Chương 11: Thêm về các hệ hai trạng thái

11–1  Các ma trận spin Pauli

Chúng ta tiếp tục thảo luận về các hệ hai trạng thái. Ở cuối chương trước, chúng ta đã nói về một hạt spin một phần hai trong một từ trường. Chúng ta đã mô tả trạng thái spin bằng cách cho biên độ C₁ để thành phần z của mômen động lượng spin là +ℏ/2 và biên độ C₂ để nó là −ℏ/2. Trong các chương trước, chúng ta đã gọi các trạng thái cơ sở này là |+⟩ và |−⟩. Bây giờ chúng ta sẽ quay lại ký hiệu đó, mặc dù đôi khi chúng ta có thể thấy thuận tiện khi dùng |+⟩ hoặc |1⟩, và |−⟩ hoặc |2⟩, thay thế cho nhau.

Chúng ta đã thấy trong chương trước rằng khi một hạt spin một phần hai có mômen từ μ ở trong một từ trường B = (B_x, B_y, B_z), các biên độ C₊ (= C₁) và C₋ (= C₂) liên hệ bởi các phương trình vi phân sau:

iℏ dC₊/dt = −μ[B_zC₊ + (B_x − iB_y)C₋],
iℏ dC₋/dt = −μ[(B_x + iB_y)C₊ − B_zC₋].   (11.1)

Nói cách khác, ma trận Hamiltonian H_ij là

H₁₁ = −μB_z,  H₁₂ = −μ(B_x − iB_y),
H₂₁ = −μ(B_x + iB_y),  H₂₂ = +μB_z.   (11.2)

Và các phương trình (11.1), dĩ nhiên, giống như

iℏ dC_i/dt = ∑_j H_ijC_j,   (11.3)

trong đó i và j nhận các giá trị + và − (hoặc 1 và 2).

Hệ hai trạng thái của spin electron quan trọng tới mức rất hữu ích khi có một cách viết gọn gàng hơn. Bây giờ chúng ta sẽ thực hiện một chuyến rẽ toán học nhỏ để chỉ cho bạn cách người ta thường viết các phương trình của một hệ hai trạng thái. Nó được thực hiện như thế này: Trước tiên, hãy để ý rằng mỗi số hạng trong Hamiltonian tỉ lệ với μ và với một thành phần nào đó của B; khi đó chúng ta có thể — hoàn toàn hình thức — viết rằng

H_ij = −μ[σ_ij^xB_x + σ_ij^yB_y + σ_ij^zB_z].   (11.4)

Không có vật lý mới nào ở đây; phương trình này chỉ có nghĩa là các hệ số σ_ij^x, σ_ij^y, và σ_ij^z — có 4×3 = 12 hệ số — có thể được xác định sao cho (11.4) giống hệt với (11.2).

Hãy xem chúng phải là gì. Chúng ta bắt đầu với B_z. Vì B_z chỉ xuất hiện trong H₁₁ và H₂₂, mọi thứ sẽ ổn nếu σ₁₁^z = 1, σ₁₂^z = 0, σ₂₁^z = 0, σ₂₂^z = −1. Chúng ta thường viết ma trận H_ij như một bảng nhỏ như thế này:

H_ij = ⎡H₁₁  H₁₂⎤
⎣H₂₁  H₂₂⎦

Đối với Hamiltonian của một hạt spin một phần hai trong từ trường B_z, điều này giống như

H_ij = ⎡−μB_z  −μ(B_x − iB_y)⎤
⎣−μ(B_x + iB_y)  +μB_z⎦

Theo cùng một cách, chúng ta có thể viết các hệ số σ_ij^z dưới dạng ma trận

σ_ij^z = ⎡1  0⎤
⎣0  −1⎦   (11.5)

Làm việc với các hệ số của B_x, chúng ta được rằng các số hạng của σ_x phải là σ₁₁^x = 0, σ₁₂^x = 1, σ₂₁^x = 1, σ₂₂^x = 0. Hoặc, viết tắt,

σ_ij^x = ⎡0  1⎤
⎣1  0⎦   (11.6)

Cuối cùng, nhìn vào B_y, chúng ta được σ₁₁^y = 0, σ₁₂^y = −i, σ₂₁^y = i, σ₂₂^y = 0; hoặc

σ_ij^y = ⎡0  −i⎤
⎣i  0⎦   (11.7)

Với ba ma trận sigma này, các phương trình (11.2) và (11.4) là giống hệt nhau. Để dành chỗ cho các chỉ số dưới i và j, chúng ta đã chỉ ra sigma nào đi với thành phần nào của B bằng cách đặt x, y, và z làm các chỉ số trên. Tuy nhiên, thông thường, i và j bị bỏ đi — dễ tưởng tượng chúng ở đó — và x, y, z được viết làm các chỉ số dưới. Khi đó phương trình (11.4) được viết

H = −μ[σ_xB_x + σ_yB_y + σ_zB_z].   (11.8)

Vì các ma trận sigma rất quan trọng — chúng được các nhà chuyên môn dùng mọi lúc — chúng ta đã tập hợp chúng lại trong Bảng 11–1. (Bất kỳ ai sẽ làm việc trong vật lý lượng tử thực sự đều phải thuộc lòng chúng.) Chúng còn được gọi là các ma trận spin Pauli theo tên nhà vật lý đã phát minh ra chúng.

Trong bảng, chúng ta đã bao gồm thêm một ma trận hai-nhân-hai nữa, vốn cần thiết nếu chúng ta muốn có thể xử lý một hệ có hai trạng thái spin có cùng năng lượng, hoặc nếu chúng ta muốn chọn một điểm không năng lượng khác. Đối với các tình huống như vậy, chúng ta phải cộng E₀C₊ vào phương trình đầu tiên trong (11.1) và E₀C₋ vào phương trình thứ hai. Chúng ta có thể bao gồm điều này trong ký hiệu mới nếu chúng ta định nghĩa ma trận đơn vị “1” là δ_ij,

1 = δ_ij = ⎡1  0⎤
⎣0  1⎦,   (11.9)

và viết lại phương trình (11.8) thành

H = E₀δ_ij − μ(σ_xB_x + σ_yB_y + σ_zB_z).   (11.10)

Thông thường, người ta hiểu rằng bất kỳ hằng số nào như E₀ đều tự động được nhân với ma trận đơn vị; khi đó người ta viết đơn giản

H = E₀ − μ(σ_xB_x + σ_yB_y + σ_zB_z).   (11.11)

Một lý do các ma trận spin hữu ích là bất kỳ ma trận hai-nhân-hai nào cũng có thể được viết theo chúng. Bất kỳ ma trận nào bạn có thể viết đều có bốn số trong đó, chẳng hạn,

M = ⎡a  b⎤
⎣c  d⎦.

Nó luôn có thể được viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của bốn ma trận. Chẳng hạn,

M = a⎡1  0⎤/⎣0  0⎦ + b⎡0  1⎤/⎣0  0⎦ + c⎡0  0⎤/⎣1  0⎦ + d⎡0  0⎤/⎣0  1⎦.

Có nhiều cách để làm điều đó, nhưng một cách đặc biệt là nói rằng M là một lượng nào đó của σ_x, cộng một lượng nào đó của σ_y, v.v., như thế này: M = α1 + βσ_x + γσ_y + δσ_z, trong đó các “lượng” α, β, γ, và δ, nói chung, có thể là các số phức.

Vì bất kỳ ma trận hai-nhân-hai nào cũng có thể được biểu diễn theo ma trận đơn vị và các ma trận sigma, chúng ta có mọi thứ chúng ta từng cần cho bất kỳ hệ hai trạng thái nào. Dù hệ hai trạng thái là gì — phân tử amoniac, chất nhuộm magenta, bất cứ thứ gì — phương trình Hamiltonian đều có thể được viết theo các sigma. Mặc dù các sigma dường như có một ý nghĩa hình học trong tình huống vật lý của một electron trong một từ trường, chúng cũng có thể được nghĩ chỉ như các ma trận hữu ích, vốn có thể được dùng cho bất kỳ bài toán hai trạng thái nào.

Chẳng hạn, theo một cách nhìn sự vật, một proton và một neutron có thể được nghĩ là cùng một hạt ở một trong hai trạng thái. Chúng ta nói nucleon (proton hoặc neutron) là một hệ hai trạng thái — trong trường hợp này, hai trạng thái xét theo điện tích của nó. Khi nhìn theo cách đó, trạng thái |1⟩ có thể biểu diễn proton và trạng thái |2⟩ có thể biểu diễn neutron. Người ta nói rằng nucleon có hai trạng thái “spin đồng vị”.

Vì chúng ta sẽ dùng các ma trận sigma làm “số học” của cơ học lượng tử của các hệ hai trạng thái, hãy nhanh chóng ôn lại các quy ước của đại số ma trận. Bởi “tổng” của hai hay nhiều ma trận bất kỳ, chúng ta có ý nói đúng điều hiển nhiên trong phương trình (11.4). Nói chung, nếu chúng ta “cộng” hai ma trận A và B, “tổng” C có nghĩa là mỗi số hạng C_ij được cho bởi C_ij = A_ij + B_ij. Mỗi số hạng của C là tổng của các số hạng trong các ô tương ứng của A và B.

Trong Mục 5–6, chúng ta đã gặp ý tưởng về một “tích” ma trận. Cùng một ý tưởng sẽ hữu ích khi xử lý các ma trận sigma. Nói chung, “tích” của hai ma trận A và B (theo thứ tự đó) được định nghĩa là một ma trận C mà các phần tử của nó là

C_ij = ∑_k A_ikB_kj.   (11.12)

Nó là tổng của các tích của các số hạng lấy theo cặp từ hàng thứ i của A và cột thứ j của B. Nếu các ma trận được viết ra dưới dạng bảng như trong Hình 11–1, có một “hệ thống” tốt để lấy các số hạng của ma trận tích. Giả sử bạn đang tính C₂₃. Bạn chạy ngón trỏ trái dọc theo hàng thứ hai của A và ngón trỏ phải xuống cột thứ ba của B, nhân từng cặp và cộng lại khi bạn đi. Chúng ta đã cố chỉ ra cách làm trong hình.

Dĩ nhiên, nó đặc biệt đơn giản đối với các ma trận hai-nhân-hai. Chẳng hạn, nếu chúng ta nhân σ_x với σ_x, chúng ta được σ_x² = σ_x·σ_x = ⎡0  1⎤/⎣1  0⎦ · ⎡0  1⎤/⎣1  0⎦ = ⎡1  0⎤/⎣0  1⎦, vốn chỉ là ma trận đơn vị 1. Hoặc, một ví dụ khác, hãy tính σ_xσ_y: σ_xσ_y = ⎡0  1⎤/⎣1  0⎦ · ⎡0  −i⎤/⎣i  0⎦ = ⎡i  0⎤/⎣0  −i⎦. Tra Bảng 11–1, bạn thấy rằng tích chỉ là i lần ma trận σ_z. (Hãy nhớ rằng một số nhân với một ma trận chỉ nhân mỗi số hạng của ma trận.) Vì các tích của các sigma lấy từng hai cái một thì quan trọng — cũng như khá thú vị — chúng ta đã liệt kê tất cả chúng trong Bảng 11–2. Bạn có thể tự tính chúng như chúng ta đã làm đối với σ_x² và σ_xσ_y.

