Chương 48: Phách

48–1  Cộng hai sóng

Cách đây ít lâu chúng ta đã thảo luận khá chi tiết các tính chất của sóng ánh sáng và sự giao thoa của chúng — tức là các hiệu ứng của sự chồng chất của hai sóng từ các nguồn khác nhau. Trong mọi phân tích đó, chúng ta đã giả thiết rằng tần số của các nguồn đều như nhau. Trong chương này chúng ta sẽ thảo luận một số hiện tượng sinh ra từ sự giao thoa của hai nguồn có tần số khác nhau.

Thật dễ đoán điều gì sẽ xảy ra. Tiến hành theo cùng cách đã làm trước đây, giả sử chúng ta có hai nguồn dao động bằng nhau có cùng tần số mà pha của chúng được chỉnh, chẳng hạn, sao cho các tín hiệu đến cùng pha tại một điểm P nào đó. Tại điểm đó, nếu đó là ánh sáng thì ánh sáng rất mạnh; nếu đó là âm thanh thì âm rất lớn; hoặc nếu đó là các electron thì có rất nhiều electron đến. Mặt khác, nếu các tín hiệu đến lệch pha nhau 180°, chúng ta sẽ không thu được tín hiệu nào tại P, vì biên độ ròng tại đó khi đó là cực tiểu. Bây giờ giả sử ai đó vặn “núm pha” của một trong hai nguồn và thay đổi pha tại P qua lại, chẳng hạn đầu tiên cho nó thành 0° rồi 180°, và cứ như vậy. Dĩ nhiên, khi đó chúng ta sẽ thấy cường độ tín hiệu ròng biến thiên. Chúng ta cũng thấy rằng nếu pha của một nguồn đang chậm chạp thay đổi so với pha của nguồn kia theo một cách dần dần, đều đặn, bắt đầu từ không, tăng lên mười, hai mươi, ba mươi, bốn mươi độ, và cứ như vậy, thì điều chúng ta đo tại P sẽ là một dãy các “mạch đập” mạnh và yếu, vì khi độ lệch pha trượt qua 360° thì biên độ trở lại cực đại. Dĩ nhiên, nói rằng một nguồn đang dịch pha của nó so với một nguồn khác với một tốc độ đều đặn cũng chính là nói rằng số dao động mỗi giây của hai nguồn hơi khác nhau một chút.

Vậy chúng ta biết đáp án: nếu chúng ta có hai nguồn ở các tần số hơi khác nhau, chúng ta sẽ thấy, như kết quả ròng, một dao động có cường độ đập mạch một cách chậm chạp. Đó thật sự là toàn bộ nội dung của chủ đề này!

Việc phát biểu kết quả này bằng toán học cũng rất dễ. Chẳng hạn, giả sử chúng ta có hai sóng, và trong một lúc chúng ta không lo về mọi quan hệ không gian, mà chỉ phân tích điều gì đến tại P. Từ một nguồn, ta nói, chúng ta sẽ có cos ω₁t, và từ nguồn kia, cos ω₂t, trong đó hai ω không hoàn toàn bằng nhau. Dĩ nhiên các biên độ cũng có thể không bằng nhau, nhưng chúng ta có thể giải bài toán tổng quát sau; trước hết hãy xét trường hợp các biên độ bằng nhau. Khi đó biên độ tổng tại P là tổng của hai cosin này. Nếu chúng ta vẽ đồ thị biên độ của các sóng theo thời gian, như trong Hình 48–1, chúng ta thấy rằng ở nơi các đỉnh trùng nhau chúng ta được một sóng mạnh, và ở nơi một hõm và một đỉnh trùng nhau chúng ta được gần như không có gì, và rồi khi các đỉnh lại trùng nhau chúng ta lại được một sóng mạnh.

Về mặt toán học, chúng ta chỉ cần cộng hai cosin và sắp xếp lại kết quả bằng một cách nào đó. Tồn tại một số quan hệ hữu ích giữa các cosin mà việc suy ra chúng không khó. Dĩ nhiên chúng ta biết rằng

e^{i(a + b)} = e^iae^ib,   (48.1)

và rằng e^ia có một phần thực, cos a, và một phần ảo, sin a. Nếu chúng ta lấy phần thực của e^{i(a + b)}, chúng ta được cos (a + b). Nếu chúng ta nhân ra:

e^iae^ib = (cos a + i sin a)(cos b + i sin b),

chúng ta được cos a cos b − sin a sin b, cộng với một số phần ảo. Nhưng bây giờ chúng ta chỉ cần phần thực, vậy chúng ta có

cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b.   (48.2)

Bây giờ nếu chúng ta đổi dấu của b, vì cosin không đổi dấu trong khi sin đổi dấu, cùng phương trình đó, cho b âm, là

cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b.   (48.3)

Nếu chúng ta cộng hai phương trình này lại với nhau, chúng ta làm mất các sin và học được rằng tích của hai cosin bằng một nửa cosin của tổng, cộng với một nửa cosin của hiệu:

cos a cos b = ½ cos (a + b) + ½ cos (a − b).   (48.4)

Bây giờ chúng ta cũng có thể đảo ngược công thức và tìm một công thức cho cos α + cos β nếu chúng ta chỉ đơn giản đặt α = a + b và β = a − b. Tức là, a = ½(α + β) và b = ½(α − β), sao cho

cos α + cos β = 2 cos ½(α + β) cos ½(α − β).   (48.5)

Bây giờ chúng ta có thể phân tích bài toán của mình. Tổng của cos ω₁t và cos ω₂t là

cos ω₁t + cos ω₂t = 2 cos ½(ω₁ + ω₂)t cos ½(ω₁ − ω₂)t.   (48.6)

Bây giờ hãy giả sử hai tần số gần bằng nhau, sao cho ½(ω₁ + ω₂) là tần số trung bình, và ít nhiều bằng một trong hai tần số. Nhưng ω₁ − ω₂ nhỏ hơn nhiều so với ω₁ hay ω₂ vì, như chúng ta giả thiết, ω₁ và ω₂ gần bằng nhau. Điều đó có nghĩa là chúng ta có thể biểu diễn nghiệm bằng cách nói rằng có một sóng cosin tần số cao ít nhiều giống các sóng chúng ta bắt đầu, nhưng “kích thước” của nó đang thay đổi một cách chậm chạp — “kích thước” của nó đang đập mạch với một tần số dường như là ½(ω₁ − ω₂). Nhưng có phải đó là tần số tại đó các phách được nghe thấy không?

