương trình, và hai là tìm các phương trình mô tả một hiện tượng mới. Phép suy ra ở đây là một ví dụ về loại bài toán thứ hai.

Ở đây chúng ta sẽ lấy ví dụ đơn giản nhất — sự truyền âm trong một chiều. Để thực hiện một phép suy ra như vậy, trước hết cần phải có một hiểu biết nào đó về điều gì đang xảy ra. Về căn bản, điều liên quan là nếu một vật được di chuyển tại một nơi trong không khí, chúng ta quan sát thấy có một nhiễu loạn truyền qua không khí. Nếu chúng ta hỏi đó là loại nhiễu loạn gì, chúng ta sẽ nói rằng chúng ta kỳ vọng chuyển động của vật tạo ra một sự thay đổi áp suất. Dĩ nhiên, nếu vật được di chuyển nhẹ nhàng, không khí chỉ chảy vòng quanh nó, nhưng điều chúng ta quan tâm là một chuyển động nhanh, sao cho không có đủ thời gian cho một dòng chảy như vậy. Khi đó, cùng với chuyển động, không khí bị nén và một sự thay đổi áp suất được tạo ra, sự thay đổi này đẩy lên không khí phụ thêm. Không khí này đến lượt nó bị nén, điều này lại dẫn đến một áp suất phụ thêm, và một sóng được lan truyền.

Bây giờ chúng ta muốn hình thành một quá trình như vậy. Chúng ta phải quyết định mình cần những biến nào. Trong bài toán cụ thể của chúng ta, chúng ta sẽ cần biết không khí đã di chuyển bao nhiêu, vậy độ dịch chuyển của không khí trong sóng âm chắc chắn là một biến liên quan. Ngoài ra chúng ta muốn mô tả mật độ không khí thay đổi như thế nào khi nó bị dịch chuyển. Áp suất không khí cũng thay đổi, vậy đây là một biến khác đáng quan tâm. Khi đó, dĩ nhiên, không khí có một vận tốc, vậy chúng ta sẽ phải mô tả vận tốc của các hạt không khí. Các hạt không khí cũng có gia tốc — nhưng khi chúng ta liệt kê nhiều biến này, chúng ta sớm nhận ra rằng vận tốc và gia tốc sẽ được biết nếu chúng ta biết độ dịch chuyển của không khí thay đổi theo thời gian như thế nào.

Như đã nói, chúng ta sẽ xét sóng trong một chiều. Chúng ta có thể làm điều này nếu chúng ta ở đủ xa nguồn sao cho thứ chúng ta gọi là các mặt đầu sóng gần như là các mặt phẳng. Như vậy chúng ta làm cho lập luận của mình đơn giản hơn bằng cách lấy ví dụ ít phức tạp nhất. Khi đó chúng ta sẽ có thể nói rằng độ dịch chuyển, χ, chỉ phụ thuộc vào x và t, và không phụ thuộc vào y và z. Do đó mô tả về không khí được cho bởi χ(x,t).

Mô tả này có đầy đủ không? Nó có vẻ còn xa mới đầy đủ, vì chúng ta không biết gì về các chi tiết các phân tử không khí đang chuyển động như thế nào. Chúng đang chuyển động theo mọi hướng, và trạng thái sự việc này chắc chắn không được mô tả bằng hàm χ(x,t) này. Từ quan điểm thuyết động học, nếu chúng ta có một mật độ phân tử cao hơn ở một nơi và một mật độ thấp hơn kề bên nơi đó, các phân tử sẽ di chuyển ra khỏi vùng có mật độ cao hơn tới vùng có mật độ thấp hơn, để san bằng khác biệt này. Dường như chúng ta sẽ không thu được một dao động và sẽ không có âm thanh. Điều cần thiết để thu được sóng âm là tình huống này: khi các phân tử ào ra khỏi vùng có mật độ cao hơn và áp suất cao hơn, chúng truyền động lượng cho các phân tử trong vùng kề bên có mật độ thấp hơn. Để âm thanh được tạo ra, các vùng mà mật độ và áp suất thay đổi trên đó phải lớn hơn nhiều so với khoảng cách các phân tử di chuyển trước khi va chạm với các phân tử khác. Khoảng cách này là quãng đường tự do trung bình và khoảng cách giữa các đỉnh và hõm áp suất phải lớn hơn nhiều so với nó. Nếu không, các phân tử sẽ di chuyển tự do từ đỉnh tới hõm và ngay lập tức làm nhòe sóng đi.

