Chương 5: Spin một

5–1  Lọc các nguyên tử bằng một thiết bị Stern–Gerlach

Trong chương này chúng ta thực sự bắt đầu cơ học lượng tử đúng nghĩa — theo nghĩa rằng chúng ta sẽ mô tả một hiện tượng cơ học lượng tử theo một cách hoàn toàn cơ học lượng tử. Chúng ta sẽ không xin lỗi và không cố gắng tìm các mối liên hệ với cơ học cổ điển. Chúng ta muốn nói về một điều mới theo một ngôn ngữ mới. Tình huống đặc biệt mà chúng ta sẽ mô tả là hành vi của cái gọi là sự lượng tử hóa của mômen động lượng, đối với một hạt có spin một. Nhưng chúng ta sẽ không dùng các từ như “mômen động lượng” hay các khái niệm khác của cơ học cổ điển cho tới sau này. Chúng ta đã chọn ví dụ đặc biệt này bởi vì nó tương đối đơn giản, mặc dù không phải là ví dụ đơn giản nhất có thể. Nó đủ phức tạp để có thể đứng như một nguyên mẫu có thể được khái quát hóa cho sự mô tả mọi hiện tượng cơ học lượng tử. Vậy, mặc dù chúng ta đang xử lý một ví dụ đặc biệt, mọi định luật mà chúng ta nhắc đều có thể khái quát hóa ngay lập tức, và chúng ta sẽ cho các sự khái quát hóa đó để bạn sẽ thấy các đặc trưng tổng quát của một sự mô tả cơ học lượng tử. Chúng ta bắt đầu với hiện tượng tách một chùm nguyên tử thành ba chùm riêng biệt trong một thí nghiệm Stern–Gerlach.

Bạn nhớ rằng nếu chúng ta có một từ trường không đồng nhất được tạo bởi một nam châm có một đầu cực nhọn và chúng ta gửi một chùm qua thiết bị, chùm hạt có thể bị tách thành một số chùm — số lượng tùy thuộc vào loại nguyên tử đặc biệt và trạng thái của nó. Chúng ta sẽ lấy trường hợp của một nguyên tử cho ra ba chùm, và chúng ta sẽ gọi đó là một hạt có spin một. Bạn có thể tự làm trường hợp của năm chùm, bảy chùm, hai chùm, v.v. — bạn chỉ cần chép mọi thứ xuống và ở nơi chúng ta có ba số hạng, bạn sẽ có năm số hạng, bảy số hạng, và vân vân.

Hãy tưởng tượng thiết bị được vẽ sơ lược trong Hình 5–1. Một chùm nguyên tử (hay các hạt thuộc bất kỳ loại nào) được chuẩn trực bởi một số khe và đi qua một trường không đồng nhất. Hãy nói rằng chùm chuyển động theo hướng y và rằng từ trường cùng gradient của nó đều theo hướng z. Khi đó, nhìn từ phía bên, chúng ta sẽ thấy chùm tách theo chiều dọc thành ba chùm, như chỉ trong hình. Bây giờ ở đầu ra của nam châm chúng ta có thể đặt các máy đếm nhỏ đếm tốc độ đến của các hạt trong bất kỳ một trong ba chùm nào. Hoặc chúng ta có thể chặn hai trong các chùm và để chùm thứ ba đi tiếp.

Giả sử chúng ta chặn hai chùm dưới và để chùm trên cùng đi tiếp và đi vào một thiết bị Stern–Gerlach thứ hai cùng loại, như chỉ trong Hình 5–2. Điều gì xảy ra? Không có ba chùm trong thiết bị thứ hai; chỉ có chùm trên cùng.¹ Đây là điều bạn hẳn kỳ vọng nếu bạn nghĩ thiết bị thứ hai đơn giản là một sự kéo dài của thiết bị thứ nhất. Những nguyên tử đang bị đẩy lên trên tiếp tục bị đẩy lên trên trong nam châm thứ hai.

Vậy bạn có thể thấy rằng thiết bị thứ nhất đã tạo ra một chùm các vật “đã được tinh lọc” — các nguyên tử bị bẻ cong lên trên trong từ trường không đồng nhất đặc biệt đó. Các nguyên tử, khi chúng đi vào thiết bị Stern–Gerlach gốc, thuộc ba “loại”, và ba loại đi theo các quỹ đạo khác nhau. Bằng cách lọc ra tất cả trừ một loại, chúng ta có thể tạo một chùm mà hành vi tương lai của nó trong cùng loại thiết bị là xác định và có thể dự đoán. Chúng ta sẽ gọi đây là một chùm đã lọc, hay một chùm phân cực, hay một chùm trong đó các nguyên tử đều được biết là ở trong một trạng thái xác định.

Trong phần còn lại của cuộc thảo luận của chúng ta, sẽ tiện hơn nếu chúng ta xét một thiết bị thuộc loại Stern–Gerlach đã được cải biến đôi chút. Thiết bị trông phức tạp hơn lúc đầu, nhưng nó sẽ làm mọi lập luận đơn giản hơn. Dù sao, vì chúng chỉ là các “thí nghiệm tưởng tượng”, việc làm phức tạp thiết bị chẳng tốn kém gì. (Nhân tiện, chưa ai từng làm tất cả các thí nghiệm chúng ta sẽ mô tả đúng theo cách này, nhưng chúng ta biết điều gì sẽ xảy ra từ các định luật của cơ học lượng tử, mà, dĩ nhiên, dựa trên các thí nghiệm tương tự khác. Các thí nghiệm khác đó khó hiểu hơn lúc ban đầu, nên chúng ta muốn mô tả một số thí nghiệm được lý tưởng hóa — nhưng khả thi.)

Hình 5–3(a) chỉ một bản vẽ của “thiết bị Stern–Gerlach cải biến” mà chúng ta muốn dùng. Nó gồm một dãy ba nam châm có gradient cao. Nam châm thứ nhất (ở bên trái) đúng là nam châm Stern–Gerlach thông thường và tách chùm spin một đi vào thành ba chùm riêng biệt. Nam châm thứ hai có cùng tiết diện như nam châm thứ nhất, nhưng dài gấp đôi và cực tính của từ trường của nó ngược với trường trong nam châm 1. Nam châm thứ hai đẩy theo hướng ngược lại lên các nam châm nguyên tử và bẻ cong đường đi của chúng trở lại về phía trục, như chỉ trong các quỹ đạo được vẽ ở phần dưới của hình. Nam châm thứ ba đúng như nam châm thứ nhất, và đưa ba chùm trở lại với nhau, sao cho lỗ thoát nằm dọc theo trục. Cuối cùng, chúng ta muốn tưởng tượng rằng phía trước lỗ tại A có một cơ chế nào đó có thể cho các nguyên tử bắt đầu từ trạng thái nghỉ và rằng sau lỗ thoát tại B có một cơ chế giảm tốc đưa các nguyên tử trở lại trạng thái nghỉ tại B. Điều đó không thiết yếu, nhưng nó sẽ có nghĩa là trong phân tích của chúng ta chúng ta sẽ không phải lo về việc bao gồm bất kỳ hiệu ứng nào của chuyển động khi các nguyên tử đi ra, và có thể tập trung vào những vấn đề chỉ liên quan tới spin. Toàn bộ mục đích của thiết bị “cải tiến” chỉ là đưa tất cả các hạt tới cùng một nơi, và với vận tốc bằng không.

Bây giờ nếu chúng ta muốn làm một thí nghiệm như thí nghiệm trong Hình 5–2, chúng ta có thể trước hết tạo một chùm đã lọc bằng cách đặt một tấm vào giữa thiết bị mà chặn hai trong các chùm, như chỉ trong Hình 5–4. Nếu bây giờ chúng ta đặt các nguyên tử đã phân cực qua một thiết bị thứ hai đồng nhất, tất cả các nguyên tử sẽ đi theo đường trên, như có thể được kiểm chứng bằng cách đặt các tấm tương tự vào đường đi của các chùm khác nhau của bộ lọc S thứ hai và xem các hạt có đi qua được hay không.

