Chương 13: Sự lan truyền trong một mạng tinh thể

13–1  Các trạng thái của một electron trong một mạng một chiều

Thoạt nhìn, bạn sẽ nghĩ rằng một electron năng lượng thấp sẽ gặp rất nhiều khó khăn khi đi qua một tinh thể rắn. Các nguyên tử được đóng gói cùng nhau với các tâm của chúng chỉ cách nhau vài angstrom, và đường kính hiệu dụng của nguyên tử đối với sự tán xạ electron là khoảng một angstrom hay cỡ đó. Nghĩa là, các nguyên tử lớn, so với khoảng cách của chúng, vì vậy bạn sẽ kỳ vọng quãng đường tự do trung bình giữa các va chạm vào cỡ vài angstrom — vốn thực tế là không có gì. Bạn sẽ kỳ vọng electron va vào nguyên tử này hay nguyên tử khác gần như ngay lập tức. Tuy nhiên, đó là một hiện tượng phổ biến của tự nhiên rằng nếu mạng là hoàn hảo, các electron có thể di chuyển qua tinh thể một cách trơn tru và dễ dàng — gần như thể chúng ở trong một chân không. Sự kiện kỳ lạ này là cái cho phép kim loại dẫn điện dễ dàng đến vậy; nó cũng đã cho phép sự phát triển của nhiều thiết bị thực tế. Nó, chẳng hạn, là cái làm cho một transistor có thể bắt chước ống vô tuyến [radio tube]. Trong một ống vô tuyến, các electron di chuyển tự do qua một chân không, trong khi trong transistor chúng di chuyển tự do qua một mạng tinh thể. Bộ máy đằng sau hành vi của một transistor sẽ được mô tả trong chương này; chương tiếp theo sẽ mô tả việc áp dụng các nguyên tắc này trong các thiết bị thực tế khác nhau.

Sự dẫn điện tử trong một tinh thể là một ví dụ của một hiện tượng rất phổ biến. Không chỉ các electron có thể di chuyển qua các tinh thể, mà các “thứ” khác như các kích thích nguyên tử cũng có thể di chuyển theo một cách tương tự. Vì vậy hiện tượng chúng ta muốn thảo luận xuất hiện theo nhiều cách trong việc nghiên cứu vật lý chất rắn.

Bạn sẽ nhớ rằng chúng ta đã thảo luận nhiều ví dụ về các hệ hai trạng thái. Bây giờ hãy nghĩ về một electron có thể ở trong một trong hai vị trí, trong mỗi vị trí nó ở trong cùng một loại môi trường. Cũng giả sử rằng có một biên độ nhất định để đi từ một vị trí này sang vị trí kia, và, dĩ nhiên, cùng một biên độ để quay lại, đúng như chúng ta đã thảo luận đối với ion phân tử hydro trong Mục 10–1. Các định luật của cơ học lượng tử khi đó cho các kết quả sau. Có hai trạng thái khả dĩ có năng lượng xác định cho electron. Mỗi trạng thái có thể được mô tả bằng biên độ để electron ở trong mỗi vị trí cơ sở trong hai vị trí. Trong một trong hai trạng thái có năng lượng xác định, các độ lớn của hai biên độ này không đổi theo thời gian, và các pha biến thiên theo thời gian với cùng một tần số. Mặt khác, nếu chúng ta bắt đầu electron ở một vị trí, sau đó nó sẽ đã di chuyển sang vị trí kia, và sau nữa nó sẽ dao động trở lại vị trí đầu tiên. Biên độ tương tự với các chuyển động của hai con lắc liên kết.

Bây giờ xét một mạng tinh thể hoàn hảo trong đó chúng ta tưởng tượng rằng một electron có thể ở trong một loại “hố” tại một nguyên tử cụ thể và với một năng lượng cụ thể nào đó. Cũng giả sử rằng electron có một biên độ nào đó để di chuyển vào một hố khác tại một trong các nguyên tử gần đó. Nó giống như hệ hai trạng thái — nhưng với một sự phức tạp bổ sung. Khi electron tới nguyên tử kề bên, sau đó nó có thể di chuyển tiếp tới một vị trí khác nữa cũng như quay lại điểm bắt đầu của nó. Bây giờ chúng ta có một tình huống tương tự không phải với hai con lắc liên kết, mà với một số vô hạn các con lắc tất cả đều liên kết với nhau. Nó giống như cái bạn thấy trong một trong những cái máy đó — được làm bằng một hàng dài các thanh gắn trên một sợi dây xoắn — vốn được dùng trong vật lý năm thứ nhất để minh họa sự lan truyền sóng.

Nếu bạn có một dao động tử điều hòa được liên kết với một dao động tử điều hòa khác, và cái đó với một cái khác, và cứ thế…, và nếu bạn bắt đầu một sự bất thường ở một nơi, sự bất thường sẽ lan truyền như một sóng dọc theo đường. Tình huống tương tự tồn tại nếu bạn đặt một electron tại một nguyên tử của một chuỗi dài các nguyên tử.

Thông thường, cách đơn giản nhất để phân tích bài toán cơ học không phải là nghĩ theo khía cạnh điều gì xảy ra nếu một xung được bắt đầu tại một nơi xác định, mà theo khía cạnh các nghiệm sóng dừng. Tồn tại các mô hình dịch chuyển nhất định vốn lan truyền qua tinh thể như một sóng có một tần số cố định, duy nhất. Bây giờ điều tương tự xảy ra với electron — và vì cùng một lý do, vì nó được mô tả trong cơ học lượng tử bằng các phương trình tương tự.

Tuy nhiên, bạn phải đánh giá cao một điều; biên độ để electron ở tại một nơi là một biên độ, không phải một xác suất. Nếu electron chỉ đơn giản rò rỉ từ một nơi sang một nơi khác, như nước đi qua một lỗ, hành vi sẽ hoàn toàn khác. Chẳng hạn, nếu chúng ta có hai bình nước nối với nhau bằng một ống để cho phép một ít rò rỉ từ cái này sang cái kia, khi đó các mực sẽ tiến tới nhau theo hàm mũ. Nhưng đối với electron, cái xảy ra là sự rò rỉ biên độ chứ không chỉ là sự rò rỉ xác suất đơn thuần. Và chính đặc trưng của số hạng ảo — cái i trong các phương trình vi phân của cơ học lượng tử — vốn thay đổi nghiệm hàm mũ thành một nghiệm dao động. Cái xảy ra khi đó khá khác với sự rò rỉ giữa các bình nối với nhau.

Bây giờ chúng ta muốn phân tích tình huống cơ học lượng tử một cách định lượng. Tưởng tượng một hệ một chiều được làm từ một hàng dài các nguyên tử như trong Hình 13–1(a). (Một tinh thể, dĩ nhiên, là ba chiều nhưng vật lý rất giống nhau; một khi bạn hiểu trường hợp một chiều, bạn sẽ có thể hiểu điều gì xảy ra trong ba chiều.) Tiếp theo, chúng ta muốn xem điều gì xảy ra nếu chúng ta đặt một electron đơn độc lên hàng nguyên tử này. Dĩ nhiên, trong một tinh thể thực đã có hàng triệu electron. Nhưng hầu hết chúng (gần như tất cả đối với một tinh thể cách điện) chiếm các vị trí trong một mô hình chuyển động nào đó mỗi cái quanh nguyên tử của riêng nó — và mọi thứ đều đứng yên. Tuy nhiên, bây giờ chúng ta muốn nghĩ về điều gì xảy ra nếu chúng ta đặt thêm một electron vào. Chúng ta sẽ không xét các electron khác đang làm gì vì chúng ta giả thiết rằng việc thay đổi chuyển động của chúng liên quan đến rất nhiều năng lượng kích thích. Chúng ta sẽ cộng thêm một electron như thể để tạo ra một ion âm liên kết nhẹ. Khi theo dõi cái electron thêm vào đó làm gì, chúng ta đang thực hiện một phép gần đúng vốn bỏ qua bộ máy của các hoạt động bên trong của các nguyên tử.