Mặc dù (48.6) nói rằng biên độ biến thiên như cos ½(ω₁ − ω₂)t, điều nó thật sự cho chúng ta biết là các dao động tần số cao được chứa giữa hai đường cong cosin đối nhau (được vẽ đứt nét trong Hình 48–1). Trên cơ sở này người ta có thể nói rằng biên độ biến thiên ở tần số ½(ω₁ − ω₂), nhưng nếu chúng ta đang nói về cường độ của sóng chúng ta phải nghĩ nó có tần số gấp đôi tần số này. Tức là, sự điều biến của biên độ, theo nghĩa độ mạnh của cường độ của nó, là ở tần số ω₁ − ω₂, mặc dù công thức cho chúng ta biết chúng ta nhân với một sóng cosin ở một nửa tần số đó. Cơ sở kỹ thuật của khác biệt này là các sóng tần số cao có một quan hệ pha hơi khác một chút trong nửa chu kỳ thứ hai.

Bỏ qua sự rườm rà nhỏ này, chúng ta có thể kết luận rằng nếu chúng ta cộng hai sóng có tần số ω₁ và ω₂, chúng ta sẽ được một sóng ròng cuối cùng có tần số trung bình ½(ω₁ + ω₂) và dao động về độ mạnh với tần số ω₁ − ω₂.

Nếu hai biên độ khác nhau, chúng ta có thể làm lại mọi thứ bằng cách nhân các cosin với các biên độ khác nhau A₁ và A₂, và làm rất nhiều toán, sắp xếp lại, v.v., dùng các phương trình như (48.2)–(48.5). Tuy nhiên, có những cách khác, dễ hơn để làm cùng phân tích đó. Chẳng hạn, chúng ta biết rằng làm việc với các hàm mũ dễ hơn nhiều so với làm việc với sin và cosin và rằng chúng ta có thể biểu diễn A₁ cos ω₁t như phần thực của A₁e^iω₁t. Sóng kia tương tự sẽ là phần thực của A₂e^iω₂t. Nếu chúng ta cộng hai sóng này, chúng ta được A₁e^iω₁t + A₂e^iω₂t. Nếu sau đó chúng ta đặt thừa số tần số trung bình ra ngoài, chúng ta có

A₁e^iω₁t + A₂e^iω₂t = e^{i(ω₁ + ω₂)t/2}[A₁e^{i(ω₁ − ω₂)t/2} + A₂e^{−i(ω₁ − ω₂)t/2}].   (48.7)

Lại một lần nữa chúng ta có sóng tần số cao với một sự điều biến ở tần số thấp hơn.

48–2  Nốt phách và sự điều biến

Nếu bây giờ chúng ta được hỏi về cường độ của sóng trong phương trình (48.7), chúng ta có thể lấy bình phương tuyệt đối của phía trái, hoặc của phía phải. Hãy lấy phía trái. Khi đó cường độ là

I = A₁² + A₂² + 2A₁A₂ cos (ω₁ − ω₂)t.   (48.8)

Chúng ta thấy rằng cường độ phồng lên và xẹp xuống ở tần số ω₁ − ω₂, biến thiên giữa các giới hạn (A₁ + A₂)² và (A₁ − A₂)². Nếu A₁ ≠ A₂, cường độ cực tiểu không bằng không.

Một cách nữa để biểu diễn ý tưởng này là bằng một hình vẽ, như Hình 48–2. Chúng ta vẽ một vectơ có độ dài A₁, quay ở tần số ω₁, để biểu diễn một trong hai sóng trong mặt phẳng phức. Chúng ta vẽ một vectơ khác có độ dài A₂, quay vòng ở tần số ω₂, để biểu diễn sóng thứ hai. Nếu hai tần số đúng bằng nhau, hợp của chúng có độ dài cố định trong khi nó cứ quay vòng, và chúng ta được một cường độ xác định, cố định từ hai sóng. Nhưng nếu các tần số hơi khác nhau, hai vectơ phức quay vòng với các tốc độ khác nhau. Hình 48–3 cho thấy tình huống trông như thế nào so với vectơ A₁e^iω₁t. Chúng ta thấy rằng A₂ đang quay chậm chạp ra xa khỏi A₁, và vậy biên độ chúng ta được bằng cách cộng hai vectơ lúc đầu mạnh, rồi, khi nó mở ra, khi nó tới vị trí tương đối 180° thì hợp đặc biệt yếu, và cứ như vậy. Trong khi các vectơ quay vòng, biên độ của vectơ tổng trở nên lớn hơn và nhỏ hơn, và cường độ do đó đập mạch. Đó là một ý tưởng tương đối đơn giản, và có nhiều cách khác nhau để biểu diễn cùng một điều.

Hiệu ứng này rất dễ quan sát bằng thực nghiệm. Trong trường hợp âm học, chúng ta có thể bố trí hai loa được dẫn động bởi hai bộ dao động riêng biệt, mỗi loa một bộ, sao cho mỗi loa tạo ra một âm. Như vậy chúng ta nhận một nốt từ một nguồn và một nốt khác từ nguồn kia. Nếu chúng ta làm cho các tần số đúng bằng nhau, hiệu ứng hợp thành sẽ có một độ mạnh xác định tại một vị trí không gian cho trước. Nếu sau đó chúng ta làm lệch chúng đi một chút, chúng ta nghe thấy một số biến thiên về cường độ. Chúng ta càng làm lệch chúng ra xa, các biến thiên của âm thanh càng nhanh. Tai gặp một số khó khăn khi theo kịp các biến thiên nhanh hơn khoảng mười lần mỗi giây hay chừng đó.

Chúng ta cũng có thể nhìn thấy hiệu ứng trên một máy hiện sóng, máy này chỉ đơn giản hiển thị tổng của các dòng điện tới hai loa. Nếu tần số của sự đập mạch tương đối thấp, chúng ta chỉ đơn giản thấy một đoàn sóng hình sin mà biên độ của nó đập mạch, nhưng khi chúng ta làm cho các mạch đập nhanh hơn chúng ta thấy loại sóng được chỉ ra trong Hình 48–1. Khi chúng ta đi tới các hiệu số tần số lớn hơn, các “bướu” tiến lại gần nhau hơn. Ngoài ra, nếu các biên độ không bằng nhau và chúng ta làm cho một tín hiệu mạnh hơn tín hiệu kia, khi đó chúng ta được một sóng mà biên độ của nó không bao giờ trở thành không, đúng như chúng ta kỳ vọng. Mọi thứ đều vận hành đúng như chúng phải thế, cả về âm học lẫn về điện.

