Chương 1: Điện từ học
Richard P. Feynman — The Feynman Lectures on Physics, Tập II, Chương 1: “Electromagnetism”
1–1 Các lực điện
Hãy xét một lực như lực hấp dẫn, vốn thay đổi chủ yếu tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách, nhưng mạnh hơn khoảng một tỉ-tỉ-tỉ-tỉ lần. Và với một khác biệt nữa. Có hai loại “vật chất,” mà chúng ta có thể gọi là dương và âm. Các loại giống nhau thì đẩy nhau và các loại khác nhau thì hút nhau — khác với trọng lực, nơi chỉ có lực hút. Điều gì sẽ xảy ra?
Một đám các hạt dương sẽ đẩy nhau với một lực khổng lồ và tản ra mọi hướng. Một đám các hạt âm cũng sẽ làm tương tự. Nhưng một đám trộn đều các hạt dương và âm sẽ làm điều hoàn toàn khác. Các phần trái dấu sẽ bị kéo lại với nhau bởi các lực hút khổng lồ. Kết quả ròng sẽ là các lực khủng khiếp đó sẽ tự cân bằng gần như hoàn toàn, bằng cách tạo thành các hỗn hợp chặt, mịn của dương và âm, và giữa hai đám riêng biệt của các hỗn hợp như vậy sẽ thực tế không có lực hút hay lực đẩy nào cả.
Có một lực như vậy: lực điện. Và mọi vật chất là một hỗn hợp của các proton dương và các electron âm đang hút và đẩy nhau với lực lớn này. Tuy nhiên, sự cân bằng hoàn hảo đến mức khi bạn đứng gần một người khác, bạn không cảm thấy bất kỳ lực nào cả. Nếu có dù chỉ một chút mất cân bằng, bạn sẽ biết ngay. Nếu bạn đứng cách một người một sải tay và mỗi người trong hai bạn có nhiều hơn một phần trăm electron so với proton, lực đẩy sẽ không thể tin được. Lớn đến mức nào? Đủ để nâng Tòa nhà Empire State? Không! Để nâng Núi Everest? Không! Lực đẩy sẽ đủ để nâng một “trọng lượng” bằng trọng lượng của toàn bộ trái đất!
Với các lực khổng lồ như vậy được cân bằng hoàn hảo đến thế trong hỗn hợp thân mật này, không khó hiểu rằng vật chất, khi cố gắng giữ các điện tích dương và âm của nó trong sự cân bằng tinh tế nhất, có thể có độ cứng và độ bền lớn. Chẳng hạn, Tòa nhà Empire State đung đưa ít hơn một inch trong gió vì các lực điện giữ mỗi electron và proton ít nhiều ở đúng vị trí của nó. Mặt khác, nếu chúng ta nhìn vật chất ở quy mô đủ nhỏ để chúng ta chỉ thấy vài nguyên tử, bất kỳ mảnh nhỏ nào, thông thường, sẽ không có số điện tích dương và âm bằng nhau, và vì vậy sẽ có các lực điện dư mạnh. Ngay cả khi có số lượng bằng nhau của cả hai điện tích trong hai mảnh nhỏ kề nhau, vẫn có thể có các lực điện ròng lớn vì các lực giữa các điện tích riêng lẻ thay đổi tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách. Một lực ròng có thể nảy sinh nếu một điện tích âm của một mảnh ở gần các điện tích dương hơn là các điện tích âm của mảnh kia. Các lực hút khi ấy có thể lớn hơn các lực đẩy và có thể có một lực hút ròng giữa hai mảnh nhỏ không có điện tích dư. Lực giữ các nguyên tử lại với nhau, và các lực hóa học giữ các phân tử lại với nhau, thực sự là các lực điện tác dụng trong các vùng nơi sự cân bằng điện tích không hoàn hảo, hoặc nơi các khoảng cách rất nhỏ.