Dĩ nhiên electron khi đó có thể di chuyển tới một nguyên tử khác, chuyển ion âm tới một nơi khác. Chúng ta sẽ giả thiết rằng đúng như trong trường hợp một electron nhảy giữa hai proton, electron có thể nhảy từ một nguyên tử sang nguyên tử kề bên ở một phía với một biên độ nhất định. Bây giờ chúng ta mô tả một hệ như vậy như thế nào? Các trạng thái cơ sở hợp lý sẽ là gì? Nếu bạn nhớ điều chúng ta đã làm khi chúng ta chỉ có hai vị trí khả dĩ, bạn có thể đoán nó sẽ diễn ra như thế nào. Giả sử rằng trong hàng nguyên tử của chúng ta, các khoảng cách đều bằng nhau; và rằng chúng ta đánh số các nguyên tử theo thứ tự, như trong Hình 13–1(a). Một trong các trạng thái cơ sở là electron ở tại nguyên tử số 6, một trạng thái cơ sở khác là electron ở tại nguyên tử số 7, hay tại nguyên tử số 8, và cứ thế. Chúng ta có thể mô tả trạng thái cơ sở thứ n bằng cách nói rằng electron ở tại nguyên tử số n. Hãy nói rằng đây là trạng thái cơ sở |n⟩. Hình 13–1 chỉ điều chúng ta muốn nói bằng ba trạng thái cơ sở

|n−1⟩, |n⟩, và |n+1⟩.

Dùng các trạng thái cơ sở này, bất kỳ trạng thái |φ⟩ nào của electron trong tinh thể một chiều của chúng ta cũng có thể được mô tả bằng cách cho mọi biên độ ⟨n|φ⟩ mà trạng thái |φ⟩ ở trong một trong các trạng thái cơ sở — điều đó có nghĩa là biên độ mà nó nằm tại một nguyên tử cụ thể. Khi đó chúng ta có thể viết trạng thái |φ⟩ dưới dạng một chồng chất của các trạng thái cơ sở

|φ⟩ = Σ_n |n⟩⟨n|φ⟩.   (13.1)

Tiếp theo, chúng ta sẽ giả thiết rằng khi electron ở tại một nguyên tử, có một biên độ nhất định rằng nó sẽ rò rỉ sang nguyên tử ở một phía. Và chúng ta sẽ lấy trường hợp đơn giản nhất mà đối với nó nó chỉ có thể rò rỉ sang các nguyên tử kề gần nhất — để tới nguyên tử kề gần thứ hai, nó phải đi trong hai bước. Chúng ta sẽ lấy biên độ để electron nhảy từ một nguyên tử sang nguyên tử tiếp theo là iA/ħ (trên một đơn vị thời gian).

Trong giây lát, chúng ta muốn viết biên độ ⟨n|φ⟩ để ở trên nguyên tử thứ n là C_n. Khi đó Phương trình (13.1) sẽ được viết

|φ⟩ = Σ_n |n⟩C_n.   (13.2)

Nếu chúng ta biết mỗi biên độ C_n tại một thời điểm cho trước, chúng ta có thể lấy bình phương tuyệt đối của chúng và được xác suất mà bạn sẽ tìm thấy electron nếu bạn nhìn tại nguyên tử n tại thời gian đó.

Tình huống sẽ là gì tại một thời điểm muộn hơn? Bằng phép tương tự với các hệ hai trạng thái chúng ta đã nghiên cứu, chúng ta sẽ đề xuất rằng các phương trình Hamiltonian cho hệ này nên được tạo thành từ các phương trình như thế này:

iħ dC_n(t)/dt = E₀C_n(t) − AC_n+1(t) − AC_n−1(t).   (13.3)

Hệ số đầu tiên ở bên phải, E₀, về mặt vật lý, là năng lượng electron sẽ có nếu nó không thể rò rỉ ra khỏi một trong các nguyên tử. (Không quan trọng chúng ta gọi E₀ là gì; như chúng ta đã thấy nhiều lần, nó thực sự không biểu diễn gì ngoài lựa chọn gốc không của năng lượng của chúng ta.) Số hạng tiếp theo biểu diễn biên độ trên một đơn vị thời gian mà electron đang rò rỉ vào hố thứ n từ hố thứ (n+1); và số hạng cuối là biên độ cho sự rò rỉ từ hố thứ (n−1). Như thường lệ, chúng ta sẽ giả thiết rằng A là một hằng số (không phụ thuộc vào t).

Đối với một mô tả đầy đủ về hành vi của bất kỳ trạng thái |φ⟩ nào, chúng ta sẽ có một phương trình như (13.3) cho mỗi biên độ C_n. Vì chúng ta muốn xét một tinh thể có một số rất lớn các nguyên tử, chúng ta sẽ giả thiết rằng có một số vô định lớn các trạng thái — rằng các nguyên tử cứ tiếp tục mãi mãi theo cả hai hướng. (Để làm trường hợp hữu hạn, chúng ta sẽ phải chú ý đặc biệt tới điều gì xảy ra ở các đầu.) Nếu số N của các trạng thái cơ sở của chúng ta lớn vô định, khi đó các phương trình Hamiltonian đầy đủ của chúng ta cũng vô hạn về số lượng! Chúng ta sẽ viết ra chỉ một mẫu:

⋮
iħ dC_n−1/dt = E₀C_n−1 − AC_n−2 − AC_n,
iħ dC_n/dt = E₀C_n − AC_n−1 − AC_n+1,
iħ dC_n+1/dt = E₀C_n+1 − AC_n − AC_n+2,
⋮   (13.4)

13–2  Các trạng thái có năng lượng xác định

Chúng ta có thể nghiên cứu nhiều điều về một electron trong một mạng, nhưng trước hết hãy cố tìm các trạng thái có năng lượng xác định. Như chúng ta đã thấy trong các chương trước, điều này có nghĩa là chúng ta phải tìm một tình huống trong đó các biên độ đều thay đổi ở cùng một tần số nếu chúng thay đổi theo thời gian chút nào. Chúng ta tìm các nghiệm thuộc dạng

C_n = a_ne^−iEt/ħ.   (13.5)

Các số phức a_n cho chúng ta biết về phần không biến thiên theo thời gian của biên độ để tìm electron tại nguyên tử thứ n. Nếu chúng ta đưa nghiệm thử này vào các phương trình của (13.4) để kiểm tra chúng, chúng ta được kết quả

Ea_n = E₀a_n − Aa_n+1 − Aa_n−1.   (13.6)

Chúng ta có một số vô hạn các phương trình như vậy cho số vô hạn các ẩn a_n — điều này khá là đáng sợ.

