Chương 3: Các biên độ xác suất
Richard P. Feynman — The Feynman Lectures on Physics, Tập III, Chương 3: “Probability Amplitudes”
3–1 Các định luật để tổ hợp các biên độ
Khi Schrödinger lần đầu tiên khám phá ra các định luật đúng của cơ học lượng tử, ông đã viết một phương trình mô tả biên độ để tìm một hạt tại các nơi khác nhau. Phương trình này rất giống với các phương trình đã được các nhà vật lý cổ điển biết đến — các phương trình họ đã dùng trong việc mô tả chuyển động của không khí trong một sóng âm, sự truyền ánh sáng, và cứ thế. Vì vậy phần lớn thời gian ở buổi đầu của cơ học lượng tử được dành cho việc giải phương trình này. Nhưng đồng thời một sự hiểu biết cũng đang được phát triển, đặc biệt bởi Born và Dirac, về các ý tưởng vật lý cơ bản mới đằng sau cơ học lượng tử. Khi cơ học lượng tử phát triển thêm, hóa ra có một số lượng lớn các thứ không được bao hàm trực tiếp trong phương trình Schrödinger — như spin của electron, và các hiện tượng tương đối tính khác nhau. Theo truyền thống, mọi khóa học về cơ học lượng tử đều bắt đầu theo cùng một cách, lần lại con đường đã đi trong sự phát triển lịch sử của môn học. Trước hết người ta học rất nhiều về cơ học cổ điển để có thể hiểu cách giải phương trình Schrödinger. Sau đó người ta dành một thời gian dài để tính ra các nghiệm khác nhau. Chỉ sau một nghiên cứu chi tiết về phương trình này người ta mới đến được chủ đề “cao cấp” là spin của electron.
Chúng tôi ban đầu cũng đã xét rằng cách đúng để kết thúc các bài giảng vật lý này là chỉ ra cách giải các phương trình của vật lý cổ điển trong các tình huống phức tạp — như sự mô tả các sóng âm trong các miền khép kín, các mode của bức xạ điện từ trong các hốc hình trụ, và cứ thế. Đó là kế hoạch ban đầu cho khóa học này. Tuy nhiên, chúng tôi đã quyết định từ bỏ kế hoạch đó và thay vào đó đưa ra một giới thiệu về cơ học lượng tử. Chúng tôi đã đi đến kết luận rằng những gì thường được gọi là các phần cao cấp của cơ học lượng tử, thực tế, lại khá đơn giản. Toán học liên quan đặc biệt đơn giản, chỉ liên quan đến các phép toán đại số đơn giản và không có phương trình vi phân nào hoặc tối đa chỉ có các phương trình rất đơn giản. Vấn đề duy nhất là chúng ta phải nhảy qua khoảng cách của việc không còn có thể mô tả hành vi chi tiết của các hạt trong không gian. Vì vậy đây là điều chúng ta sẽ cố làm: cho bạn biết về những gì theo quy ước sẽ được gọi là các phần “cao cấp” của cơ học lượng tử. Nhưng chúng, chúng tôi cam đoan với bạn, hoàn toàn là các phần đơn giản nhất — theo một nghĩa sâu xa của từ này — cũng như là các phần cơ bản nhất. Đây thẳng thắn là một thí nghiệm sư phạm; nó chưa từng được thực hiện trước đây, theo như chúng tôi biết.
Trong môn học này chúng ta, dĩ nhiên, có khó khăn rằng hành vi cơ học lượng tử của các vật là khá kỳ lạ. Không ai có một kinh nghiệm hằng ngày để dựa vào mà có được một ý niệm trực giác sơ bộ về điều gì sẽ xảy ra. Vì vậy có hai cách trình bày môn học: Chúng ta hoặc có thể mô tả điều gì có thể xảy ra theo một cách vật lý khá thô, nói cho bạn ít nhiều điều gì xảy ra mà không cho ra các định luật chính xác của mọi thứ; hoặc chúng ta có thể, mặt khác, cho ra các định luật chính xác dưới dạng trừu tượng của chúng. Nhưng, khi đó vì các sự trừu tượng, bạn sẽ không biết chúng là về cái gì, về mặt vật lý. Phương pháp thứ hai không thỏa đáng vì nó hoàn toàn trừu tượng, và cách thứ nhất để lại một cảm giác khó chịu vì người ta không biết chính xác điều gì đúng và điều gì sai. Chúng ta không chắc làm thế nào vượt qua khó khăn này. Bạn sẽ nhận thấy, thực tế, rằng Chương 1 và 2 đã cho thấy vấn đề này. Chương đầu tương đối chính xác; nhưng chương thứ hai là một mô tả thô về các đặc trưng của các hiện tượng khác nhau. Ở đây, chúng ta sẽ cố tìm một điểm giữa vui vẻ giữa hai cực đoan.
Chúng ta sẽ bắt đầu trong chương này bằng cách xử lý một số ý tưởng cơ học lượng tử tổng quát. Một số phát biểu sẽ khá chính xác, số khác chỉ chính xác một phần. Sẽ khó nói cho bạn trong lúc đi cái nào là cái nào, nhưng vào lúc bạn đã học xong phần còn lại của cuốn sách, bạn sẽ hiểu khi nhìn lại những phần nào đứng vững và những phần nào chỉ được giải thích một cách thô. Các chương tiếp sau chương này sẽ không thiếu chính xác như vậy. Thực tế, một trong những lý do chúng ta đã cố cẩn thận để chính xác trong các chương tiếp theo là để chúng ta có thể chỉ cho bạn một trong những điều đẹp nhất về cơ học lượng tử — bao nhiêu thứ có thể được suy ra từ ít ỏi đến vậy.