Hiện tượng ngược lại cũng xảy ra! Trong truyền sóng vô tuyến dùng cái gọi là điều biến biên độ (AM), âm thanh được đài phát thanh phát đi như sau: máy phát vô tuyến có một dao động điện xoay chiều ở một tần số rất cao, chẳng hạn 800 kilô chu kỳ mỗi giây, trong dải phát thanh. Nếu tín hiệu sóng mang này được bật lên, đài phát ra một sóng có biên độ đều ở 800.000 dao động mỗi giây. Cách để “thông tin” được truyền đi, loại thông tin vô ích về việc nên mua loại xe nào, là khi ai đó nói vào một micrô thì biên độ của tín hiệu sóng mang bị thay đổi theo bước với các rung động của âm thanh đi vào micrô.

Nếu chúng ta lấy làm trường hợp toán học đơn giản nhất tình huống trong đó một nữ ca sĩ giọng soprano đang hát một nốt hoàn hảo, với các dao động hình sin hoàn hảo của các dây thanh của cô, khi đó chúng ta được một tín hiệu mà độ mạnh của nó luân phiên như được chỉ ra trong Hình 48–4. Sự luân phiên ở tần số âm thanh khi đó được khôi phục lại trong máy thu; chúng ta loại bỏ sóng mang và chỉ nhìn vào đường bao, đường này biểu diễn các dao động của các dây thanh, hay âm thanh của ca sĩ. Loa khi đó tạo ra các rung động tương ứng ở cùng tần số trong không khí, và người nghe khi đó về cơ bản không thể phân biệt được sự khác nhau, người ta nói vậy. Vì một số méo mó và các hiệu ứng tinh vi khác, thật ra người ta có thể phân biệt được chúng ta đang nghe một đài phát thanh hay một giọng soprano thật; ngoài ra ý tưởng là như đã chỉ ra ở trên.

48–3  Các dải biên

Về mặt toán học, sóng đã điều biến được mô tả ở trên sẽ được biểu diễn là

S = (1 + b cos ω_mt) cos ω_ct,   (48.9)

trong đó ω_c biểu diễn tần số của sóng mang và ω_m là tần số của âm thanh. Lại một lần nữa chúng ta dùng mọi định lý đó về các cosin, hoặc chúng ta có thể dùng e^iθ; điều đó không tạo khác biệt gì — với e^iθ thì dễ hơn, nhưng đó là cùng một điều. Khi đó chúng ta được

S = cos ω_ct + ½b cos (ω_c + ω_m)t + ½b cos (ω_c − ω_m)t.   (48.10)

Vậy, từ một quan điểm khác, chúng ta có thể nói rằng sóng ra của hệ gồm ba sóng cộng chồng chất với nhau: thứ nhất, sóng thông thường ở tần số ω_c, tức là ở tần số sóng mang, và sau đó là hai sóng mới ở hai tần số mới. Một sóng là tần số sóng mang cộng với tần số điều biến, và sóng kia là tần số sóng mang trừ đi tần số điều biến. Vậy nếu chúng ta làm một đồ thị nào đó về cường độ đang được bộ phát tạo ra như một hàm của tần số, chúng ta sẽ thấy rất nhiều cường độ ở tần số của sóng mang, dĩ nhiên, nhưng khi một ca sĩ bắt đầu hát, chúng ta đột nhiên cũng sẽ thấy cường độ tỉ lệ với độ mạnh của ca sĩ, b², ở tần số ω_c + ω_m và ω_c − ω_m, như được chỉ ra trong Hình 48–5. Những dải này được gọi là các dải biên (side bands); khi có một tín hiệu đã điều biến từ máy phát, sẽ có các dải biên. Nếu có nhiều hơn một nốt tại cùng thời điểm, ta nói ω_m và ω_m′, có hai nhạc cụ đang chơi; hoặc nếu có bất kỳ sóng cosin phức tạp nào khác, khi đó, dĩ nhiên, chúng ta có thể thấy từ toán học rằng chúng ta được thêm một số sóng nữa tương ứng với các tần số ω_c ± ω_m′.

Do đó, khi có một sự điều biến phức tạp có thể được biểu diễn như tổng của nhiều cosin,¹ chúng ta thấy rằng máy phát thực sự đang truyền trên một dải tần số, cụ thể là tần số sóng mang cộng hoặc trừ tần số cực đại mà tín hiệu điều biến chứa.

Mặc dù thoạt đầu chúng ta có thể tin rằng một máy phát vô tuyến chỉ truyền ở tần số danh nghĩa của sóng mang, vì trong đó có các bộ dao động tinh thể siêu ổn định lớn, và mọi thứ được điều chỉnh để ở đúng 800 kilô chu kỳ, khoảnh khắc ai đó thông báo rằng họ đang ở 800 kilô chu kỳ, anh ta điều biến 800 kilô chu kỳ đó, và vậy chúng không còn ở đúng 800 kilô chu kỳ nữa! Giả sử các bộ khuếch đại được chế tạo sao cho chúng có thể truyền trên một dải tốt của độ nhạy của tai (tai có thể nghe tới 20.000 chu kỳ mỗi giây, nhưng thông thường các máy phát và máy thu vô tuyến không hoạt động vượt quá 10.000, vậy chúng ta không nghe được các phần cao nhất), khi đó, khi người đàn ông nói, giọng của anh ta có thể chứa các tần số lên tới, ta nói, 10.000 chu kỳ, vậy máy phát đang truyền các tần số có thể trải từ 790 tới 810 kilô chu kỳ mỗi giây. Bây giờ nếu có một đài khác ở 795 kc/giây, sẽ có rất nhiều sự lẫn lộn. Ngoài ra, nếu chúng ta làm cho máy thu của mình nhạy đến mức nó chỉ thu đúng 800, và không thu 10 kilô chu kỳ ở mỗi phía, chúng ta sẽ không nghe được điều người đàn ông đang nói, vì thông tin sẽ nằm trên các tần số khác này! Do đó điều tuyệt đối thiết yếu là giữ các đài cách nhau một khoảng nhất định, sao cho các dải biên của chúng không chồng lấp nhau và, ngoài ra, máy thu không được chọn lọc đến mức nó không cho phép thu các dải biên cũng như tần số danh nghĩa chính.