Giả sử chúng ta gọi thiết bị thứ nhất bằng cái tên S. (Chúng ta sẽ xét đủ loại tổ hợp, và chúng ta sẽ cần các nhãn để giữ mọi thứ rõ ràng.) Chúng ta sẽ nói rằng các nguyên tử đi theo đường trên trong S ở trong “trạng thái cộng đối với S”; các nguyên tử đi theo đường giữa ở trong “trạng thái không đối với S”; và các nguyên tử đi theo đường thấp nhất ở trong “trạng thái trừ đối với S”. (Theo ngôn ngữ thông thường hơn chúng ta hẳn nói rằng thành phần z của mômen động lượng là +1ℏ, 0, và −1ℏ, nhưng chúng ta không dùng ngôn ngữ đó bây giờ.) Bây giờ trong Hình 5–4 thiết bị thứ hai được định hướng đúng như thiết bị thứ nhất, nên các nguyên tử đã lọc sẽ tất cả đi theo đường trên. Hoặc nếu chúng ta đã chặn các chùm trên và dưới trong thiết bị thứ nhất và chỉ để trạng thái không đi qua, tất cả các nguyên tử đã lọc sẽ đi qua đường giữa của thiết bị thứ hai. Và nếu chúng ta đã chặn tất cả trừ chùm thấp nhất trong thiết bị thứ nhất, sẽ chỉ có một chùm thấp trong thiết bị thứ hai. Chúng ta có thể nói rằng trong mỗi trường hợp thiết bị thứ nhất của chúng ta đã tạo ra một chùm đã lọc trong một trạng thái thuần túy đối với S (+, 0, hay −), và chúng ta có thể kiểm tra trạng thái nào hiện diện bằng cách đặt các nguyên tử qua một thiết bị thứ hai, đồng nhất.

Chúng ta có thể làm thiết bị thứ hai của chúng ta sao cho nó chỉ truyền các nguyên tử thuộc một trạng thái đặc biệt — bằng cách đặt các mặt nạ bên trong nó như chúng ta đã làm cho thiết bị thứ nhất — và khi đó chúng ta có thể kiểm tra trạng thái của chùm đi vào chỉ bằng cách xem có gì đi ra ở đầu xa hay không. Chẳng hạn, nếu chúng ta chặn hai đường dưới trong thiết bị thứ hai, 100 phần trăm các nguyên tử vẫn sẽ đi qua; nhưng nếu chúng ta chặn đường trên, sẽ không có gì đi qua được.

Để làm loại thảo luận này dễ dàng hơn, chúng ta sẽ phát minh một ký hiệu tốc ký để biểu diễn một trong các thiết bị Stern–Gerlach cải tiến của chúng ta. Chúng ta sẽ để ký hiệu

S   (5.1)

đứng thay cho một thiết bị hoàn chỉnh. (Đây không phải là một ký hiệu bạn sẽ từng thấy được dùng trong cơ học lượng tử; chúng tôi chỉ phát minh nó cho chương này. Nó đơn giản có ý nghĩa là một hình ảnh tốc ký của thiết bị trong Hình 5–3.) Vì chúng ta sẽ muốn dùng vài thiết bị cùng một lúc, và với các định hướng khác nhau, chúng ta sẽ xác định mỗi cái bằng một chữ cái ở bên dưới. Vậy ký hiệu trong (5.1) đứng thay cho thiết bị S. Khi chúng ta chặn một hay nhiều chùm bên trong, chúng ta sẽ chỉ điều đó bằng một số vạch đứng cho biết chùm nào bị chặn, như thế này:

S.   (5.2)

Các tổ hợp khả dĩ khác nhau mà chúng ta sẽ dùng được chỉ trong Hình 5–5.

Nếu chúng ta có hai bộ lọc liên tiếp (như trong Hình 5–4), chúng ta sẽ đặt hai ký hiệu cạnh nhau, như thế này:

S S.   (5.3)

Đối với cách bố trí này, mọi thứ đi qua bộ thứ nhất cũng đi qua bộ thứ hai. Thực tế, ngay cả khi chúng ta chặn các kênh “không” và “trừ” của thiết bị thứ hai, sao cho chúng ta có

S S,   (5.4)

chúng ta vẫn nhận được 100 phần trăm truyền qua thiết bị thứ hai. Mặt khác, nếu chúng ta có

S S,   (5.5)

không có gì đi ra ở đầu xa cả. Tương tự,

S S   (5.6)

sẽ không cho gì đi ra. Mặt khác,

S S   (5.7)

sẽ đúng tương đương với

S

một mình.

Bây giờ chúng ta muốn mô tả các thí nghiệm này theo cơ học lượng tử. Chúng ta sẽ nói rằng một nguyên tử ở trong trạng thái (+S) nếu nó đã đi qua thiết bị của Hình 5–5(b), rằng nó ở trong trạng thái (0S) nếu nó đã đi qua (c), và trong trạng thái (−S) nếu nó đã đi qua (d).² Khi đó đặt ⟨b|a⟩ là biên độ rằng một nguyên tử đang ở trạng thái a sẽ đi qua một thiết bị vào trạng thái b. Chúng ta có thể nói: ⟨b|a⟩ là biên độ cho một nguyên tử ở trong trạng thái a đi vào trạng thái b. Thí nghiệm (5.4) cho chúng ta rằng

⟨+S|+S⟩ = 1,

trong khi (5.5) cho chúng ta

⟨−S|+S⟩ = 0.

Tương tự, kết quả của (5.6) là

⟨+S|−S⟩ = 0,

và của (5.7) là

⟨−S|−S⟩ = 1.

Chừng nào chúng ta chỉ xử lý các trạng thái “thuần túy” — tức là, chúng ta chỉ có một kênh mở — có chín biên độ như vậy, và chúng ta có thể viết chúng trong một bảng:

(5.8)

Mảng chín con số này — được gọi là một ma trận — tóm tắt các hiện tượng chúng ta đã mô tả.

5–2  Các thí nghiệm với các nguyên tử đã lọc

Bây giờ đến câu hỏi lớn: Điều gì xảy ra nếu thiết bị thứ hai bị nghiêng đi một góc khác, sao cho trục trường của nó không còn song song với thiết bị thứ nhất? Nó có thể không chỉ bị nghiêng, mà còn chĩa theo một hướng khác — chẳng hạn, nó có thể đưa chùm đi theo góc 90° so với hướng gốc. Để dễ dàng lúc đầu, trước hết hãy nghĩ về một cách bố trí trong đó thí nghiệm Stern–Gerlach thứ hai nghiêng một góc α nào đó quanh trục y, như chỉ trong Hình 5–6. Chúng ta sẽ gọi thiết bị thứ hai là T. Giả sử rằng bây giờ chúng ta thiết lập thí nghiệm sau:

S T,

hay thí nghiệm:

S T.

Điều gì đi ra ở đầu xa trong các trường hợp này?

Đáp án là thế này: Nếu các nguyên tử ở trong một trạng thái xác định đối với S, chúng không ở trong cùng trạng thái đối với T — một trạng thái (+S) không đồng thời là một trạng thái (+T). Tuy nhiên, có một biên độ nào đó để tìm thấy nguyên tử trong một trạng thái (+T) — hay một trạng thái (0T) hay một trạng thái (−T).