Chúng ta bắt đầu bằng cách thảo luận lại sự chồng chập của các biên độ xác suất. Như một ví dụ chúng ta sẽ tham chiếu tới thí nghiệm được mô tả trong Chương 1, và được chỉ lại ở đây trong Hình 3–1. Có một nguồn s của các hạt, chẳng hạn các electron; sau đó có một bức tường với hai khe trên đó; sau bức tường, có một máy dò đặt tại một vị trí x nào đó. Chúng ta hỏi xác suất mà một hạt sẽ được tìm thấy tại x. Nguyên lý tổng quát đầu tiên của chúng ta trong cơ học lượng tử là xác suất mà một hạt sẽ tới x, khi được thả ra tại nguồn s, có thể được biểu diễn một cách định lượng bởi mô-đun bình phương của một số phức gọi là một biên độ xác suất — trong trường hợp này, “biên độ mà một hạt từ s sẽ tới x.” Chúng ta sẽ dùng các biên độ như vậy thường xuyên đến mức chúng ta sẽ dùng một ký hiệu viết tắt — do Dirac phát minh và thường được dùng trong cơ học lượng tử — để biểu diễn ý tưởng này. Chúng ta viết biên độ xác suất như thế này:
⟨Hạt tới tại x | hạt rời khỏi s⟩. (3.1)
Nói cách khác, hai dấu ngoặc ⟨ ⟩ là một dấu hiệu tương đương với “biên độ mà”; biểu thức ở bên phải của vạch thẳng đứng luôn cho điều kiện bắt đầu, và biểu thức ở bên trái, điều kiện cuối cùng. Đôi khi cũng sẽ tiện lợi khi viết tắt hơn nữa và mô tả các điều kiện ban đầu và cuối cùng bằng các chữ cái đơn lẻ. Chẳng hạn, chúng ta đôi khi có thể viết biên độ (3.1) thành
⟨x|s⟩. (3.2)
Chúng ta muốn nhấn mạnh rằng một biên độ như vậy, dĩ nhiên, chỉ là một số duy nhất — một số phức.
Chúng ta đã thấy trong thảo luận của Chương 1 rằng khi có hai cách để hạt đến được máy dò, xác suất thu được không phải là tổng của hai xác suất, mà phải được viết như mô-đun bình phương của tổng của hai biên độ. Chúng ta đã thấy rằng xác suất một electron tới máy dò khi cả hai đường đều mở là
P12 = |φ1 + φ2|2. (3.3)
Bây giờ chúng ta muốn đặt kết quả này theo ký hiệu mới của chúng ta. Tuy nhiên, trước hết, chúng ta muốn phát biểu nguyên lý tổng quát thứ hai của cơ học lượng tử: Khi một hạt có thể đến một trạng thái cho trước bằng hai đường có thể, biên độ toàn phần cho quá trình là tổng của các biên độ cho hai đường được xét riêng rẽ. Trong ký hiệu mới của chúng ta, chúng ta viết điều đó là
⟨x|s⟩cả hai lỗ mở = ⟨x|s⟩qua 1 + ⟨x|s⟩qua 2. (3.4)
Nhân tiện, chúng ta sẽ giả thiết rằng các lỗ 1 và 2 đủ nhỏ để khi chúng ta nói một electron đi qua lỗ, chúng ta không phải thảo luận phần nào của lỗ. Dĩ nhiên, chúng ta có thể chia mỗi lỗ thành các mảnh với một biên độ nào đó rằng electron đi tới đỉnh của lỗ và đáy của lỗ và cứ thế. Chúng ta sẽ giả thiết rằng lỗ đủ nhỏ để chúng ta không phải lo về chi tiết này. Đó là một phần của sự thô thiển liên quan; vấn đề có thể được làm chính xác hơn, nhưng chúng ta không muốn làm như vậy ở giai đoạn này.
Bây giờ chúng ta muốn viết chi tiết hơn những gì chúng ta có thể nói về biên độ cho quá trình trong đó electron đến được máy dò tại x bằng cách qua lỗ 1. Chúng ta có thể làm điều đó bằng cách dùng nguyên lý tổng quát thứ ba của chúng ta: Khi một hạt đi theo một đường cụ thể nào đó, biên độ cho đường đó có thể được viết như tích của biên độ để đi một phần đường với biên độ để đi phần còn lại của đường. Đối với bố trí của Hình 3–1, biên độ để đi từ s tới x qua lỗ 1 bằng biên độ để đi từ s tới 1, nhân với biên độ để đi từ 1 tới x.
⟨x|s⟩qua 1 = ⟨x|1⟩⟨1|s⟩. (3.5)
Một lần nữa kết quả này không hoàn toàn chính xác. Chúng ta cũng nên bao gồm một thừa số cho biên độ mà electron sẽ lọt qua lỗ tại 1; nhưng trong trường hợp hiện tại nó là một lỗ đơn giản, và chúng ta sẽ lấy thừa số này bằng đơn vị.
Bạn sẽ lưu ý rằng Phương trình (3.5) dường như được viết theo thứ tự ngược. Nó được đọc từ phải sang trái: Electron đi từ s tới 1 và sau đó từ 1 tới x. Tóm lại, nếu các sự kiện xảy ra liên tiếp — tức là, nếu bạn có thể phân tích một trong các đường của hạt bằng cách nói nó làm điều này, sau đó nó làm điều này, sau đó nó làm điều kia — biên độ thu được cho đường đó được tính bằng cách nhân liên tiếp biên độ cho mỗi sự kiện liên tiếp. Dùng định luật này chúng ta có thể viết lại Phương trình (3.4) thành
⟨x|s⟩cả hai = ⟨x|1⟩⟨1|s⟩ + ⟨x|2⟩⟨2|s⟩.
Bây giờ chúng ta muốn chỉ ra rằng chỉ bằng cách dùng các nguyên lý này chúng ta có thể tính một bài toán phức tạp hơn nhiều như bài toán được chỉ trong Hình 3–2. Ở đây chúng ta có hai bức tường, một bức có hai lỗ, 1 và 2, và một bức khác có ba lỗ, a, b, và c. Phía sau bức tường thứ hai có một máy dò tại x, và chúng ta muốn biết biên độ để một hạt tới đó. Một cách bạn có thể tìm điều này là bằng cách tính sự chồng chập, hay giao thoa, của các sóng đi qua; nhưng bạn cũng có thể làm điều đó bằng cách nói rằng có sáu đường có thể và chồng chập một biên độ cho mỗi đường. Electron có thể đi qua lỗ 1, sau đó qua lỗ a, và sau đó tới x; hay nó có thể đi qua lỗ 1, sau đó qua lỗ b, và sau đó tới x; và cứ thế. Theo nguyên lý thứ hai của chúng ta, các biên độ cho các đường thay thế cộng lại, vì vậy chúng ta sẽ có thể viết biên độ từ s tới x như một tổng của sáu biên độ riêng rẽ. Mặt khác, dùng nguyên lý thứ ba, mỗi biên độ riêng rẽ này có thể được viết như một tích của ba biên độ. Chẳng hạn, một trong chúng là biên độ cho s tới 1, nhân với biên độ cho 1 tới a, nhân với biên độ cho a tới x. Dùng ký hiệu viết tắt của chúng ta, chúng ta có thể viết biên độ toàn phần để đi từ s tới x là
⟨x|s⟩ = ⟨x|a⟩⟨a|1⟩⟨1|s⟩ + ⟨x|b⟩⟨b|1⟩⟨1|s⟩ + … + ⟨x|c⟩⟨c|2⟩⟨2|s⟩.