Rõ ràng chúng ta sẽ mô tả hành vi của chất khí trên một quy mô lớn so với quãng đường tự do trung bình, và vậy các tính chất của chất khí sẽ không được mô tả theo các phân tử riêng lẻ. Độ dịch chuyển, chẳng hạn, sẽ là độ dịch chuyển của khối tâm của một phần tử nhỏ của chất khí, và áp suất hay mật độ sẽ là áp suất hay mật độ trong vùng này. Chúng ta sẽ gọi áp suất là P và mật độ là ρ, và chúng sẽ là các hàm của x và t. Chúng ta phải ghi nhớ rằng mô tả này là một phép gần đúng chỉ đúng khi các tính chất này của chất khí không biến thiên quá nhanh theo khoảng cách.

47–3  Phương trình sóng

Vậy vật lý của hiện tượng sóng âm liên quan đến ba đặc điểm:

1. Chất khí chuyển động và làm thay đổi mật độ.
2. Sự thay đổi mật độ tương ứng với một sự thay đổi áp suất.
3. Các bất đẳng áp suất tạo ra chuyển động của chất khí.

Hãy xét II trước. Đối với một chất khí, một chất lỏng, hay một chất rắn, áp suất là một hàm nào đó của mật độ. Trước khi sóng âm đến, chúng ta có cân bằng, với một áp suất P₀ và một mật độ tương ứng ρ₀. Một áp suất P trong môi trường được nối với mật độ bởi một quan hệ đặc trưng nào đó P = f(ρ) và, nói riêng, áp suất cân bằng P₀ được cho bởi P₀ = f(ρ₀). Các thay đổi áp suất trong âm thanh so với giá trị cân bằng là cực kỳ nhỏ. Một đơn vị thuận tiện để đo áp suất là bar, trong đó 1 bar = 10⁵ N/m². Áp suất của 1 atmosphere tiêu chuẩn rất gần bằng 1 bar: 1 atm = 1,0133 bar.

Trong âm thanh chúng ta dùng một thang logarit của các cường độ vì độ nhạy của tai gần như logarit. Thang này là thang decibel, trong đó mức áp suất âm đối với biên độ áp suất P được định nghĩa là

I (mức áp suất âm) = 20 log₁₀(P/P_ref) theo dB,   (47.1)

trong đó áp suất tham chiếu P_ref = 2×10⁻¹⁰ bar. Một biên độ áp suất P = 10³P_ref = 2×10⁻⁷ bar¹ tương ứng với một âm thanh có cường độ vừa phải là 60 decibel. Chúng ta thấy các thay đổi áp suất trong âm thanh là cực kỳ nhỏ so với áp suất cân bằng, hay áp suất trung bình, là 1 atm. Các độ dịch chuyển và các thay đổi mật độ tương ứng cũng cực kỳ nhỏ. Trong các vụ nổ chúng ta không có những thay đổi nhỏ như vậy; các áp suất dư được tạo ra có thể lớn hơn 1 atm. Các thay đổi áp suất lớn này dẫn tới các hiệu ứng mới mà chúng ta sẽ xét về sau. Trong âm thanh chúng ta không thường xét các mức cường độ âm trên 100 dB; 120 dB là một mức gây đau tai. Do đó, đối với âm thanh, nếu chúng ta viết