Nói cách khác, dù chúng ta đã cẩn thận đến đâu để bảo đảm rằng chúng ta có các nguyên tử trong một điều kiện xác định, sự thật là nếu nó đi qua một thiết bị nghiêng một góc khác, nó, có thể nói, phải “tự định hướng lại” — điều mà nó làm, đừng quên, nhờ may rủi. Chúng ta chỉ có thể đặt một hạt qua tại một thời điểm, và khi đó chúng ta chỉ có thể hỏi câu hỏi: Xác suất rằng nó đi qua được là bao nhiêu? Một số nguyên tử đã đi qua S sẽ kết thúc trong một trạng thái (+T), một số sẽ kết thúc trong một trạng thái (0T), và một số trong một trạng thái (−T) — tất cả với các cơ hội khác nhau. Các cơ hội này có thể được tính bằng trị tuyệt đối bình phương của các biên độ phức; điều chúng ta muốn là một phương pháp toán học nào đó, hay sự mô tả cơ học lượng tử, cho các biên độ này. Điều chúng ta cần biết là các đại lượng khác nhau như

⟨−T|+S⟩,

mà chúng ta muốn nói biên độ rằng một nguyên tử ban đầu trong trạng thái (+S) có thể đi vào điều kiện (−T) (vốn không bằng không trừ khi T và S xếp song song với nhau). Có các biên độ khác như

⟨+T|0S⟩, hay ⟨0T|−S⟩, v.v.

Thực tế có chín biên độ như vậy — một ma trận nữa — mà một lý thuyết về các hạt hẳn cho chúng ta biết cách tính. Đúng như F = ma cho chúng ta biết cách tính điều sẽ xảy ra với một hạt cổ điển trong bất kỳ hoàn cảnh nào, các định luật của cơ học lượng tử cho phép chúng ta xác định biên độ rằng một hạt sẽ đi qua một thiết bị đặc biệt. Vấn đề trung tâm, vậy, là có thể tính — đối với bất kỳ góc nghiêng α cho trước nào, hay thực tế đối với bất kỳ định hướng nào — chín biên độ:

⟨+T|+S⟩, ⟨+T|0S⟩, ⟨+T|−S⟩,
⟨0T|+S⟩, ⟨0T|0S⟩, ⟨0T|−S⟩,
⟨−T|+S⟩, ⟨−T|0S⟩, ⟨−T|−S⟩.   (5.9)

Chúng ta đã có thể tìm ra một số quan hệ giữa các biên độ này. Trước hết, theo các định nghĩa của chúng ta, trị tuyệt đối bình phương

|⟨+T|+S⟩|²

là xác suất rằng một nguyên tử trong trạng thái (+S) sẽ đi vào một trạng thái (+T). Chúng ta sẽ thường thấy tiện hơn khi viết các bình phương như vậy dưới dạng tương đương

⟨+T|+S⟩⟨+T|+S⟩*.

Trong cùng ký hiệu, con số

⟨0T|+S⟩⟨0T|+S⟩*

là xác suất rằng một hạt trong trạng thái (+S) sẽ đi vào trạng thái (0T), và

⟨−T|+S⟩⟨−T|+S⟩*

là xác suất rằng nó sẽ đi vào trạng thái (−T). Nhưng theo cách các thiết bị của chúng ta được làm, mỗi nguyên tử đi vào thiết bị T phải được tìm thấy trong một trong ba trạng thái nào đó của thiết bị T — không còn nơi nào khác cho một nguyên tử thuộc loại cho trước đi tới. Vậy tổng của ba xác suất chúng ta vừa viết phải bằng 100 phần trăm. Chúng ta có quan hệ

⟨+T|+S⟩⟨+T|+S⟩* + ⟨0T|+S⟩⟨0T|+S⟩* + ⟨−T|+S⟩⟨−T|+S⟩* = 1.   (5.10)

Dĩ nhiên, có hai phương trình tương tự nữa mà chúng ta nhận được nếu chúng ta bắt đầu với một trạng thái (0S) hay một trạng thái (−S). Nhưng chúng là tất cả những gì chúng ta có thể dễ dàng nhận được, nên chúng ta sẽ chuyển sang một số câu hỏi tổng quát khác.

5–3  Các bộ lọc Stern–Gerlach mắc nối tiếp

Đây là một câu hỏi thú vị: Giả sử chúng ta có các nguyên tử được lọc vào trạng thái (+S), sau đó chúng ta đặt chúng qua một bộ lọc thứ hai, nói vào một trạng thái (0T), và sau đó qua một bộ lọc +S nữa. (Chúng ta sẽ gọi bộ lọc cuối là S′ chỉ để chúng ta có thể phân biệt nó với bộ lọc S thứ nhất.) Các nguyên tử có nhớ rằng chúng đã từng ở trong một trạng thái (+S) hay không? Nói cách khác, chúng ta có thí nghiệm sau:

S T S′.   (5.11)

Chúng ta muốn biết liệu tất cả những nguyên tử đi qua T cũng đi qua S′ hay không. Chúng không. Một khi chúng đã bị lọc bởi T, chúng không nhớ theo bất kỳ cách nào rằng chúng đã ở trong một trạng thái (+S) khi chúng đi vào T. Để ý rằng thiết bị S thứ hai trong (5.11) được định hướng đúng như thiết bị thứ nhất, nên nó vẫn là một bộ lọc kiểu S. Các trạng thái được lọc bởi S′, dĩ nhiên, vẫn là (+S), (0S), và (−S).

Điểm quan trọng là thế này: Nếu bộ lọc T chỉ cho qua một chùm, phần đi qua bộ lọc S thứ hai chỉ phụ thuộc vào cách bố trí của bộ lọc T, và hoàn toàn độc lập với những gì đi trước nó. Sự thật rằng cùng các nguyên tử đó đã từng được phân loại bởi một bộ lọc S không có ảnh hưởng gì tới điều chúng sẽ làm một khi chúng đã được phân loại lại thành một chùm thuần túy bởi một thiết bị T. Từ đó trở đi, xác suất để đi vào các trạng thái khác nhau là như nhau bất kể điều gì đã xảy ra trước khi chúng đi vào thiết bị T.

Như một ví dụ, hãy so sánh thí nghiệm của (5.11) với thí nghiệm sau:

S T S′   (5.12)

trong đó chỉ bộ S thứ nhất bị thay đổi. Hãy nói rằng góc α (giữa S và T) là sao cho trong thí nghiệm (5.11) một phần ba các nguyên tử đi qua T cũng đi qua S′. Trong thí nghiệm (5.12), mặc dù nói chung sẽ có một số nguyên tử khác đi qua T, cùng một phần của chúng — một phần ba — cũng sẽ đi qua S′.

Thực tế, chúng ta có thể chỉ ra từ những gì bạn đã học trước đây rằng phần các nguyên tử đi ra khỏi T và đi qua bất kỳ S′ đặc biệt nào chỉ phụ thuộc vào T và S′, không phụ thuộc vào bất cứ điều gì đã xảy ra trước đó. Hãy so sánh thí nghiệm (5.12) với

S T S′.   (5.13)

Biên độ rằng một nguyên tử đi ra khỏi S cũng sẽ đi qua cả T và S′ là, đối với thí nghiệm của (5.12),

⟨+S|0T⟩⟨0T|0S⟩.

Xác suất tương ứng là

|⟨+S|0T⟩⟨0T|0S⟩|² = |⟨+S|0T⟩|²|⟨0T|0S⟩|².

Xác suất cho thí nghiệm (5.13) là

|⟨0S|0T⟩⟨0T|0S⟩|² = |⟨0S|0T⟩|²|⟨0T|0S⟩|².

Tỉ số là

|⟨0S|0T⟩|²/|⟨+S|0T⟩|²,

và chỉ phụ thuộc vào T và S′, và không hề phụ thuộc vào việc chùm nào (+S), (0S), hay (−S) được chọn bởi S. (Các con số tuyệt đối có thể lên xuống cùng nhau tùy thuộc vào việc có bao nhiêu đi qua T.) Dĩ nhiên, chúng ta sẽ tìm thấy cùng kết quả nếu chúng ta so sánh các xác suất rằng các nguyên tử sẽ đi vào các trạng thái cộng hay trừ đối với S′, hay tỉ số của các xác suất để đi vào các trạng thái không hay trừ.