Trong trường hợp âm thanh, bài toán này thật ra không gây nhiều rắc rối. Chúng ta có thể nghe trên một dải ±20 kc/giây, và chúng ta thường có từ 500 tới 1500 kc/giây trong dải phát thanh, vậy có thừa chỗ cho rất nhiều đài.

Bài toán truyền hình khó khăn hơn. Khi chùm electron quét qua mặt của ống hình, có nhiều đốm nhỏ sáng và tối khác nhau. “Sáng” và “tối” đó là “tín hiệu”. Bây giờ thông thường chùm tia quét qua toàn bộ hình, khoảng 500 dòng, trong một phần ba mươi của một giây. Hãy xét rằng độ phân giải của hình theo chiều dọc và chiều ngang ít nhiều như nhau, sao cho có cùng số đốm trên mỗi inch dọc theo một dòng quét. Chúng ta muốn có thể phân biệt tối với sáng, tối với sáng, tối với sáng, trên, ta nói, 500 dòng. Để có thể làm điều này với các sóng cosin, bước sóng ngắn nhất cần thiết do đó tương ứng với một bước sóng, từ cực đại tới cực đại, bằng một phần 250 của kích thước màn hình. Vậy chúng ta có 250 × 500 × 30 mẩu thông tin mỗi giây. Tần số cao nhất chúng ta sẽ mang, do đó, gần bằng 4 mêga chu kỳ mỗi giây. Thật ra, để giữ các đài truyền hình cách nhau, chúng ta phải dùng nhiều hơn một chút so với con số này, khoảng 6 mc/giây; một phần của nó được dùng để mang tín hiệu âm thanh, và các thông tin khác. Vậy, các kênh truyền hình rộng 6 mêga chu kỳ mỗi giây. Chắc chắn sẽ không thể truyền truyền hình trên một sóng mang 800 kc/giây, vì chúng ta không thể điều biến ở một tần số cao hơn sóng mang.

Dù sao đi nữa, dải truyền hình bắt đầu ở 54 mêga chu kỳ. Kênh truyền đầu tiên, là kênh 2 (!), có một dải tần số từ 54 tới 60 mc/giây, tức là rộng 6 mc/giây. “Nhưng,” người ta có thể nói, “chúng ta vừa chứng minh rằng có các dải biên ở cả hai phía, và do đó nó phải rộng gấp đôi như vậy.” Hóa ra các kỹ sư vô tuyến khá khéo léo. Nếu chúng ta phân tích tín hiệu điều biến dùng không chỉ các số hạng cosin, mà cả các số hạng cosin và sin, để cho phép các khác biệt về pha, khi đó chúng ta thấy rằng có một quan hệ xác định, bất biến giữa dải biên ở phía tần số cao và dải biên ở phía tần số thấp. Điều chúng ta muốn nói là không có thông tin mới nào trên dải biên phía kia đó. Vậy điều được làm là triệt tiêu một dải biên, và máy thu được đấu dây bên trong sao cho thông tin bị thiếu được tái tạo lại bằng cách nhìn vào dải biên đơn và sóng mang. Truyền dải biên đơn là một sơ đồ khéo léo để giảm các bề rộng dải cần thiết để truyền thông tin.

48–4  Các đoàn sóng cục bộ

Chủ đề tiếp theo chúng ta sẽ thảo luận là sự giao thoa của các sóng trong cả không gian lẫn thời gian. Giả sử chúng ta có hai sóng truyền trong không gian. Dĩ nhiên chúng ta biết rằng chúng ta có thể biểu diễn một sóng truyền trong không gian bằng e^{i(ωt − kx)}. Đây có thể là, chẳng hạn, độ dịch chuyển trong một sóng âm. Đây là một nghiệm của phương trình sóng với điều kiện ω² = k²c², trong đó c là tốc độ truyền của sóng. Trong trường hợp này chúng ta có thể viết nó là e^{−ik(x − ct)}, có dạng tổng quát f(x − ct). Do đó đây phải là một sóng đang truyền với vận tốc này, ω/k, và đó là c và mọi thứ đều ổn thỏa.

Bây giờ chúng ta muốn cộng hai sóng như vậy lại với nhau. Giả sử chúng ta có một sóng đang truyền với một tần số, và một sóng khác đang truyền với một tần số khác. Chúng ta để cho độc giả xét trường hợp các biên độ khác nhau; điều đó không tạo khác biệt thật sự nào. Vậy chúng ta muốn cộng e^{i(ω₁t − k₁x)} + e^{i(ω₂t − k₂x)}. Chúng ta có thể cộng chúng bằng cùng loại toán đã dùng khi cộng các sóng tín hiệu. Dĩ nhiên, nếu c như nhau cho cả hai, điều này dễ, vì nó cũng giống điều chúng ta đã làm trước đây:

e^{iω₁(t − x/c)} + e^{iω₂(t − x/c)} = e^iω₁t′ + e^iω₂t′,   (48.11)

ngoại trừ việc t′ = t − x/c là biến thay vì t. Vậy chúng ta được cùng loại điều biến, dĩ nhiên, nhưng chúng ta thấy, dĩ nhiên, rằng các điều biến đó đang di chuyển cùng với sóng. Nói cách khác, nếu chúng ta cộng hai sóng, nhưng các sóng này không chỉ dao động, mà còn di chuyển trong không gian, khi đó sóng hợp thành cũng sẽ di chuyển cùng, ở cùng tốc độ.