P = P₀ + P_e,    ρ = ρ₀ + ρ_e,   (47.2)

chúng ta sẽ luôn luôn có sự thay đổi áp suất P_e rất nhỏ so với P₀ và sự thay đổi mật độ ρ_e rất nhỏ so với ρ₀. Khi đó

P₀ + P_e = f(ρ₀ + ρ_e) = f(ρ₀) + ρ_ef′(ρ₀),   (47.3)

trong đó P₀ = f(ρ₀) và f′(ρ₀) thay cho đạo hàm của f(ρ) tính tại ρ = ρ₀. Chúng ta chỉ có thể thực hiện bước thứ hai trong đẳng thức này vì ρ_e rất nhỏ. Bằng cách này chúng ta tìm thấy áp suất dư P_e tỉ lệ với mật độ dư ρ_e, và chúng ta có thể gọi hệ số tỉ lệ là κ:

P_e = κρ_e,   trong đó κ = f′(ρ₀) = (dP/dρ)₀.   (II)  (47.4)

Quan hệ chúng ta cần cho II chính là quan hệ rất đơn giản này.

Bây giờ hãy xét I. Chúng ta sẽ giả sử vị trí của một phần không khí không bị sóng âm làm nhiễu loạn là x và độ dịch chuyển tại thời điểm t do âm thanh là χ(x,t), sao cho vị trí mới của nó là x + χ(x,t), như trong Hình 47–3. Bây giờ vị trí không bị nhiễu loạn của một phần không khí gần đó là x + Δx, và vị trí mới của nó là x + Δx + χ(x + Δx,t). Bây giờ chúng ta có thể tìm các thay đổi mật độ theo cách sau. Vì chúng ta đang giới hạn mình ở các sóng phẳng, chúng ta có thể lấy một đơn vị diện tích vuông góc với hướng x, là hướng truyền của sóng âm. Lượng không khí, trên một đơn vị diện tích, trong Δx khi đó là ρ₀ Δx, trong đó ρ₀ là mật độ không khí không bị nhiễu loạn, hay mật độ cân bằng. Không khí này, khi bị dịch chuyển bởi sóng âm, bây giờ nằm giữa x + χ(x,t) và x + Δx + χ(x + Δx,t), vậy chúng ta có cùng một lượng vật chất trong khoảng này như lượng đã ở trong Δx khi không bị nhiễu loạn. Nếu ρ là mật độ mới, thì

ρ₀ Δx = ρ[x + Δx + χ(x + Δx,t) − x − χ(x,t)].   (47.5)

Vì Δx nhỏ, chúng ta có thể viết χ(x + Δx,t) − χ(x,t) = (∂χ/∂x) Δx. Đạo hàm này là một đạo hàm riêng, vì χ phụ thuộc vào thời gian cũng như vào x. Phương trình của chúng ta khi đó là

ρ₀ Δx = ρ( (∂χ/∂x) Δx + Δx )   (47.6)

hay

ρ₀ = (ρ₀ + ρ_e)(∂χ/∂x) + ρ₀ + ρ_e.   (47.7)

Bây giờ trong các sóng âm mọi thay đổi đều nhỏ vậy ρ_e nhỏ, χ nhỏ, và ∂χ/∂x cũng nhỏ. Do đó trong quan hệ chúng ta vừa tìm được,

ρ_e = −ρ₀ (∂χ/∂x) − ρ_e (∂χ/∂x),   (47.8)

chúng ta có thể bỏ qua ρ_e (∂χ/∂x) so với ρ₀ (∂χ/∂x). Như vậy chúng ta thu được quan hệ chúng ta cần cho I:

ρ_e = −ρ₀ (∂χ/∂x).   (I)  (47.9)

Phương trình này là điều chúng ta kỳ vọng về mặt vật lý. Nếu các độ dịch chuyển biến thiên theo x, thì sẽ có các thay đổi mật độ. Dấu cũng đúng: nếu độ dịch chuyển χ tăng theo x, sao cho không khí bị kéo giãn ra, mật độ phải giảm xuống.