Chúng ta có thể tiết kiệm việc viết bằng cách dùng ký hiệu tổng
⟨x|s⟩ = ∑i=1,2; α=a,b,c ⟨x|α⟩⟨α|i⟩⟨i|s⟩. (3.6)
Để thực hiện bất kỳ phép tính nào dùng các phương pháp này, dĩ nhiên, cần thiết phải biết biên độ để đi từ một nơi tới một nơi khác. Chúng ta sẽ cho một ý niệm sơ bộ về một biên độ điển hình. Nó bỏ qua một số thứ như sự phân cực của ánh sáng hay spin của electron, nhưng ngoài các đặc điểm như vậy nó khá chính xác. Chúng ta cho nó để bạn có thể giải các bài toán liên quan đến các tổ hợp khác nhau của các khe. Giả sử một hạt có năng lượng xác định đang đi trong không gian trống từ một vị trí r1 tới một vị trí r2. Nói cách khác, nó là một hạt tự do không có lực nào tác dụng lên nó. Ngoại trừ một thừa số bằng số ở phía trước, biên độ để đi từ r1 tới r2 là
⟨r2|r1⟩ = eipr12/ℏ/r12, (3.7)
trong đó r12 = |r2 − r1|, và p là động lượng liên hệ với năng lượng E bởi phương trình tương đối tính
p2c2 = E2 − (m0c2)2,
hay phương trình phi tương đối tính
p2/2m = Động năng.
Phương trình (3.7) nói, về thực chất, rằng hạt có các tính chất giống sóng, biên độ lan truyền như một sóng với số sóng bằng động lượng chia cho ℏ.
Trong trường hợp tổng quát nhất, biên độ và xác suất tương ứng cũng sẽ liên quan đến thời gian. Đối với phần lớn các thảo luận ban đầu này chúng ta sẽ giả thiết rằng nguồn luôn phát ra các hạt với một năng lượng cho trước vì vậy chúng ta sẽ không cần lo về thời gian. Nhưng chúng ta có thể, trong trường hợp tổng quát, quan tâm đến một số câu hỏi khác. Giả sử rằng một hạt được giải phóng tại một nơi nào đó P tại một thời điểm nào đó, và bạn muốn biết biên độ để nó tới một vị trí, chẳng hạn r, tại một thời điểm muộn hơn nào đó. Điều này có thể được biểu diễn một cách tượng trưng như biên độ ⟨r, t = t1 | P, t = 0⟩. Rõ ràng, điều này sẽ phụ thuộc vào cả r lẫn t. Bạn sẽ thu được các kết quả khác nhau nếu bạn đặt máy dò ở các nơi khác nhau và đo ở các thời điểm khác nhau. Hàm này của r và t, nói chung, thỏa mãn một phương trình vi phân vốn là một phương trình sóng. Chẳng hạn, trong trường hợp phi tương đối tính nó là phương trình Schrödinger. Khi đó người ta có một phương trình sóng tương tự như phương trình cho các sóng điện từ hay sóng âm trong một chất khí. Tuy nhiên, phải nhấn mạnh rằng hàm sóng thỏa mãn phương trình không giống một sóng thật trong không gian; người ta không thể hình dung bất kỳ loại thực tại nào cho sóng này như người ta làm đối với một sóng âm.
Mặc dù người ta có thể bị cám dỗ nghĩ theo các “sóng hạt” khi xử lý một hạt, đó không phải là một ý hay, vì nếu có, chẳng hạn, hai hạt, biên độ để tìm một hạt tại r1 và hạt kia tại r2 không phải là một sóng đơn giản trong không gian ba chiều, mà phụ thuộc vào sáu biến không gian r1 và r2. Nếu chúng ta, chẳng hạn, đang xử lý hai (hay nhiều) hạt, chúng ta sẽ cần nguyên lý bổ sung sau đây: Với điều kiện hai hạt không tương tác, biên độ mà một hạt sẽ làm một việc và hạt kia làm một việc khác là tích của hai biên độ mà hai hạt sẽ làm hai việc đó riêng rẽ. Chẳng hạn, nếu ⟨a|s1⟩ là biên độ để hạt 1 đi từ s1 tới a, và ⟨b|s2⟩ là biên độ để hạt 2 đi từ s2 tới b, biên độ mà cả hai việc sẽ xảy ra cùng nhau là
⟨a|s1⟩⟨b|s2⟩.
Có một điểm nữa cần nhấn mạnh. Giả sử rằng chúng ta không biết các hạt trong Hình 3–2 đến từ đâu trước khi tới các lỗ 1 và 2 của bức tường thứ nhất. Chúng ta vẫn có thể thực hiện một dự đoán về điều gì sẽ xảy ra phía sau bức tường (chẳng hạn, biên độ để tới x) với điều kiện chúng ta được cho hai con số: biên độ để đã tới 1 và biên độ để đã tới 2. Nói cách khác, vì sự kiện rằng biên độ cho các sự kiện liên tiếp nhân với nhau, như được chỉ trong Phương trình (3.6), tất cả những gì bạn cần biết để tiếp tục phân tích là hai con số — trong trường hợp cụ thể này ⟨1|s⟩ và ⟨2|s⟩. Hai số phức này đủ để dự đoán mọi tương lai. Đó là điều thực sự khiến cơ học lượng tử trở nên dễ dàng. Hóa ra trong các chương sau chúng ta sẽ làm đúng một việc như vậy khi chúng ta chỉ định một điều kiện ban đầu theo hai (hay vài) con số. Dĩ nhiên, các con số này phụ thuộc vào nguồn được đặt ở đâu và có thể các chi tiết khác về thiết bị, nhưng cho trước hai con số, chúng ta không cần biết thêm gì về các chi tiết như vậy.