Bây giờ chúng ta muốn tổng quát hóa điều này cho trường hợp các sóng trong đó quan hệ giữa tần số và số sóng k không đơn giản như vậy. Ví dụ: vật chất có một chiết suất. Chúng ta đã nghiên cứu lý thuyết về chiết suất trong Chương 31, ở đó chúng ta thấy rằng chúng ta có thể viết k = nω/c, trong đó n là chiết suất. Làm một ví dụ thú vị, đối với tia X chúng ta thấy rằng chiết suất n là

n = 1 − Nq_e²/2ε₀mω².   (48.12)

Chúng ta thật ra đã suy ra một công thức phức tạp hơn trong Chương 31, nhưng công thức này cũng tốt như bất kỳ công thức nào, làm một ví dụ. Nhân tiện, chúng ta biết rằng ngay cả khi ω và k không tỉ lệ tuyến tính, tỉ số ω/k chắc chắn là tốc độ truyền đối với tần số và số sóng cụ thể đó. Chúng ta gọi tỉ số này là vận tốc pha; nó là tốc độ tại đó pha, hay các nút của một sóng đơn, sẽ di chuyển dọc theo:

v_p = ω/k.   (48.13)

Vận tốc pha này, đối với trường hợp tia X trong thủy tinh, lớn hơn tốc độ ánh sáng trong chân không (vì n trong (48.12) nhỏ hơn 1), và điều đó hơi phiền toái, vì chúng ta không nghĩ chúng ta có thể gửi các tín hiệu nhanh hơn tốc độ ánh sáng!

Điều chúng ta sẽ thảo luận bây giờ là sự giao thoa của hai sóng trong đó ω và k có một công thức xác định nối chúng với nhau. Công thức trên cho n nói rằng k được cho như một hàm xác định của ω. Nói cụ thể, trong bài toán cụ thể này, công thức cho k theo ω là

k = ω/c − a/ωc,   (48.14)

trong đó a = Nq_e²/2ε₀m, một hằng số. Dù sao đi nữa, đối với mỗi tần số có một số sóng xác định, và chúng ta muốn cộng hai sóng như vậy lại với nhau. Hãy làm điều đó đúng như chúng ta đã làm trong phương trình (48.7):

e^{i(ω₁t − k₁x)} + e^{i(ω₂t − k₂x)} = e^{i[(ω₁ + ω₂)t − (k₁ + k₂)x]/2} × [e^{i[(ω₁ − ω₂)t − (k₁ − k₂)x]/2} + e^{−i[(ω₁ − ω₂)t − (k₁ − k₂)x]/2}].   (48.15)

Vậy chúng ta lại có một sóng đã điều biến, một sóng truyền với tần số trung bình và số sóng trung bình, nhưng độ mạnh của nó đang biến thiên với một dạng phụ thuộc vào tần số hiệu và số sóng hiệu.

Bây giờ hãy xét trường hợp hiệu giữa hai sóng tương đối nhỏ. Hãy giả sử chúng ta đang cộng hai sóng mà tần số của chúng gần bằng nhau; khi đó (ω₁ + ω₂)/2 thực tế bằng một trong hai ω, và tương tự đối với (k₁ + k₂)/2. Vậy tốc độ của sóng, các dao động nhanh, các nút, vẫn về cơ bản là ω/k. Nhưng hãy nhìn xem, tốc độ truyền của sự điều biến không như vậy! Chúng ta phải thay đổi x bao nhiêu để ứng với một lượng t nhất định? Tốc độ của sóng điều biến này là tỉ số

v_M = (ω₁ − ω₂)/(k₁ − k₂).   (48.16)

Tốc độ điều biến đôi khi được gọi là vận tốc nhóm. Nếu chúng ta xét trường hợp hiệu tần số tương đối nhỏ, và hiệu số sóng khi đó cũng tương đối nhỏ, khi đó biểu thức này tiến tới, trong giới hạn,

v_g = dω/dk.   (48.17)

Nói cách khác, đối với sự điều biến chậm nhất, các phách chậm nhất, có một tốc độ xác định tại đó chúng truyền đi mà không bằng tốc độ pha của các sóng — thật là một điều bí ẩn!

Vận tốc nhóm là đạo hàm của ω theo k, và vận tốc pha là ω/k. Hãy thử xem chúng ta có thể hiểu vì sao không. Hãy xét lại hai sóng có bước sóng hơi khác nhau một chút, như trong Hình 48–1. Chúng lệch pha, cùng pha, lệch pha, và cứ như vậy. Bây giờ các sóng này thật ra biểu diễn các sóng trong không gian đang truyền với các tần số cũng hơi khác nhau. Bây giờ vì vận tốc pha, vận tốc của các nút của hai sóng này, không đúng bằng nhau, một điều mới xảy ra. Giả sử chúng ta cưỡi cùng với một trong hai sóng và nhìn sóng kia; nếu cả hai đều đi với cùng tốc độ, khi đó sóng kia sẽ ở đúng chỗ của nó so với chúng ta, trong khi chúng ta cưỡi dọc theo trên đỉnh sóng này. Chúng ta cưỡi trên đỉnh đó và ngay đối diện chúng ta chúng ta thấy một đỉnh; nếu hai vận tốc bằng nhau các đỉnh ở lại chồng lên nhau. Nhưng không phải vậy rằng hai vận tốc thật sự bằng nhau. Chỉ có một khác biệt nhỏ về tần số và do đó chỉ có một khác biệt nhỏ về vận tốc, nhưng vì khác biệt về vận tốc đó, trong khi chúng ta cưỡi dọc theo, sóng kia di chuyển chậm chạp về phía trước, ta nói, hoặc về phía sau, so với sóng của chúng ta. Vậy theo thời gian, điều gì xảy ra với nút? Nếu chúng ta di chuyển một đoàn sóng tiến lên chỉ một chút xíu, nút di chuyển tiến lên (hoặc lùi lại) một khoảng đáng kể. Tức là, tổng của hai sóng này có một đường bao, và trong khi các sóng truyền dọc theo, đường bao cưỡi trên chúng ở một tốc độ khác. Vận tốc nhóm là tốc độ tại đó các tín hiệu đã điều biến sẽ được truyền đi.

Nếu chúng ta tạo ra một tín hiệu, tức là một loại thay đổi nào đó trong sóng mà người ta có thể nhận ra khi nghe nó, một loại điều biến, khi đó sự điều biến đó sẽ truyền ở vận tốc nhóm, với điều kiện các điều biến tương đối chậm. (Khi chúng nhanh, việc phân tích khó hơn nhiều.)