Bây giờ chúng ta cần phương trình thứ ba, là phương trình của chuyển động được tạo ra bởi áp suất. Nếu chúng ta biết quan hệ giữa lực và áp suất, khi đó chúng ta có thể thu được phương trình chuyển động. Nếu chúng ta lấy một phiến không khí mỏng có độ dài Δx và có đơn vị diện tích vuông góc với x, thì khối lượng không khí trong phiến này là ρ₀ Δx và nó có gia tốc ∂²χ/∂t², vậy khối lượng nhân với gia tốc đối với phiến vật chất này là ρ₀ Δx(∂²χ/∂t²). (Đối với Δx nhỏ, việc gia tốc ∂²χ/∂t² được tính tại một cạnh của phiến hay tại một vị trí trung gian nào đó không tạo khác biệt gì.) Nếu bây giờ chúng ta tìm lực lên vật chất này đối với một đơn vị diện tích vuông góc với x, nó sẽ bằng ρ₀ Δx(∂²χ/∂t²). Chúng ta có lực theo hướng +x, tại x, với lượng P(x,t) trên một đơn vị diện tích, và chúng ta có lực theo hướng ngược lại, tại x + Δx, với lượng P(x + Δx,t) trên một đơn vị diện tích (Hình 47–4):

P(x,t) − P(x + Δx,t) = −(∂P/∂x) Δx = −(∂P_e/∂x) Δx,   (47.10)

vì Δx nhỏ và vì phần duy nhất của P thay đổi là áp suất dư P_e. Bây giờ chúng ta có III:

ρ₀ ∂²χ/∂t² = −(∂P_e/∂x),   (III)  (47.11)

và vậy chúng ta có đủ phương trình để nối kết mọi thứ với nhau và rút gọn xuống một biến, chẳng hạn xuống χ. Chúng ta có thể khử P_e khỏi III bằng cách dùng II, sao cho chúng ta thu được

ρ₀ ∂²χ/∂t² = −κ (∂ρ_e/∂x),   (47.12)

và khi đó chúng ta có thể dùng I để khử ρ_e. Bằng cách này chúng ta tìm thấy ρ₀ triệt tiêu và chúng ta còn lại

∂²χ/∂t² = κ ∂²χ/∂x².   (47.13)

Chúng ta sẽ gọi c_s² = κ, sao cho chúng ta có thể viết

∂²χ/∂x² = (1/c_s²) ∂²χ/∂t².   (47.14)

Đây là phương trình sóng mô tả hành vi của âm thanh trong vật chất.

47–4  Các nghiệm của phương trình sóng

Bây giờ chúng ta có thể xem phương trình này có thật sự mô tả các tính chất thiết yếu của các sóng âm trong vật chất hay không. Chúng ta muốn suy ra rằng một xung âm thanh, hay một nhiễu loạn, sẽ di chuyển với một tốc độ không đổi. Chúng ta muốn kiểm chứng rằng hai xung khác nhau có thể di chuyển xuyên qua nhau — nguyên lý chồng chất. Chúng ta cũng muốn kiểm chứng rằng âm thanh có thể đi hoặc sang phải hoặc sang trái. Mọi tính chất này phải được chứa trong phương trình duy nhất này.

Chúng ta đã nhận xét rằng bất kỳ nhiễu loạn sóng phẳng nào di chuyển với một vận tốc không đổi v đều có dạng f(x − vt). Bây giờ chúng ta phải xem χ(x,t) = f(x − vt) có phải là một nghiệm của phương trình sóng hay không. Khi chúng ta tính ∂χ/∂x, chúng ta thu được đạo hàm của hàm, ∂χ/∂x = f′(x − vt). Đạo hàm thêm một lần nữa, chúng ta tìm được,

∂²χ/∂x² = f″(x − vt).   (47.15)

Đạo hàm của cùng hàm này theo t cho ra −v nhân với đạo hàm của hàm, hay ∂χ/∂t = −vf′(x − vt), và đạo hàm cấp hai theo thời gian là

∂²χ/∂t² = v²f″(x − vt).   (47.16)

Rõ ràng f(x − vt) sẽ thỏa mãn phương trình sóng với điều kiện vận tốc sóng v bằng c_s.