Tất cả những gì chúng ta phải làm là lấy định thức… nhưng đợi đã! Các định thức thì tốt khi có 2, 3 hay 4 phương trình. Nhưng nếu có một số lớn — hay một số vô hạn — các phương trình, các định thức không tiện lợi lắm. Tốt hơn chúng ta cứ thử giải các phương trình một cách trực tiếp. Trước hết, hãy ghi nhãn các nguyên tử bằng vị trí của chúng; chúng ta sẽ nói rằng nguyên tử n ở tại x_n và nguyên tử (n+1) ở tại x_n+1. Nếu khoảng cách nguyên tử là b — như trong Hình 13–1 — chúng ta sẽ có x_n+1 = x_n + b. Bằng cách chọn gốc của chúng ta tại nguyên tử zero, chúng ta thậm chí có thể có x_n = nb. Chúng ta có thể viết lại Phương trình (13.5) dưới dạng

C_n = a(x_n)e^−iEt/ħ,   (13.7)

và Phương trình (13.6) sẽ trở thành

Ea(x_n) = E₀a(x_n) − Aa(x_n+1) − Aa(x_n−1).   (13.8)

Hay, dùng sự kiện là x_n+1 = x_n + b, chúng ta cũng có thể viết

Ea(x_n) = E₀a(x_n) − Aa(x_n + b) − Aa(x_n − b).   (13.9)

Phương trình này hơi giống một phương trình vi phân. Nó cho chúng ta biết rằng một đại lượng, a(x), tại một điểm, (x_n), liên hệ với cùng đại lượng vật lý đó tại một số điểm lân cận, (x_n ± b). (Một phương trình vi phân liên hệ giá trị của một hàm tại một điểm với các giá trị tại các điểm vô cùng gần.) Có lẽ các phương pháp chúng ta thường dùng để giải các phương trình vi phân cũng sẽ hoạt động ở đây; hãy thử.

Các phương trình vi phân tuyến tính có hệ số không đổi luôn có thể được giải theo các hàm mũ. Chúng ta có thể thử điều tương tự ở đây; hãy lấy nghiệm thử là

a(x_n) = e^ikx_n.   (13.10)

Khi đó Phương trình (13.9) trở thành

Ee^ikx_n = E₀e^ikx_n − Ae^ik(x_n+b) − Ae^ik(x_n−b).   (13.11)

Bây giờ chúng ta có thể chia đi thừa số chung e^ikx_n; chúng ta được

E = E₀ − Ae^ikb − Ae^−ikb.   (13.12)

Hai số hạng cuối chỉ bằng (2A cos kb), vì vậy

E = E₀ − 2A cos kb.   (13.13)

Chúng ta đã tìm thấy rằng đối với bất kỳ lựa chọn nào cho hằng số k cũng có một nghiệm mà năng lượng của nó được cho bởi phương trình này. Có nhiều năng lượng khả dĩ khác nhau tùy thuộc vào k, và mỗi k tương ứng với một nghiệm khác nhau. Có một số vô hạn nghiệm — điều này không đáng ngạc nhiên, vì chúng ta bắt đầu với một số vô hạn các trạng thái cơ sở.

Hãy xem các nghiệm này có ý nghĩa gì. Đối với mỗi k, các a được cho bởi Phương trình (13.10). Các biên độ C_n khi đó được cho bởi

C_n = e^ikx_ne^−(i/ħ)Et,   (13.14)

trong đó bạn nên nhớ rằng năng lượng E cũng phụ thuộc vào k như được cho trong Phương trình (13.13). Sự phụ thuộc vào không gian của các biên độ là e^ikx_n. Các biên độ dao động khi chúng ta đi dọc từ một nguyên tử sang nguyên tử tiếp theo.

Chúng ta muốn nói rằng, trong không gian, biên độ đi như một dao động phức — độ lớn là như nhau tại mọi nguyên tử, nhưng pha tại một thời điểm cho trước tiến lên một lượng kb từ một nguyên tử sang nguyên tử tiếp theo. Chúng ta có thể hình dung điều đang xảy ra bằng cách vẽ một đường thẳng đứng để chỉ phần thực tại mỗi nguyên tử như chúng ta đã làm trong Hình 13–2. Đường bao của các đường thẳng đứng này (như được chỉ bởi đường cong đứt nét) là, dĩ nhiên, một đường cosin. Phần ảo của C_n cũng là một hàm dao động, nhưng bị dịch 90° về pha vì vậy bình phương tuyệt đối (vốn là tổng của các bình phương của phần thực và phần ảo) là như nhau đối với mọi C.

Như vậy nếu chúng ta chọn một k, chúng ta được một trạng thái dừng có một năng lượng cụ thể E. Và đối với bất kỳ trạng thái nào như vậy, electron có khả năng được tìm thấy tại mọi nguyên tử như nhau — không có sự ưu tiên cho nguyên tử này hay nguyên tử kia. Chỉ có pha là khác nhau đối với các nguyên tử khác nhau. Ngoài ra, khi thời gian trôi qua các pha biến thiên. Từ Phương trình (13.14) phần thực và phần ảo lan truyền dọc theo tinh thể như các sóng — cụ thể là như phần thực hay phần ảo của

e^{i[kx_n − (E/ħ)t]}.   (13.15)

Sóng có thể di chuyển về phía x dương hay âm tùy thuộc vào dấu chúng ta đã chọn cho k.

Để ý rằng chúng ta đã giả thiết rằng số k mà chúng ta đưa vào nghiệm thử của chúng ta, Phương trình (13.10), là một số thực. Bây giờ chúng ta có thể thấy tại sao điều đó phải đúng nếu chúng ta có một hàng vô hạn các nguyên tử. Giả sử k là một số ảo, chẳng hạn ik′. Khi đó các biên độ a_n sẽ đi như e^−k′x_n, điều này có nghĩa là biên độ sẽ lớn hơn và lớn hơn khi chúng ta đi về phía các x âm lớn — hay về phía các x dương lớn nếu k′ là một số âm. Loại nghiệm này sẽ OK nếu chúng ta đang xử lý một hàng các nguyên tử có kết thúc, nhưng không thể là một nghiệm vật lý cho một chuỗi vô hạn các nguyên tử. Nó sẽ cho các biên độ vô hạn — và, do đó, các xác suất vô hạn — vốn không thể biểu diễn một tình huống thực. Sau này chúng ta sẽ thấy một ví dụ trong đó một k ảo quả thực có ý nghĩa.

Quan hệ giữa năng lượng E và số sóng k như được cho trong Phương trình (13.13) được vẽ trong Hình 13–3. Như bạn có thể thấy từ hình, năng lượng có thể đi từ (E₀ − 2A) tại k = 0 tới (E₀ + 2A) tại k = ±π/b. Đồ thị được vẽ cho A dương; nếu A âm, đường cong sẽ chỉ đơn giản bị đảo ngược, nhưng khoảng sẽ như nhau. Kết quả quan trọng là bất kỳ năng lượng nào cũng khả dĩ trong một khoảng hay “dải” năng lượng nhất định, nhưng không có năng lượng nào khác. Theo các giả thiết của chúng ta, nếu một electron trong một tinh thể ở trong một trạng thái dừng, nó không thể có năng lượng nào khác ngoài các giá trị trong dải này.