3–2 Hình mẫu giao thoa hai khe
Bây giờ chúng ta muốn xét một vấn đề đã được thảo luận khá chi tiết trong Chương 1. Lần này chúng ta sẽ làm nó với toàn bộ vinh quang của ý tưởng biên độ để chỉ cho bạn cách nó thành ra. Chúng ta lấy cùng thí nghiệm được chỉ trong Hình 3–1, nhưng bây giờ với việc bổ sung một nguồn sáng phía sau hai lỗ, như được chỉ trong Hình 3–3. Trong Chương 1, chúng ta đã khám phá kết quả thú vị sau đây. Nếu chúng ta nhìn phía sau khe 1 và thấy một photon tán xạ từ đó, thì phân bố thu được cho các electron tại x trùng hợp với các photon này là như thể khe 2 bị đóng. Phân bố toàn phần cho các electron đã được “nhìn thấy” hoặc tại khe 1 hoặc tại khe 2 là tổng của các phân bố riêng rẽ và hoàn toàn khác với phân bố khi đèn tắt. Điều này đúng ít nhất nếu chúng ta dùng ánh sáng có bước sóng đủ ngắn. Nếu bước sóng được làm dài hơn để chúng ta không thể chắc chắn sự tán xạ đã xảy ra tại lỗ nào, phân bố trở nên giống với phân bố khi đèn tắt hơn.
Hãy xem xét điều gì đang xảy ra bằng cách dùng ký hiệu mới của chúng ta và các nguyên lý tổ hợp các biên độ. Để đơn giản hóa việc viết, chúng ta lại đặt φ1 là biên độ mà electron sẽ tới x qua lỗ 1, tức là,
φ1 = ⟨x|1⟩⟨1|s⟩.
Tương tự, chúng ta sẽ đặt φ2 là biên độ mà electron đến được máy dò qua lỗ 2:
φ2 = ⟨x|2⟩⟨2|s⟩.
Đây là các biên độ để đi qua hai lỗ và tới x nếu không có ánh sáng. Bây giờ nếu có ánh sáng, chúng ta tự hỏi câu hỏi: Biên độ cho quá trình trong đó electron bắt đầu tại s và một photon được giải phóng bởi nguồn sáng L, kết thúc với electron tại x và một photon được nhìn thấy phía sau khe 1 là bao nhiêu? Giả sử rằng chúng ta quan sát photon phía sau khe 1 bằng một máy dò D1, như được chỉ trong Hình 3–3, và dùng một máy dò tương tự D2 để đếm các photon tán xạ phía sau lỗ 2. Sẽ có một biên độ để một photon tới D1 và một electron tới x, và cũng có một biên độ để một photon tới D2 và một electron tới x. Hãy cố tính chúng.
Mặc dù chúng ta không có công thức toán học đúng cho mọi thừa số đi vào phép tính này, bạn sẽ thấy tinh thần của nó trong thảo luận sau đây. Trước hết, có biên độ ⟨1|s⟩ mà một electron đi từ nguồn tới lỗ 1. Sau đó chúng ta có thể giả thiết rằng có một biên độ nào đó mà trong khi electron ở lỗ 1 nó tán xạ một photon vào máy dò D1. Hãy biểu diễn biên độ này bằng a. Sau đó có biên độ ⟨x|1⟩ mà electron đi từ khe 1 tới máy dò electron tại x. Biên độ mà electron đi từ s tới x qua khe 1 và tán xạ một photon vào D1 khi đó là
⟨x|1⟩ a ⟨1|s⟩.
Hay, trong ký hiệu trước đây của chúng ta, nó chỉ là aφ1.
Cũng có một biên độ nào đó mà một electron đi qua khe 2 sẽ tán xạ một photon vào máy đếm D1. Bạn nói, “Điều đó không thể; làm sao nó có thể tán xạ vào máy đếm D1 nếu nó chỉ nhìn vào lỗ 1?” Nếu bước sóng đủ dài, có các hiệu ứng nhiễu xạ, và nó chắc chắn có thể. Nếu thiết bị được chế tạo tốt và nếu chúng ta dùng các photon có bước sóng ngắn, thì biên độ mà một photon sẽ bị tán xạ vào máy dò 1, từ một electron tại 2 là rất nhỏ. Nhưng để giữ thảo luận tổng quát chúng ta muốn tính đến rằng luôn có một biên độ như vậy nào đó, mà chúng ta sẽ gọi là b. Vậy thì biên độ mà một electron đi qua khe 2 và tán xạ một photon vào D1 là
⟨x|2⟩ b ⟨2|s⟩ = bφ2.
Biên độ để tìm electron tại x và photon trong D1 là tổng của hai số hạng, một cho mỗi đường có thể cho electron. Mỗi số hạng đến lượt nó gồm hai thừa số: thứ nhất, rằng electron đã đi qua một lỗ, và thứ hai, rằng photon bị tán xạ bởi một electron như vậy vào máy dò 1; chúng ta có
⟨electron tại x; photon tại D1 | electron từ s; photon từ L⟩ = aφ1 + bφ2. (3.8)
Chúng ta có thể thu được một biểu thức tương tự khi photon được tìm thấy trong máy dò kia D2. Nếu chúng ta giả thiết để đơn giản rằng hệ đối xứng, thì a cũng là biên độ cho một photon trong D2 khi một electron đi qua lỗ 2, và b là biên độ cho một photon trong D2 khi electron đi qua lỗ 1. Biên độ toàn phần tương ứng cho một photon tại D2 và một electron tại x là
⟨electron tại x; photon tại D2 | electron từ s; photon từ L⟩ = aφ2 + bφ1. (3.9)
Bây giờ chúng ta đã xong. Chúng ta có thể dễ dàng tính xác suất cho các tình huống khác nhau. Giả sử rằng chúng ta muốn biết với xác suất nào chúng ta thu được một đếm trong D1 và một electron tại x. Đó sẽ là mô-đun bình phương của biên độ được cho trong Phương trình (3.8), cụ thể là, chỉ |aφ1 + bφ2|2. Hãy nhìn kỹ hơn vào biểu thức này. Trước hết, nếu b bằng không — đó là cách chúng ta muốn thiết kế thiết bị — thì đáp án đơn giản là |φ1|2 bị giảm trong biên độ toàn phần bởi thừa số |a|2. Đây là phân bố xác suất mà bạn sẽ thu được nếu chỉ có một lỗ — như được chỉ trong đồ thị của Hình 3–4(a). Mặt khác, nếu bước sóng rất dài, sự tán xạ phía sau lỗ 2 vào D1 có thể gần như giống như đối với lỗ 1. Mặc dù có thể có một số pha liên quan trong a và b, chúng ta có thể hỏi về một trường hợp đơn giản trong đó hai pha bằng nhau. Nếu a thực tế bằng b, thì xác suất toàn phần trở thành |φ1 + φ2|2 nhân với |a|2, vì thừa số chung a có thể được đưa ra ngoài. Tuy nhiên, đây đúng là phân bố xác suất chúng ta hẳn đã thu được mà không có các photon chút nào. Vì vậy, trong trường hợp bước sóng rất dài — và việc phát hiện photon không hiệu quả — bạn trở lại đường cong phân bố gốc vốn cho thấy các hiệu ứng giao thoa, như được chỉ trong Hình 3–4(b). Trong trường hợp việc phát hiện có hiệu quả một phần, có một sự giao thoa giữa nhiều φ1 và một ít φ2, và bạn sẽ thu được một phân bố trung gian như được phác họa trong Hình 3–4(c). Không cần nói, nếu chúng ta tìm các đếm trùng hợp của các photon tại D2 và các electron tại x, chúng ta sẽ thu được cùng các loại kết quả. Nếu bạn nhớ thảo luận trong Chương 1, bạn sẽ thấy rằng các kết quả này cho ra một mô tả định lượng về những gì đã được mô tả ở đó.