Như vậy chúng ta tìm thấy, từ các định luật cơ học, rằng bất kỳ nhiễu loạn âm thanh nào cũng lan truyền với vận tốc c_s, và ngoài ra chúng ta tìm thấy

c_s = κ^1/2 = (dP/dρ)₀^1/2,

và vậy chúng ta đã nối kết vận tốc sóng với một tính chất của môi trường.

Nếu chúng ta xét một sóng truyền theo hướng ngược lại, sao cho χ(x,t) = g(x + vt), dễ thấy một nhiễu loạn như vậy cũng thỏa mãn phương trình sóng. Khác biệt duy nhất giữa một sóng như vậy và một sóng truyền từ trái sang phải là ở dấu của v, nhưng việc chúng ta có x + vt hay x − vt làm biến trong hàm không ảnh hưởng đến dấu của ∂²χ/∂t², vì nó chỉ liên quan đến v². Suy ra chúng ta có một nghiệm cho các sóng lan truyền theo cả hai hướng với tốc độ c_s.

Một câu hỏi cực kỳ thú vị là câu hỏi về sự chồng chất. Giả sử một nghiệm của phương trình sóng đã được tìm thấy, chẳng hạn χ₁. Điều này có nghĩa là đạo hàm cấp hai của χ₁ theo x bằng 1/c_s² nhân với đạo hàm cấp hai của χ₁ theo t. Bây giờ bất kỳ nghiệm nào khác χ₂ cũng có cùng tính chất này. Nếu chúng ta chồng chất hai nghiệm này, chúng ta có

χ(x,t) = χ₁(x,t) + χ₂(x,t),   (47.17)

và chúng ta muốn kiểm chứng rằng χ(x,t) cũng là một sóng, tức là, χ thỏa mãn phương trình sóng. Chúng ta có thể dễ dàng chứng minh kết quả này, vì chúng ta có,

∂²χ/∂x² = ∂²χ₁/∂x² + ∂²χ₂/∂x²,   (47.18)

và, ngoài ra,

∂²χ/∂t² = ∂²χ₁/∂t² + ∂²χ₂/∂t².   (47.19)

Suy ra ∂²χ/∂x² = (1/c_s²) ∂²χ/∂t², vậy chúng ta đã kiểm chứng nguyên lý chồng chất. Phép chứng minh nguyên lý chồng chất tuân theo sự kiện phương trình sóng là tuyến tính theo χ.

Bây giờ chúng ta có thể kỳ vọng rằng một sóng ánh sáng phẳng lan truyền theo hướng x, phân cực sao cho điện trường theo hướng y, sẽ thỏa mãn phương trình sóng

∂²E_y/∂x² = (1/c²) ∂²E_y/∂t²,   (47.20)

trong đó c là tốc độ ánh sáng. Phương trình sóng này là một trong những hệ quả của các phương trình Maxwell. Các phương trình điện động lực học sẽ dẫn tới phương trình sóng cho ánh sáng đúng như các phương trình cơ học dẫn tới phương trình sóng cho âm thanh.

47–5  Tốc độ âm thanh

Phép suy ra phương trình sóng cho âm thanh của chúng ta đã cho chúng ta một công thức nối kết tốc độ sóng với tốc độ thay đổi của áp suất theo mật độ tại áp suất thông thường:

c_s² = (dP/dρ)₀.   (47.21)

Khi đánh giá tốc độ thay đổi này, điều thiết yếu là phải biết nhiệt độ biến thiên như thế nào. Trong một sóng âm, chúng ta sẽ kỳ vọng rằng trong vùng nén nhiệt độ sẽ được nâng lên, và trong vùng loãng nhiệt độ sẽ bị hạ xuống.