Có một điểm rất quan trọng và thú vị khác về các ma trận σ này. Chúng ta có thể tưởng tượng, nếu muốn, rằng ba ma trận σ_x, σ_y, và σ_z tương tự như ba thành phần của một vectơ — nó đôi khi được gọi là “vectơ sigma” và được viết σ. Nó thực sự là một “vectơ ma trận” hoặc một “ma trận vectơ”. Nó là ba ma trận khác nhau — một ma trận gắn với mỗi trục, x, y, và z. Với nó, chúng ta có thể viết Hamiltonian của hệ dưới một dạng đẹp vốn hoạt động trong bất kỳ hệ tọa độ nào:

H = −μσ·B.   (11.13)

Mặc dù chúng ta đã viết ba ma trận của chúng ta trong biểu diễn trong đó “lên” và “xuống” theo hướng z — để σ_z có một sự đơn giản đặc biệt — chúng ta có thể tìm ra các ma trận sẽ trông như thế nào trong một biểu diễn khác nào đó. Mặc dù cần rất nhiều đại số, bạn có thể chỉ ra rằng chúng biến đổi lẫn nhau như các thành phần của một vectơ. (Tuy nhiên, chúng ta sẽ không lo chứng minh điều đó ngay bây giờ. Bạn có thể kiểm tra nếu muốn.) Bạn có thể dùng σ trong các hệ tọa độ khác nhau như thể nó là một vectơ.

Bạn nhớ rằng H liên hệ với năng lượng trong cơ học lượng tử. Thực ra, nó đúng bằng năng lượng trong tình huống đơn giản khi chỉ có một trạng thái. Ngay cả đối với các hệ hai trạng thái của spin electron, khi chúng ta viết Hamiltonian như trong phương trình (11.13), nó trông rất giống công thức cổ điển cho năng lượng của một nam châm nhỏ có mômen từ μ trong một từ trường B. Theo cổ điển, chúng ta sẽ nói

U = −μ·B,   (11.14)

trong đó μ là tính chất của vật và B là một trường ngoài. Chúng ta có thể tưởng tượng rằng phương trình (11.14) có thể được chuyển thành (11.13) nếu chúng ta thay năng lượng cổ điển bằng Hamiltonian và μ cổ điển bằng ma trận μσ. Khi đó, sau phép thay thế hoàn toàn hình thức này, chúng ta diễn giải kết quả như một phương trình ma trận. Đôi khi người ta nói rằng đối với mỗi đại lượng trong vật lý cổ điển có một ma trận tương ứng trong cơ học lượng tử. Nói chính xác hơn là ma trận Hamiltonian tương ứng với năng lượng, và bất kỳ đại lượng nào có thể được định nghĩa qua năng lượng đều có một ma trận tương ứng.

Chẳng hạn, mômen từ có thể được định nghĩa qua năng lượng bằng cách nói rằng năng lượng trong một trường ngoài B là −μ·B. Điều này định nghĩa vectơ mômen từ μ. Khi đó chúng ta nhìn vào công thức cho Hamiltonian của một vật thật (lượng tử) trong một từ trường và cố xác định các ma trận nào tương ứng với các đại lượng khác nhau trong công thức cổ điển. Đó là mẹo mà nhờ đó đôi khi các đại lượng cổ điển có các đối tác lượng tử của chúng.

Bạn có thể thử, nếu muốn, hiểu làm thế nào một vectơ cổ điển bằng một ma trận μσ, và có thể bạn sẽ khám phá ra điều gì đó — nhưng đừng vỡ đầu vì nó. Đó không phải là ý tưởng — chúng không bằng nhau. Cơ học lượng tử là một loại lý thuyết khác để biểu diễn thế giới. Chỉ là tình cờ có một số tương ứng vốn hầu như không hơn các phương tiện ghi nhớ — những thứ để nhớ theo. Tức là, bạn nhớ phương trình (11.14) khi bạn học vật lý cổ điển; khi đó nếu bạn nhớ tương ứng μ → μσ, bạn có một tay cầm để nhớ phương trình (11.13). Dĩ nhiên, tự nhiên biết cơ học lượng tử, và cơ học cổ điển chỉ là một phép gần đúng; vậy không có gì bí ẩn trong sự kiện là trong cơ học cổ điển có một cái bóng nào đó của các định luật cơ học lượng tử — vốn thực sự là các định luật ở bên dưới. Việc tái tạo vật gốc từ cái bóng là không thể theo bất kỳ cách trực tiếp nào, nhưng cái bóng giúp bạn nhớ vật trông như thế nào. Phương trình (11.13) là sự thật, và phương trình (11.14) là cái bóng. Vì chúng ta học cơ học cổ điển trước, chúng ta muốn có thể thu được công thức lượng tử từ nó, nhưng không có một sơ đồ chắc chắn nào để làm điều đó. Chúng ta luôn phải quay lại thế giới thực và khám phá các phương trình cơ học lượng tử đúng. Khi chúng cho ra trông giống một điều gì đó trong vật lý cổ điển, chúng ta gặp may.

Nếu các cảnh báo trên có vẻ lặp lại và đối với bạn dường như đang nhai lại các sự thật hiển nhiên về quan hệ của vật lý cổ điển với vật lý lượng tử, xin hãy tha thứ cho các phản xạ có điều kiện của một giáo sư vẫn thường dạy cơ học lượng tử cho các sinh viên chưa từng nghe về các ma trận spin Pauli cho tới khi họ học cao học. Khi đó họ dường như luôn hy vọng rằng, bằng cách nào đó, cơ học lượng tử có thể được nhìn là hệ quả logic của cơ học cổ điển mà họ đã học kỹ nhiều năm trước. (Có lẽ họ muốn tránh phải học một điều gì mới.) Bạn đã học công thức cổ điển, phương trình (11.14), chỉ vài tháng trước — và khi đó với các cảnh báo rằng nó không đầy đủ — vậy có lẽ bạn sẽ không quá ngần ngại khi lấy công thức lượng tử, phương trình (11.13), làm sự thật cơ bản.

11–2  Các ma trận spin như các toán tử

Trong khi đang ở chủ đề ký hiệu toán học, chúng ta muốn mô tả thêm một cách viết nữa — một cách được dùng rất thường xuyên vì nó rất gọn. Nó đi trực tiếp từ ký hiệu được giới thiệu trong Chương 8. Nếu chúng ta có một hệ ở trong một trạng thái |ψ(t)⟩, vốn biến thiên theo thời gian, chúng ta có thể — như chúng ta đã làm trong phương trình (8.34) — viết biên độ để hệ sẽ ở trong trạng thái |i⟩ tại t + Δt là ⟨i|ψ(t + Δt)⟩ = ∑_j ⟨i|U(t + Δt, t)|j⟩⟨j|ψ(t)⟩. Phần tử ma trận ⟨i|U(t + Δt, t)|j⟩ là biên độ để trạng thái cơ sở |j⟩ sẽ được chuyển thành trạng thái cơ sở |i⟩ trong khoảng thời gian Δt. Khi đó chúng ta đã định nghĩa H_ij bằng cách viết ⟨i|U(t + Δt, t)|j⟩ = δ_ij − (i/ℏ)H_ij(t)Δt, và chúng ta đã chỉ ra rằng các biên độ C_i(t) = ⟨i|ψ(t)⟩ liên hệ bởi các phương trình vi phân

iℏ dC_i/dt = ∑_j H_ijC_j.   (11.15)

Nếu chúng ta viết các biên độ C_i ra một cách tường minh, cùng phương trình đó xuất hiện dưới dạng

iℏ (d/dt)⟨i|ψ⟩ = ∑_j H_ij⟨j|ψ⟩.   (11.16)

Bây giờ các phần tử ma trận H_ij cũng là các biên độ mà chúng ta có thể viết là ⟨i|H|j⟩; phương trình vi phân của chúng ta trông như thế này:

iℏ (d/dt)⟨i|ψ⟩ = ∑_j ⟨i|H|j⟩⟨j|ψ⟩.   (11.17)

Chúng ta thấy rằng −i/ℏ ⟨i|H|j⟩ dt là biên độ để — dưới các điều kiện vật lý được mô tả bởi H — một trạng thái |j⟩ sẽ, trong thời gian dt, “sinh ra” trạng thái |i⟩. (Tất cả điều này ẩn chứa trong thảo luận của Mục 8–4.)

Bây giờ theo các ý tưởng của Mục 8–2, chúng ta có thể bỏ số hạng chung ⟨i| trong phương trình (11.17) — vì nó đúng đối với bất kỳ trạng thái |i⟩ nào — và viết phương trình đó đơn giản là

iℏ (d/dt)|ψ⟩ = ∑_j H|j⟩⟨j|ψ⟩.   (11.18)

Hoặc, đi thêm một bước nữa, chúng ta cũng có thể bỏ j và viết

iℏ (d/dt)|ψ⟩ = H|ψ⟩.   (11.19)

Trong Chương 8, chúng ta đã chỉ ra rằng khi mọi thứ được viết theo cách này, H trong H|j⟩ hoặc H|ψ⟩ được gọi là một toán tử. Từ nay chúng ta sẽ đặt chiếc mũ nhỏ (ˆ) lên trên một toán tử để nhắc bạn rằng nó là một toán tử chứ không chỉ là một số. Chúng ta sẽ viết Ĥ|ψ⟩. Mặc dù hai phương trình (11.18) và (11.19) có nghĩa đúng như phương trình (11.17) hoặc (11.15), chúng ta có thể nghĩ về chúng theo một cách khác. Chẳng hạn, chúng ta sẽ mô tả phương trình (11.18) theo cách này: “Đạo hàm theo thời gian của vectơ trạng thái |ψ⟩ nhân với iℏ bằng với những gì bạn thu được bằng cách tác dụng toán tử Hamiltonian Ĥ lên mỗi trạng thái cơ sở, nhân với biên độ ⟨j|ψ⟩ để ψ ở trong trạng thái j, và cộng tổng trên mọi j.” Hoặc phương trình (11.19) được mô tả theo cách này: “Đạo hàm theo thời gian (nhân với iℏ) của một trạng thái |ψ⟩ bằng với những gì bạn thu được nếu bạn tác dụng Hamiltonian Ĥ lên vectơ trạng thái |ψ⟩.” Nó chỉ là một cách viết tắt để nói những gì có trong phương trình (11.17), nhưng, như bạn sẽ thấy, nó có thể rất thuận tiện.

Nếu muốn, chúng ta có thể mang ý tưởng “trừu tượng hóa” thêm một bước nữa. Phương trình (11.19) đúng đối với bất kỳ trạng thái |ψ⟩ nào. Ngoài ra, vế trái, iℏ d/dt, cũng là một toán tử — nó là phép toán “lấy đạo hàm theo t và nhân với iℏ”. Do đó, phương trình (11.19) cũng có thể được nghĩ như một phương trình giữa các toán tử — phương trình toán tử iℏ d/dt = Ĥ. Toán tử Hamiltonian (sai khác một hằng số) cho cùng kết quả như d/dt khi tác dụng lên bất kỳ trạng thái nào. Hãy nhớ rằng phương trình này — cũng như phương trình (11.19) — không phải là một phát biểu rằng toán tử Ĥ đúng là phép toán giống hệt như iℏ d/dt. Các phương trình là định luật động lực học của tự nhiên — định luật chuyển động — cho một hệ lượng tử.

Chỉ để luyện tập một chút với các ý tưởng này, chúng ta sẽ chỉ cho bạn một cách khác chúng ta có thể đi tới phương trình (11.18). Bạn biết rằng chúng ta có thể viết bất kỳ trạng thái |ψ⟩ nào theo các phép chiếu của nó vào một tập hợp cơ sở nào đó [xem phương trình (8.8)],

|ψ⟩ = ∑_i |i⟩⟨i|ψ⟩.   (11.20)

|ψ⟩ thay đổi theo thời gian như thế nào? Vâng, chỉ cần lấy đạo hàm của nó:

(d/dt)|ψ⟩ = (d/dt)∑_i |i⟩⟨i|ψ⟩.   (11.21)

Bây giờ các trạng thái cơ sở |i⟩ không thay đổi theo thời gian (ít nhất chúng ta luôn lấy chúng là các trạng thái cố định xác định), nhưng các biên độ ⟨i|ψ⟩ là các số có thể biến thiên. Vậy phương trình (11.21) trở thành

(d/dt)|ψ⟩ = ∑_i |i⟩(d/dt)⟨i|ψ⟩.   (11.22)

Vì chúng ta biết d⟨i|ψ⟩/dt từ phương trình (11.16), chúng ta được (d/dt)|ψ⟩ = −(i/ℏ)∑_i |i⟩∑_j H_ij⟨j|ψ⟩ = −(i/ℏ)∑_ij |i⟩⟨i|H|j⟩⟨j|ψ⟩ = −(i/ℏ)∑_j H|j⟩⟨j|ψ⟩. Đây lại là phương trình (11.18).