Bây giờ chúng ta muốn nhấn mạnh một điểm quan trọng để bạn tránh một lỗi thường gặp. Giả sử rằng bạn chỉ muốn biên độ mà electron tới x, bất kể photon được đếm tại D1 hay D2. Bạn có nên cộng các biên độ được cho trong các Phương trình (3.8) và (3.9)? Không! Bạn không bao giờ được cộng các biên độ cho các trạng thái cuối cùng khác nhau và phân biệt được. Một khi photon được một trong các máy đếm photon chấp nhận, chúng ta luôn có thể xác định lựa chọn nào đã xảy ra nếu chúng ta muốn, mà không có thêm bất kỳ sự nhiễu loạn nào đối với hệ. Mỗi lựa chọn có một xác suất hoàn toàn độc lập với lựa chọn kia. Nói lại, đừng cộng các biên độ cho các điều kiện cuối cùng khác nhau, trong đó bởi “cuối cùng” chúng ta muốn nói là vào thời điểm xác suất được mong muốn — tức là, khi thí nghiệm “kết thúc”. Bạn cộng các biên độ cho các lựa chọn khác nhau không phân biệt được bên trong thí nghiệm, trước khi quá trình hoàn chỉnh kết thúc. Vào cuối quá trình bạn có thể nói rằng bạn “không muốn nhìn vào photon”. Đó là việc của bạn, nhưng bạn vẫn không cộng các biên độ. Tự nhiên không biết bạn đang nhìn vào cái gì, và nó hành xử theo cách nó sẽ hành xử dù bạn có bận tâm ghi lại dữ liệu hay không. Vì vậy ở đây chúng ta không được cộng các biên độ. Trước hết chúng ta bình phương các biên độ cho mọi sự kiện cuối cùng khác nhau có thể và sau đó cộng lại. Kết quả đúng cho một electron tại x và một photon tại hoặc D1 hoặc D2 là
|⟨e tại x; ph tại D1 | e từ s; ph từ L⟩|2 + |⟨e tại x; ph tại D2 | e từ s; ph từ L⟩|2 = |aφ1 + bφ2|2 + |aφ2 + bφ1|2. (3.10)
3–3 Sự tán xạ từ một tinh thể
Ví dụ tiếp theo của chúng ta là một hiện tượng trong đó chúng ta phải phân tích sự giao thoa của các biên độ xác suất một cách khá cẩn thận. Chúng ta nhìn vào quá trình tán xạ của các neutron từ một tinh thể. Giả sử chúng ta có một tinh thể có rất nhiều nguyên tử với các hạt nhân ở tâm của chúng, được sắp xếp trong một mảng tuần hoàn, và một chùm neutron đến từ rất xa. Chúng ta có thể đánh nhãn các hạt nhân khác nhau trong tinh thể bằng một chỉ số i, trong đó i chạy trên các số nguyên 1, 2, 3, …, N, với N bằng tổng số nguyên tử. Bài toán là tính xác suất thu được một neutron vào một máy đếm với bố trí được chỉ trong Hình 3–5. Đối với bất kỳ nguyên tử cụ thể i nào, biên độ mà neutron tới máy đếm C là biên độ mà neutron đi từ nguồn S tới hạt nhân i, nhân với biên độ a mà nó bị tán xạ ở đó, nhân với biên độ mà nó đi từ i tới máy đếm C. Hãy viết điều đó xuống:
⟨neutron tại C | neutron từ S⟩qua i = ⟨C|i⟩ a ⟨i|S⟩. (3.11)
Khi viết phương trình này chúng ta đã giả thiết rằng biên độ tán xạ a là như nhau đối với mọi nguyên tử. Ở đây chúng ta có một số lượng lớn các đường dường như không phân biệt được. Chúng không phân biệt được vì một neutron năng lượng thấp bị tán xạ từ một hạt nhân mà không đánh bật nguyên tử ra khỏi vị trí của nó trong tinh thể — không có “hồ sơ” nào còn lại về sự tán xạ. Theo thảo luận trước, biên độ toàn phần cho một neutron tại C liên quan đến một tổng của Phương trình (3.11) trên mọi nguyên tử:
⟨neutron tại C | neutron từ S⟩ = ∑i=1N ⟨C|i⟩ a ⟨i|S⟩. (3.12)
Vì chúng ta đang cộng các biên độ của sự tán xạ từ các nguyên tử có các vị trí không gian khác nhau, các biên độ sẽ có các pha khác nhau cho ra hình mẫu giao thoa đặc trưng mà chúng ta đã phân tích trong trường hợp tán xạ ánh sáng từ một cách tử.
Cường độ neutron như một hàm của góc trong một thí nghiệm như vậy quả thực thường được tìm thấy cho thấy các biến thiên to lớn, với các đỉnh giao thoa rất sắc nét và gần như không có gì ở giữa — như được chỉ trong Hình 3–6(a). Tuy nhiên, đối với một số loại tinh thể nó không hoạt động theo cách này, và có — cùng với các đỉnh giao thoa đã thảo luận ở trên — một nền chung của sự tán xạ theo mọi phương. Chúng ta phải cố hiểu các lý do dường như bí ẩn cho điều này. Chúng ta chưa xét một tính chất quan trọng của neutron. Nó có spin một phần hai, và vì vậy có hai điều kiện nó có thể ở trong đó: hoặc spin “lên” (chẳng hạn vuông góc với trang giấy trong Hình 3–5) hoặc spin “xuống”. Nếu các hạt nhân của tinh thể không có spin, spin của neutron không có hiệu ứng gì. Nhưng khi các hạt nhân của tinh thể cũng có spin, chẳng hạn spin một phần hai, bạn sẽ quan sát thấy nền tán xạ bị nhòe ra được mô tả ở trên. Lời giải thích là như sau.