Newton là người đầu tiên tính tốc độ thay đổi của áp suất theo mật độ, và ông giả thiết nhiệt độ giữ không thay đổi. Ông lập luận rằng nhiệt được dẫn từ vùng này sang vùng kia nhanh đến mức nhiệt độ không thể tăng hay giảm. Lập luận này cho tốc độ âm thanh đẳng nhiệt, và nó sai. Phép suy ra đúng được đưa ra về sau bởi Laplace, người đưa ra ý tưởng ngược lại — rằng áp suất và nhiệt độ thay đổi đoạn nhiệt trong một sóng âm. Dòng nhiệt từ vùng bị nén tới vùng loãng là không đáng kể chừng nào bước sóng còn dài so với quãng đường tự do trung bình. Trong điều kiện này, lượng dòng nhiệt nhỏ trong một sóng âm không ảnh hưởng đến tốc độ, mặc dù nó gây ra một sự hấp thụ nhỏ năng lượng âm thanh. Chúng ta có thể kỳ vọng một cách đúng đắn rằng sự hấp thụ này tăng khi bước sóng tiến tới quãng đường tự do trung bình, nhưng các bước sóng này nhỏ hơn khoảng một triệu lần so với các bước sóng của âm thanh nghe được.

Sự biến thiên thực sự của áp suất theo mật độ trong một sóng âm là sự biến thiên không cho phép dòng nhiệt nào. Điều này tương ứng với sự biến thiên đoạn nhiệt, mà chúng ta đã tìm thấy là PV^γ = const, trong đó V là thể tích. Vì mật độ ρ biến thiên nghịch đảo với V, mối nối đoạn nhiệt giữa P và ρ là

P = const ρ^γ,   (47.22)

từ đó chúng ta thu được dP/dρ = γP/ρ. Khi đó chúng ta có, đối với tốc độ âm thanh, quan hệ

c_s² = γP/ρ.   (47.23)

Chúng ta cũng có thể viết c_s² = γPV/ρV và dùng quan hệ PV = NkT. Hơn nữa, chúng ta thấy ρV là khối lượng của chất khí, lượng này cũng có thể được biểu diễn là Nm, hay là μ trên một mol, trong đó m là khối lượng của một phân tử và μ là trọng lượng phân tử. Bằng cách này chúng ta tìm thấy

c_s² = γkT/m = γRT/μ,   (47.24)

từ đó rõ ràng tốc độ âm thanh chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ của chất khí và không phụ thuộc vào áp suất hay mật độ. Chúng ta cũng đã quan sát thấy rằng,

kT = (1/3)m⟨v²⟩,   (47.25)

trong đó ⟨v²⟩ là bình phương trung bình của tốc độ của các phân tử. Suy ra c_s² = (γ/3)⟨v²⟩, hay

c_s = (γ/3)^1/2v_av.   (47.26)

Phương trình này phát biểu rằng tốc độ âm thanh là một số nào đó bằng khoảng 1/(3)^1/2 nhân với một tốc độ trung bình nào đó, v_av, của các phân tử (căn bậc hai của vận tốc bình phương trung bình). Nói cách khác, tốc độ âm thanh có cùng bậc độ lớn như tốc độ của các phân tử, và thật ra có phần nhỏ hơn tốc độ trung bình này.

Dĩ nhiên chúng ta có thể kỳ vọng một kết quả như vậy, vì một nhiễu loạn như một sự thay đổi áp suất, xét cho cùng, được lan truyền bởi chuyển động của các phân tử. Tuy nhiên, một lập luận như vậy không cho chúng ta biết tốc độ lan truyền chính xác; nó có thể đã hóa ra rằng âm thanh được mang đi chủ yếu bởi các phân tử nhanh nhất, hoặc bởi các phân tử chậm nhất. Thật hợp lý và thỏa mãn khi tốc độ âm thanh bằng khoảng 1/2 tốc độ phân tử trung bình v_av.