Theo Phương trình (13.13), các k nhỏ nhất tương ứng với các trạng thái năng lượng thấp — E ≈ (E₀ − 2A). Khi k tăng về độ lớn (về phía các giá trị dương hay âm) năng lượng thoạt đầu tăng, nhưng sau đó đạt một cực đại tại k = ±π/b, như trong Hình 13–3. Đối với các k lớn hơn π/b, năng lượng sẽ bắt đầu giảm trở lại. Nhưng chúng ta không thực sự cần xét các giá trị như vậy của k, vì chúng không cho các trạng thái mới — chúng chỉ lặp lại các trạng thái chúng ta đã có cho các k nhỏ hơn. Chúng ta có thể thấy điều đó theo cách sau. Xét trạng thái năng lượng thấp nhất mà đối với nó k = 0. Hệ số a(x_n) là như nhau đối với mọi x_n. Bây giờ chúng ta sẽ được cùng năng lượng cho k = 2π/b. Nhưng khi đó, dùng Phương trình (13.10), chúng ta có

a(x_n) = e^i(2π/b)x_n.

Tuy nhiên, lấy x₀ ở tại gốc, chúng ta có thể đặt x_n = nb; khi đó a(x_n) trở thành

a(x_n) = e^i2πn = 1.

Trạng thái được mô tả bởi các a(x_n) này về mặt vật lý là cùng trạng thái chúng ta được cho k = 0. Nó không biểu diễn một nghiệm khác.

Như một ví dụ khác, giả sử k là −π/4b. Phần thực của a(x_n) sẽ biến thiên như đường cong 1 trong Hình 13–4. Nếu k là 7π/4b, phần thực của a(x_n) sẽ biến thiên như đường cong 2 trong hình. (Các đường cong cosin đầy đủ không có ý nghĩa gì, dĩ nhiên; tất cả những gì quan trọng là các giá trị của chúng tại các điểm x_n. Các đường cong chỉ để giúp bạn thấy mọi thứ đang diễn ra như thế nào.) Bạn thấy rằng cả hai giá trị của k cho cùng các biên độ tại mọi x_n.

Kết luận là chúng ta có mọi nghiệm khả dĩ của bài toán của chúng ta nếu chúng ta chỉ lấy các k trong một khoảng giới hạn nhất định. Chúng ta sẽ chọn khoảng giữa −π/b và +π/b — khoảng được chỉ trong Hình 13–3. Trong khoảng này, năng lượng của các trạng thái dừng tăng đều theo sự tăng độ lớn của k.

Một nhận xét phụ về một cái gì đó bạn có thể chơi với. Giả sử electron không chỉ có thể nhảy sang nguyên tử kề gần nhất với biên độ iA/ħ, mà còn có khả năng nhảy trong một bước nhảy trực tiếp tới nguyên tử kề gần thứ hai với một biên độ khác nào đó iB/ħ. Bạn sẽ thấy rằng nghiệm vẫn có thể được viết dưới dạng a_n = e^ikx_n — loại nghiệm này là phổ quát. Bạn cũng sẽ thấy rằng các trạng thái dừng có số sóng k có năng lượng bằng (E₀ − 2A cos kb − 2B cos 2kb). Điều này cho thấy rằng hình dạng của đường cong của E theo k không phải là phổ quát, mà phụ thuộc vào các giả thiết cụ thể của bài toán. Nó không luôn là một sóng cosin — nó thậm chí không nhất thiết đối xứng quanh một đường nằm ngang nào đó. Tuy nhiên, đúng là đường cong luôn lặp lại chính nó bên ngoài khoảng từ −π/b tới π/b, vì vậy bạn không bao giờ cần lo về các giá trị khác của k.

Hãy xét kỹ hơn một chút điều gì xảy ra đối với các k nhỏ — tức là, khi các biến thiên của các biên độ từ một x_n sang cái tiếp theo khá chậm. Giả sử chúng ta chọn gốc không của năng lượng bằng cách định nghĩa E₀ = 2A; khi đó cực tiểu của đường cong trong Hình 13–3 ở tại gốc không của năng lượng. Đối với k đủ nhỏ, chúng ta có thể viết rằng

cos kb ≈ 1 − k²b²/2,

và năng lượng của Phương trình (13.13) trở thành

E = Ak²b².   (13.16)

Chúng ta có rằng năng lượng của trạng thái tỉ lệ với bình phương của số sóng vốn mô tả các biến thiên không gian của các biên độ C_n.

13–3  Các trạng thái phụ thuộc thời gian

Trong mục này chúng ta muốn thảo luận hành vi của các trạng thái trong mạng một chiều chi tiết hơn. Nếu biên độ để một electron ở tại x_n là C_n, xác suất tìm thấy nó ở đó là |C_n|². Đối với các trạng thái dừng được mô tả bởi Phương trình (13.14), xác suất này là như nhau đối với mọi x_n và không thay đổi theo thời gian. Làm thế nào chúng ta có thể biểu diễn một tình huống mà chúng ta sẽ mô tả một cách thô là một electron có một năng lượng nhất định được định xứ trong một vùng nhất định — vì vậy nó có khả năng được tìm thấy tại một nơi hơn là tại một nơi nào đó khác? Chúng ta có thể làm điều đó bằng cách tạo một chồng chất của vài nghiệm như Phương trình (13.14) với các giá trị hơi khác nhau của k — và, do đó, các năng lượng hơi khác nhau. Khi đó ít nhất tại t = 0, biên độ C_n sẽ biến thiên theo vị trí vì sự giao thoa giữa các số hạng khác nhau, đúng như người ta được các phách khi có một hỗn hợp các sóng có các bước sóng khác nhau (như chúng ta đã thảo luận trong Chương 48, Tập I). Vì vậy chúng ta có thể tạo nên một “gói sóng” với một số sóng trội k₀, nhưng với nhiều số sóng khác nhau ở gần k₀.¹

Trong chồng chất các trạng thái dừng của chúng ta, các biên độ có các k khác nhau sẽ biểu diễn các trạng thái có các năng lượng hơi khác nhau, và, do đó, các tần số hơi khác nhau; mô hình giao thoa của C_n tổng vì vậy cũng sẽ biến thiên theo thời gian — sẽ có một mô hình “phách”. Như chúng ta đã thấy trong Chương 48 của Tập I, các đỉnh của các phách [nơi mà |C(x_n)|² lớn] sẽ di chuyển dọc theo x khi thời gian trôi qua; chúng di chuyển với tốc độ chúng ta đã gọi là “vận tốc nhóm”. Chúng ta đã tìm thấy rằng vận tốc nhóm này liên hệ với sự biến thiên của k theo tần số bởi

v_nhóm = dω/dk;   (13.17)

cùng một phép suy ra sẽ áp dụng tốt như vậy ở đây. Một trạng thái electron vốn là một “cục” — cụ thể là một trạng thái mà đối với nó các C_n biến thiên trong không gian như gói sóng của Hình 13–5 — sẽ di chuyển dọc theo “tinh thể” một chiều của chúng ta với tốc độ v bằng dω/dk, trong đó ω = E/ħ. Dùng (13.16) cho E, chúng ta được rằng

v = (2Ab²/ħ) k.   (13.18)

Nói cách khác, các electron di chuyển dọc với một tốc độ tỉ lệ với k điển hình. Phương trình (13.16) khi đó nói rằng năng lượng của một electron như vậy tỉ lệ với bình phương của vận tốc của nó — nó hành động như một hạt cổ điển. Chừng nào chúng ta nhìn các vật ở một quy mô đủ thô để chúng ta không thấy cấu trúc tinh tế, bức tranh cơ học lượng tử của chúng ta bắt đầu cho các kết quả như vật lý cổ điển. Thực tế, nếu chúng ta giải Phương trình (13.18) cho k và thay vào (13.16), chúng ta có thể viết

E = ½m_effv²,   (13.19)

trong đó m_eff là một hằng số. “Năng lượng chuyển động” thêm vào của electron trong một gói phụ thuộc vào vận tốc đúng như đối với một hạt cổ điển. Hằng số m_eff — được gọi là “khối lượng hiệu dụng” — được cho bởi

m_eff = ħ²/(2Ab²).   (13.20)

Ngoài ra để ý rằng chúng ta có thể viết

m_effv = ħk.   (13.21)

Nếu chúng ta chọn gọi m_effv là “động lượng”, nó liên hệ với số sóng k theo cách chúng ta đã mô tả trước đây đối với một hạt tự do.