Nếu neutron có một chiều spin và hạt nhân nguyên tử có cùng spin, thì không có sự thay đổi spin nào có thể xảy ra trong quá trình tán xạ. Nếu neutron và hạt nhân nguyên tử có spin ngược nhau, thì sự tán xạ có thể xảy ra bởi hai quá trình, một trong đó các spin không đổi và một trong đó các chiều spin được trao đổi. Quy tắc này về việc không có sự thay đổi ròng của tổng các spin tương tự như định luật bảo toàn mômen động lượng cổ điển của chúng ta. Chúng ta có thể bắt đầu hiểu hiện tượng nếu chúng ta giả thiết rằng mọi hạt nhân tán xạ đều được dựng lên với các spin theo một chiều. Một neutron có cùng spin sẽ tán xạ với phân bố giao thoa sắc nét được kỳ vọng. Còn một neutron có spin ngược lại thì sao? Nếu nó tán xạ mà không lật spin, thì không có gì thay đổi so với ở trên; nhưng nếu hai spin lật qua trong sự tán xạ, chúng ta có thể, về nguyên tắc, tìm ra hạt nhân nào đã thực hiện sự tán xạ, vì nó sẽ là hạt nhân duy nhất có spin bị lật. Nhưng nếu chúng ta có thể nói nguyên tử nào đã thực hiện sự tán xạ, các nguyên tử khác có liên quan gì đến nó? Dĩ nhiên là không có gì. Sự tán xạ đúng như sự tán xạ từ một nguyên tử đơn lẻ.
Để bao gồm hiệu ứng này, công thức toán học của Phương trình (3.12) phải được sửa đổi vì chúng ta chưa mô tả các trạng thái một cách hoàn toàn trong phân tích đó. Hãy bắt đầu với mọi neutron từ nguồn đều có spin lên và mọi hạt nhân của tinh thể đều có spin xuống. Trước hết, chúng ta muốn biên độ mà tại máy đếm spin của neutron là lên và mọi spin của tinh thể vẫn xuống. Điều này không khác với thảo luận trước đây của chúng ta. Chúng ta sẽ đặt a là biên độ để tán xạ không có lật spin. Biên độ cho sự tán xạ từ nguyên tử thứ i, dĩ nhiên, là
⟨Clên, tinh thể toàn xuống | Slên, tinh thể toàn xuống⟩ = ⟨C|i⟩ a ⟨i|S⟩.
Vì mọi spin nguyên tử vẫn xuống, các lựa chọn khác nhau (các giá trị khác nhau của i) không thể phân biệt được. Rõ ràng không có cách nào để nói nguyên tử nào đã thực hiện sự tán xạ. Đối với quá trình này, mọi biên độ đều giao thoa.
Tuy nhiên, chúng ta có một trường hợp khác, trong đó spin của neutron được phát hiện là xuống mặc dù nó bắt đầu từ S với spin lên. Trong tinh thể, một trong các spin phải được thay đổi sang chiều lên — chẳng hạn nói đó là của nguyên tử thứ k. Chúng ta sẽ giả thiết rằng có cùng một biên độ tán xạ có lật spin cho mọi nguyên tử, cụ thể là b. (Trong một tinh thể thật có khả năng khó chịu là spin bị đảo ngược di chuyển tới một nguyên tử khác nào đó, nhưng hãy lấy trường hợp của một tinh thể mà xác suất này rất thấp.) Biên độ tán xạ khi đó là
⟨Cxuống, hạt nhân k lên | Slên, tinh thể toàn xuống⟩ = ⟨C|k⟩ b ⟨k|S⟩. (3.13)
Nếu chúng ta hỏi xác suất tìm thấy neutron spin xuống và hạt nhân thứ k spin lên, nó bằng mô-đun bình phương của biên độ này, vốn đơn giản là |b|2 nhân với |⟨C|k⟩⟨k|S⟩|2. Thừa số thứ hai gần như độc lập với vị trí trong tinh thể, và mọi pha đã biến mất khi lấy mô-đun bình phương. Xác suất tán xạ từ bất kỳ hạt nhân nào trong tinh thể có lật spin bây giờ là
|b|2 ∑k=1N |⟨C|k⟩⟨k|S⟩|2,
vốn sẽ cho thấy một phân bố trơn tru như trong Hình 3–6(b).
Bạn có thể lập luận, “Tôi không quan tâm nguyên tử nào lên.” Có thể bạn không quan tâm, nhưng tự nhiên biết; và xác suất, thực tế, là như chúng ta đã cho ở trên — không có bất kỳ sự giao thoa nào. Mặt khác, nếu chúng ta hỏi xác suất mà spin là lên tại máy dò và mọi nguyên tử vẫn có spin xuống, thì chúng ta phải lấy mô-đun bình phương của
∑i=1N ⟨C|i⟩ a ⟨i|S⟩.
Vì các số hạng trong tổng này có các pha, chúng giao thoa, và chúng ta thu được một hình mẫu giao thoa sắc nét. Nếu chúng ta thực hiện một thí nghiệm trong đó chúng ta không quan sát spin của neutron được phát hiện, thì cả hai loại sự kiện đều có thể xảy ra; và các xác suất riêng rẽ cộng lại. Xác suất toàn phần (hay tốc độ đếm) như một hàm của góc khi đó trông như đồ thị trong Hình 3–6(c).
Hãy ôn lại vật lý của thí nghiệm này. Nếu bạn có thể, về nguyên tắc, phân biệt các trạng thái cuối cùng thay thế (ngay cả khi bạn không bận tâm làm như vậy), xác suất cuối cùng toàn phần thu được bằng cách tính xác suất cho mỗi trạng thái (không phải biên độ) và sau đó cộng chúng lại với nhau. Nếu bạn không thể phân biệt các trạng thái cuối cùng ngay cả về nguyên tắc, thì các biên độ xác suất phải được cộng lại trước khi lấy mô-đun bình phương để tìm xác suất thực tế. Điều bạn nên đặc biệt lưu ý là nếu bạn cố biểu diễn neutron chỉ bằng một sóng, bạn sẽ thu được cùng một loại phân bố cho sự tán xạ của một neutron spin xuống như cho một neutron spin lên. Bạn sẽ phải nói rằng “sóng” sẽ đến từ mọi nguyên tử khác nhau và giao thoa đúng như đối với neutron spin lên với cùng bước sóng. Nhưng chúng ta biết đó không phải là cách nó hoạt động. Vì vậy như chúng ta đã nói trước đây, chúng ta phải cẩn thận không gán quá nhiều thực tại cho các sóng trong không gian. Chúng hữu ích cho một số bài toán nhưng không phải cho mọi bài toán.