Dĩ nhiên, bạn biết rằng các nguyên tử được tạo thành với các proton dương trong hạt nhân và các electron ở bên ngoài. Bạn có thể hỏi: “Nếu lực điện này khủng khiếp như vậy, tại sao các proton và electron không đơn giản chồng lên nhau? Nếu chúng muốn ở trong một hỗn hợp thân mật, tại sao nó không còn thân mật hơn nữa?” Đáp án liên quan đến các hiệu ứng lượng tử. Nếu chúng ta cố giam các electron của chúng ta trong một vùng rất gần các proton, thì theo nguyên lý bất định chúng phải có một động lượng bình phương trung bình nào đó lớn hơn khi chúng ta càng cố giam chúng. Chính chuyển động này, đòi hỏi bởi các định luật của cơ học lượng tử, giữ cho lực hút điện không đưa các điện tích lại gần nhau hơn nữa.
Có một câu hỏi khác: “Điều gì giữ hạt nhân lại với nhau”? Trong một hạt nhân có vài proton, tất cả đều dương. Tại sao chúng không tự đẩy nhau ra? Hóa ra trong các hạt nhân, ngoài các lực điện, còn có các lực phi điện, gọi là các lực hạt nhân, mạnh hơn các lực điện và có thể giữ các proton lại với nhau bất chấp lực đẩy điện. Tuy nhiên, các lực hạt nhân có tầm tác dụng ngắn — lực của chúng giảm đi nhanh hơn nhiều so với 1/r2. Và điều này có một hệ quả quan trọng. Nếu một hạt nhân có quá nhiều proton trong đó, nó trở nên quá lớn, và nó sẽ không ở lại với nhau. Một ví dụ là urani, với 92 proton. Các lực hạt nhân tác dụng chủ yếu giữa mỗi proton (hoặc neutron) và hạt kề bên gần nhất của nó, trong khi các lực điện tác dụng trên các khoảng cách lớn hơn, tạo ra một lực đẩy giữa mỗi proton và mọi proton khác trong hạt nhân. Càng nhiều proton trong một hạt nhân, lực đẩy điện càng mạnh, cho đến khi, như trong trường hợp của urani, sự cân bằng mỏng manh đến mức hạt nhân gần như sẵn sàng bay tan ra bởi lực đẩy điện. Nếu một hạt nhân như vậy chỉ bị “gõ” nhẹ (điều có thể thực hiện bằng cách bắn vào một neutron chậm), nó vỡ thành hai mảnh, mỗi mảnh mang điện tích dương, và các mảnh này bay ra xa bởi lực đẩy điện. Năng lượng được giải phóng là năng lượng của bom nguyên tử. Năng lượng này thường được gọi là năng lượng “hạt nhân”, nhưng nó thực sự là năng lượng “điện” được giải phóng khi các lực điện đã thắng các lực hạt nhân hút.
| α | alpha | ι | iota | ρ | rho | |||
| β | beta | κ | kappa | σ | Σ | sigma | ||
| γ | Γ | gamma | λ | Λ | lambda | τ | tau | |
| δ | Δ | delta | μ | mu | υ | Υ | upsilon | |
| ε | epsilon | ν | nu | φ | Φ | phi | ||
| ζ | zeta | ξ | Ξ | xi (ksi) | χ | chi (khi) | ||
| η | eta | ο | omicron | ψ | Ψ | psi | ||
| θ | Θ | theta | π | Π | pi | ω | Ω | omega |
Cuối cùng, chúng ta có thể hỏi, điều gì giữ một electron mang điện âm lại với nhau (vì nó không có các lực hạt nhân). Nếu một electron hoàn toàn được làm từ một loại chất, mỗi phần sẽ đẩy các phần khác. Vậy tại sao nó không bay tan ra? Nhưng electron có “các phần” không? Có lẽ chúng ta nên nói rằng electron chỉ là một điểm và rằng các lực điện chỉ tác dụng giữa các điện tích điểm khác nhau, sao cho electron không tác dụng lên chính nó. Có lẽ vậy. Tất cả những gì chúng ta có thể nói là câu hỏi điều gì giữ electron lại với nhau đã tạo ra nhiều khó khăn trong các cố gắng hình thành một lý thuyết hoàn chỉnh về điện từ học. Câu hỏi chưa bao giờ được trả lời. Chúng ta sẽ tự tiêu khiển bằng cách thảo luận chủ đề này thêm trong các chương sau.