Đừng quên rằng m_eff không có gì liên quan đến khối lượng thực của một electron. Nó có thể khá khác — mặc dù trong các kim loại và chất bán dẫn thường dùng, nó thường hóa ra có cùng cấp độ lớn nói chung, khoảng 0,1 tới 30 lần khối lượng trong không gian tự do của electron.

Bây giờ chúng ta đã giải thích một bí ẩn đáng chú ý — làm thế nào một electron trong một tinh thể (như một electron thêm vào được đưa vào germani) có thể chạy xuyên qua tinh thể và chảy hoàn toàn tự do mặc dù nó phải va vào mọi nguyên tử. Nó làm vậy bằng cách có các biên độ của nó đi pip-pip-pip từ một nguyên tử sang nguyên tử tiếp theo, tự luồn qua tinh thể. Đó là cách một chất rắn có thể dẫn điện.

13–4  Một electron trong một mạng ba chiều

Hãy xét trong chốc lát cách chúng ta có thể áp dụng cùng các ý tưởng để xem điều gì xảy ra với một electron trong ba chiều. Các kết quả hóa ra rất tương tự. Giả sử chúng ta có một mạng hình chữ nhật các nguyên tử với các khoảng cách mạng a, b, c theo ba hướng. (Nếu bạn muốn một mạng lập phương, lấy cả ba khoảng cách đều bằng nhau.) Cũng giả sử rằng biên độ để nhảy theo hướng x tới một nguyên tử kề là (iA_x/ħ), để nhảy theo hướng y là (iA_y/ħ), và để nhảy theo hướng z là (iA_z/ħ). Bây giờ chúng ta nên mô tả các trạng thái cơ sở như thế nào? Như trong trường hợp một chiều, một trạng thái cơ sở là electron ở tại nguyên tử mà các vị trí của nó là x, y, z, trong đó (x, y, z) là một trong các điểm mạng. Chọn gốc của chúng ta tại một nguyên tử, các điểm này đều ở tại

x = n_xa,   y = n_yb,   và   z = n_zc,

trong đó n_x, n_y, n_z là bất kỳ ba số nguyên nào. Thay vì dùng các chỉ số dưới để chỉ các điểm như vậy, bây giờ chúng ta sẽ chỉ dùng x, y và z, với sự hiểu ngầm rằng chúng chỉ nhận các giá trị của chúng tại các điểm mạng. Như vậy trạng thái cơ sở được biểu diễn bằng ký hiệu |electron tại x, y, z⟩, và biên độ để một electron trong một trạng thái nào đó |ψ⟩ ở trong trạng thái cơ sở này là C(x, y, z) = ⟨electron tại x, y, z|ψ⟩.

Như trước đây, các biên độ C(x, y, z) có thể biến thiên theo thời gian. Với các giả thiết của chúng ta, các phương trình Hamiltonian nên như thế này:

iħ dC(x,y,z)/dt = E₀C(x,y,z) − A_xC(x+a, y, z) − A_xC(x−a, y, z) − A_yC(x, y+b, z) − A_yC(x, y−b, z) − A_zC(x, y, z+c) − A_zC(x, y, z−c).   (13.22)

Nó trông khá dài, nhưng bạn có thể thấy mỗi số hạng đến từ đâu.

Một lần nữa chúng ta có thể thử tìm một trạng thái dừng trong đó mọi C đều biến thiên theo thời gian theo cùng một cách. Một lần nữa nghiệm là một hàm mũ:

C(x, y, z) = e^−iEt/ħe^{i(k_xx + k_yy + k_zz)}.   (13.23)

Nếu bạn thay cái này vào (13.22) bạn thấy rằng nó hoạt động, với điều kiện năng lượng E liên hệ với k_x, k_y và k_z theo cách sau:

E = E₀ − 2A_x cos k_xa − 2A_y cos k_yb − 2A_z cos k_zc.   (13.24)

Năng lượng bây giờ phụ thuộc vào ba số sóng k_x, k_y, k_z, vốn, nhân tiện, là các thành phần của một vectơ ba chiều k. Thực tế, chúng ta có thể viết Phương trình (13.23) theo ký hiệu vectơ dưới dạng

C(x, y, z) = e^−iEt/ħe^ik·r.   (13.25)

Biên độ biến thiên như một sóng phẳng phức trong ba chiều, di chuyển theo hướng của k, và với số sóng k = (k_x² + k_y² + k_z²)^1/2.

Năng lượng liên kết với các trạng thái dừng này phụ thuộc vào ba thành phần của k theo cách phức tạp được cho trong Phương trình (13.24). Bản chất của sự biến thiên của E theo k phụ thuộc vào các dấu và độ lớn tương đối của A_x, A_y và A_z. Nếu cả ba số này đều dương, và nếu chúng ta quan tâm đến các giá trị nhỏ của k, sự phụ thuộc tương đối đơn giản. Khai triển các cosin như chúng ta đã làm trước đây để được Phương trình (13.16), bây giờ chúng ta có thể được rằng

E = E_min + A_xa²k_x² + A_yb²k_y² + A_zc²k_z².   (13.26)

Đối với một mạng lập phương đơn giản có khoảng cách mạng a, chúng ta kỳ vọng rằng A_x và A_y và A_z sẽ bằng nhau — chẳng hạn tất cả đều chỉ là A — và chúng ta sẽ chỉ có

E = E_min + Aa²(k_x² + k_y² + k_z²),

hay

E = E_min + Aa²k².   (13.27)

Điều này giống hệt Phương trình (13.16). Theo các lập luận đã dùng ở đó, chúng ta sẽ kết luận rằng một gói electron trong ba chiều (được tạo nên bằng cách chồng chất nhiều trạng thái có các năng lượng gần như bằng nhau) cũng di chuyển như một hạt cổ điển với một khối lượng hiệu dụng nào đó.

Trong một tinh thể có đối xứng thấp hơn lập phương (hay ngay cả trong một tinh thể lập phương trong đó trạng thái của electron tại mỗi nguyên tử không đối xứng) ba hệ số A_x, A_y và A_z là khác nhau. Khi đó “khối lượng hiệu dụng” của một electron được định xứ trong một vùng nhỏ phụ thuộc vào hướng chuyển động của nó. Nó có thể, chẳng hạn, có một quán tính khác cho chuyển động theo hướng x so với chuyển động theo hướng y. (Các chi tiết của một tình huống như vậy đôi khi được mô tả theo một “tensor khối lượng hiệu dụng”.)

13–5  Các trạng thái khác trong một mạng

Theo Phương trình (13.24) các trạng thái electron chúng ta đã nói tới chỉ có thể có các năng lượng trong một “dải” năng lượng nhất định vốn bao phủ khoảng năng lượng từ năng lượng cực tiểu

E₀ − 2(A_x + A_y + A_z)

tới năng lượng cực đại

E₀ + 2(A_x + A_y + A_z).