Thực tế, vì các tỉ số này chỉ phụ thuộc vào việc chùm nào được cho qua T, và không phụ thuộc vào sự lựa chọn được thực hiện bởi bộ lọc S thứ nhất, rõ ràng chúng ta sẽ nhận được cùng kết quả ngay cả khi thiết bị cuối không phải là một bộ lọc S. Nếu chúng ta dùng cho thiết bị thứ ba — mà bây giờ chúng ta sẽ gọi là R — một thiết bị được quay một góc tùy ý nào đó so với T, chúng ta sẽ thấy rằng một tỉ số như |⟨0R|0T⟩|²/|⟨+R|0T⟩|² là độc lập với việc chùm nào đã được cho qua bởi bộ lọc thứ nhất S.

5–4  Các trạng thái cơ sở

Các kết quả này minh họa một trong các nguyên lý cơ bản của cơ học lượng tử: Bất kỳ hệ nguyên tử nào cũng có thể được tách bằng một quá trình lọc thành một tập hợp nào đó của cái mà chúng ta sẽ gọi là các trạng thái cơ sở, và hành vi tương lai của các nguyên tử trong bất kỳ một trạng thái cơ sở đơn lẻ cho trước nào chỉ phụ thuộc vào bản chất của trạng thái cơ sở đó — nó độc lập với bất kỳ lịch sử nào trước đó.³ Các trạng thái cơ sở phụ thuộc, dĩ nhiên, vào bộ lọc được dùng; chẳng hạn, ba trạng thái (+T), (0T), và (−T) là một tập hợp các trạng thái cơ sở; ba trạng thái (+S), (0S), và (−S) là một tập hợp khác. Có bất kỳ số khả năng nào, mỗi cái đều tốt như bất kỳ cái nào khác.

Chúng ta nên cẩn thận để nói rằng chúng ta đang xét các bộ lọc tốt vốn thực sự tạo ra các chùm “thuần túy”. Nếu, chẳng hạn, thiết bị Stern–Gerlach của chúng ta không tạo ra một sự tách tốt của ba chùm sao cho chúng ta không thể tách chúng một cách sạch sẽ bằng các mặt nạ của chúng ta, khi đó chúng ta không thể thực hiện một sự tách hoàn toàn thành các trạng thái cơ sở. Chúng ta có thể biết liệu chúng ta có các trạng thái cơ sở thuần túy hay không bằng cách xem liệu các chùm có thể bị tách lại trong một bộ lọc khác cùng loại hay không. Nếu chúng ta có một trạng thái (+T) thuần túy, chẳng hạn, tất cả các nguyên tử sẽ đi qua

T,

và không nguyên tử nào sẽ đi qua

T,

hay qua

T.

Phát biểu của chúng ta về các trạng thái cơ sở có nghĩa là có thể lọc tới một trạng thái thuần túy nào đó, sao cho không thể lọc thêm bằng một thiết bị đồng nhất nữa.

Chúng ta cũng phải chỉ ra rằng điều chúng ta đang nói chỉ đúng chính xác trong các tình huống khá lý tưởng hóa. Trong bất kỳ thiết bị Stern–Gerlach thực nào, chúng ta sẽ phải lo về sự nhiễu xạ bởi các khe vốn có thể khiến một số nguyên tử đi vào các trạng thái tương ứng với các góc khác nhau, hay về việc liệu các chùm có thể chứa các nguyên tử với các kích thích khác nhau của các trạng thái nội bộ của chúng, và vân vân. Chúng ta đã lý tưởng hóa tình huống sao cho chúng ta chỉ đang nói về các trạng thái bị tách trong một từ trường; chúng ta đang bỏ qua những thứ liên quan tới vị trí, mômen, các kích thích nội bộ, và những thứ tương tự. Nói chung, người ta sẽ cần xét cả các trạng thái cơ sở được phân loại đối với những thứ như vậy nữa. Nhưng để giữ các khái niệm đơn giản, chúng ta chỉ đang xét tập hợp ba trạng thái của chúng ta, vốn đủ cho việc xử lý chính xác tình huống lý tưởng hóa trong đó các nguyên tử không bị xé rách khi đi qua thiết bị, hay bị đối xử tệ theo cách khác, và đến trạng thái nghỉ khi chúng rời thiết bị.

Bạn sẽ để ý rằng chúng ta luôn bắt đầu các thí nghiệm tưởng tượng của chúng ta bằng việc lấy một bộ lọc với chỉ một kênh mở, sao cho chúng ta bắt đầu với một trạng thái cơ sở xác định nào đó. Chúng ta làm điều này bởi vì các nguyên tử đi ra khỏi một lò theo các trạng thái khác nhau được xác định ngẫu nhiên bởi các sự kiện tình cờ bên trong lò. (Nó cho ra cái gọi là một chùm “không phân cực”.) Tính ngẫu nhiên này liên quan tới các xác suất thuộc loại “cổ điển” — như trong việc tung đồng xu — vốn khác với các xác suất cơ học lượng tử mà chúng ta đang lo lắng bây giờ. Việc xử lý một chùm không phân cực sẽ đưa chúng ta vào các phức tạp thêm mà tốt hơn nên tránh cho tới sau khi chúng ta hiểu hành vi của các chùm phân cực. Vậy đừng cố xét tại điểm này điều gì xảy ra nếu thiết bị thứ nhất để nhiều hơn một chùm đi qua. (Chúng ta sẽ cho bạn biết bạn có thể xử lý các trường hợp như vậy như thế nào ở cuối chương.)

Bây giờ hãy quay lại và xem điều gì xảy ra khi chúng ta đi từ một trạng thái cơ sở của một bộ lọc tới một trạng thái cơ sở của một bộ lọc khác. Giả sử chúng ta bắt đầu lại với

S T.

Các nguyên tử đi ra khỏi T ở trong trạng thái cơ sở (0T) và không có ký ức rằng chúng đã từng ở trong trạng thái (+S). Một số người hẳn nói rằng trong việc lọc bởi T chúng ta đã “làm mất thông tin” về trạng thái trước đó (+S) bởi vì chúng ta đã “làm nhiễu” các nguyên tử khi chúng ta tách chúng thành ba chùm trong thiết bị T. Nhưng điều đó không đúng. Thông tin về quá khứ không bị mất bởi sự tách thành ba chùm, mà bởi các mặt nạ chặn được đặt vào — như chúng ta có thể thấy bằng tập hợp các thí nghiệm sau.

Chúng ta bắt đầu với một bộ lọc +S và sẽ gọi N là số nguyên tử đi qua nó. Nếu chúng ta tiếp nối điều này bằng một bộ lọc 0T, số nguyên tử đi ra là một phần nào đó của số gốc, nói αN. Nếu sau đó chúng ta đặt một bộ lọc +S nữa, chỉ một phần β nào đó của các nguyên tử này sẽ đi tới đầu xa. Chúng ta có thể chỉ điều này theo cách sau:

S N⟶ T αN⟶ S′ βαN⟶.   (5.14)

Nếu thiết bị thứ ba S′ của chúng ta chọn một trạng thái khác, nói trạng thái (0S), một phần khác, nói γ, sẽ đi qua.⁴ Chúng ta sẽ có

S N⟶ T αN⟶ S′ γαN⟶.   (5.15)

Bây giờ giả sử chúng ta lặp lại hai thí nghiệm này nhưng loại bỏ tất cả các mặt nạ khỏi T. Khi đó chúng ta sẽ thấy các kết quả đáng chú ý như sau:

S N⟶ T N⟶ S′ N⟶,   (5.16)

S N⟶ T N⟶ S′ 0⟶.   (5.17)

Tất cả các nguyên tử đi qua S′ trong trường hợp thứ nhất, nhưng không có nguyên tử nào trong trường hợp thứ hai! Đây là một trong các định luật vĩ đại của cơ học lượng tử. Rằng tự nhiên hoạt động theo cách này là không hiển nhiên, nhưng các kết quả chúng ta đã cho tương ứng, đối với tình huống lý tưởng hóa của chúng ta, với hành vi cơ học lượng tử được quan sát trong vô số thí nghiệm.