Như chúng ta đã thấy, chúng ta nên kỳ vọng rằng chính một sự kết hợp của các lực điện và các hiệu ứng cơ học lượng tử sẽ quyết định cấu trúc chi tiết của vật chất ở quy mô lớn, và, do đó, các tính chất của chúng. Một số vật liệu cứng, một số mềm. Một số là “vật dẫn” điện — vì các electron của chúng tự do di chuyển; những thứ khác là “vật cách điện” — vì các electron của chúng bị giữ chặt vào các nguyên tử riêng lẻ. Sau này chúng ta sẽ xét một số tính chất này nảy sinh như thế nào, nhưng đó là một chủ đề rất phức tạp, vì vậy chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách chỉ xét các lực điện trong các tình huống đơn giản. Chúng ta bắt đầu bằng cách chỉ xử lý các định luật của điện học — bao gồm cả từ học, vốn thực sự là một phần của cùng một chủ đề.
Chúng ta đã nói rằng lực điện, giống như một lực hấp dẫn, giảm tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa các điện tích. Mối quan hệ này được gọi là định luật Coulomb. Nhưng nó không đúng một cách chính xác khi các điện tích đang chuyển động — các lực điện cũng phụ thuộc vào các chuyển động của các điện tích theo một cách phức tạp. Một phần của lực giữa các điện tích chuyển động chúng ta gọi là lực từ. Nó thực sự là một khía cạnh của một hiệu ứng điện. Đó là lý do chúng ta gọi chủ đề là “điện từ học.”
Có một nguyên lý tổng quát quan trọng làm cho việc xử lý các lực điện từ theo một cách tương đối đơn giản trở nên có thể. Chúng ta tìm thấy, từ thực nghiệm, rằng lực tác dụng lên một điện tích cụ thể — bất kể có bao nhiêu điện tích khác hay chúng đang chuyển động như thế nào — chỉ phụ thuộc vào vị trí của điện tích cụ thể đó, vào vận tốc của điện tích, và vào lượng điện tích. Chúng ta có thể viết lực F tác dụng lên một điện tích q chuyển động với vận tốc v như sau
F = q(E + v×B). (1.1)
Chúng ta gọi E là điện trường và B là từ trường tại vị trí của điện tích. Điều quan trọng là các lực điện từ mọi điện tích khác trong vũ trụ có thể được tóm tắt bằng cách chỉ đưa ra hai vectơ này. Các giá trị của chúng sẽ phụ thuộc vào nơi điện tích ở, và có thể thay đổi theo thời gian. Hơn nữa, nếu chúng ta thay điện tích đó bằng một điện tích khác, lực tác dụng lên điện tích mới sẽ đúng tỉ lệ với lượng điện tích chừng nào mọi điện tích còn lại trên thế giới không thay đổi vị trí hay chuyển động của chúng. (Trong các tình huống thật, dĩ nhiên, mỗi điện tích tạo ra các lực lên mọi điện tích khác trong vùng lân cận và có thể làm cho các điện tích khác này chuyển động, và vì vậy trong một số trường hợp các trường có thể thay đổi nếu chúng ta thay điện tích cụ thể của chúng ta bằng một điện tích khác.)
Chúng ta biết từ Tập I cách tìm chuyển động của một hạt nếu chúng ta biết lực tác dụng lên nó. Phương trình (1.1) có thể kết hợp với phương trình chuyển động để cho
d/dt [mv/(1 − v2/c2)1/2] = F = q(E + v×B). (1.2)
Vì vậy nếu E và B được cho, chúng ta có thể tìm các chuyển động. Bây giờ chúng ta cần biết các E và các B được tạo ra như thế nào.
Một trong các nguyên lý đơn giản hóa quan trọng nhất về cách các trường được tạo ra là thế này: Giả sử một số điện tích chuyển động theo một cách nào đó sẽ tạo ra một trường E1, và một tập hợp điện tích khác sẽ tạo ra E2. Nếu cả hai tập hợp điện tích đều có mặt cùng một lúc (giữ cùng các vị trí và chuyển động mà chúng có khi được xét riêng), thì trường được tạo ra đúng là tổng
E = E1 + E2. (1.3)
Sự kiện này được gọi là nguyên lý chồng chập của các trường. Nó cũng đúng đối với các từ trường.