Các năng lượng khác là khả dĩ, nhưng chúng thuộc về một lớp khác các trạng thái electron. Đối với các trạng thái chúng ta đã mô tả, chúng ta tưởng tượng các trạng thái cơ sở trong đó một electron được đặt trên một nguyên tử của tinh thể trong một trạng thái cụ thể nào đó, chẳng hạn trạng thái năng lượng thấp nhất.

Nếu bạn có một nguyên tử trong không gian trống, và cộng thêm một electron để tạo thành một ion, ion có thể được tạo thành theo nhiều cách. Electron có thể đi vào theo cách để tạo thành trạng thái có năng lượng thấp nhất, hay nó có thể đi vào để tạo thành một trong nhiều “trạng thái kích thích” khả dĩ của ion, mỗi cái có một năng lượng xác định cao hơn năng lượng thấp nhất. Điều tương tự có thể xảy ra trong một tinh thể. Giả sử năng lượng E₀ chúng ta đã chọn ở trên tương ứng với các trạng thái cơ sở vốn là các ion có năng lượng thấp nhất khả dĩ. Chúng ta cũng có thể tưởng tượng một tập hợp mới các trạng thái cơ sở trong đó electron ngồi gần nguyên tử thứ n theo một cách khác — trong một trong các trạng thái kích thích của ion — vì vậy năng lượng E₀ bây giờ khá cao hơn. Như trước đây, có một biên độ A nào đó (khác với trước đây) rằng electron sẽ nhảy từ trạng thái kích thích của nó tại một nguyên tử sang cùng trạng thái kích thích tại một nguyên tử kề bên. Toàn bộ phân tích diễn ra như trước đây; chúng ta tìm thấy một dải các năng lượng khả dĩ có tâm ở một năng lượng cao hơn. Nói chung có thể có nhiều dải như vậy, mỗi dải tương ứng với một mức kích thích khác nhau.

Cũng có các khả năng khác. Có thể có một biên độ nào đó rằng electron nhảy từ một điều kiện bị kích thích tại một nguyên tử sang một điều kiện không bị kích thích tại nguyên tử tiếp theo. (Điều này được gọi là một tương tác giữa các dải.) Lý thuyết toán học trở nên càng ngày càng phức tạp khi bạn tính đến càng nhiều dải và cộng thêm càng nhiều hệ số cho sự rò rỉ giữa các trạng thái khả dĩ. Tuy nhiên, không có ý tưởng mới nào liên quan; các phương trình được thiết lập nhiều như chúng ta đã làm trong ví dụ đơn giản của chúng ta.

Chúng ta cũng nên nhận xét rằng không có nhiều điều hơn để nói về các hệ số khác nhau, như biên độ A, vốn xuất hiện trong lý thuyết. Nói chung chúng rất khó tính, vì vậy trong các trường hợp thực tế người ta biết rất ít về mặt lý thuyết về các tham số này và đối với bất kỳ tình huống thực cụ thể nào chúng ta chỉ có thể lấy các giá trị được xác định bằng thực nghiệm.

Có các tình huống khác trong đó vật lý và toán học gần như chính xác giống như cái chúng ta đã tìm cho một electron di chuyển trong một tinh thể, nhưng trong đó “vật” di chuyển khá khác. Chẳng hạn, giả sử tinh thể gốc của chúng ta — hay đúng hơn là mạng tuyến tính — là một hàng các nguyên tử trung hòa, mỗi cái có một electron ngoài liên kết lỏng lẻo. Khi đó tưởng tượng rằng chúng ta loại bỏ một electron. Nguyên tử nào đã mất electron của nó? Bây giờ hãy để C_n biểu diễn biên độ rằng electron bị thiếu khỏi nguyên tử tại x_n. Nói chung sẽ có một biên độ iA/ħ nào đó rằng electron tại một nguyên tử kề bên — chẳng hạn nguyên tử thứ (n−1) — sẽ nhảy sang nguyên tử thứ n, để lại nguyên tử thứ (n−1) mà không có electron của nó. Điều này giống như nói rằng có một biên độ iA/ħ để “electron bị thiếu” nhảy từ nguyên tử thứ n sang nguyên tử thứ (n−1). Bạn có thể thấy rằng các phương trình sẽ chính xác như nhau — dĩ nhiên, giá trị của A không cần phải như chúng ta đã có trước đây. Một lần nữa chúng ta sẽ được cùng các công thức cho các mức năng lượng, cho các “sóng” xác suất vốn di chuyển qua tinh thể với vận tốc nhóm của Phương trình (13.18), cho khối lượng hiệu dụng, v.v. Chỉ bây giờ các sóng mô tả hành vi của electron bị thiếu — hay “lỗ trống” như nó được gọi. Vì vậy một “lỗ trống” hành động đúng như một hạt có một khối lượng m_eff nhất định. Bạn có thể thấy rằng hạt này sẽ xuất hiện có một điện tích dương. Chúng ta sẽ có thêm một ít điều để nói về các lỗ trống như vậy trong chương tiếp theo.

Như một ví dụ khác, chúng ta có thể nghĩ về một hàng các nguyên tử trung hòa đồng nhất, một trong số chúng đã được đưa vào một trạng thái kích thích — tức là, với nhiều năng lượng hơn năng lượng trạng thái cơ bản bình thường của nó. Hãy để C_n là biên độ rằng nguyên tử thứ n có sự kích thích. Nó có thể tương tác với một nguyên tử kề bên bằng cách trao cho nó năng lượng thêm vào và quay lại trạng thái cơ bản. Gọi biên độ cho quá trình này là iA/ħ. Bạn có thể thấy rằng đó là cùng một toán học một lần nữa. Bây giờ vật di chuyển được gọi là một exciton. Nó hành động như một “hạt” trung hòa di chuyển qua tinh thể, mang theo năng lượng kích thích. Chuyển động như vậy có thể liên quan trong các quá trình sinh học nhất định như thị giác, hay quang hợp. Người ta đã đoán rằng sự hấp thụ ánh sáng trong võng mạc tạo ra một “exciton” vốn di chuyển qua một cấu trúc tuần hoàn nào đó (như các lớp trong các tế bào que chúng ta đã mô tả trong Chương 36, Tập I; xem Hình 36–5) để được tích lũy tại một trạm đặc biệt nào đó nơi năng lượng được dùng để gây ra một phản ứng hóa học.

13–6  Sự tán xạ từ các khuyết tật trong mạng

Bây giờ chúng ta muốn xét trường hợp một electron đơn độc trong một tinh thể không hoàn hảo. Phân tích trước đây của chúng ta nói rằng các tinh thể hoàn hảo có độ dẫn hoàn hảo — rằng các electron có thể đi trượt qua tinh thể, như trong một chân không, mà không có ma sát. Một trong những điều quan trọng nhất có thể ngăn một electron đi mãi mãi là một khuyết tật hay sự bất thường trong tinh thể. Chẳng hạn, giả sử rằng đâu đó trong tinh thể có một nguyên tử bị thiếu; hay giả sử rằng ai đó đặt một nguyên tử sai tại một trong các vị trí nguyên tử vì vậy mọi thứ ở đó khác với ở các vị trí nguyên tử khác. Chẳng hạn năng lượng E₀ hay biên độ A có thể khác. Chúng ta sẽ mô tả điều xảy ra khi đó như thế nào?