5–5  Các biên độ giao thoa

Làm thế nào có thể là khi đi từ (5.15) tới (5.17) — bằng cách mở thêm các kênh — chúng ta lại để ít nguyên tử đi qua hơn? Đây là bí ẩn cũ, sâu xa của cơ học lượng tử — sự giao thoa của các biên độ. Nó cùng loại với điều chúng ta lần đầu thấy trong thí nghiệm giao thoa hai khe với các electron. Chúng ta đã thấy rằng chúng ta có thể nhận được ít electron hơn ở một số nơi với cả hai khe mở so với khi chúng ta có một khe mở. Nó hoạt động một cách định lượng như thế này. Chúng ta có thể viết biên độ rằng một nguyên tử sẽ đi qua T và S′ trong thiết bị của (5.17) dưới dạng tổng của ba biên độ, một cho mỗi chùm trong ba chùm của T; tổng bằng không:

⟨0S|+T⟩⟨+T|+S⟩ + ⟨0S|0T⟩⟨0T|+S⟩ + ⟨0S|−T⟩⟨−T|+S⟩ = 0.   (5.18)

Không biên độ riêng lẻ nào trong ba biên độ bằng không — chẳng hạn, trị tuyệt đối bình phương của biên độ thứ hai là γα, xem (5.15) — nhưng tổng bằng không. Chúng ta cũng sẽ có cùng đáp án nếu S′ được đặt để chọn trạng thái (−S). Tuy nhiên, trong cách bố trí của (5.16), đáp án khác. Nếu chúng ta gọi a là biên độ để đi qua T và S′, trong trường hợp này chúng ta có⁵

a = ⟨+S|+T⟩⟨+T|+S⟩ + ⟨+S|0T⟩⟨0T|+S⟩ + ⟨+S|−T⟩⟨−T|+S⟩ = 1.   (5.19)

Trong thí nghiệm (5.16) chùm đã bị tách và được kết hợp lại. Humpty Dumpty đã được ghép trở lại với nhau. Thông tin về trạng thái gốc (+S) được giữ lại — nó đúng như thể thiết bị T không hề có ở đó. Điều này đúng bất kể điều gì được đặt sau thiết bị T “mở rộng rãi”. Chúng ta có thể tiếp nối nó bằng một bộ lọc R — một bộ lọc ở một góc kỳ quặc nào đó — hay bất cứ thứ gì chúng ta muốn. Đáp án sẽ luôn như thể các nguyên tử được lấy trực tiếp từ bộ lọc S thứ nhất.

Vậy đây là nguyên lý quan trọng: Một bộ lọc T — hay bất kỳ bộ lọc nào — với các mặt nạ mở rộng rãi không tạo ra thay đổi nào cả. Chúng ta nên thêm một điều kiện nữa. Bộ lọc mở rộng rãi không chỉ phải truyền cả ba chùm, mà nó còn không được tạo ra các nhiễu loạn không bằng nhau lên ba chùm. Chẳng hạn, nó không nên có một điện trường mạnh gần một chùm mà không có ở các chùm khác. Lý do là ngay cả khi nhiễu loạn thêm này vẫn sẽ để mọi nguyên tử đi qua bộ lọc, nó có thể thay đổi các pha của một số biên độ. Khi đó sự giao thoa sẽ bị thay đổi, và các biên độ trong các Phương trình (5.18) và (5.19) sẽ khác. Chúng ta sẽ luôn giả thiết rằng không có các nhiễu loạn thêm như vậy.

Hãy viết lại các Phương trình (5.18) và (5.19) theo một ký hiệu cải tiến. Chúng ta sẽ để i đứng thay cho bất kỳ một trong ba trạng thái (+T), (0T), hay (−T) nào; khi đó các phương trình có thể được viết:

∑_{mọi i} ⟨0S|i⟩⟨i|+S⟩ = 0   (5.20)

và

∑_{mọi i} ⟨+S|i⟩⟨i|+S⟩ = 1.   (5.21)

Tương tự, đối với một thí nghiệm trong đó S′ được thay bằng một bộ lọc hoàn toàn tùy ý R, chúng ta có

S T R.   (5.22)

Các kết quả sẽ luôn như thể thiết bị T bị bỏ ra và chúng ta chỉ có

S R.

Hay, diễn đạt theo toán học,

∑_{mọi i} ⟨+R|i⟩⟨i|+S⟩ = ⟨+R|+S⟩.   (5.23)

Đây là định luật cơ bản của chúng ta, và nó nói chung đúng chừng nào i đứng thay cho ba trạng thái cơ sở của bất kỳ bộ lọc nào.

Bạn sẽ để ý rằng trong thí nghiệm (5.22) không có quan hệ đặc biệt nào của S và R đối với T. Hơn nữa, các lập luận sẽ như nhau bất kể chúng chọn các trạng thái nào. Để viết phương trình theo một cách tổng quát, mà không phải nhắc tới các trạng thái đặc biệt được chọn bởi S và R, hãy gọi φ (“phi”) là trạng thái được chuẩn bị bởi bộ lọc thứ nhất (trong ví dụ đặc biệt của chúng ta, +S) và χ (“khi”) là trạng thái được kiểm tra bởi bộ lọc cuối (trong ví dụ của chúng ta, +R). Khi đó chúng ta có thể phát biểu định luật cơ bản của chúng ta trong Phương trình (5.23) dưới dạng

⟨χ|φ⟩ = ∑_{mọi i} ⟨χ|i⟩⟨i|φ⟩,   (5.24)

trong đó i phải chạy trên ba trạng thái cơ sở của một bộ lọc đặc biệt nào đó.

Chúng ta muốn nhấn mạnh lại điều chúng ta muốn nói bởi các trạng thái cơ sở. Chúng giống như ba trạng thái có thể được chọn bởi một trong các thiết bị Stern–Gerlach của chúng ta. Một điều kiện là nếu bạn có một trạng thái cơ sở, thì tương lai độc lập với quá khứ. Một điều kiện khác là nếu bạn có một tập hợp đầy đủ các trạng thái cơ sở, Phương trình (5.24) đúng đối với bất kỳ tập hợp các trạng thái bắt đầu và kết thúc nào φ và χ. Tuy nhiên, không có một tập hợp trạng thái cơ sở duy nhất. Chúng ta đã bắt đầu bằng việc xét các trạng thái cơ sở đối với một thiết bị đặc biệt T. Chúng ta cũng có thể xét một tập hợp khác các trạng thái cơ sở đối với một thiết bị S, hay đối với R, v.v.⁶ Chúng ta thường nói về các trạng thái cơ sở “trong một biểu diễn nào đó”.

Một điều kiện nữa trên một tập hợp các trạng thái cơ sở trong bất kỳ biểu diễn đặc biệt nào là chúng đều hoàn toàn khác nhau. Bởi điều đó chúng ta muốn nói rằng nếu chúng ta có một trạng thái (+T), không có biên độ nào để nó đi vào một trạng thái (0T) hay một trạng thái (−T). Nếu chúng ta để i và j đứng thay cho bất kỳ hai trạng thái cơ sở nào của một tập hợp đặc biệt, các quy tắc tổng quát được thảo luận liên hệ với (5.8) là

⟨j|i⟩ = 0

đối với mọi i và j không bằng nhau. Dĩ nhiên, chúng ta biết rằng

⟨i|i⟩ = 1.

Hai phương trình này thường được viết dưới dạng

⟨j|i⟩ = δ_ji,   (5.25)

trong đó δ_ji (“delta Kronecker”) là một ký hiệu được định nghĩa là bằng không đối với i ≠ j, và bằng một đối với i = j.

Phương trình (5.25) không độc lập với các định luật khác mà chúng ta đã nhắc. Hóa ra chúng ta không đặc biệt quan tâm tới bài toán toán học của việc tìm tập hợp tối thiểu các tiên đề độc lập sẽ cho mọi định luật như các hệ quả.⁷ Chúng ta hài lòng nếu chúng ta có một tập hợp đầy đủ và không có vẻ mâu thuẫn. Tuy nhiên, chúng ta có thể chỉ ra rằng các Phương trình (5.25) và (5.24) không độc lập. Giả sử chúng ta để φ trong Phương trình (5.24) biểu diễn một trong các trạng thái cơ sở của cùng tập hợp như i, nói trạng thái thứ j; khi đó chúng ta có

⟨χ|j⟩ = ∑_i ⟨χ|i⟩⟨i|j⟩.