Nguyên lý này có nghĩa là nếu chúng ta biết định luật cho điện trường và từ trường được tạo ra bởi một điện tích duy nhất chuyển động theo một cách tùy ý, thì mọi định luật của điện động lực học đều hoàn chỉnh. Nếu chúng ta muốn biết lực tác dụng lên điện tích A chúng ta chỉ cần tính các E và B được tạo ra bởi mỗi điện tích B, C, D, v.v., rồi cộng các E và các B từ mọi điện tích để tìm các trường, và từ chúng các lực tác dụng lên điện tích A. Nếu hóa ra trường được tạo ra bởi một điện tích duy nhất là đơn giản, đây sẽ là cách gọn gàng nhất để mô tả các định luật của điện động lực học. Chúng ta đã đưa ra một mô tả của định luật này (Chương 28, Tập I) và nó, không may, khá phức tạp.
Hóa ra các dạng mà trong đó các định luật của điện động lực học đơn giản nhất không phải là điều bạn có thể kỳ vọng. Nó không đơn giản nhất khi đưa ra một công thức cho lực mà một điện tích tạo ra lên một điện tích khác. Đúng là khi các điện tích đứng yên, định luật lực Coulomb là đơn giản, nhưng khi các điện tích chuyển động, các mối quan hệ bị phức tạp bởi các độ trễ theo thời gian và bởi các hiệu ứng của gia tốc, cùng những thứ khác. Kết quả là, chúng ta không muốn trình bày điện động lực học chỉ thông qua các định luật lực giữa các điện tích; chúng ta thấy thuận tiện hơn khi xét một quan điểm khác — một quan điểm trong đó các định luật của điện động lực học hiện ra là dễ quản lý nhất.
1–2 Điện trường và từ trường
Trước hết, chúng ta phải mở rộng, phần nào, các ý tưởng của chúng ta về các vectơ điện và từ, E và B. Chúng ta đã định nghĩa chúng theo các lực mà một điện tích cảm thấy. Bây giờ chúng ta muốn nói về điện trường và từ trường tại một điểm ngay cả khi không có điện tích nào hiện diện. Chúng ta đang nói, trên thực tế, rằng vì có các lực “tác dụng lên” điện tích, vẫn còn “cái gì đó” ở đó khi điện tích bị lấy đi. Nếu một điện tích nằm tại điểm (x,y,z) ở thời gian t cảm thấy lực F cho bởi Phương trình (1.1), chúng ta gắn các vectơ E và B với điểm trong không gian (x,y,z). Chúng ta có thể nghĩ về E(x,y,z,t) và B(x,y,z,t) như việc cho các lực sẽ được cảm nhận tại thời gian t bởi một điện tích nằm tại (x,y,z), với điều kiện là việc đặt điện tích ở đó không làm xáo trộn vị trí hay chuyển động của mọi điện tích khác chịu trách nhiệm cho các trường.
Theo ý tưởng này, chúng ta gắn với mọi điểm (x,y,z) trong không gian hai vectơ E và B, vốn có thể thay đổi theo thời gian. Điện trường và từ trường, khi đó, được xem như các hàm vectơ của x, y, z, và t. Vì một vectơ được xác định bởi các thành phần của nó, mỗi trường E(x,y,z,t) và B(x,y,z,t) biểu diễn ba hàm toán học của x, y, z, và t.
Chính vì E (hay B) có thể được xác định tại mọi điểm trong không gian mà nó được gọi là một “trường.” Một “trường” là bất kỳ đại lượng vật lý nào nhận các giá trị khác nhau tại các điểm khác nhau trong không gian. Chẳng hạn, nhiệt độ là một trường — trong trường hợp này là một trường vô hướng, mà chúng ta viết là T(x,y,z). Nhiệt độ cũng có thể thay đổi theo thời gian, và chúng ta sẽ nói trường nhiệt độ phụ thuộc thời gian, và viết T(x,y,z,t). Một ví dụ khác là “trường vận tốc” của một chất lỏng đang chảy. Chúng ta viết v(x,y,z,t) cho vận tốc của chất lỏng tại mỗi điểm trong không gian ở thời gian t. Nó là một trường vectơ.