3–4 Các hạt đồng nhất
Thí nghiệm tiếp theo chúng ta sẽ mô tả là một thí nghiệm cho thấy một trong các hệ quả đẹp đẽ của cơ học lượng tử. Nó lại liên quan đến một tình huống vật lý trong đó một việc có thể xảy ra theo hai cách không phân biệt được, vì vậy có một sự giao thoa của các biên độ — như luôn luôn đúng trong các hoàn cảnh như vậy. Chúng ta sẽ thảo luận sự tán xạ, ở năng lượng tương đối thấp, của các hạt nhân lên các hạt nhân khác. Chúng ta bắt đầu bằng cách nghĩ về các hạt α (mà, như bạn biết, là các hạt nhân heli) bắn phá, chẳng hạn, oxy. Để dễ phân tích phản ứng hơn, chúng ta sẽ nhìn nó trong hệ khối tâm, trong đó hạt nhân oxy và hạt α có các vận tốc theo các chiều ngược nhau trước va chạm và lại theo các chiều đúng ngược nhau sau va chạm. Xem Hình 3–7(a). (Các độ lớn của các vận tốc, dĩ nhiên, khác nhau, vì các khối lượng khác nhau.) Chúng ta cũng sẽ giả thiết rằng có bảo toàn năng lượng và rằng năng lượng va chạm đủ thấp để không hạt nào bị vỡ ra hay bị bỏ lại trong một trạng thái kích thích. Lý do hai hạt làm lệch nhau, dĩ nhiên, là mỗi hạt mang một điện tích dương và, nói theo cổ điển, có một lực đẩy điện khi chúng đi qua nhau. Sự tán xạ sẽ xảy ra ở các góc khác nhau với các xác suất khác nhau, và chúng ta muốn thảo luận một điều gì đó về sự phụ thuộc vào góc của các sự tán xạ như vậy. (Có thể, dĩ nhiên, tính điều này theo cổ điển, và nó là một trong những tai nạn đáng chú ý nhất của cơ học lượng tử rằng đáp án cho bài toán này cho ra giống như đáp án cổ điển. Đây là một điểm kỳ lạ vì nó xảy ra đối với không lực nào khác ngoại trừ định luật nghịch đảo bình phương — vì vậy nó quả thực là một tai nạn.)
Xác suất tán xạ theo các phương khác nhau có thể được đo bằng một thí nghiệm như được chỉ trong Hình 3–7(a). Máy đếm tại vị trí 1 có thể được thiết kế để chỉ phát hiện các hạt α; máy đếm tại vị trí 2 có thể được thiết kế để chỉ phát hiện oxy — chỉ như một kiểm tra. (Trong hệ phòng thí nghiệm các máy dò sẽ không đối diện nhau; nhưng trong hệ khối tâm chúng đối diện.) Thí nghiệm của chúng ta gồm việc đo xác suất tán xạ theo các phương khác nhau. Hãy gọi f(θ) là biên độ để tán xạ vào các máy đếm khi chúng ở góc θ; vậy thì |f(θ)|2 sẽ là xác suất được xác định bằng thực nghiệm của chúng ta.
Bây giờ chúng ta có thể thiết lập một thí nghiệm khác trong đó các máy đếm của chúng ta sẽ đáp ứng với hoặc hạt α hoặc hạt nhân oxy. Khi đó chúng ta phải tính ra điều gì xảy ra khi chúng ta không bận tâm phân biệt hạt nào được đếm. Dĩ nhiên, nếu chúng ta thu được một oxy ở vị trí θ, phải có một hạt α ở phía đối diện tại góc (π − θ), như được chỉ trong Hình 3–7(b). Vì vậy nếu f(θ) là biên độ cho sự tán xạ α qua góc θ, thì f(π − θ) là biên độ cho sự tán xạ oxy qua góc θ.1 Do đó, xác suất để có một hạt nào đó trong máy dò tại vị trí 1 là:
Xác suất có một hạt nào đó trong D1 = |f(θ)|2 + |f(π − θ)|2. (3.14)
Lưu ý rằng hai trạng thái là phân biệt được về nguyên tắc. Ngay cả khi trong thí nghiệm này chúng ta không phân biệt chúng, chúng ta có thể. Theo thảo luận trước, vậy thì, chúng ta phải cộng các xác suất, không phải các biên độ.
Kết quả được cho ở trên là đúng đối với nhiều loại hạt nhân bia — đối với các hạt α trên oxy, trên cacbon, trên beryllium, trên hydro. Nhưng nó sai đối với các hạt α trên các hạt α. Đối với trường hợp duy nhất trong đó cả hai hạt đúng là như nhau, các dữ liệu thực nghiệm bất đồng với dự đoán của (3.14). Chẳng hạn, xác suất tán xạ tại 90° đúng bằng hai lần điều lý thuyết trên dự đoán và không liên quan gì đến việc các hạt là hạt nhân “heli”. Nếu bia là He3, nhưng các hạt bắn phá là các hạt α (He4), thì có sự phù hợp. Chỉ khi bia là He4 — vì vậy các hạt nhân của nó đồng nhất với hạt α tới — sự tán xạ mới thay đổi theo một cách kỳ lạ với góc.
Có lẽ bạn đã có thể thấy lời giải thích. Có hai cách để thu được một hạt α vào máy đếm: bằng cách tán xạ hạt α bắn phá qua một góc θ, hoặc bằng cách tán xạ nó qua một góc (π − θ). Làm thế nào chúng ta có thể nói hạt bắn phá hay hạt bia đã đi vào máy đếm? Đáp án là chúng ta không thể. Trong trường hợp các hạt α với các hạt α có hai lựa chọn không thể phân biệt được. Ở đây, chúng ta phải để cho các biên độ xác suất giao thoa bằng phép cộng, và xác suất tìm thấy một hạt α trong máy đếm là bình phương của tổng của chúng:
Xác suất có một hạt α tại D1 = |f(θ) + f(π − θ)|2. (3.15)
Đây là một kết quả khá khác so với kết quả trong Phương trình (3.14). Chúng ta có thể lấy một góc π/2 làm ví dụ, vì nó dễ tính ra. Đối với θ = π/2, chúng ta hiển nhiên có f(θ) = f(π − θ), vì vậy xác suất trong Phương trình (3.15) trở thành |f(π/2) + f(π/2)|2 = 4|f(π/2)|2.