Nhưng Phương trình (5.25) nói rằng ⟨i|j⟩ bằng không trừ khi i = j, nên tổng trở thành chỉ ⟨χ|j⟩ và chúng ta có một đồng nhất thức, vốn chỉ ra rằng hai định luật không độc lập.

Chúng ta có thể thấy rằng phải có một quan hệ nữa giữa các biên độ nếu cả hai Phương trình (5.10) và (5.24) đều đúng. Phương trình (5.10) là

⟨+T|+S⟩⟨+T|+S⟩* + ⟨0T|+S⟩⟨0T|+S⟩* + ⟨−T|+S⟩⟨−T|+S⟩* = 1.

Nếu chúng ta viết Phương trình (5.24), để cả φ và χ đều là trạng thái (+S), phía tay trái là ⟨+S|+S⟩, vốn rõ ràng = 1; nên chúng ta nhận được một lần nữa Phương trình (5.19),

⟨+S|+T⟩⟨+T|+S⟩ + ⟨+S|0T⟩⟨0T|+S⟩ + ⟨+S|−T⟩⟨−T|+S⟩ = 1.

Hai phương trình này nhất quán (đối với mọi định hướng tương đối của các thiết bị T và S) chỉ nếu

⟨+S|+T⟩ = ⟨+T|+S⟩*, ⟨+S|0T⟩ = ⟨0T|+S⟩*, ⟨+S|−T⟩ = ⟨−T|+S⟩*.

Và nó kéo theo rằng đối với bất kỳ các trạng thái nào φ và χ,

⟨φ|χ⟩ = ⟨χ|φ⟩*.   (5.26)

Nếu điều này không đúng, xác suất hẳn không được “bảo toàn”, và các hạt hẳn bị “mất”.

Trước khi tiếp tục, chúng ta muốn tóm tắt ba định luật tổng quát quan trọng về các biên độ. Chúng là các Phương trình (5.24), (5.25), và (5.26):

I ⟨j|i⟩ = δ_ji,
II ⟨χ|φ⟩ = ∑_{mọi i} ⟨χ|i⟩⟨i|φ⟩,
III ⟨φ|χ⟩ = ⟨χ|φ⟩*.   (5.27)

Trong các phương trình này i và j nhắc tới mọi trạng thái cơ sở của một biểu diễn nào đó, trong khi φ và χ biểu diễn bất kỳ trạng thái khả dĩ nào của nguyên tử. Điều quan trọng cần để ý là II chỉ hợp lệ nếu tổng được thực hiện trên mọi trạng thái cơ sở của hệ (trong trường hợp của chúng ta, ba: +T, 0T, −T). Các định luật này không nói gì về điều chúng ta hẳn chọn làm cơ sở cho tập hợp các trạng thái cơ sở của chúng ta. Chúng ta đã bắt đầu bằng việc dùng một thiết bị T, vốn là một thí nghiệm Stern–Gerlach với một định hướng tùy ý nào đó; nhưng bất kỳ định hướng nào khác, nói W, cũng sẽ tốt như vậy. Chúng ta sẽ có một tập hợp các trạng thái khác để dùng cho i và j, nhưng mọi định luật vẫn sẽ tốt — không có một tập hợp duy nhất. Một trong các trò chơi vĩ đại của cơ học lượng tử là tận dụng sự thật rằng các thứ có thể được tính theo nhiều hơn một cách.

5–6  Bộ máy của cơ học lượng tử

Chúng ta muốn cho bạn thấy vì sao các định luật này hữu ích. Giả sử chúng ta có một nguyên tử ở một điều kiện cho trước (ý chúng ta là nó đã được chuẩn bị theo một cách nào đó), và chúng ta muốn biết điều gì sẽ xảy ra với nó trong một thí nghiệm nào đó. Nói cách khác, chúng ta bắt đầu với nguyên tử của chúng ta ở trạng thái φ và muốn biết khả năng nó sẽ đi qua một thiết bị nào đó vốn chỉ chấp nhận các nguyên tử ở điều kiện χ là bao nhiêu. Các định luật nói rằng chúng ta có thể mô tả thiết bị hoàn toàn theo ba số phức ⟨χ|i⟩, các biên độ để mỗi trạng thái cơ sở ở trong điều kiện χ; và rằng chúng ta có thể cho biết điều gì sẽ xảy ra nếu một nguyên tử được đưa vào thiết bị nếu chúng ta mô tả trạng thái của nguyên tử bằng cách cho ba con số ⟨i|φ⟩, các biên độ để nguyên tử trong điều kiện gốc của nó được tìm thấy trong mỗi trạng thái trong ba trạng thái cơ sở. Đây là một ý tưởng quan trọng.

Hãy xét một minh họa khác. Hãy nghĩ về bài toán sau: Chúng ta bắt đầu với một thiết bị S; rồi chúng ta có một đống lộn xộn phức tạp, mà chúng ta có thể gọi là A, và rồi một thiết bị R — như thế này:

S A R.   (5.28)

Bởi A chúng ta muốn nói bất kỳ sự sắp xếp phức tạp nào của các thiết bị Stern–Gerlach với các mặt nạ hay nửa mặt nạ, được định hướng tại các góc kỳ quặc, với các điện trường và từ trường lạ … hầu như bất cứ thứ gì bạn muốn đặt vào. (Thật thú vị khi làm các thí nghiệm tưởng tượng — bạn không phải mất công thực sự chế tạo thiết bị!) Bài toán khi đó là: Với biên độ nào một hạt đi vào phần A ở trạng thái (+S) sẽ đi ra khỏi A ở trạng thái (0R), sao cho nó sẽ đi qua bộ lọc R cuối? Có một ký hiệu quy ước cho một biên độ như vậy; nó là ⟨0R|A|+S⟩. Như thường lệ, nó được đọc từ phải sang trái (như tiếng Do Thái cổ):

⟨kết thúc|đi qua|bắt đầu⟩.

Nếu tình cờ A không làm gì cả — mà chỉ là một kênh mở — khi đó chúng ta viết

⟨0R|1|+S⟩ = ⟨0R|+S⟩;   (5.29)

hai ký hiệu này là tương đương. Đối với một bài toán tổng quát hơn, chúng ta có thể thay (+S) bằng một trạng thái bắt đầu tổng quát φ và (0R) bằng một trạng thái kết thúc tổng quát χ, và chúng ta sẽ muốn biết biên độ ⟨χ|A|φ⟩.

Một phân tích đầy đủ của thiết bị A sẽ phải cho biên độ ⟨χ|A|φ⟩ đối với mọi cặp trạng thái khả dĩ φ và χ — một số vô hạn các tổ hợp! Vậy làm sao chúng ta có thể cho một mô tả ngắn gọn về hành vi của thiết bị A? Chúng ta có thể làm điều đó theo cách sau. Hãy tưởng tượng rằng thiết bị của (5.28) được cải biến thành

S T A T R.   (5.30)

Điều này thực ra không phải là cải biến gì cả vì các thiết bị T mở rộng rãi không làm gì cả. Nhưng chúng gợi ý cách chúng ta có thể phân tích bài toán. Có một tập hợp các biên độ ⟨i|+S⟩ nào đó mà các nguyên tử từ S sẽ đi vào trạng thái i của T. Rồi có một tập hợp khác các biên độ mà một trạng thái i (đối với T) đi vào A sẽ đi ra thành một trạng thái j (đối với T). Và cuối cùng có một biên độ mà mỗi trạng thái j sẽ đi qua bộ lọc cuối thành một trạng thái (0R). Đối với mỗi con đường thay thế khả dĩ, có một biên độ dạng ⟨0R|j⟩⟨j|A|i⟩⟨i|+S⟩, và biên độ tổng là tổng của các số hạng chúng ta có thể nhận được với mọi tổ hợp khả dĩ của i và j. Biên độ chúng ta muốn là