Quay lại với các trường điện từ — mặc dù chúng được tạo ra bởi các điện tích theo các công thức phức tạp, chúng có đặc tính quan trọng sau: các mối quan hệ giữa các giá trị của các trường tại một điểm và các giá trị tại một điểm gần đó rất đơn giản. Chỉ với vài mối quan hệ như vậy dưới dạng các phương trình vi phân, chúng ta có thể mô tả các trường một cách hoàn toàn. Chính theo các phương trình như vậy mà các định luật của điện động lực học được viết ra đơn giản nhất.
Đã có nhiều phát minh khác nhau để giúp tâm trí hình dung hành vi của các trường. Đúng nhất cũng là trừu tượng nhất: chúng ta đơn giản xét các trường như các hàm toán học của vị trí và thời gian. Chúng ta cũng có thể cố gắng có được một hình ảnh trực quan về trường bằng cách vẽ các vectơ tại nhiều điểm trong không gian, mỗi vectơ cho cường độ và hướng của trường tại điểm đó. Một biểu diễn như vậy được cho trong Hình 1–1. Tuy nhiên, chúng ta có thể đi xa hơn, và vẽ các đường luôn tiếp tuyến với các vectơ — những đường, có thể nói, đi theo các mũi tên và ghi dấu hướng của trường. Khi chúng ta làm điều này chúng ta đánh mất dấu vết của độ dài của các vectơ, nhưng chúng ta có thể ghi dấu cường độ của trường bằng cách vẽ các đường cách xa nhau khi trường yếu và gần nhau khi trường mạnh. Chúng ta chấp nhận quy ước rằng số đường trên một đơn vị diện tích vuông góc với các đường tỉ lệ với cường độ trường. Điều này, dĩ nhiên, chỉ là một xấp xỉ, và nó sẽ đòi hỏi, nói chung, rằng các đường mới đôi khi xuất hiện để giữ số lượng theo kịp cường độ của trường. Trường của Hình 1–1 được biểu diễn bằng các đường sức trong Hình 1–2.
1–3 Các đặc trưng của trường vectơ
Có hai tính chất toán học quan trọng của một trường vectơ mà chúng ta sẽ sử dụng trong mô tả của chúng ta về các định luật của điện học từ quan điểm trường. Giả sử chúng ta tưởng tượng một mặt kín thuộc loại nào đó và hỏi xem chúng ta có đang mất “cái gì đó” từ bên trong không; tức là, trường có phẩm chất “chảy ra ngoài” không? Ví dụ, đối với một trường vận tốc, chúng ta có thể hỏi liệu vận tốc luôn hướng ra ngoài trên mặt hay, tổng quát hơn, liệu có nhiều chất lỏng chảy ra (trên một đơn vị thời gian) hơn chảy vào không. Chúng ta gọi lượng ròng của chất lỏng đi ra qua mặt trên một đơn vị thời gian là “thông lượng của vận tốc” qua mặt. Dòng chảy qua một yếu tố của một mặt đúng bằng thành phần của vận tốc vuông góc với mặt nhân với diện tích của mặt. Đối với một mặt kín tùy ý, dòng chảy ròng ra ngoài — hay thông lượng — là thành phần pháp tuyến hướng ra ngoài trung bình của vận tốc, nhân với diện tích của mặt:
Thông lượng = (thành phần pháp tuyến trung bình)·(diện tích mặt). (1.4)
Trong trường hợp của một điện trường, chúng ta có thể định nghĩa về mặt toán học một cái gì đó tương tự như một dòng chảy ra, và chúng ta lại gọi nó là thông lượng, nhưng dĩ nhiên nó không phải là dòng chảy của bất kỳ chất nào, vì điện trường không phải là vận tốc của bất cứ thứ gì. Tuy nhiên, hóa ra đại lượng toán học vốn là thành phần pháp tuyến trung bình của trường vẫn có một ý nghĩa hữu ích. Vì vậy chúng ta nói về thông lượng điện — cũng được định nghĩa bởi Phương trình (1.4). Cuối cùng, cũng hữu ích khi nói về thông lượng không chỉ qua một mặt hoàn toàn kín, mà qua bất kỳ mặt giới hạn nào. Như trước, thông lượng qua một mặt như vậy được định nghĩa là thành phần pháp tuyến trung bình của một vectơ nhân với diện tích của mặt. Những ý tưởng này được minh họa trong Hình 1–3.