Vậy chúng ta có nhiều cách để nhìn Hamiltonian. Chúng ta có thể nghĩ tập hợp các hệ số H_ij chỉ là một đám số, hoặc chúng ta có thể nghĩ về các “biên độ” ⟨i|H|j⟩, hoặc chúng ta có thể nghĩ về “ma trận” H_ij, hoặc chúng ta có thể nghĩ về “toán tử” Ĥ. Tất cả đều có nghĩa như nhau.

Bây giờ hãy quay lại các hệ hai trạng thái của chúng ta. Nếu chúng ta viết Hamiltonian theo các ma trận sigma (với các hệ số số thích hợp như B_x, v.v.), chúng ta rõ ràng cũng có thể nghĩ σ_ij^x như một biên độ ⟨i|σ_x|j⟩ hoặc, viết tắt, như toán tử σ̂_x. Nếu chúng ta dùng ý tưởng toán tử, chúng ta có thể viết phương trình chuyển động của một trạng thái |ψ⟩ trong một từ trường là

iℏ (d/dt)|ψ⟩ = −μ(B_xσ̂_x + B_yσ̂_y + B_zσ̂_z)|ψ⟩.   (11.23)

Khi chúng ta muốn “dùng” một phương trình như vậy, chúng ta thường sẽ phải biểu diễn |ψ⟩ theo các vectơ cơ sở (đúng như chúng ta phải tìm các thành phần của các vectơ không gian khi chúng ta muốn các số cụ thể). Vậy chúng ta thường sẽ muốn đặt phương trình (11.23) dưới dạng phần nào mở rộng:

iℏ (d/dt)|ψ⟩ = −μ∑_i (B_xσ̂_x + B_yσ̂_y + B_zσ̂_z)|i⟩⟨i|ψ⟩.   (11.24)

Bây giờ bạn sẽ thấy vì sao ý tưởng toán tử lại gọn như vậy. Để dùng phương trình (11.24), chúng ta cần biết điều gì xảy ra khi các toán tử σ̂ tác dụng lên mỗi trạng thái cơ sở. Hãy tìm hiểu. Giả sử chúng ta có σ̂_z|+⟩; nó là một vectơ nào đó |?⟩, nhưng là gì? Vâng, hãy nhân nó ở phía trái với ⟨+|; chúng ta có ⟨+|σ̂_z|+⟩ = σ₁₁^z = 1 (dùng Bảng 11–1). Vậy chúng ta biết rằng

⟨+|?⟩ = 1.   (11.25)

Bây giờ hãy nhân σ̂_z|+⟩ ở phía trái với ⟨−|. Chúng ta được ⟨−|σ̂_z|+⟩ = σ₂₁^z = 0; vậy

⟨−|?⟩ = 0.   (11.26)

Chỉ có một vectơ trạng thái thỏa mãn cả (11.25) và (11.26); nó là |+⟩. Khi đó chúng ta khám phá ra rằng

σ̂_z|+⟩ = |+⟩.   (11.27)

Bằng loại lập luận này, bạn có thể dễ dàng chỉ ra rằng mọi tính chất của các ma trận sigma có thể được mô tả trong ký hiệu toán tử bằng tập hợp các quy tắc cho trong Bảng 11–3.

Nếu chúng ta có các tích của các ma trận sigma, chúng chuyển thành các tích của các toán tử. Khi hai toán tử xuất hiện cùng nhau như một tích, bạn thực hiện trước phép toán với toán tử ở xa nhất về phía phải. Chẳng hạn, bởi σ̂_xσ̂_y|+⟩ chúng ta hiểu là σ̂_x(σ̂_y|+⟩). Từ Bảng 11–3, chúng ta được σ̂_y|+⟩ = i|−⟩, vậy

σ̂_xσ̂_y|+⟩ = σ̂_x(i|−⟩).   (11.28)

Bây giờ bất kỳ số nào — như i — chỉ việc đi qua một toán tử (các toán tử chỉ tác dụng lên các vectơ trạng thái); vậy phương trình (11.28) giống như σ̂_xσ̂_y|+⟩ = iσ̂_x|−⟩ = i|+⟩. Nếu bạn làm điều tương tự đối với σ̂_xσ̂_y|−⟩, bạn sẽ tìm thấy rằng σ̂_xσ̂_y|−⟩ = −i|−⟩. Nhìn vào Bảng 11–3, bạn thấy rằng σ̂_xσ̂_y tác dụng lên |+⟩ hoặc |−⟩ cho đúng những gì bạn thu được nếu bạn tác dụng với σ̂_z và nhân với i. Do đó, chúng ta có thể nói rằng phép toán σ̂_xσ̂_y đồng nhất với phép toán iσ̂_z và viết phát biểu này như một phương trình toán tử:

σ̂_xσ̂_y = iσ̂_z.   (11.29)

Hãy để ý rằng phương trình này giống hệt một trong các phương trình ma trận của chúng ta trong Bảng 11–2. Vậy lại nữa chúng ta thấy sự tương ứng giữa quan điểm ma trận và quan điểm toán tử. Do đó, mỗi phương trình trong Bảng 11–2 cũng có thể được xem như các phương trình về các toán tử sigma. Bạn có thể kiểm tra rằng chúng quả thực suy ra từ Bảng 11–3. Tốt nhất, khi làm việc với các thứ này, là không theo dõi xem một đại lượng như σ hoặc H là một toán tử hay một ma trận. Mọi phương trình đều như nhau theo cả hai cách, vậy Bảng 11–2 là cho các toán tử sigma, hoặc cho các ma trận sigma, tùy bạn muốn.

11–3  Nghiệm của các phương trình hai trạng thái

Bây giờ chúng ta có thể viết phương trình hai trạng thái của chúng ta dưới nhiều dạng, chẳng hạn, hoặc dưới dạng iℏ dC_i/dt = ∑_j H_ijC_j hoặc

iℏ (d/dt)|ψ⟩ = Ĥ|ψ⟩.   (11.30)

Cả hai đều có nghĩa như nhau. Đối với một hạt spin một phần hai trong một từ trường, Hamiltonian H được cho bởi phương trình (11.8) hoặc bởi phương trình (11.13).

Nếu trường theo hướng z, thì — như chúng ta đã thấy vài lần tính đến nay — nghiệm là trạng thái |ψ⟩, dù nó là gì, tiến động quanh trục z (đúng như thể bạn lấy vật thật và quay nó một cách nguyên vẹn quanh trục z) với một vận tốc góc bằng hai lần từ trường nhân với μ/ℏ. Dĩ nhiên, điều tương tự đúng đối với một từ trường dọc theo bất kỳ hướng nào khác, vì vật lý không phụ thuộc vào hệ tọa độ. Nếu chúng ta có một tình huống trong đó từ trường biến thiên theo thời gian một cách phức tạp, thì chúng ta có thể phân tích tình huống theo cách sau đây. Giả sử bạn bắt đầu với spin theo hướng +z và bạn có một từ trường x. Spin bắt đầu quay. Khi đó nếu trường x bị tắt, spin ngừng quay. Bây giờ nếu một trường z được bật, spin tiến động quanh z, v.v. Vậy tùy thuộc vào cách các trường biến thiên theo thời gian, bạn có thể tìm ra trạng thái cuối cùng là gì — nó sẽ chỉ dọc theo trục nào. Khi đó bạn có thể quy trạng thái đó về |+⟩ và |−⟩ gốc quy chiếu theo z bằng cách dùng các công thức chiếu chúng ta đã có trong Chương 10 (hoặc Chương 6). Nếu trạng thái kết thúc với spin của nó theo hướng (θ, φ), nó sẽ có một biên độ lên cos(θ/2)e^−iφ/2 và một biên độ xuống sin(θ/2)e^+iφ/2. Điều đó giải quyết mọi bài toán. Nó là một mô tả bằng lời của nghiệm của các phương trình vi phân.

Nghiệm vừa mô tả đủ tổng quát để xử lý bất kỳ hệ hai trạng thái nào. Hãy lấy ví dụ của chúng ta về phân tử amoniac — bao gồm các ảnh hưởng của một điện trường. Nếu chúng ta mô tả hệ theo các trạng thái |I⟩ và |II⟩, các phương trình (9.38) và (9.39) trông như thế này:

iℏ dC_I/dt = +AC_I + μℰC_II,
iℏ dC_II/dt = −AC_II + μℰC_I.   (11.31)

Bạn nói: “Không, tôi nhớ có một E₀ ở trong đó.” Vâng, chúng ta đã dịch chuyển gốc năng lượng để làm cho E₀ bằng không. (Bạn luôn có thể làm điều đó bằng cách thay đổi cả hai biên độ bởi cùng một thừa số — e^iE₀t/ℏ — và loại bỏ bất kỳ năng lượng hằng số nào.) Bây giờ nếu các phương trình tương ứng luôn có cùng các nghiệm, thì chúng ta thực sự không phải làm điều đó hai lần. Nếu chúng ta nhìn vào các phương trình này và nhìn vào phương trình (11.1), thì chúng ta có thể thực hiện sự đồng nhất sau đây. Hãy gọi |I⟩ là trạng thái |+⟩ và |II⟩ là trạng thái |−⟩. Điều đó không có nghĩa là chúng ta đang xếp amoniac thẳng hàng trong không gian, hoặc |+⟩ và |−⟩ có bất kỳ liên quan gì với trục z. Nó hoàn toàn nhân tạo. Chúng ta có một không gian nhân tạo mà chúng ta có thể gọi là “không gian biểu diễn phân tử amoniac”, hay gì đó — một “sơ đồ” ba chiều trong đó “hướng lên” tương ứng với việc phân tử ở trong trạng thái |I⟩ và “hướng xuống” dọc theo trục z giả này biểu diễn việc một phân tử ở trong trạng thái |II⟩. Khi đó, các phương trình sẽ được đồng nhất như sau. Trước hết, bạn thấy rằng Hamiltonian có thể được viết theo các ma trận sigma là

H = +Aσ_z + μℰσ_x.   (11.32)

Hoặc, nói cách khác, μB_z trong phương trình (11.1) tương ứng với −A trong phương trình (11.32), và μB_x tương ứng với −μℰ. Trong không gian “mô hình” của chúng ta, khi đó, chúng ta có một trường B không đổi dọc theo hướng z. Nếu chúng ta có một điện trường ℰ biến thiên theo thời gian, thì chúng ta có một trường B dọc theo hướng x vốn biến thiên tỉ lệ theo. Vậy hành vi của một electron trong một từ trường với một thành phần không đổi theo hướng z và một thành phần dao động theo hướng x tương tự về mặt toán học và tương ứng chính xác với hành vi của một phân tử amoniac trong một điện trường dao động. Thật không may, chúng ta không có thời gian để đi sâu hơn vào các chi tiết của sự tương ứng này, hoặc để tính ra bất kỳ chi tiết kỹ thuật nào. Chúng ta chỉ muốn nêu điểm rằng mọi hệ hai trạng thái đều có thể được làm tương tự như một vật spin một phần hai đang tiến động trong một từ trường.