Để cụ thể, chúng ta sẽ quay lại trường hợp một chiều và chúng ta sẽ giả thiết rằng nguyên tử số “zero” là một nguyên tử “tạp chất” và có một giá trị khác của E₀ so với bất kỳ nguyên tử nào khác. Hãy gọi năng lượng này là (E₀ + F). Điều gì xảy ra? Khi một electron tới nguyên tử “zero” có một xác suất nào đó rằng electron bị tán xạ ngược lại. Nếu một gói sóng đang di chuyển dọc và nó tới một nơi mà mọi thứ hơi khác một chút, một phần của nó sẽ tiếp tục đi tới và một phần của nó sẽ bật trở lại. Việc phân tích một tình huống như vậy bằng một gói sóng khá khó, vì mọi thứ đều biến thiên theo thời gian. Làm việc với các nghiệm trạng thái dừng dễ hơn nhiều. Vì vậy chúng ta sẽ làm việc với các trạng thái dừng, mà chúng ta sẽ thấy có thể được tạo thành từ các sóng liên tục vốn có các phần truyền qua và phản xạ. Trong ba chiều chúng ta sẽ gọi phần phản xạ là sóng tán xạ, vì nó sẽ tỏa ra theo nhiều hướng khác nhau.

Chúng ta bắt đầu với một tập hợp các phương trình vốn giống hệt các phương trình trong Phương trình (13.6) ngoại trừ phương trình cho n = 0 khác với mọi phương trình còn lại. Năm phương trình cho n = −2, −1, 0, +1 và +2 trông như thế này:

⋮
Ea₋₂ = E₀a₋₂ − Aa₋₁ − Aa₋₃,
Ea₋₁ = E₀a₋₁ − Aa₀ − Aa₋₂,
Ea₀ = (E₀ + F)a₀ − Aa₁ − Aa₋₁,
Ea₁ = E₀a₁ − Aa₂ − Aa₀,
Ea₂ = E₀a₂ − Aa₃ − Aa₁,
⋮   (13.28)

Có, dĩ nhiên, mọi phương trình khác cho |n| > 2. Chúng sẽ trông đúng như Phương trình (13.6).

Đối với trường hợp tổng quát, chúng ta thực sự nên dùng một A khác cho biên độ mà electron nhảy tới hay từ nguyên tử “zero”, nhưng các đặc trưng chính của điều đang xảy ra sẽ xuất hiện từ một ví dụ đơn giản hóa trong đó mọi A đều bằng nhau.

Phương trình (13.10) vẫn sẽ hoạt động như một nghiệm cho mọi phương trình ngoại trừ phương trình cho nguyên tử “zero” — nó không đúng cho phương trình đó. Chúng ta cần một nghiệm khác mà chúng ta có thể chế ra theo cách sau. Phương trình (13.10) biểu diễn một sóng đi theo hướng x dương. Một sóng đi theo hướng x âm cũng sẽ là một nghiệm tốt như vậy. Nó sẽ được viết

a(x_n) = e^−ikx_n.

Nghiệm tổng quát nhất chúng ta có thể đã lấy cho Phương trình (13.6) sẽ là một tổ hợp của một sóng tiến và một sóng lùi, cụ thể là

a_n = αe^ikx_n + βe^−ikx_n.   (13.29)

Nghiệm này biểu diễn một sóng phức có biên độ α di chuyển theo hướng +x và một sóng có biên độ β di chuyển theo hướng −x.

Bây giờ hãy nhìn vào tập hợp các phương trình cho bài toán mới của chúng ta — các phương trình trong (13.28) cùng với các phương trình cho mọi nguyên tử khác. Các phương trình liên quan đến các a_n có n ≤ −1 đều được thỏa mãn bởi Phương trình (13.29), với điều kiện k liên hệ với E và khoảng cách mạng b bởi

E = E₀ − 2A cos kb.   (13.30)

Ý nghĩa vật lý là một sóng “tới” có biên độ α tiến đến nguyên tử “zero” (cái “tâm tán xạ”) từ bên trái, và một sóng “tán xạ” hay “phản xạ” có biên độ β đi ngược về phía bên trái. Chúng ta không mất tính tổng quát nào nếu chúng ta đặt biên độ α của sóng tới bằng 1. Khi đó biên độ β, nói chung, là một số phức.

Chúng ta có thể nói mọi điều tương tự về các nghiệm của a_n đối với n ≥ 1. Các hệ số có thể khác, vì vậy chúng ta sẽ có đối với chúng

a_n = γe^ikx_n + δe^−ikx_n, đối với n ≥ 1.   (13.31)

Ở đây, γ là biên độ của một sóng đi về phía bên phải và δ một sóng đến từ bên phải. Chúng ta muốn xét tình huống vật lý trong đó một sóng ban đầu chỉ được bắt đầu từ bên trái, và chỉ có một sóng “truyền qua” đi ra bên ngoài tâm tán xạ — hay nguyên tử tạp chất. Chúng ta sẽ thử một nghiệm trong đó δ = 0. Chúng ta có thể, chắc chắn, thỏa mãn mọi phương trình cho các a_n ngoại trừ ba phương trình ở giữa trong Phương trình (13.28) bằng các nghiệm thử sau.

a_n (đối với n < 0) = e^ikx_n + βe^−ikx_n,
a_n (đối với n > 0) = γe^ikx_n.   (13.32)

Tình huống chúng ta đang nói tới được minh họa trong Hình 13–6.

Bằng cách dùng các công thức trong Phương trình (13.32) cho a₋₁ và a₊₁, ba phương trình ở giữa của Phương trình (13.28) sẽ cho phép chúng ta giải cho a₀ và cũng cho hai hệ số β và γ. Vì vậy chúng ta đã tìm được một nghiệm hoàn chỉnh. Đặt x_n = nb, chúng ta phải giải ba phương trình

(E − E₀){e^ik(−b) + βe^−ik(−b)} = −A{a₀ + e^ik(−2b) + βe^−ik(−2b)},
(E − E₀ − F)a₀ = −A{γe^ikb + e^ik(−b) + βe^−ik(−b)},
(E − E₀)γe^ikb = −A{γe^ik(2b) + a₀}.   (13.33)

Nhớ rằng E được cho theo k bởi Phương trình (13.30). Nếu bạn thay giá trị này của E vào các phương trình, và nhớ rằng cos x = ½(e^ix + e^−ix), bạn được từ phương trình thứ nhất rằng

a₀ = 1 + β,   (13.34)

và từ phương trình thứ ba rằng

a₀ = γ.   (13.35)

Hai cái này chỉ nhất quán nếu

γ = 1 + β.   (13.36)

Phương trình này nói rằng sóng truyền qua (γ) chỉ là sóng tới ban đầu (1) với một sóng cộng thêm (β) bằng sóng phản xạ. Điều này không luôn đúng, nhưng xảy ra như vậy đối với một sự tán xạ tại một nguyên tử duy nhất. Nếu có một cụm các nguyên tử tạp chất, lượng cộng vào sóng tiến sẽ không nhất thiết bằng sóng phản xạ.

Chúng ta có thể được biên độ β của sóng phản xạ từ phương trình ở giữa của Phương trình (13.33); chúng ta tìm thấy rằng

β = −F/(F − 2iA sin kb).   (13.37)

Chúng ta có nghiệm hoàn chỉnh cho mạng có một nguyên tử bất thường. Bạn có thể đang tự hỏi làm thế nào sóng truyền qua có thể “nhiều hơn” sóng tới như nó xuất hiện trong Phương trình (13.34). Tuy nhiên, nhớ rằng β và γ là các số phức và rằng số hạt (hay đúng hơn, xác suất tìm thấy một hạt) trong một sóng tỉ lệ với bình phương tuyệt đối của biên độ. Thực tế, sẽ có “bảo toàn electron” chỉ nếu

|β|² + |γ|² = 1.   (13.38)

Bạn có thể chỉ ra rằng điều này đúng đối với nghiệm của chúng ta.