Mặt khác, nếu chúng không giao thoa, kết quả của Phương trình (3.14) chỉ cho 2|f(π/2)|2. Vì vậy có sự tán xạ tại 90° nhiều gấp đôi so với chúng ta có thể đã kỳ vọng. Dĩ nhiên, ở các góc khác các kết quả cũng sẽ khác. Và vì vậy bạn có kết quả bất thường rằng khi các hạt đồng nhất, một điều mới nào đó xảy ra mà không xảy ra khi các hạt có thể phân biệt được. Trong mô tả toán học bạn phải cộng các biên độ cho quá trình thay thế trong đó hai hạt đơn giản đổi vai trò cho nhau và có một sự giao thoa.
Một điều còn khó hiểu hơn nữa xảy ra khi chúng ta thực hiện cùng loại thí nghiệm bằng cách tán xạ các electron lên các electron, hay các proton lên các proton. Không kết quả nào trong các kết quả trên là đúng khi đó! Đối với các hạt này, chúng ta phải viện đến một quy tắc mới nữa, một quy tắc kỳ lạ nhất, vốn là như sau: Khi bạn có một tình huống trong đó danh tính của electron đang tới một điểm bị trao đổi với một electron khác, biên độ mới giao thoa với biên độ cũ với một pha ngược. Nó là giao thoa thật, nhưng với một dấu trừ. Trong trường hợp các hạt α, khi bạn trao đổi hạt α đi vào máy dò, các biên độ giao thoa giao thoa với dấu dương. Trong trường hợp các electron, các biên độ giao thoa cho sự trao đổi giao thoa với một dấu trừ. Ngoại trừ một chi tiết nữa sẽ được thảo luận dưới đây, phương trình đúng cho các electron trong một thí nghiệm như thí nghiệm được chỉ trong Hình 3–8 là
Xác suất có e tại D1 = |f(θ) − f(π − θ)|2. (3.16)
Phát biểu trên phải được hạn chế, vì chúng ta chưa xét spin của electron (các hạt α không có spin). Spin electron có thể được coi là hoặc “lên” hoặc “xuống” so với mặt phẳng tán xạ. Nếu năng lượng của thí nghiệm đủ thấp, các lực từ do các dòng điện sẽ nhỏ và spin sẽ không bị ảnh hưởng. Chúng ta sẽ giả thiết rằng đây là trường hợp cho phân tích hiện tại, vì vậy không có khả năng các spin bị thay đổi trong va chạm. Electron có spin nào, nó mang theo với nó. Bây giờ bạn thấy có nhiều khả năng. Các hạt bắn phá và hạt bia có thể có cả hai spin lên, cả hai xuống, hoặc các spin ngược nhau. Nếu cả hai spin đều lên, như trong Hình 3–8 (hoặc nếu cả hai đều xuống), điều tương tự sẽ đúng đối với các hạt giật lùi và biên độ cho quá trình là hiệu của các biên độ cho hai khả năng được chỉ trong Hình 3–8(a) và (b). Xác suất phát hiện một electron trong D1 khi đó được cho bởi Phương trình (3.16).
Giả sử, tuy nhiên, spin “bắn phá” lên và spin “bia” xuống. Electron đi vào máy đếm 1 có thể có spin lên hoặc spin xuống, và bằng cách đo spin này chúng ta có thể nói nó đến từ chùm bắn phá hay từ bia. Hai khả năng được chỉ trong Hình 3–9(a) và (b); chúng phân biệt được về nguyên tắc, và do đó sẽ không có giao thoa — chỉ đơn giản là một phép cộng của hai xác suất. Cùng lập luận cũng đúng nếu cả hai spin gốc đều bị đảo ngược — tức là, nếu spin phía trái xuống và spin phía phải lên.
Bây giờ nếu chúng ta lấy các electron của mình một cách ngẫu nhiên — như từ một sợi dây tungsten trong đó các electron hoàn toàn không phân cực — thì khả năng là năm mươi-năm mươi rằng bất kỳ electron cụ thể nào cũng đi ra với spin lên hoặc spin xuống. Nếu chúng ta không bận tâm đo spin của các electron tại bất kỳ điểm nào trong thí nghiệm, chúng ta có cái gọi là một thí nghiệm không phân cực. Các kết quả cho thí nghiệm này được tính tốt nhất bằng cách liệt kê mọi khả năng khác nhau như chúng ta đã làm trong Bảng 3–1. Một xác suất riêng rẽ được tính cho mỗi lựa chọn phân biệt được. Xác suất toàn phần khi đó là tổng của mọi xác suất riêng rẽ. Lưu ý rằng đối với các chùm không phân cực kết quả cho θ = π/2 là một nửa kết quả cổ điển với các hạt độc lập. Hành vi của các hạt đồng nhất có nhiều hệ quả thú vị; chúng ta sẽ thảo luận chúng chi tiết hơn trong chương tiếp theo.
| Tỉ lệ các trường hợp | Spin của hạt 1 | Spin của hạt 2 | Spin tại D1 | Spin tại D2 | Xác suất |
|---|---|---|---|---|---|
| 1/4 | lên | lên | lên | lên | |f(θ) − f(π − θ)|2 |
| 1/4 | xuống | xuống | xuống | xuống | |f(θ) − f(π − θ)|2 |
| 1/4 | lên | xuống | lên | xuống | |f(θ)|2 |
| xuống | lên | |f(π − θ)|2 | |||
| 1/4 | xuống | lên | lên | xuống | |f(π − θ)|2 |
| xuống | lên | |f(θ)|2 | |||
| Tổng xác suất = ½|f(θ) − f(π − θ)|2 + ½|f(θ)|2 + ½|f(π − θ)|2 | |||||
1. Nói chung, một phương tán xạ, dĩ nhiên, nên được mô tả bởi hai góc, góc cực θ, cũng như góc phương vị φ. Khi đó chúng ta sẽ nói rằng một hạt nhân oxy tại (θ, φ) có nghĩa là hạt α ở tại (π − θ, φ + π). Tuy nhiên, đối với sự tán xạ Coulomb (và đối với nhiều trường hợp khác), biên độ tán xạ độc lập với φ. Khi đó biên độ để thu được một oxy tại θ là như biên độ để thu được hạt α tại (π − θ).