11–4  Các trạng thái phân cực của photon

Có một số hệ hai trạng thái khác thú vị để nghiên cứu, và hệ mới đầu tiên chúng ta muốn nói tới là photon. Để mô tả một photon, trước tiên chúng ta phải cho vectơ động lượng của nó. Đối với một photon tự do, tần số được xác định bởi động lượng, vậy chúng ta không phải nói thêm tần số là gì. Tuy nhiên, sau đó, chúng ta vẫn còn một tính chất gọi là sự phân cực. Hãy tưởng tượng có một photon đang bay về phía bạn với một tần số đơn sắc xác định (vốn sẽ được giữ nguyên trong suốt thảo luận này để chúng ta không có nhiều trạng thái động lượng). Khi đó có hai hướng phân cực. Trong lý thuyết cổ điển, ánh sáng có thể được mô tả là có một điện trường dao động ngang hoặc một điện trường dao động dọc (chẳng hạn); hai loại ánh sáng này được gọi là ánh sáng phân cực x và ánh sáng phân cực y. Ánh sáng cũng có thể phân cực theo một hướng khác nào đó, vốn có thể được tạo thành từ sự chồng chất của một trường theo hướng x và một trường theo hướng y. Hoặc nếu bạn lấy các thành phần x và y lệch pha nhau 90°, bạn được một điện trường quay — ánh sáng phân cực elip. (Đây chỉ là một nhắc nhở nhanh về lý thuyết cổ điển của ánh sáng phân cực mà chúng ta đã học trong Chương 33, Tập I.)

Tuy nhiên, bây giờ giả sử chúng ta có một photon duy nhất — chỉ một. Không có điện trường nào chúng ta có thể thảo luận theo cùng một cách. Tất cả những gì chúng ta có là một photon. Nhưng một photon phải có đối tác của các hiện tượng phân cực cổ điển. Phải có ít nhất hai loại photon khác nhau. Thoạt đầu, bạn có thể nghĩ hẳn phải có vô số loại — xét cho cùng, vectơ điện có thể chỉ theo đủ mọi hướng. Tuy nhiên, chúng ta có thể mô tả sự phân cực của một photon như một hệ hai trạng thái. Một photon có thể ở trong trạng thái |x⟩ hoặc trong trạng thái |y⟩. Bởi |x⟩ chúng ta có ý nói trạng thái phân cực của mỗi photon trong một chùm ánh sáng mà theo cổ điển là ánh sáng phân cực x. Mặt khác, bởi |y⟩ chúng ta có ý nói trạng thái phân cực của mỗi photon trong một chùm phân cực y. Và chúng ta có thể lấy |x⟩ và |y⟩ làm các trạng thái cơ sở của chúng ta cho một photon có động lượng cho trước đang chỉ về phía bạn — theo hướng mà chúng ta sẽ gọi là hướng z. Vậy có hai trạng thái cơ sở |x⟩ và |y⟩, và chúng là tất cả những gì cần thiết để mô tả bất kỳ photon nào.

Chẳng hạn, nếu chúng ta có một mảnh polaroid được đặt với trục của nó để cho qua ánh sáng phân cực theo hướng mà chúng ta gọi là hướng x, và chúng ta gửi vào một photon mà chúng ta biết ở trong trạng thái |y⟩, nó sẽ bị polaroid hấp thụ. Nếu chúng ta gửi vào một photon mà chúng ta biết ở trong trạng thái |x⟩, nó sẽ đi thẳng qua dưới dạng |x⟩. Nếu chúng ta lấy một mảnh canxit vốn lấy một chùm ánh sáng phân cực và tách nó thành một chùm |x⟩ và một chùm |y⟩, mảnh canxit đó là đối tác hoàn toàn của một thiết bị Stern–Gerlach vốn tách một chùm nguyên tử bạc thành hai trạng thái |+⟩ và |−⟩. Vậy mọi thứ chúng ta đã làm trước đây với các hạt và các thiết bị Stern–Gerlach, chúng ta có thể làm lại với ánh sáng và các mảnh canxit. Thế còn ánh sáng được lọc qua một mảnh polaroid đặt tại một góc θ? Đó có phải là một trạng thái khác không? Vâng, quả thực, nó là một trạng thái khác. Hãy gọi trục của polaroid là x′ để phân biệt nó với các trục của các trạng thái cơ sở của chúng ta. Xem Hình 11–2. Một photon đi ra sẽ ở trong trạng thái |x′⟩. Tuy nhiên, bất kỳ trạng thái nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các trạng thái cơ sở, và công thức cho tổ hợp, ở đây, là

|x′⟩ = cos θ|x⟩ + sin θ|y⟩.   (11.33)

Tức là, nếu một photon đi qua một mảnh polaroid đặt tại góc θ (so với x), nó vẫn có thể được phân giải thành các chùm |x⟩ và |y⟩ — chẳng hạn bằng một mảnh canxit. Hoặc bạn có thể, nếu muốn, chỉ phân tích nó thành các thành phần x và y trong trí tưởng tượng của bạn. Theo cả hai cách, bạn sẽ tìm thấy biên độ cos θ để ở trong trạng thái |x⟩ và biên độ sin θ để ở trong trạng thái |y⟩.

Bây giờ chúng ta hỏi câu hỏi này: Giả sử một photon bị phân cực theo hướng x′ bởi một mảnh polaroid đặt tại góc θ và tới một polaroid tại góc không — như trong Hình 11–3; điều gì sẽ xảy ra? Nó sẽ đi qua với xác suất bao nhiêu? Câu trả lời là như sau. Sau khi nó đi qua polaroid đầu tiên, nó chắc chắn ở trong trạng thái |x′⟩. Polaroid thứ hai sẽ cho photon đi qua nếu nó ở trong trạng thái |x⟩ (nhưng hấp thụ nó nếu nó là trạng thái |y⟩). Vậy chúng ta đang hỏi với xác suất bao nhiêu photon xuất hiện ở trong trạng thái |x⟩? Chúng ta thu được xác suất đó từ bình phương tuyệt đối của biên độ ⟨x|x′⟩ để một photon trong trạng thái |x′⟩ cũng ở trong trạng thái |x⟩. ⟨x|x′⟩ là gì? Chỉ cần nhân phương trình (11.33) với ⟨x| để được ⟨x|x′⟩ = cos θ⟨x|x⟩ + sin θ⟨x|y⟩. Bây giờ ⟨x|y⟩ = 0, từ vật lý — như chúng phải thế nếu |x⟩ và |y⟩ là các trạng thái cơ sở — và ⟨x|x⟩ = 1. Vậy chúng ta được ⟨x|x′⟩ = cos θ, và xác suất là cos² θ. Chẳng hạn, nếu polaroid đầu tiên được đặt tại 30°, một photon sẽ đi qua 3/4 số lần, và 1/4 số lần nó sẽ làm nóng polaroid bằng cách bị hấp thụ trong đó.

Bây giờ hãy xem điều gì xảy ra theo cổ điển trong cùng tình huống. Chúng ta sẽ có một chùm ánh sáng với một điện trường biến thiên theo cách nào đó — chẳng hạn “không phân cực”. Sau khi nó đi qua polaroid đầu tiên, điện trường dao động theo hướng x′ với một độ lớn ℰ; chúng ta sẽ vẽ trường như một vectơ dao động với một giá trị đỉnh ℰ₀ trong một sơ đồ như Hình 11–4. Bây giờ khi ánh sáng tới polaroid thứ hai, chỉ thành phần x, ℰ₀ cos θ, của điện trường đi qua. Cường độ tỉ lệ với bình phương của trường và, do đó, với ℰ₀² cos² θ. Vậy năng lượng đi qua yếu hơn cos² θ lần so với năng lượng đang đi vào polaroid cuối cùng.

Bức tranh cổ điển và bức tranh lượng tử cho các kết quả tương tự. Nếu bạn ném 10 tỉ photon vào polaroid thứ hai, và xác suất trung bình của mỗi photon đi qua là, chẳng hạn, 3/4, bạn sẽ kỳ vọng 3/4 của 10 tỉ sẽ đi qua. Tương tự, năng lượng chúng mang theo sẽ bằng 3/4 năng lượng bạn đã cố đưa qua. Lý thuyết cổ điển không nói gì về thống kê của sự việc — nó đơn giản nói rằng năng lượng đi qua sẽ đúng bằng 3/4 năng lượng bạn đang gửi vào. Dĩ nhiên, điều đó là không thể nếu chỉ có một photon. Không có thứ như 3/4 của một photon. Nó hoặc hoàn toàn ở đó, hoặc hoàn toàn không ở đó. Cơ học lượng tử cho chúng ta biết nó hoàn toàn ở đó trong 3/4 số lần. Quan hệ của hai lý thuyết là rõ ràng.

Thế còn các loại phân cực khác? Chẳng hạn, phân cực tròn phải? Trong lý thuyết cổ điển, phân cực tròn phải có các thành phần bằng nhau theo x và y vốn lệch pha nhau 90°. Trong lý thuyết lượng tử, một photon phân cực tròn phải (RHC) có các biên độ bằng nhau để phân cực |x⟩ hoặc |y⟩, và các biên độ lệch pha nhau 90°. Gọi một photon RHC là một trạng thái |R⟩ và một photon LHC là một trạng thái |L⟩, chúng ta có thể viết (xem Tập I, Mục 33–1)

|R⟩ = (1/√2)(|x⟩ + i|y⟩),
|L⟩ = (1/√2)(|x⟩ − i|y⟩).   (11.34)

— thừa số 1/√2 được đặt vào để được các trạng thái đã chuẩn hóa. Với các trạng thái này, bạn có thể tính bất kỳ hiệu ứng lọc hoặc giao thoa nào bạn muốn, dùng các định luật của lý thuyết lượng tử. Nếu muốn, bạn cũng có thể chọn |R⟩ và |L⟩ làm các trạng thái cơ sở và biểu diễn mọi thứ theo chúng. Bạn chỉ cần chỉ ra trước rằng ⟨R|L⟩ = 0 — điều bạn có thể làm bằng cách lấy dạng liên hợp của phương trình đầu tiên ở trên [xem phương trình (8.13)] và nhân nó với phương trình còn lại. Bạn có thể phân giải ánh sáng thành các phân cực x và y, hoặc thành các phân cực x′ và y′, hoặc thành các phân cực phải và trái làm cơ sở.

Chỉ như một ví dụ, hãy thử lật ngược các công thức của chúng ta. Chúng ta có thể biểu diễn trạng thái |x⟩ dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của phải và trái không? Có, đây là nó:

|x⟩ = (1/√2)(|R⟩ + |L⟩),
|y⟩ = −(i/√2)(|R⟩ − |L⟩).   (11.35)

Chứng minh: Cộng và trừ hai phương trình trong (11.34). Dễ dàng đi từ cơ sở này sang cơ sở kia.