13–7  Sự bẫy bởi một khuyết tật của mạng

Có một tình huống thú vị khác có thể nảy sinh nếu F là một số âm. Nếu năng lượng của electron thấp hơn tại nguyên tử tạp chất (tại n = 0) so với bất kỳ đâu khác, khi đó electron có thể bị bắt trên nguyên tử này. Tức là, nếu (E₀ + F) nằm dưới đáy của dải tại (E₀ − 2A), khi đó electron có thể bị “bẫy” trong một trạng thái có E < E₀ − 2A. Một nghiệm như vậy không thể xuất hiện từ điều chúng ta đã làm cho tới nay. Tuy nhiên, chúng ta có thể được nghiệm này, nếu chúng ta cho phép nghiệm thử chúng ta đã lấy trong Phương trình (13.10) có một số ảo cho k. Hãy đặt k = ±iκ. Một lần nữa, chúng ta có thể có các nghiệm khác nhau cho n < 0 và cho n > 0. Một nghiệm khả dĩ cho n < 0 có thể là

a_n (đối với n < 0) = ce^+κx_n.   (13.39)

Chúng ta phải lấy một dấu cộng trong số mũ; nếu không biên độ sẽ trở nên lớn vô định đối với các giá trị âm lớn của n. Tương tự, một nghiệm khả dĩ cho n > 0 sẽ là

a_n (đối với n > 0) = c′e^−κx_n.   (13.40)

Nếu chúng ta đưa các nghiệm thử này vào Phương trình (13.28) mọi phương trình ngoại trừ ba phương trình ở giữa đều được thỏa mãn với điều kiện

E = E₀ − A(e^κb + e^−κb).   (13.41)

Vì tổng của hai số hạng mũ luôn lớn hơn 2, năng lượng này nằm dưới dải thông thường, và là cái chúng ta đang tìm. Ba phương trình còn lại trong Phương trình (13.28) được thỏa mãn nếu a₀ = c = c′ và nếu κ được chọn sao cho

A(e^κb − e^−κb) = −F.   (13.42)

Kết hợp phương trình này với Phương trình (13.41) chúng ta có thể tìm năng lượng của electron bị bẫy; chúng ta được

E = E₀ − √(4A² + F²).   (13.43)

Electron bị bẫy có một năng lượng duy nhất — nằm một khoảng nào đó dưới dải dẫn.

Để ý rằng các biên độ chúng ta có trong Phương trình (13.39) và (13.40) không nói rằng electron bị bẫy ngồi ngay trên nguyên tử tạp chất. Xác suất tìm thấy electron tại các nguyên tử gần đó được cho bởi bình phương của các biên độ này. Đối với một lựa chọn cụ thể các tham số, nó có thể biến thiên như trong biểu đồ cột của Hình 13–7. Xác suất lớn nhất cho việc tìm thấy electron trên nguyên tử tạp chất. Đối với các nguyên tử gần đó, xác suất giảm theo hàm mũ theo khoảng cách từ nguyên tử tạp chất. Đây là một ví dụ khác của “sự xuyên qua hàng rào”. Từ quan điểm của vật lý cổ điển, electron không có đủ năng lượng để thoát khỏi “hố” năng lượng tại trung tâm bẫy. Nhưng theo cơ học lượng tử nó có thể rò rỉ ra một đoạn nhỏ.

13–8  Các biên độ tán xạ và các trạng thái liên kết

Cuối cùng, ví dụ của chúng ta có thể được dùng để minh họa một điểm vốn rất hữu ích ngày nay trong vật lý các hạt năng lượng cao. Nó liên quan đến một mối quan hệ giữa các biên độ tán xạ và các trạng thái liên kết. Giả sử chúng ta đã khám phá — qua thực nghiệm và phân tích lý thuyết — cách các pion tán xạ từ các proton. Khi đó một hạt mới được khám phá và ai đó tự hỏi liệu có thể nó chỉ là một tổ hợp của một pion và một proton được giữ cùng nhau trong một trạng thái liên kết nào đó (trong một phép tương tự với cách một electron liên kết với một proton để tạo thành một nguyên tử hydro). Bằng một trạng thái liên kết chúng ta muốn nói một tổ hợp vốn có năng lượng thấp hơn hai hạt tự do.

Có một lý thuyết tổng quát vốn nói rằng một trạng thái liên kết sẽ tồn tại tại năng lượng mà tại đó biên độ tán xạ trở nên vô hạn nếu được ngoại suy theo đại số (thuật ngữ toán học là “tiếp tục giải tích” [analytically continued]) tới các vùng năng lượng bên ngoài dải được phép. Lý do vật lý cho điều này là như sau. Một trạng thái liên kết là một tình huống trong đó chỉ có các sóng bị buộc vào một điểm và không có sóng nào đi vào để bắt đầu nó, nó chỉ tồn tại ở đó tự nó. Tỉ lệ tương đối giữa cái gọi là sóng “tán xạ” hay được tạo ra và sóng đang được “gửi vào” là vô hạn. Chúng ta có thể kiểm tra ý tưởng này trong ví dụ của chúng ta. Hãy viết biểu thức của chúng ta trong Phương trình (13.37) cho biên độ tán xạ trực tiếp theo năng lượng E của hạt đang bị tán xạ (thay vì theo k). Vì Phương trình (13.30) có thể được viết lại dưới dạng

2A sin kb = √[4A² − (E − E₀)²],

biên độ tán xạ là

β = −F/(F − i√[4A² − (E − E₀)²]).   (13.44)

Từ phép suy ra của chúng ta, phương trình này chỉ nên được dùng cho các trạng thái thực — các trạng thái có các năng lượng trong dải năng lượng, E = E₀ ± 2A. Nhưng giả sử chúng ta quên sự kiện đó và mở rộng công thức vào các vùng năng lượng “phi vật lý” trong đó |E − E₀| > 2A. Đối với các vùng phi vật lý này chúng ta có thể viết²

√[4A² − (E − E₀)²] = i√[(E − E₀)² − 4A²].

Khi đó “biên độ tán xạ”, dù nó có thể có ý nghĩa gì, là

β = −F/(F + √[(E − E₀)² − 4A²]).   (13.45)

Bây giờ chúng ta hỏi: Có bất kỳ năng lượng E nào mà đối với nó β trở nên vô hạn (tức là, đối với nó biểu thức cho β có một “cực”) không? Có, chừng nào F là âm, mẫu số của Phương trình (13.45) sẽ bằng không khi

(E − E₀)² − 4A² = F²,

hay khi

E = E₀ ± √(4A² + F²).

Dấu trừ cho chính năng lượng chúng ta đã tìm trong Phương trình (13.43) cho năng lượng bị bẫy.

Dấu cộng thì sao? Điều này cho một năng lượng ở trên dải năng lượng được phép. Và quả thực có một trạng thái liên kết khác ở đó mà chúng ta đã bỏ lỡ khi chúng ta giải các phương trình của Phương trình (13.28). Chúng tôi để nó như một bài toán đố cho bạn để tìm năng lượng và các biên độ a_n cho trạng thái liên kết này.

Quan hệ giữa tán xạ và các trạng thái liên kết cung cấp một trong những manh mối hữu ích nhất trong việc tìm kiếm hiện nay cho một sự hiểu biết về các quan sát thực nghiệm về các hạt lạ mới.