Bây giờ chúng ta có thể chỉ ra (cuối cùng cũng được), rằng tốc độ truyền của tia X trong một khối carbon không lớn hơn tốc độ ánh sáng, mặc dù vận tốc pha thì lớn hơn tốc độ ánh sáng. Để làm điều đó, chúng ta phải tìm dω/dk, lượng này chúng ta được bằng cách vi phân (48.14): dk/dω = 1/c + a/ω²c. Vận tốc nhóm, do đó, là nghịch đảo của lượng này, cụ thể là,

v_g = c/(1 + a/ω²),   (48.18)

lượng này nhỏ hơn c! Vậy mặc dù các pha có thể truyền nhanh hơn tốc độ ánh sáng, các tín hiệu điều biến truyền chậm hơn, và đó là cách giải quyết nghịch lý bề ngoài! Dĩ nhiên, nếu chúng ta có trường hợp đơn giản ω = kc, khi đó dω/dk cũng là c. Vậy khi mọi pha đều có cùng vận tốc, dĩ nhiên nhóm có cùng vận tốc.

48–5  Biên độ xác suất cho các hạt

Bây giờ hãy xét thêm một ví dụ nữa về vận tốc pha, một ví dụ cực kỳ thú vị. Nó liên quan đến cơ học lượng tử. Chúng ta biết rằng biên độ để tìm thấy một hạt tại một nơi có thể, trong một số hoàn cảnh, biến thiên trong không gian và thời gian, ta nói trong một chiều, theo cách này:

ψ = Ae^{i(ωt − kx)},   (48.19)

trong đó ω là tần số, liên quan đến ý tưởng cổ điển về năng lượng qua E = ℏω, và k là số sóng, liên quan đến động lượng qua p = ℏk. Chúng ta sẽ nói hạt có một động lượng xác định p nếu số sóng đúng bằng k, tức là, một sóng hoàn hảo cứ tiếp tục với cùng biên độ ở khắp mọi nơi. Phương trình (48.19) cho biên độ, và nếu chúng ta lấy bình phương tuyệt đối, chúng ta được xác suất tương đối để tìm thấy hạt như một hàm của vị trí và thời gian. Đây là một hằng số, điều đó có nghĩa là xác suất tìm thấy một hạt ở bất kỳ đâu đều như nhau. Bây giờ thay vào đó giả sử chúng ta có một tình huống trong đó chúng ta biết rằng hạt có nhiều khả năng ở một nơi hơn ở một nơi khác. Chúng ta sẽ biểu diễn một tình huống như vậy bằng một sóng có một cực đại và suy giảm ở cả hai phía (Hình 48–6). (Nó không hoàn toàn giống một sóng như Hình 48–1, sóng này có một dãy các cực đại, nhưng người ta có thể, bằng cách cộng một vài sóng có ω và k gần như nhau lại với nhau, loại bỏ mọi cực đại trừ một cực đại.)

Bây giờ trong các hoàn cảnh đó, vì bình phương của (48.19) biểu diễn cơ hội tìm thấy một hạt ở đâu đó, chúng ta biết rằng tại một thời điểm cho trước hạt có nhiều khả năng nhất ở gần tâm của “cục” đó, nơi biên độ của sóng là cực đại. Nếu bây giờ chúng ta chờ một vài khoảnh khắc, các sóng sẽ di chuyển, và sau một thời gian “cục” sẽ ở một nơi khác. Nếu chúng ta biết rằng hạt ban đầu nằm ở đâu đó, theo cổ điển, chúng ta sẽ kỳ vọng rằng về sau nó sẽ ở một nơi khác như một điều hiển nhiên, vì nó có một tốc độ, xét cho cùng, và một động lượng. Thuyết lượng tử, khi đó, sẽ đi tới thuyết cổ điển đúng cho quan hệ của động lượng, năng lượng, và vận tốc chỉ nếu vận tốc nhóm, vận tốc của sự điều biến, bằng vận tốc chúng ta sẽ thu được theo cổ điển cho một hạt có cùng động lượng.

Bây giờ cần phải chứng minh rằng điều này đúng, hay không đúng. Theo thuyết cổ điển, năng lượng liên quan đến vận tốc qua một phương trình như

E = mc²/√(1 − v²/c²).   (48.20)

Tương tự, động lượng là

p = mv/√(1 − v²/c²).   (48.21)

Đó là thuyết cổ điển, và như một hệ quả của thuyết cổ điển, bằng cách khử v, chúng ta có thể chỉ ra rằng

E² − p²c² = m²c⁴.

Đó là kết quả lớn bốn chiều mà chúng ta đã nói đi nói lại, rằng p_μp_μ = m²; đó là quan hệ giữa năng lượng và động lượng trong thuyết cổ điển. Bây giờ điều đó có nghĩa là, vì các E và p này sẽ trở thành các ω và k, bằng phép thế E = ℏω và p = ℏk, rằng đối với cơ học lượng tử cần thiết phải có

ℏ²ω²/c² − ℏ²k² = m²c².   (48.22)

Đây, khi đó, là quan hệ giữa tần số và số sóng của một sóng biên độ cơ học lượng tử biểu diễn một hạt có khối lượng m. Từ phương trình này chúng ta có thể suy ra rằng ω là

ω = c√(k² + m²c²/ℏ²).

Vận tốc pha, ω/k, ở đây lại một lần nữa nhanh hơn tốc độ ánh sáng!

Bây giờ hãy nhìn vận tốc nhóm. Vận tốc nhóm phải là dω/dk, tốc độ tại đó các điều biến di chuyển. Chúng ta phải vi phân một căn bậc hai, điều này không khó lắm. Đạo hàm là

dω/dk = kc/√(k² + m²c²/ℏ²).

Bây giờ căn bậc hai, xét cho cùng, là ω/c, vậy chúng ta có thể viết điều này là dω/dk = c²k/ω. Hơn nữa, k/ω là p/E, vậy

v_g = c²p/E.

Nhưng từ (48.20) và (48.21), c²p/E = v, vận tốc của hạt, theo cơ học cổ điển. Vậy chúng ta thấy rằng trong khi quan hệ cơ học lượng tử cơ bản E = ℏω và p = ℏk, để đồng nhất ω và k với E và p cổ điển, chỉ tạo ra phương trình ω² − k²c² = m²c⁴/ℏ², bây giờ chúng ta cũng hiểu các quan hệ (48.20) và (48.21) nối E và p với vận tốc. Dĩ nhiên vận tốc nhóm phải là vận tốc của hạt nếu cách diễn giải muốn có bất kỳ ý nghĩa nào. Nếu chúng ta nghĩ hạt đang ở đây vào một thời điểm, và rồi mười phút sau chúng ta nghĩ nó đang ở kia, như cơ học lượng tử đã nói, khoảng cách mà “cục” đã đi qua, chia cho khoảng thời gian, phải là, theo cổ điển, vận tốc của hạt.