Tuy nhiên, có một điểm kỳ lạ cần được nêu ra. Nếu một photon phân cực tròn phải, nó không nên có bất kỳ liên quan gì với các trục x và y. Nếu chúng ta nhìn cùng một sự việc từ một hệ tọa độ được quay một góc nào đó quanh hướng bay, ánh sáng vẫn sẽ phân cực tròn phải — và tương tự đối với trái. Ánh sáng phân cực tròn phải và trái là như nhau đối với bất kỳ phép quay nào như vậy; định nghĩa không phụ thuộc vào bất kỳ lựa chọn nào của hướng x (ngoại trừ việc hướng photon được cho). Điều đó không đẹp sao — nó không cần bất kỳ trục nào để định nghĩa nó. Tốt hơn nhiều so với x và y. Mặt khác, chẳng phải là một phép màu sao khi bạn cộng phải và trái lại với nhau bạn có thể tìm ra hướng x là hướng nào? Nếu “phải” và “trái” không phụ thuộc vào x theo bất kỳ cách nào, làm thế nào chúng ta có thể đặt chúng lại với nhau và thu được x? Chúng ta có thể trả lời một phần câu hỏi đó bằng cách viết ra trạng thái |R′⟩, vốn biểu diễn một photon phân cực RHC trong hệ x′, y′. Trong hệ đó, bạn sẽ viết |R′⟩ = (1/√2)(|x′⟩ + i|y′⟩). Một trạng thái như vậy trông như thế nào trong hệ x, y? Chỉ cần thay |x′⟩ từ phương trình (11.33) và |y′⟩ tương ứng — chúng ta đã không viết nó ra, nhưng nó là (−sin θ)|x⟩ + (cos θ)|y⟩. Khi đó |R′⟩ = (1/√2)[cos θ|x⟩ + sin θ|y⟩ − i sin θ|x⟩ + i cos θ|y⟩] = (1/√2)[(cos θ − i sin θ)|x⟩ + i(cos θ − i sin θ)|y⟩] = (1/√2)(|x⟩ + i|y⟩)(cos θ − i sin θ). Số hạng đầu tiên chỉ là |R⟩, và số hạng thứ hai là e^−iθ; kết quả của chúng ta là

|R′⟩ = e^−iθ|R⟩.   (11.36)

Các trạng thái |R′⟩ và |R⟩ là như nhau ngoại trừ thừa số pha e^−iθ. Nếu bạn tính điều tương tự cho |L′⟩, bạn sẽ được rằng¹

|L′⟩ = e^+iθ|L⟩.   (11.37)

Bây giờ bạn thấy điều gì xảy ra. Nếu chúng ta cộng |R⟩ và |L⟩, chúng ta được một điều khác với điều chúng ta được khi chúng ta cộng |R′⟩ và |L′⟩. Chẳng hạn, một photon phân cực x là [phương trình (11.35)] tổng của |R⟩ và |L⟩, nhưng một photon phân cực y là tổng với pha của một cái bị dịch ngược 90° và của cái còn lại bị dịch tới 90°. Đó đúng là điều chúng ta sẽ được từ tổng của |R′⟩ và |L′⟩ đối với góc đặc biệt θ = 90°, và điều đó đúng. Một phân cực x trong hệ phẩy là cùng một thứ như một phân cực y trong hệ gốc. Vậy không hoàn toàn đúng khi nói một photon phân cực tròn trông như nhau đối với bất kỳ tập hợp trục nào. Pha của nó (quan hệ pha của các trạng thái phân cực tròn phải và trái) theo dõi hướng x.

11–5  Meson K trung hòa²

Bây giờ chúng ta sẽ mô tả một hệ hai trạng thái trong thế giới của các hạt lạ — một hệ mà cơ học lượng tử cho một dự đoán đáng chú ý nhất. Việc mô tả nó một cách đầy đủ sẽ cuốn chúng ta vào rất nhiều thứ về các hạt lạ, vậy thật không may chúng ta sẽ phải cắt ngắn một số chỗ. Chúng ta chỉ có thể cho một phác thảo về cách một khám phá nào đó đã được thực hiện — để chỉ cho bạn loại lập luận đã liên quan. Nó bắt đầu với khám phá của Gell-Mann và Nishijima về khái niệm số lạ và về một định luật bảo toàn số lạ mới. Chính khi Gell-Mann và Pais đang phân tích các hệ quả của các ý tưởng mới này, họ bắt gặp dự đoán về một hiện tượng đáng chú ý nhất mà chúng ta sắp mô tả. Tuy nhiên, trước tiên, chúng ta phải nói cho bạn một chút về “số lạ”.

Chúng ta phải bắt đầu với cái gọi là các tương tác mạnh của các hạt hạt nhân. Đây là các tương tác chịu trách nhiệm cho các lực hạt nhân mạnh — phân biệt, chẳng hạn, với các tương tác điện từ tương đối yếu hơn. Các tương tác là “mạnh” theo nghĩa là nếu hai hạt đủ gần nhau để tương tác chút nào, chúng tương tác một cách mạnh mẽ và tạo ra các hạt khác rất dễ dàng. Các hạt hạt nhân cũng có cái gọi là một “tương tác yếu” mà nhờ đó một số điều có thể xảy ra, như phân rã beta, nhưng luôn rất chậm trên thang thời gian hạt nhân — các tương tác yếu yếu hơn nhiều, nhiều bậc độ lớn so với các tương tác mạnh và thậm chí yếu hơn nhiều so với các tương tác điện từ.

Khi các tương tác mạnh đang được nghiên cứu với các máy gia tốc lớn, người ta ngạc nhiên khi thấy rằng một số điều “hẳn phải” xảy ra — được kỳ vọng sẽ xảy ra — đã không xảy ra. Chẳng hạn, trong một số tương tác, một hạt thuộc một loại nào đó đã không xuất hiện khi nó được kỳ vọng. Gell-Mann và Nishijima để ý rằng nhiều sự việc kỳ lạ này có thể được giải thích ngay lập tức bằng cách phát minh ra một định luật bảo toàn mới: sự bảo toàn số lạ. Họ đề xuất rằng có một loại thuộc tính mới gắn với mỗi hạt — mà họ gọi là số “lạ” của nó — và rằng trong bất kỳ tương tác mạnh nào “lượng số lạ” được bảo toàn.

Giả sử, chẳng hạn, một meson K âm năng lượng cao — với, chẳng hạn, năng lượng nhiều GeV — va chạm với một proton. Từ tương tác có thể xuất hiện nhiều hạt khác: các meson π, các meson K, các hạt lambda, các hạt sigma — bất kỳ meson hoặc baryon nào được liệt kê trong Bảng 2–2 của Tập I. Tuy nhiên, người ta quan sát thấy rằng chỉ một số tổ hợp nhất định xuất hiện, và không bao giờ có các tổ hợp khác. Bây giờ một số định luật bảo toàn đã được biết là áp dụng. Trước tiên, năng lượng và động lượng luôn được bảo toàn. Tổng năng lượng và động lượng sau một sự kiện phải giống như trước sự kiện. Thứ hai, có sự bảo toàn điện tích, vốn nói rằng tổng điện tích của các hạt đi ra phải bằng tổng điện tích do các hạt ban đầu mang theo. Trong ví dụ của chúng ta về một meson K và một proton đến với nhau, các phản ứng sau đây quả thực xảy ra:

K⁻ + p → p + K⁻ + π⁺ + π⁻ + π⁰
hoặc
K⁻ + p → Σ⁻ + π⁺.   (11.38)

Chúng ta sẽ không bao giờ được:

K⁻ + p → p + K⁻ + π⁺   hoặc   K⁻ + p → Λ⁰ + π⁺,   (11.39)

vì sự bảo toàn điện tích. Người ta cũng biết rằng số baryon được bảo toàn. Số baryon đi ra phải bằng số baryon đi vào. Đối với định luật này, một phản hạt của một baryon được đếm là trừ một baryon. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể — và quả thực — thấy

K⁻ + p → Λ⁰ + π⁰
hoặc
K⁻ + p → p + K⁻ + p + p̄   (11.40)

(trong đó p̄ là phản proton, vốn mang một điện tích âm). Nhưng chúng ta không bao giờ thấy

K⁻ + p → K⁻ + π⁺ + π⁰
hoặc
K⁻ + p → p + K⁻ + n   (11.41)

(ngay cả khi có rất nhiều năng lượng), vì các baryon sẽ không được bảo toàn.

Tuy nhiên, các định luật này không giải thích sự kiện lạ là các phản ứng sau đây — vốn không ngay lập tức có vẻ đặc biệt khác với một số phản ứng trong (11.38) hoặc (11.40) — cũng không bao giờ được quan sát:

K⁻ + p → p + K⁻ + K⁰
hoặc
K⁻ + p → p + π⁻
hoặc
K⁻ + p → Λ⁰ + K⁰.   (11.42)

Sự giải thích là sự bảo toàn số lạ. Với mỗi hạt đi kèm một số — số lạ S của nó — và có một định luật là trong bất kỳ tương tác mạnh nào, tổng số lạ đi ra phải bằng tổng số lạ đã đi vào. Proton và phản proton (p, p̄), neutron và phản neutron (n, n̄), và các meson π (π⁺, π⁰, π⁻) đều có số lạ bằng không; các meson K⁺ và K⁰ có số lạ +1; các meson K⁻ và K̄⁰ (phản K⁰),³ hạt Λ⁰ và các hạt Σ (+, 0, −) có số lạ −1. Cũng có một hạt có số lạ −2 — hạt Ξ (chữ “ksi” viết hoa) — và có lẽ các hạt khác chưa được biết. Chúng ta đã lập một danh sách các số lạ này trong Bảng 11–4.

Chú ý: π⁻ là phản hạt của π⁺ (hoặc ngược lại).

Hãy xem sự bảo toàn số lạ hoạt động như thế nào trong một số phản ứng chúng ta đã viết ra. Nếu chúng ta bắt đầu với một K⁻ và một proton, chúng ta có tổng số lạ là (−1 + 0) = −1. Sự bảo toàn số lạ nói rằng số lạ của các sản phẩm sau phản ứng cũng phải cộng lại thành −1. Bạn thấy điều đó đúng đối với các phản ứng của (11.38) và (11.40). Nhưng trong các phản ứng của (11.42), số lạ của vế phải bằng không trong mỗi trường hợp. Các phản ứng như vậy không bảo toàn số lạ, và không xảy ra. Tại sao? Không ai biết. Không ai biết gì hơn những gì chúng ta vừa nói cho bạn về điều này. Tự nhiên chỉ hoạt động như vậy.

Bây giờ hãy xét phản ứng sau đây: một π⁻ đập vào một proton. Chẳng hạn, bạn có thể thu được một hạt Λ⁰ cộng một hạt K trung hòa — hai hạt trung hòa. Bây giờ bạn thu được K trung hòa nào? Vì hạt Λ có số lạ −1 và π và p⁺ có số lạ bằng không, và vì đây là một phản ứng sản xuất nhanh, số lạ không được thay đổi. Hạt K phải có số lạ +1 — do đó nó phải là K⁰. Phản ứng là π⁻ + p → Λ⁰ + K⁰, với S = 0 + 0 = −1 + +1 (được bảo toàn). Nếu K̄⁰ ở đó thay vì K⁰, số lạ ở vế phải sẽ là −2 — điều tự nhiên không cho phép, vì số lạ ở vế trái bằng không. Mặt khác, một K̄⁰ có thể được tạo ra trong các phản ứng khác, như n + p → n + n + K̄⁰ + K⁺, S = 0 + 0 = 0 + 0 + −1 + +1 hoặc K⁻ + p → n + K̄⁰, S = −1 + 0 = 0 + −1.

Bạn có thể đang nghĩ: “Tất cả những thứ đó thì nhiều thật, vì làm thế nào bạn biết đó là một K̄⁰ hay một K⁰? Chúng trông đúng y như nhau. Chúng là phản hạt của nhau, nên chúng có đúng cùng khối lượng, và cả hai đều có điện tích bằng không. Bạn phân biệt chúng như thế nào?” Bằng các phản ứng chúng tạo ra. Chẳng hạn, một K̄⁰ có thể tương tác với vật chất để tạo ra một hạt Λ, như thế này: K̄⁰ + p → Λ⁰ + π⁺, nhưng một K⁰ thì không thể. Không có cách nào một K⁰ có thể tạo ra một hạt Λ khi nó tương tác với vật chất thông thường (proton và neutron).⁴ Vậy sự phân biệt thực nghiệm giữa K⁰ và K̄⁰ sẽ là một trong hai hạt sẽ và một hạt sẽ không tạo ra các Λ.

Khi đó, một trong các dự đoán của lý thuyết số lạ là thế này — nếu, trong một thí nghiệm với các pion năng lượng cao, một hạt Λ được tạo ra cùng với một meson K trung hòa, thì meson K trung hòa đó đi vào các mảnh vật chất khác sẽ không bao giờ tạo ra một Λ. Thí nghiệm có thể diễn ra như thế này. Bạn gửi một chùm meson π⁻ vào một buồng bọt hydro lớn. Một vết π⁻ biến mất, nhưng ở một nơi khác một cặp vết xuất hiện (một proton và một π⁻) chỉ ra rằng một hạt Λ đã phân rã⁵ — xem Hình 11–5. Khi đó bạn biết rằng có một K⁰ ở đâu đó mà bạn không thể nhìn thấy.