∑_i∑_j ⟨0R|j⟩⟨j|A|i⟩⟨i|+S⟩.   (5.31)

Nếu (0R) và (+S) được thay bằng các trạng thái tổng quát χ và φ, chúng ta sẽ có cùng loại biểu thức; vậy chúng ta có kết quả tổng quát

⟨χ|A|φ⟩ = ∑_i∑_j ⟨χ|j⟩⟨j|A|i⟩⟨i|φ⟩.   (5.32)

Bây giờ hãy để ý rằng phía tay phải của Phương trình (5.32) thực ra “đơn giản hơn” phía tay trái. Thiết bị A được mô tả hoàn toàn bởi chín con số ⟨j|A|i⟩ vốn cho biết đáp ứng của A đối với ba trạng thái cơ sở của thiết bị T. Một khi chúng ta biết chín con số này, chúng ta có thể xử lý bất kỳ hai trạng thái vào và ra nào φ và χ nếu chúng ta định nghĩa mỗi cái theo ba biên độ để đi vào, hay đi ra từ, mỗi trạng thái trong ba trạng thái cơ sở. Kết quả của một thí nghiệm được dự đoán bằng Phương trình (5.32).

Vậy đây là bộ máy của cơ học lượng tử đối với một hạt spin một. Mọi trạng thái được mô tả bởi ba con số vốn là các biên độ để ở trong mỗi trạng thái của một tập hợp trạng thái cơ sở được chọn nào đó. Mọi thiết bị được mô tả bởi chín con số vốn là các biên độ để đi từ một trạng thái cơ sở này tới một trạng thái cơ sở khác trong thiết bị. Từ các con số này bất cứ thứ gì cũng có thể được tính.

Chín biên độ mô tả thiết bị thường được viết dưới dạng một ma trận vuông — được gọi là ma trận ⟨j|A|i⟩:

A =

(5.33)

Toán học của cơ học lượng tử chỉ là một sự mở rộng của ý tưởng này. Chúng ta sẽ cho bạn một minh họa đơn giản. Giả sử chúng ta có một thiết bị C mà chúng ta muốn phân tích — tức là, chúng ta muốn tính các ⟨j|C|i⟩ khác nhau. Chẳng hạn, chúng ta có thể muốn biết điều gì xảy ra trong một thí nghiệm như

S C R.   (5.34)

Nhưng rồi chúng ta để ý rằng C chỉ được xây dựng từ hai mẩu thiết bị A và B mắc nối tiếp — các hạt đi qua A rồi qua B — nên chúng ta có thể viết theo ký hiệu

C = A·B.   (5.35)

Chúng ta có thể gọi thiết bị C là “tích” của A và B. Cũng giả sử rằng chúng ta đã biết cách phân tích hai phần; vậy chúng ta có thể nhận được các ma trận (đối với T) của A và B. Bài toán của chúng ta khi đó được giải quyết. Chúng ta có thể dễ dàng tìm ⟨χ|C|φ⟩ đối với bất kỳ các trạng thái vào và ra nào. Trước tiên chúng ta viết rằng

⟨χ|C|φ⟩ = ∑_{mọi k} ⟨χ|B|k⟩⟨k|A|φ⟩.

Bạn có thấy vì sao không? (Gợi ý: Hãy tưởng tượng đặt một thiết bị T giữa A và B.) Rồi nếu chúng ta xét trường hợp đặc biệt trong đó φ và χ cũng là các trạng thái cơ sở (của T), nói i và j, chúng ta có

⟨j|C|i⟩ = ∑_k ⟨j|B|k⟩⟨k|A|i⟩.   (5.36)

Phương trình này cho ma trận của thiết bị “tích” C theo hai ma trận của các thiết bị A và B. Các nhà toán học gọi ma trận mới ⟨j|C|i⟩ — được tạo thành từ hai ma trận ⟨j|B|i⟩ và ⟨j|A|i⟩ theo tổng được chỉ ra trong Phương trình (5.36) — là ma trận “tích” BA của hai ma trận B và A. (Hãy để ý rằng thứ tự là quan trọng, AB ≠ BA.) Vậy, chúng ta có thể nói rằng ma trận cho một sự nối tiếp của hai mẩu thiết bị là tích ma trận của các ma trận cho hai thiết bị (đặt thiết bị thứ nhất ở phía phải trong tích). Bất kỳ ai biết đại số ma trận khi đó đều hiểu rằng chúng ta muốn nói đúng Phương trình (5.36).

5–7  Chuyển đổi sang một cơ sở khác

Chúng ta muốn nêu một điểm cuối cùng về các trạng thái cơ sở được dùng trong các phép tính. Giả sử chúng ta đã chọn làm việc với một cơ sở đặc biệt nào đó — nói cơ sở S — và một người khác quyết định làm cùng các phép tính với một cơ sở khác — nói cơ sở T. Để giữ mọi thứ rõ ràng, hãy gọi các trạng thái cơ sở của chúng ta là các trạng thái (iS), trong đó i = +, 0, −. Tương tự, chúng ta có thể gọi các trạng thái cơ sở của anh ta là (jT). Làm sao chúng ta có thể so sánh công việc của chúng ta với của anh ta? Các đáp án cuối cùng cho kết quả của bất kỳ phép đo nào cũng sẽ cho ra như nhau, nhưng trong các phép tính các biên độ và ma trận khác nhau được dùng sẽ khác nhau. Chúng liên hệ với nhau như thế nào? Chẳng hạn, nếu cả hai chúng ta đều bắt đầu với cùng một φ, chúng ta sẽ mô tả nó theo ba biên độ ⟨iS|φ⟩ mà φ đi vào các trạng thái cơ sở của chúng ta trong biểu diễn S, trong khi anh ta sẽ mô tả nó bằng các biên độ ⟨jT|φ⟩ mà trạng thái φ đi vào các trạng thái cơ sở trong biểu diễn T của anh ta. Làm sao chúng ta có thể kiểm tra rằng chúng ta thực sự đang mô tả cùng một trạng thái φ? Chúng ta có thể làm điều đó bằng quy tắc tổng quát II trong (5.27). Thay χ bằng bất kỳ một trạng thái nào của anh ta jT, chúng ta có

⟨jT|φ⟩ = ∑_{mọi i} ⟨jT|iS⟩⟨iS|φ⟩.   (5.37)

Để liên hệ hai biểu diễn, chúng ta chỉ cần cho chín số phức của ma trận ⟨jT|iS⟩. Ma trận này khi đó có thể được dùng để chuyển đổi mọi phương trình của chúng ta sang dạng của anh ta. Nó cho chúng ta biết cách biến đổi từ một tập hợp trạng thái cơ sở này sang một tập hợp khác. (Vì lý do này ⟨jT|iS⟩ đôi khi được gọi là “ma trận biến đổi từ biểu diễn S sang biểu diễn T”. Những từ ngữ to tát!)

Đối với trường hợp các hạt spin một mà chúng ta chỉ có ba trạng thái cơ sở (đối với các spin cao hơn, có nhiều hơn) tình huống toán học tương tự với điều chúng ta đã thấy trong đại số vectơ. Mọi vectơ đều có thể được biểu diễn bằng cách cho ba con số — các thành phần dọc theo các trục x, y, và z. Tức là, mọi vectơ đều có thể được phân giải thành ba vectơ “cơ sở” vốn là các vectơ dọc theo ba trục. Nhưng giả sử một người khác chọn dùng một tập hợp trục khác — x′, y′, và z′. Anh ta sẽ dùng các con số khác để biểu diễn bất kỳ vectơ đặc biệt nào. Các phép tính của anh ta sẽ trông khác, nhưng các kết quả cuối cùng sẽ như nhau. Chúng ta đã xét điều này trước đây và biết các quy tắc để biến đổi các vectơ từ một tập hợp trục này sang một tập hợp khác.