48–6  Sóng trong ba chiều

Bây giờ chúng ta sẽ kết thúc thảo luận về sóng của mình bằng một vài nhận xét tổng quát về phương trình sóng. Các nhận xét này nhằm cho một cái nhìn nào đó về tương lai — không phải chúng ta có thể hiểu mọi thứ một cách chính xác ngay bây giờ, mà đúng hơn là để thấy mọi thứ sẽ trông như thế nào khi chúng ta nghiên cứu sóng thêm một chút nữa. Trước hết, phương trình sóng cho âm thanh trong một chiều là

∂²χ/∂x² = (1/c²) ∂²χ/∂t²,

trong đó c là tốc độ của bất kỳ sóng nào đó — trong trường hợp âm thanh, nó là tốc độ âm thanh; trong trường hợp ánh sáng, nó là tốc độ ánh sáng. Chúng ta đã chỉ ra rằng đối với một sóng âm các độ dịch chuyển sẽ tự truyền đi ở một tốc độ nào đó. Nhưng áp suất dư cũng truyền ở một tốc độ nào đó, và mật độ dư cũng vậy. Vậy chúng ta nên kỳ vọng rằng áp suất sẽ thỏa mãn cùng phương trình, và đúng là nó thỏa mãn. Chúng ta sẽ để cho độc giả chứng minh rằng nó đúng. Gợi ý: ρ_e tỉ lệ với tốc độ thay đổi của χ theo x. Do đó nếu chúng ta vi phân phương trình sóng theo x, chúng ta sẽ ngay lập tức khám phá ra rằng ∂χ/∂x thỏa mãn cùng phương trình. Tức là, ρ_e thỏa mãn cùng phương trình. Nhưng P_e tỉ lệ với ρ_e, và do đó P_e cũng vậy. Vậy áp suất, các độ dịch chuyển, mọi thứ, đều thỏa mãn cùng phương trình sóng.

Thông thường người ta thấy phương trình sóng cho âm thanh được viết theo áp suất thay vì theo độ dịch chuyển, vì áp suất là một vô hướng và không có hướng. Nhưng độ dịch chuyển là một vectơ và có hướng, và vậy việc phân tích áp suất dễ hơn.

Vấn đề tiếp theo chúng ta thảo luận liên quan đến phương trình sóng trong ba chiều. Chúng ta biết rằng nghiệm sóng âm trong một chiều là e^{i(ωt − kx)}, với ω = kc_s, nhưng chúng ta cũng biết rằng trong ba chiều một sóng sẽ được biểu diễn bằng e^{i(ωt − k_xx − k_yy − k_zz)}, trong đó, trong trường hợp này, ω² = k²c_s², tức là, dĩ nhiên, (k_x² + k_y² + k_z²)c_s². Bây giờ điều chúng ta muốn làm là đoán phương trình sóng đúng trong ba chiều là gì. Dĩ nhiên, đối với trường hợp âm thanh điều này có thể được suy ra bằng cách đi qua cùng lập luận động lực học trong ba chiều mà chúng ta đã làm trong một chiều. Nhưng chúng ta sẽ không làm điều đó; thay vào đó chúng ta chỉ viết ra điều xuất hiện: phương trình cho áp suất (hay độ dịch chuyển, hay bất kỳ thứ gì) là,

∂²P_e/∂x² + ∂²P_e/∂y² + ∂²P_e/∂z² = (1/c_s²) ∂²P_e/∂t².   (48.23)

Việc điều này đúng có thể được kiểm chứng bằng cách thế e^{i(ωt − k·r)} vào. Rõ ràng, mỗi lần chúng ta vi phân theo x, chúng ta nhân với −ik_x. Nếu chúng ta vi phân hai lần, điều đó tương đương với việc nhân với −k_x², vậy số hạng đầu tiên sẽ trở thành −k_x²P_e, đối với sóng đó. Tương tự, số hạng thứ hai trở thành −k_y²P_e, và số hạng thứ ba trở thành −k_z²P_e. Ở phía phải, chúng ta được −(ω²/c_s²)P_e. Khi đó, nếu chúng ta bỏ các P_e đi và đổi dấu, chúng ta thấy rằng quan hệ giữa k và ω là quan hệ chúng ta muốn.

Làm việc ngược lại một lần nữa, chúng ta không thể cưỡng lại việc viết ra phương trình lớn tương ứng với phương trình tán sắc (48.22) cho các sóng cơ học lượng tử. Nếu ϕ biểu diễn biên độ để tìm thấy một hạt tại vị trí x, y, z, tại thời điểm t, khi đó phương trình lớn của cơ học lượng tử cho các hạt tự do là đây:

∂²ϕ/∂x² + ∂²ϕ/∂y² + ∂²ϕ/∂z² − (1/c²) ∂²ϕ/∂t² = (m²c²/ℏ²)ϕ.   (48.24)

Trước hết, tính chất tương đối tính của biểu thức này được gợi ý bởi sự xuất hiện của x, y, z và t trong tổ hợp đẹp đẽ mà thuyết tương đối thường liên quan. Thứ hai, nó là một phương trình sóng mà, nếu chúng ta thử một sóng phẳng, sẽ tạo ra như một hệ quả rằng −k² + ω²/c² = m²c²/ℏ², đó là quan hệ đúng cho cơ học lượng tử. Còn có một điều lớn nữa được chứa trong phương trình sóng: sự kiện rằng bất kỳ chồng chất nào của các sóng cũng là một nghiệm. Vậy phương trình này chứa toàn bộ cơ học lượng tử và thuyết tương đối mà chúng ta đã thảo luận cho đến nay, ít nhất chừng nào nó liên quan đến một hạt đơn trong không gian trống với không có thế hay lực bên ngoài nào tác dụng lên nó!