Tuy nhiên, bạn có thể tìm ra nó đang đi đâu bằng cách dùng sự bảo toàn động lượng và năng lượng. [Nó có thể tự lộ ra sau này bằng cách phân rã thành hai hạt tích điện, như được chỉ ra trong Hình 11–5(a).] Khi K⁰ bay dọc theo, nó có thể tương tác với một trong các hạt nhân hydro (proton), tạo ra có lẽ một số hạt khác. Dự đoán của lý thuyết số lạ là nó sẽ không bao giờ tạo ra một hạt Λ trong một phản ứng đơn giản như, chẳng hạn, K⁰ + p → Λ⁰ + π⁺, mặc dù một K̄⁰ có thể làm đúng điều đó. Tức là, trong một buồng bọt, một K̄⁰ có thể tạo ra sự kiện được phác họa trong Hình 11–5(b) — trong đó Λ⁰ được nhìn thấy vì nó phân rã — nhưng một K⁰ thì sẽ không. Đó là phần đầu tiên của câu chuyện của chúng ta. Đó là sự bảo toàn số lạ.

Tuy nhiên, sự bảo toàn số lạ không hoàn hảo. Có các phân rã rất chậm của các hạt lạ — các phân rã mất một thời gian dài⁶ như 10⁻¹⁰ giây, trong đó số lạ không được bảo toàn. Chúng được gọi là các phân rã “yếu”. Chẳng hạn, K⁰ phân rã thành một cặp meson π (+ và −) với một thời gian sống 10⁻¹⁰ giây. Đó là, thực ra, cách các hạt K lần đầu tiên được nhìn thấy. Hãy để ý rằng phản ứng phân rã K⁰ → π⁺ + π⁻ không bảo toàn số lạ, nên nó không thể đi “nhanh” bằng tương tác mạnh; nó chỉ có thể đi qua quá trình phân rã yếu.

Bây giờ K̄⁰ cũng phân rã theo cùng một cách — thành một π⁺ và một π⁻ — và cũng với cùng thời gian sống K̄⁰ → π⁻ + π⁺. Lại nữa chúng ta có một phân rã yếu vì nó không bảo toàn số lạ. Có một nguyên lý là đối với bất kỳ phản ứng nào cũng có phản ứng tương ứng với “vật chất” được thay bằng “phản vật chất” và ngược lại. Vì K̄⁰ là phản hạt của K⁰, nó phải phân rã thành các phản hạt của π⁺ và π⁻, nhưng phản hạt của một π⁺ là π⁻. (Hoặc, nếu bạn thích, ngược lại. Hóa ra đối với các meson π thì không quan trọng bạn gọi cái nào là “vật chất”.) Vậy như một hệ quả của các phân rã yếu, K⁰ và K̄⁰ có thể đi tới cùng các sản phẩm cuối cùng. Khi được “nhìn thấy” qua các phân rã của chúng — như trong một buồng bọt — chúng trông giống như cùng một hạt. Chỉ các tương tác mạnh của chúng là khác nhau.

Cuối cùng chúng ta đã sẵn sàng mô tả công trình của Gell-Mann và Pais. Trước tiên họ để ý rằng vì cả K⁰ và K̄⁰ đều có thể biến thành các trạng thái của hai meson π, nên phải có một biên độ nào đó để một K⁰ có thể biến thành một K̄⁰, và cũng để một K̄⁰ có thể biến thành một K⁰. Viết các phản ứng như người ta làm trong hóa học, chúng ta sẽ có

K⁰ ⇌ π⁻ + π⁺ ⇌ K̄⁰.   (11.43)

Các phản ứng này ngụ ý rằng có một biên độ trên đơn vị thời gian nào đó, chẳng hạn −i/ℏ lần ⟨K̄⁰|W|K⁰⟩, để một K⁰ sẽ biến thành một K̄⁰ thông qua tương tác yếu chịu trách nhiệm cho phân rã thành hai meson π. Và có biên độ tương ứng ⟨K⁰|W|K̄⁰⟩ cho quá trình ngược. Vì vật chất và phản vật chất hành xử đúng như nhau, hai biên độ này bằng nhau về số; chúng ta sẽ gọi cả hai là A:

⟨K̄⁰|W|K⁰⟩ = ⟨K⁰|W|K̄⁰⟩ = A.   (11.44)

Bây giờ — Gell-Mann và Pais nói — đây là một tình huống thú vị. Những gì người ta vẫn gọi là hai trạng thái khác nhau của thế giới — K⁰ và K̄⁰ — thực ra nên được xem như một hệ hai trạng thái, vì có một biên độ để đi từ trạng thái này sang trạng thái kia. Để xử lý đầy đủ, dĩ nhiên người ta sẽ phải xử lý nhiều hơn hai trạng thái, vì cũng có các trạng thái của 2π, v.v.; nhưng vì họ chủ yếu quan tâm đến quan hệ của K⁰ và K̄⁰, họ không phải làm phức tạp mọi thứ và có thể thực hiện phép gần đúng của một hệ hai trạng thái. Các trạng thái khác được tính đến tới mức các ảnh hưởng của chúng xuất hiện ngầm trong các biên độ của phương trình (11.44).

Theo đó, Gell-Mann và Pais đã phân tích hạt trung hòa như một hệ hai trạng thái. Họ bắt đầu bằng cách chọn làm hai trạng thái cơ sở các trạng thái |K⁰⟩ và |K̄⁰⟩. (Từ đây trở đi, câu chuyện diễn ra rất giống như nó đã diễn ra đối với phân tử amoniac.) Khi đó bất kỳ trạng thái |ψ⟩ nào của hạt K trung hòa cũng có thể được mô tả bằng cách cho các biên độ để nó ở trong một trong hai trạng thái cơ sở. Chúng ta sẽ gọi các biên độ này là

C₊ = ⟨K⁰|ψ⟩,   C₋ = ⟨K̄⁰|ψ⟩.   (11.45)

Bước tiếp theo là viết các phương trình Hamiltonian cho hệ hai trạng thái này. Nếu không có liên kết giữa K⁰ và K̄⁰, các phương trình sẽ đơn giản là

iℏ dC₊/dt = E₀C₊,
iℏ dC₋/dt = E₀C₋.   (11.46)

Nhưng vì có biên độ ⟨K⁰|W|K̄⁰⟩ để K̄⁰ biến thành một K⁰, nên phải có số hạng bổ sung ⟨K⁰|W|K̄⁰⟩C₋ = AC₋ được cộng vào vế phải của phương trình đầu tiên. Và tương tự, số hạng AC₊ phải được chèn vào phương trình cho tốc độ thay đổi của C₋.

Nhưng đó chưa phải là tất cả. Khi hiệu ứng hai pion được tính đến, có một biên độ bổ sung để K⁰ biến thành chính nó thông qua quá trình K⁰ → π⁻ + π⁺ → K⁰. Biên độ bổ sung, mà chúng ta sẽ viết ⟨K⁰|W|K⁰⟩, đúng bằng biên độ ⟨K̄⁰|W|K⁰⟩, vì các biên độ đi tới và đi từ một cặp meson π là giống hệt nhau đối với K⁰ và K̄⁰. Nếu bạn muốn, lập luận có thể được viết ra chi tiết như thế này. Trước tiên hãy viết⁷ ⟨K̄⁰|W|K⁰⟩ = ⟨K̄⁰|W|2π⟩⟨2π|W|K⁰⟩ và ⟨K⁰|W|K⁰⟩ = ⟨K⁰|W|2π⟩⟨2π|W|K⁰⟩. Vì tính đối xứng của vật chất và phản vật chất ⟨2π|W|K⁰⟩ = ⟨2π|W|K̄⁰⟩, và cũng ⟨K⁰|W|2π⟩ = ⟨K̄⁰|W|2π⟩. Khi đó suy ra ⟨K⁰|W|K⁰⟩ = ⟨K̄⁰|W|K⁰⟩, và cũng ⟨K̄⁰|W|K⁰⟩ = ⟨K⁰|W|K̄⁰⟩, như chúng ta đã nói trước đó. Dù sao đi nữa, có hai biên độ bổ sung ⟨K⁰|W|K⁰⟩ và ⟨K̄⁰|W|K̄⁰⟩, cả hai đều bằng A, vốn phải được bao gồm trong các phương trình Hamiltonian. Biên độ đầu tiên cho một số hạng AC₊ ở vế phải của phương trình cho dC₊/dt, và biên độ thứ hai cho một số hạng mới AC₋ trong phương trình cho dC₋/dt. Lập luận theo cách này, Gell-Mann và Pais kết luận rằng các phương trình Hamiltonian cho hệ K⁰, K̄⁰ phải là

iℏ dC₊/dt = E₀C₊ + AC₋ + AC₊,
iℏ dC₋/dt = E₀C₋ + AC₊ + AC₋.   (11.47)

Bây giờ chúng ta phải sửa lại một điều chúng ta đã nói trong các chương trước: rằng hai biên độ như ⟨K⁰|W|K̄⁰⟩ và ⟨K̄⁰|W|K⁰⟩, vốn là nghịch đảo của nhau, luôn là các liên hợp phức. Điều đó đúng khi chúng ta nói về các hạt không phân rã. Nhưng nếu các hạt có thể phân rã — và do đó, có thể bị “mất” — hai biên độ không nhất thiết là các liên hợp phức. Vậy đẳng thức của (11.44) không có nghĩa là các biên độ là các số thực; chúng thực ra là các số phức. Do đó, hệ số A là phức; và chúng ta không thể chỉ đơn giản gộp nó vào năng lượng E₀.

Đã chơi thường xuyên với các spin electron và những thứ như vậy, các anh hùng của chúng ta biết rằng các phương trình Hamiltonian của (11.47) có nghĩa là có một cặp trạng thái cơ sở khác cũng có thể được dùng để biểu diễn hệ hạt K và sẽ có các hành vi đặc biệt đơn giản. Họ nói: “Hãy lấy tổng và hiệu của hai phương trình này. Ngoài ra, hãy đo mọi năng lượng của chúng ta từ E₀, và dùng các đơn vị cho năng lượng và thời gian làm cho ℏ = 1.” (Đó là điều các nhà vật lý lý thuyết hiện đại luôn làm. Nó không làm thay đổi vật lý nhưng làm cho các phương trình có dạng đơn giản.) Kết quả của họ:

i(d/dt)(C₊ + C₋) = 2A(C₊ + C₋),   i(d/dt)(C₊ − C₋) = 0.   (11.48)

Rõ ràng là các tổ hợp biên độ (C₊ + C₋) và (C₊ − C₋) hoạt động độc lập với nhau (tương ứng, dĩ nhiên, với các trạng thái dừng chúng ta đã nghiên cứu trước đây). Vậy họ kết luận rằng sẽ thuận tiện hơn khi dùng một biểu diễn khác cho hạt K. Họ định nghĩa hai trạng thái

|K₁⟩ = (1/√2)(|K⁰⟩ + |K̄⁰⟩),   |K₂⟩ = (1/√2)(|K⁰⟩ − |K̄⁰⟩).   (11.49)

Họ nói rằng thay vì nghĩ về các meson K⁰ và K̄⁰, chúng ta cũng có thể nghĩ theo hai “hạt” (tức là, “trạng thái”) K₁ và K₂. (Dĩ nhiên, chúng tương ứng với các trạng thái chúng ta thường gọi là |I⟩ và |II⟩. Chúng ta không dùng ký hiệu cũ của chúng ta vì bây giờ chúng ta muốn theo ký hiệu của các tác giả gốc — và ký hiệu bạn sẽ thấy trong các hội thảo vật lý.)