Bạn có thể muốn xem các phép biến đổi cơ học lượng tử hoạt động như thế nào bằng cách thử một vài cái; vậy chúng ta sẽ cho ở đây, không chứng minh, các ma trận biến đổi để chuyển đổi các biên độ spin một trong một biểu diễn S sang một biểu diễn T khác, đối với các định hướng tương đối đặc biệt khác nhau của các bộ lọc S và T. (Chúng ta sẽ cho bạn thấy trong một chương sau cách suy ra cùng các kết quả này.)

Trường hợp thứ nhất: Thiết bị T có cùng trục y (dọc theo đó các hạt chuyển động) như thiết bị S, nhưng được quay quanh trục y chung một góc α (như trong Hình 5–6). (Để cho cụ thể, một tập hợp tọa độ x′, y′, z′ được cố định trong thiết bị T, liên hệ với các tọa độ x, y, z của thiết bị S bởi: z′ = z cos α + x sin α, x′ = x cos α − z sin α, y′ = y.) Khi đó các biên độ biến đổi là:

⟨+T|+S⟩ = ½(1 + cos α), ⟨0T|+S⟩ = −(1/√2) sin α, ⟨−T|+S⟩ = ½(1 − cos α),
⟨+T|0S⟩ = +(1/√2) sin α, ⟨0T|0S⟩ = cos α, ⟨−T|0S⟩ = −(1/√2) sin α,
⟨+T|−S⟩ = ½(1 − cos α), ⟨0T|−S⟩ = +(1/√2) sin α, ⟨−T|−S⟩ = ½(1 + cos α).   (5.38)

Trường hợp thứ hai: Thiết bị T có cùng trục z như S, nhưng được quay quanh trục z một góc β. (Phép biến đổi tọa độ là z′ = z, x′ = x cos β + y sin β, y′ = y cos β − x sin β.) Khi đó các biên độ biến đổi là:

⟨+T|+S⟩ = e^+iβ, ⟨0T|0S⟩ = 1, ⟨−T|−S⟩ = e^−iβ,
mọi biên độ khác = 0.   (5.39)

Hãy để ý rằng bất kỳ phép quay nào của T cũng có thể được tạo thành từ hai phép quay đã mô tả.

Nếu một trạng thái φ được định nghĩa bởi ba con số

C₊ = ⟨+S|φ⟩, C₀ = ⟨0S|φ⟩, C₋ = ⟨−S|φ⟩,   (5.40)

và cùng trạng thái đó được mô tả từ quan điểm của T bởi ba con số

C′₊ = ⟨+T|φ⟩, C′₀ = ⟨0T|φ⟩, C′₋ = ⟨−T|φ⟩,   (5.41)

khi đó các hệ số ⟨jT|iS⟩ của (5.38) hay (5.39) cho phép biến đổi nối C_i và C′_i. Nói cách khác, các C_i rất giống các thành phần của một vectơ vốn trông khác nhau từ quan điểm của S và T. Chỉ đối với một hạt spin một — bởi vì nó cần ba biên độ — sự tương ứng với một vectơ mới rất gần. Trong mỗi trường hợp, có ba con số phải biến đổi theo các thay đổi tọa độ theo một cách xác định nào đó. Thực tế, có một tập hợp các trạng thái cơ sở vốn biến đổi đúng như ba thành phần của một vectơ. Ba tổ hợp

C_x = −(1/√2)(C₊ − C₋), C_y = −(i/√2)(C₊ + C₋), C_z = C₀   (5.42)

biến đổi thành C′_x, C′_y, và C′_z đúng như cách x, y, z biến đổi thành x′, y′, z′. [Bạn có thể kiểm tra rằng điều này đúng bằng cách dùng các định luật biến đổi (5.38) và (5.39).] Bây giờ bạn thấy vì sao một hạt spin một thường được gọi là một “hạt vectơ”.

5–8  Các tình huống khác

Chúng ta đã bắt đầu bằng việc chỉ ra rằng cuộc thảo luận của chúng ta về các hạt spin một sẽ là một nguyên mẫu cho bất kỳ bài toán cơ học lượng tử nào. Sự tổng quát hóa chỉ liên quan tới số lượng các trạng thái. Thay vì chỉ ba trạng thái cơ sở, bất kỳ tình huống đặc biệt nào cũng có thể liên quan tới n trạng thái cơ sở.⁸ Các định luật cơ bản của chúng ta trong Phương trình (5.27) có đúng cùng dạng — với sự hiểu rằng i và j phải chạy trên mọi n trạng thái cơ sở. Bất kỳ hiện tượng nào cũng có thể được phân tích bằng cách cho các biên độ mà nó bắt đầu trong mỗi trạng thái cơ sở và kết thúc trong bất kỳ trạng thái cơ sở nào khác, rồi tổng hợp trên tập hợp đầy đủ các trạng thái cơ sở. Bất kỳ tập hợp trạng thái cơ sở thích hợp nào cũng có thể được dùng, và nếu ai đó muốn dùng một tập hợp khác, nó cũng tốt như vậy; hai tập hợp có thể được nối với nhau bằng cách dùng một ma trận biến đổi n × n. Chúng ta sẽ có thêm điều để nói sau về các phép biến đổi như vậy.

Cuối cùng, chúng ta đã hứa sẽ nhận xét về điều phải làm nếu các nguyên tử đến trực tiếp từ một lò, đi qua một thiết bị nào đó, nói A, và rồi được phân tích bởi một bộ lọc vốn chọn trạng thái χ. Bạn không biết chúng bắt đầu ở trạng thái φ nào. Có lẽ tốt nhất là bạn đừng lo về bài toán này ngay lúc này, mà thay vào đó hãy tập trung vào các bài toán luôn bắt đầu với các trạng thái thuần túy. Nhưng nếu bạn khăng khăng, đây là cách bài toán có thể được xử lý.

Trước tiên, bạn phải có thể đưa ra một phỏng đoán hợp lý nào đó về cách các trạng thái được phân bố trong các nguyên tử đến từ lò. Chẳng hạn, nếu không có gì “đặc biệt” về cái lò, bạn có thể phỏng đoán một cách hợp lý rằng các nguyên tử sẽ rời lò với các “định hướng” ngẫu nhiên. Theo cơ học lượng tử, điều đó tương ứng với việc nói rằng bạn không biết gì về các trạng thái, nhưng một phần ba ở trạng thái (+S), một phần ba ở trạng thái (0S), và một phần ba ở trạng thái (−S). Đối với những nguyên tử ở trạng thái (+S) biên độ để đi qua là ⟨χ|A|+S⟩ và xác suất là |⟨χ|A|+S⟩|², và tương tự đối với các trạng thái khác. Xác suất tổng thể khi đó là

⅓|⟨χ|A|+S⟩|² + ⅓|⟨χ|A|0S⟩|² + ⅓|⟨χ|A|−S⟩|².

Vì sao chúng ta dùng S thay vì, nói, T? Đáp án là, đáng ngạc nhiên, nó như nhau bất kể chúng ta chọn gì cho sự phân giải ban đầu của chúng ta — chừng nào chúng ta đang xử lý các định hướng hoàn toàn ngẫu nhiên. Nó xảy ra theo cùng cách mà

∑_i|⟨χ|iS⟩|² = ∑_j|⟨χ|jT⟩|²

đối với bất kỳ χ nào. (Chúng ta để việc chứng minh điều này cho bạn.)

Hãy để ý rằng không đúng khi nói rằng trạng thái vào có các biên độ √(1/3) để ở trạng thái (+S), √(1/3) để ở trạng thái (0S), và √(1/3) để ở trạng thái (−S); điều đó hẳn ngụ ý rằng các giao thoa nào đó có thể khả dĩ. Đơn giản là bạn không biết trạng thái ban đầu là gì; bạn phải suy nghĩ theo xác suất mà hệ bắt đầu ở các trạng thái ban đầu khả dĩ khác nhau, và rồi bạn phải lấy một trung bình có trọng số trên các khả năng khác nhau.