48–7  Các mode chuẩn

Bây giờ chúng ta chuyển sang một ví dụ khác của hiện tượng phách, một ví dụ khá kỳ lạ và hơi khác một chút. Hãy tưởng tượng hai con lắc bằng nhau có, giữa chúng, một liên kết lò xo khá yếu. Chúng được làm cho có chiều dài càng giống nhau càng tốt. Nếu chúng ta kéo một con lắc sang một bên và thả ra, nó di chuyển qua lại, và nó kéo lên lò xo nối trong khi nó di chuyển qua lại, và vậy nó thật sự là một cỗ máy để tạo ra một lực có tần số riêng của con lắc kia. Do đó, như một hệ quả của lý thuyết cộng hưởng, lý thuyết chúng ta đã nghiên cứu trước đây, khi chúng ta đặt một lực lên một vật nào đó ở đúng tần số thích hợp, nó sẽ dẫn động vật đó. Vậy, chắc chắn rồi, một con lắc di chuyển qua lại sẽ dẫn động con lắc kia. Tuy nhiên, trong hoàn cảnh này có một điều mới đang xảy ra, vì tổng năng lượng của hệ là hữu hạn, vậy khi một con lắc rót năng lượng của nó vào con lắc kia để dẫn động nó, nó thấy mình dần dần mất năng lượng, cho đến khi, nếu thời điểm vừa đúng cùng với tốc độ, nó mất toàn bộ năng lượng và bị giảm xuống một trạng thái đứng yên! Khi đó, dĩ nhiên, chính quả cầu con lắc kia có toàn bộ năng lượng và con lắc đầu tiên không có chút nào, và theo thời gian chúng ta thấy rằng điều đó cũng vận hành theo hướng ngược lại, và rằng năng lượng được truyền trở lại vào quả cầu đầu tiên; đây là một hiện tượng rất thú vị và vui. Tuy nhiên chúng ta đã nói rằng điều này liên quan đến lý thuyết phách, và bây giờ chúng ta phải giải thích cách chúng ta có thể phân tích chuyển động này từ quan điểm của lý thuyết phách.

Chúng ta lưu ý rằng chuyển động của một trong hai quả cầu là một dao động có biên độ thay đổi theo chu kỳ. Do đó chuyển động của một trong hai quả cầu có lẽ có thể phân tích được theo một cách khác, ở chỗ nó là tổng của hai dao động, hiện diện tại cùng thời điểm nhưng có hai tần số hơi khác nhau. Do đó lẽ ra phải có thể tìm thấy hai chuyển động khác trong hệ này, và khẳng định rằng điều chúng ta đã thấy là một chồng chất của hai nghiệm, vì đây dĩ nhiên là một hệ tuyến tính. Thật vậy, rất dễ tìm thấy hai cách chúng ta có thể bắt đầu chuyển động, mỗi cách là một chuyển động tần số đơn, hoàn hảo — hoàn toàn tuần hoàn. Chuyển động chúng ta đã bắt đầu trước đây không hoàn toàn tuần hoàn, vì nó không kéo dài; chẳng bao lâu một quả cầu đang truyền năng lượng cho quả cầu kia và do đó thay đổi biên độ của nó; nhưng có những cách bắt đầu chuyển động sao cho không có gì thay đổi và, dĩ nhiên, ngay khi chúng ta thấy nó chúng ta hiểu vì sao. Chẳng hạn, nếu chúng ta cho cả hai con lắc đi cùng nhau, khi đó, vì chúng có cùng chiều dài và lò xo khi đó không làm gì cả, dĩ nhiên chúng sẽ tiếp tục đu đưa như vậy mãi mãi, giả thiết không có ma sát và mọi thứ đều hoàn hảo. Mặt khác, có một chuyển động khả dĩ khác cũng có một tần số xác định: tức là, nếu chúng ta di chuyển các con lắc ngược chiều nhau, kéo chúng sang một bên đúng các khoảng bằng nhau, khi đó một lần nữa chúng sẽ ở trong chuyển động hoàn toàn tuần hoàn. Chúng ta có thể nhận thấy rằng lò xo chỉ cộng thêm một chút vào lực hồi phục mà trọng lực cung cấp, chỉ vậy thôi, và hệ chỉ tiếp tục dao động ở một tần số hơi cao hơn một chút so với trường hợp đầu tiên. Vì sao cao hơn? Vì lò xo đang kéo, ngoài trọng lực, và nó làm cho hệ hơi “cứng” hơn một chút, sao cho tần số của chuyển động này chỉ cao hơn một chút xíu so với tần số của chuyển động kia.

Vậy hệ này có hai cách trong đó nó có thể dao động với biên độ không đổi: nó có thể hoặc dao động theo một cách trong đó cả hai con lắc đi cùng chiều và dao động mọi lúc ở một tần số, hoặc chúng có thể đi theo các hướng ngược nhau ở một tần số hơi cao hơn.

Bây giờ chuyển động thực của vật, vì hệ là tuyến tính, có thể được biểu diễn như một chồng chất của hai chuyển động. (Chủ đề của chương này, hãy nhớ, là các hiệu ứng của việc cộng hai chuyển động có các tần số khác nhau.) Vậy hãy nghĩ điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta kết hợp hai nghiệm này. Nếu tại t = 0 hai chuyển động được bắt đầu với biên độ bằng nhau và cùng pha, tổng của hai chuyển động có nghĩa là một quả cầu, bị ấn một chiều bởi chuyển động thứ nhất và chiều kia bởi chuyển động thứ hai, ở số không, trong khi quả cầu kia, bị dịch chuyển cùng chiều trong cả hai chuyển động, có một biên độ lớn. Tuy nhiên theo thời gian, hai chuyển động cơ bản tiến triển một cách độc lập, vậy pha của chuyển động này so với chuyển động kia đang dịch chuyển một cách chậm chạp. Điều đó có nghĩa là, sau một thời gian đủ dài, khi thời gian đủ để một chuyển động có thể đã đi được “900½” dao động, trong khi chuyển động kia chỉ đi được “900”, pha tương đối sẽ vừa bị đảo ngược so với điều nó đã là trước đây. Tức là, chuyển động biên độ lớn sẽ sụt xuống số không, và trong khi đó, dĩ nhiên, quả cầu ban đầu đứng yên sẽ đạt được toàn bộ sức mạnh!

Vậy chúng ta thấy rằng chúng ta có thể phân tích chuyển động phức tạp này hoặc bằng ý tưởng rằng có một sự cộng hưởng và rằng một con lắc truyền năng lượng cho con lắc kia, hoặc bằng sự chồng chất của hai chuyển động biên độ không đổi ở hai tần số khác nhau.