Bây giờ Gell-Mann và Pais không làm tất cả điều này chỉ để thu được các tên khác nhau cho các hạt — cũng có một vật lý mới lạ ở trong đó. Giả sử C₁ và C₂ là các biên độ để một trạng thái |ψ⟩ nào đó sẽ là một meson K₁ hoặc một meson K₂: C₁ = ⟨K₁|ψ⟩, C₂ = ⟨K₂|ψ⟩. Từ các phương trình của (11.49),

C₁ = (1/√2)(C₊ + C₋),   C₂ = (1/√2)(C₊ − C₋).   (11.50)

Khi đó các phương trình (11.48) trở thành

i dC₁/dt = 2AC₁,   i dC₂/dt = 0.   (11.51)

Các nghiệm là

C₁(t) = C₁(0)e^−i2At,   C₂(t) = C₂(0),   (11.52)

trong đó, dĩ nhiên, C₁(0) và C₂(0) là các biên độ tại t = 0.

Các phương trình này nói rằng nếu một hạt K trung hòa bắt đầu ở trong trạng thái |K₁⟩ tại t = 0 [khi đó C₁(0) = 1 và C₂(0) = 0], các biên độ tại thời gian t là C₁(t) = e^−i2At, C₂(t) = 0.

Nhớ rằng A là một số phức, thuận tiện khi lấy 2A = α − iβ. (Vì phần ảo của 2A hóa ra là âm, chúng ta viết nó là trừ iβ.) Với phép thay thế này, C₁(t) đọc là

C₁(t) = C₁(0)e^−βte^−iαt.   (11.53)

Xác suất tìm thấy một hạt K₁ tại t là bình phương tuyệt đối của biên độ này, vốn là e^−2βt. Và, từ các phương trình (11.52), xác suất tìm thấy trạng thái K₂ tại bất kỳ thời gian nào là bằng không. Điều đó có nghĩa là nếu bạn tạo ra một hạt K trong trạng thái |K₁⟩, xác suất tìm thấy nó trong cùng trạng thái giảm theo hàm mũ theo thời gian — nhưng bạn sẽ không bao giờ tìm thấy nó trong trạng thái |K₂⟩. Nó đi đâu? Nó phân rã thành hai meson π với thời gian sống trung bình τ = 1/2β vốn, theo thực nghiệm, là 10⁻¹⁰ giây. Chúng ta đã chuẩn bị cho điều đó khi chúng ta nói rằng A là phức.

Mặt khác, phương trình (11.52) nói rằng nếu chúng ta tạo ra một hạt K hoàn toàn trong trạng thái K₂, nó sẽ giữ nguyên như vậy mãi mãi. Vâng, điều đó không hoàn toàn đúng. Theo thực nghiệm, người ta quan sát thấy nó phân rã thành ba meson π, nhưng chậm hơn 600 lần so với phân rã hai pion chúng ta đã mô tả. Vậy có một số số hạng nhỏ khác chúng ta đã bỏ qua trong phép gần đúng của chúng ta. Nhưng chừng nào chúng ta chỉ xét phân rã hai pion, K₂ tồn tại “mãi mãi”.

Bây giờ để kết thúc câu chuyện của Gell-Mann và Pais. Họ tiếp tục xét điều gì xảy ra khi một hạt K được tạo ra cùng với một hạt Λ⁰ trong một tương tác mạnh. Vì khi đó nó phải có số lạ +1, nó phải được tạo ra trong trạng thái K⁰. Vậy tại t = 0 nó không phải là một K₁ cũng không phải là một K₂ mà là một hỗn hợp. Các điều kiện ban đầu là C₊(0) = 1, C₋(0) = 0. Nhưng điều đó có nghĩa là — từ phương trình (11.50) — rằng C₁(0) = 1/√2, C₂(0) = 1/√2, và — từ các phương trình (11.52) và (11.53) — rằng

C₁(t) = (1/√2)e^−βte^−iαt,   C₂(t) = 1/√2.   (11.54)

Bây giờ hãy nhớ rằng K⁰ và K̄⁰ mỗi cái là các tổ hợp tuyến tính của K₁ và K₂. Trong các phương trình (11.54), các biên độ đã được chọn sao cho tại t = 0 các phần K̄⁰ triệt tiêu lẫn nhau bởi giao thoa, chỉ để lại một trạng thái K⁰. Nhưng trạng thái |K₁⟩ thay đổi theo thời gian, và trạng thái |K₂⟩ thì không. Sau t = 0, sự giao thoa của C₁ và C₂ sẽ cho các biên độ hữu hạn cho cả K⁰ và K̄⁰.

Tất cả điều này có nghĩa là gì? Hãy quay lại và nghĩ về thí nghiệm chúng ta đã phác họa trong Hình 11–5. Một meson π⁻ đã tạo ra một hạt Λ⁰ và một meson K⁰ đang chạy dọc qua hydro trong buồng. Khi nó đi dọc theo, có một cơ hội nhỏ nhưng đều đặn nào đó để nó va chạm với một hạt nhân hydro. Thoạt đầu, chúng ta nghĩ rằng sự bảo toàn số lạ sẽ ngăn hạt K tạo ra một Λ⁰ trong một tương tác như vậy. Tuy nhiên, bây giờ chúng ta thấy rằng điều đó không đúng. Vì mặc dù hạt K của chúng ta bắt đầu là một K⁰ — vốn không thể tạo ra một Λ⁰ — nó không giữ nguyên như vậy. Sau một lúc, có một biên độ nào đó để nó đã lật sang trạng thái K̄⁰. Do đó, đôi khi chúng ta có thể kỳ vọng thấy một Λ⁰ được tạo ra dọc theo vết của hạt K. Cơ hội để điều này xảy ra được cho bởi biên độ C₋, mà chúng ta có thể [bằng cách dùng phương trình (11.50) ngược lại] liên hệ với C₁ và C₂. Quan hệ là

C₋ = (1/√2)(C₁ − C₂) = ½(e^−βte^−iαt − 1).   (11.55)

Khi hạt K của chúng ta đi dọc theo, xác suất để nó sẽ “hành xử như” một K̄⁰ bằng |C₋|², vốn là

|C₋|² = ¼(1 + e^−2βt − 2e^−βt cos αt).   (11.56)

Một kết quả phức tạp và lạ lùng!

Khi đó, đây là dự đoán đáng chú ý của Gell-Mann và Pais: khi một K⁰ được tạo ra, cơ hội để nó biến thành một K̄⁰ — như nó có thể chứng minh bằng cách có thể tạo ra một Λ⁰ — biến thiên theo thời gian theo phương trình (11.56). Dự đoán này đến từ việc chỉ dùng logic thuần túy và các nguyên lý cơ bản của cơ học lượng tử — mà không có bất kỳ kiến thức nào về hoạt động bên trong của hạt K. Vì không ai biết gì về bộ máy bên trong, đó là mức xa nhất Gell-Mann và Pais có thể đi. Họ không thể cho bất kỳ giá trị lý thuyết nào cho α và β. Và không ai có thể làm được như vậy cho tới ngày nay. Họ có thể cho một giá trị của β thu được từ tốc độ phân rã quan sát thực nghiệm thành hai π (2β = 10¹⁰ giây⁻¹), nhưng họ không thể nói gì về α.

Chúng ta đã vẽ hàm của phương trình (11.56) cho hai giá trị của α trong Hình 11–6. Bạn có thể thấy rằng dạng phụ thuộc rất nhiều vào tỉ số của α so với β. Lúc đầu không có xác suất K̄⁰; sau đó nó tăng lên. Nếu α lớn, xác suất sẽ có các dao động lớn. Nếu α nhỏ, sẽ có ít hoặc không có dao động — xác suất sẽ chỉ tăng trơn tru tới 1/4.

Bây giờ, thông thường, hạt K sẽ di chuyển với một tốc độ không đổi gần tốc độ ánh sáng. Các đường cong của Hình 11–6 khi đó cũng biểu diễn xác suất dọc theo vết của việc quan sát một K̄⁰ — với các khoảng cách điển hình vài centimet. Bạn có thể thấy vì sao dự đoán này lại kỳ lạ một cách đáng chú ý như vậy. Bạn tạo ra một hạt duy nhất và thay vì chỉ phân rã, nó làm một điều khác. Đôi khi nó phân rã, và những lúc khác nó biến thành một loại hạt khác. Xác suất đặc trưng của nó để tạo ra một hiệu ứng biến thiên theo một cách lạ lùng khi nó đi dọc theo. Không có gì khác giống như vậy trong tự nhiên. Và dự đoán đáng chú ý nhất này được đưa ra chỉ bởi các lập luận về sự giao thoa của các biên độ.

Nếu có bất kỳ nơi nào chúng ta có cơ hội kiểm tra các nguyên lý chính của cơ học lượng tử theo cách thuần khiết nhất — sự chồng chất của các biên độ có hoạt động hay không? — thì đó là nơi này. Mặc dù sự kiện là hiệu ứng này đã được dự đoán bây giờ vài năm rồi, không có một xác định thực nghiệm nào là rất rõ ràng. Có một số kết quả thô chỉ ra rằng α không bằng không, và rằng hiệu ứng thực sự xảy ra — chúng chỉ ra rằng α nằm giữa 2β và 4β. Đó là tất cả những gì có, về mặt thực nghiệm. Sẽ rất đẹp nếu kiểm tra đường cong một cách chính xác để xem nguyên lý chồng chất có thực sự vẫn hoạt động trong một thế giới bí ẩn như thế giới của các hạt lạ hay không — với các lý do chưa biết cho các phân rã, và các lý do chưa biết cho số lạ.

Phân tích chúng ta vừa mô tả rất đặc trưng cho cách cơ học lượng tử đang được dùng ngày nay trong việc tìm kiếm một sự hiểu biết về các hạt lạ. Mọi lý thuyết phức tạp mà bạn có thể nghe nói về không hơn không kém chính là loại hocus-pocus sơ cấp này dùng các nguyên lý chồng chất và các nguyên lý cơ học lượng tử khác ở mức đó. Một số người tuyên bố rằng họ có các lý thuyết mà nhờ đó có thể tính β và α, hoặc ít nhất là α cho trước β, nhưng các lý thuyết này hoàn toàn vô dụng. Chẳng hạn, lý thuyết dự đoán giá trị của α, cho trước β, nói cho chúng ta rằng giá trị của α phải là vô hạn. Tập hợp các phương trình mà họ bắt đầu liên quan đến hai meson π và sau đó đi từ hai π quay lại một K⁰, v.v. Khi mọi thứ được tính ra, nó quả thực tạo ra một cặp phương trình như các phương trình chúng ta có ở đây; nhưng vì có vô số trạng thái của hai π, tùy thuộc vào động lượng của chúng, việc tích phân trên mọi khả năng cho ra một α vô hạn. Nhưng α của tự nhiên không phải là vô hạn. Vậy các lý thuyết động lực học là sai. Thật đáng chú ý là các hiện tượng có thể được dự đoán chút nào trong thế giới của các hạt lạ đến từ các nguyên lý của cơ học lượng tử ở mức mà bạn đang học chúng bây giờ.

11–6  Tổng quát hóa cho các hệ N trạng thái

Chúng ta đã xong với mọi hệ hai trạng thái chúng ta muốn nói tới. Trong các chương sau, chúng ta sẽ tiếp tục nghiên cứu các hệ có nhiều trạng thái hơn. Sự mở rộng cho các hệ N trạng thái của các ý tưởng chúng ta đã tính ra cho hai trạng thái khá trực tiếp. Nó diễn ra như thế này.

Nếu một hệ có N trạng thái phân biệt, chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ trạng thái |ψ(t)⟩ nào dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của bất kỳ tập hợp trạng thái cơ sở |i⟩ nào, trong đó i = 1, 2, 3, …, N;

|ψ(t)⟩ = ∑_{mọi i} |i⟩C_i(t).   (11.57)

Các hệ số C_i(t) là các biên độ ⟨i|ψ(t)⟩. Hành vi của các biên độ C_i theo thời gian được chi phối bởi các phương trình

iℏ dC_i(t)/dt = ∑_j H_ijC_j,   (11.58)

trong đó ma trận năng lượng H_ij mô tả vật lý của bài toán. Nó trông giống như đối với hai trạng thái. Chỉ khác là bây giờ, cả i và j đều phải chạy trên mọi N trạng thái cơ sở, và ma trận năng lượng H_ij — hoặc, nếu bạn thích, Hamiltonian — là một ma trận N-nhân-N với N² số. Như trước, H_ij* = H_ji — chừng nào các hạt được bảo toàn — và các phần tử đường chéo H_ii là các số thực.

Chúng ta đã tìm được một nghiệm tổng quát cho các C của một hệ hai trạng thái khi ma trận năng lượng là hằng số (không phụ thuộc vào t). Cũng không khó để giải phương trình (11.58) cho một hệ N trạng thái khi H không phụ thuộc vào thời gian. Lại nữa, chúng ta bắt đầu bằng cách tìm một nghiệm khả dĩ trong đó các biên độ đều có cùng sự phụ thuộc vào thời gian. Chúng ta thử

C_i = a_ie^−(i/ℏ)Et.   (11.59)

Khi các C_i này được thay vào (11.58), các đạo hàm dC_i(t)/dt trở thành đúng (−i/ℏ)EC_i. Khử thừa số mũ chung khỏi mọi số hạng, chúng ta được

Ea_i = ∑_j H_ija_j.   (11.60)

Đây là một tập hợp N phương trình đại số tuyến tính cho N ẩn số a₁, a₂, …, a_N, và có một nghiệm chỉ nếu bạn may mắn — chỉ nếu định thức của các hệ số của mọi a bằng không. Nhưng không cần phải tinh vi như vậy; bạn có thể chỉ bắt đầu giải các phương trình theo bất kỳ cách nào bạn muốn, và bạn sẽ thấy rằng chúng chỉ có thể được giải đối với một số giá trị nào đó của E. (Hãy nhớ rằng E là thứ có thể điều chỉnh duy nhất chúng ta có trong các phương trình.)

Tuy nhiên, nếu bạn muốn hình thức, bạn có thể viết phương trình (11.60) là

∑_j (H_ij − δ_ijE)a_j = 0.   (11.61)

Khi đó bạn có thể dùng quy tắc — nếu bạn biết nó — rằng các phương trình này sẽ có một nghiệm chỉ đối với các giá trị của E mà đối với chúng

Det(H_ij − δ_ijE) = 0.   (11.62)

Mỗi số hạng của định thức chỉ là H_ij, ngoại trừ việc E bị trừ khỏi mọi phần tử đường chéo. Tức là, (11.62) có nghĩa đúng là

Det ⎡H₁₁ − E  H₁₂  H₁₃  …⎤
⎢H₂₁  H₂₂ − E  H₂₃  …⎥
⎢H₃₁  H₃₂  H₃₃ − E  …⎥
⎣…  …  …  …⎦ = 0.   (11.63)

Dĩ nhiên, đây chỉ là một cách đặc biệt để viết một phương trình đại số cho E vốn là tổng của một đám tích của mọi số hạng lấy theo một cách nào đó. Các tích này sẽ cho mọi lũy thừa của E lên tới E^N.

Vậy chúng ta có một đa thức bậc N bằng không, và có, nói chung, N nghiệm. (Tuy nhiên, chúng ta phải nhớ rằng một số nghiệm trong đó có thể là nghiệm bội — có nghĩa là hai hay nhiều nghiệm bằng nhau.) Hãy gọi N nghiệm là

E_I, E_II, E_III, …, E_n, …, E_N.   (11.64)

(Chúng ta sẽ dùng n để biểu diễn số La Mã thứ n, để n nhận các giá trị I, II, …, N.) Có thể một số năng lượng này bằng nhau — chẳng hạn E_II = E_III — nhưng chúng ta vẫn sẽ chọn gọi chúng bằng các tên khác nhau.

Các phương trình (11.60) — hoặc (11.61) — có một nghiệm cho mỗi giá trị của E. Nếu bạn đặt bất kỳ một E nào — chẳng hạn E_n — vào (11.60) và giải cho các a_i, bạn được một tập hợp thuộc về năng lượng E_n. Chúng ta sẽ gọi tập hợp này là a_i(n).

Dùng các a_i(n) này trong phương trình (11.59), chúng ta có các biên độ C_i(n) để các trạng thái năng lượng xác định ở trong trạng thái cơ sở |i⟩. Đặt |n⟩ ký hiệu vectơ trạng thái của trạng thái năng lượng xác định tại t = 0, chúng ta có thể viết C_i(n) = ⟨i|n⟩e^{−(i/ℏ)E_nt}, với

⟨i|n⟩ = a_i(n).   (11.65)

Khi đó trạng thái năng lượng xác định đầy đủ |ψ_n(t)⟩ có thể được viết là |ψ_n(t)⟩ = ∑_i |i⟩a_i(n)e^{−(i/ℏ)E_nt}, hoặc

|ψ_n(t)⟩ = |n⟩e^{−(i/ℏ)E_nt}.   (11.66)

Các vectơ trạng thái |n⟩ mô tả cấu hình của các trạng thái năng lượng xác định, nhưng có sự phụ thuộc vào thời gian đã được tách ra. Khi đó chúng là các vectơ hằng số có thể được dùng làm một tập hợp cơ sở mới nếu chúng ta muốn.

Mỗi trạng thái |n⟩ có tính chất — như bạn có thể dễ dàng chỉ ra — rằng khi được tác dụng bởi toán tử Hamiltonian Ĥ nó cho đúng E_n lần cùng trạng thái đó:

Ĥ|n⟩ = E_n|n⟩.   (11.67)

Khi đó, năng lượng E_n là một số vốn là một đặc trưng của toán tử Hamiltonian Ĥ. Như chúng ta đã thấy, một Hamiltonian, nói chung, sẽ có vài năng lượng đặc trưng. Trong thế giới của nhà toán học, chúng sẽ được gọi là các “giá trị đặc trưng” của ma trận H_ij. Các nhà vật lý thường gọi chúng là các “eigenvalue” của Ĥ. (“Eigen” là từ tiếng Đức cho “đặc trưng” hoặc “riêng”.) Với mỗi eigenvalue của Ĥ — nói cách khác, đối với mỗi năng lượng — có trạng thái năng lượng xác định, mà chúng ta đã gọi là “trạng thái dừng”. Các nhà vật lý thường gọi các trạng thái |n⟩ là “các eigenstate của Ĥ”. Mỗi eigenstate tương ứng với một eigenvalue E_n cụ thể.

Bây giờ, nói chung, các trạng thái |n⟩ — có N trạng thái — cũng có thể được dùng làm một tập hợp cơ sở. Để điều này đúng, mọi trạng thái phải trực giao, có nghĩa là đối với bất kỳ hai trạng thái nào trong chúng, chẳng hạn |n⟩ và |m⟩,

⟨n|m⟩ = 0.   (11.68)

Điều này sẽ tự động đúng nếu mọi năng lượng đều khác nhau. Ngoài ra, chúng ta có thể nhân mọi a_i(n) với một thừa số thích hợp để mọi trạng thái đều được chuẩn hóa — bởi điều đó chúng ta có ý nói rằng

⟨n|n⟩ = 1   (11.69)

đối với mọi n.

Khi xảy ra trường hợp phương trình (11.63) tình cờ có hai (hay nhiều) nghiệm với cùng năng lượng, có một số phức tạp nhỏ. Trước tiên, vẫn có hai tập hợp a_i khác nhau đi với hai năng lượng bằng nhau, nhưng các trạng thái chúng cho có thể không trực giao. Giả sử bạn đi qua quy trình thông thường và tìm được hai trạng thái dừng với các năng lượng bằng nhau — hãy gọi chúng là |μ⟩ và |ν⟩. Khi đó sẽ không nhất thiết chúng trực giao — nếu bạn không may, ⟨μ|ν⟩ ≠ 0. Tuy nhiên, luôn đúng là bạn có thể nấu ra hai trạng thái mới, mà chúng ta sẽ gọi là |μ′⟩ và |ν′⟩, vốn có cùng các năng lượng và cũng trực giao, để

⟨μ′|ν′⟩ = 0.   (11.70)

Bạn có thể làm điều này bằng cách làm cho |μ′⟩ và |ν′⟩ thành một tổ hợp tuyến tính thích hợp của |μ⟩ và |ν⟩, với các hệ số được chọn để nó cho ra sao cho phương trình (11.70) đúng. Luôn thuận tiện khi làm điều này. Chúng ta sẽ thường giả thiết rằng điều này đã được thực hiện để chúng ta luôn có thể giả thiết rằng các trạng thái năng lượng riêng của chúng ta |n⟩ đều trực giao.

Để cho vui, chúng ta muốn chứng minh rằng khi hai trạng thái dừng có các năng lượng khác nhau, chúng quả thực trực giao. Đối với trạng thái |n⟩ với năng lượng E_n, chúng ta có rằng

Ĥ|n⟩ = E_n|n⟩.   (11.71)

Phương trình toán tử này thực ra có nghĩa là có một phương trình giữa các số. Điền vào các phần còn thiếu, nó có nghĩa giống như

∑_j ⟨i|Ĥ|j⟩⟨j|n⟩ = E_n⟨i|n⟩.   (11.72)

Nếu chúng ta lấy liên hợp phức của phương trình này, chúng ta được

∑_j ⟨i|Ĥ|j⟩*⟨j|n⟩* = E_n*⟨i|n⟩*.   (11.73)

Bây giờ hãy nhớ rằng liên hợp phức của một biên độ là biên độ ngược, vậy (11.73) có thể được viết lại là

∑_j ⟨n|j⟩⟨j|Ĥ|i⟩ = E_n*⟨n|i⟩.   (11.74)

Vì phương trình này hợp lệ đối với bất kỳ i nào, “dạng ngắn” của nó là

⟨n|Ĥ = E_n*⟨n|,   (11.75)

vốn được gọi là liên hợp (adjoint) của phương trình (11.71).

Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng chứng minh rằng E_n là một số thực. Chúng ta nhân phương trình (11.71) với ⟨n| để được

⟨n|Ĥ|n⟩ = E_n,   (11.76)

vì ⟨n|n⟩ = 1. Khi đó chúng ta nhân phương trình (11.75) ở phía phải với |n⟩ để được

⟨n|Ĥ|n⟩ = E_n*.   (11.77)

So sánh (11.76) với (11.77) rõ ràng là

E_n = E_n*,   (11.78)

điều này có nghĩa là E_n là thực. Chúng ta có thể xóa dấu sao trên E_n trong phương trình (11.75).

Cuối cùng chúng ta đã sẵn sàng chỉ ra rằng các trạng thái năng lượng khác nhau thì trực giao. Đặt |n⟩ và |m⟩ là bất kỳ hai trạng thái cơ sở năng lượng xác định nào. Dùng phương trình (11.75) cho trạng thái m, và nhân nó với |n⟩, chúng ta được rằng ⟨m|Ĥ|n⟩ = E_m⟨m|n⟩. Nhưng nếu chúng ta nhân (11.71) với ⟨m|, chúng ta được ⟨m|Ĥ|n⟩ = E_n⟨m|n⟩. Vì các vế trái của hai phương trình này bằng nhau, các vế phải cũng vậy:

E_m⟨m|n⟩ = E_n⟨m|n⟩.   (11.79)

Nếu E_m = E_n phương trình không nói cho chúng ta điều gì. Nhưng nếu năng lượng của hai trạng thái |m⟩ và |n⟩ là khác nhau (E_m ≠ E_n), phương trình (11.79) nói rằng ⟨m|n⟩ phải bằng không, như chúng ta muốn chứng minh. Hai trạng thái nhất thiết trực giao chừng nào E_n và E_m khác nhau về số.