Có một tính chất thứ hai của một trường vectơ liên quan đến một đường, thay vì một mặt. Giả sử một lần nữa chúng ta nghĩ về một trường vận tốc mô tả dòng chảy của một chất lỏng. Chúng ta có thể hỏi câu hỏi thú vị này: Chất lỏng có đang lưu thông không? Ý chúng ta là: Có một chuyển động quay ròng quanh một vòng nào đó không? Giả sử chúng ta tức thì đóng băng chất lỏng ở mọi nơi ngoại trừ bên trong một ống có đường kính đều, và đi theo một vòng khép lại chính nó như trong Hình 1–4. Bên ngoài ống chất lỏng ngừng chuyển động, nhưng bên trong ống nó có thể tiếp tục chuyển động vì động lượng trong chất lỏng bị bẫy — tức là, nếu có nhiều động lượng hướng theo một chiều quanh ống hơn chiều kia. Chúng ta định nghĩa một đại lượng gọi là lưu thông là tốc độ kết quả của chất lỏng trong ống nhân với chu vi của nó. Chúng ta lại có thể mở rộng các ý tưởng của chúng ta và định nghĩa “lưu thông” cho bất kỳ trường vectơ nào (ngay cả khi không có gì đang chuyển động). Đối với bất kỳ trường vectơ nào, lưu thông quanh bất kỳ đường cong kín tưởng tượng nào được định nghĩa là thành phần tiếp tuyến trung bình của vectơ (theo một chiều nhất quán) nhân với chu vi của vòng (Hình 1–5):
Lưu thông = (thành phần tiếp tuyến trung bình)·(quãng đường vòng quanh). (1.5)
Bạn sẽ thấy rằng định nghĩa này quả thật cho một con số tỉ lệ với vận tốc lưu thông trong ống được đóng băng nhanh chóng đã mô tả ở trên.
Chỉ với hai ý tưởng này — thông lượng và lưu thông — chúng ta có thể mô tả mọi định luật của điện học và từ học ngay lập tức. Bạn có thể chưa hiểu ý nghĩa của các định luật ngay, nhưng chúng sẽ cho bạn một ý tưởng nào đó về cách vật lý của điện từ học cuối cùng sẽ được mô tả.
1–4 Các định luật của điện từ học
Định luật đầu tiên của điện từ học mô tả thông lượng của điện trường:
Thông lượng của E qua bất kỳ mặt kín nào = (điện tích ròng bên trong)/ε0, (1.6)
trong đó ε0 là một hằng số thuận tiện. (Hằng số ε0 thường được đọc là “epsilon-không” hay “epsilon-zero”.) Nếu không có điện tích nào bên trong mặt, mặc dù có các điện tích ở gần bên ngoài mặt, thành phần pháp tuyến trung bình của E bằng không, vì vậy không có thông lượng ròng qua mặt. Để cho thấy sức mạnh của loại phát biểu này, chúng ta có thể chỉ ra rằng Phương trình (1.6) giống như định luật Coulomb, với điều kiện chúng ta cũng cộng thêm ý tưởng rằng trường từ một điện tích duy nhất đối xứng cầu. Đối với một điện tích điểm, chúng ta vẽ một mặt cầu quanh điện tích. Khi đó thành phần pháp tuyến trung bình đúng là giá trị của độ lớn của E tại bất kỳ điểm nào, vì trường phải hướng theo phương xuyên tâm và có cùng cường độ đối với mọi điểm trên mặt cầu. Quy tắc của chúng ta bây giờ nói rằng trường tại bề mặt của mặt cầu, nhân với diện tích của mặt cầu — tức là, thông lượng hướng ra — tỉ lệ với điện tích bên trong. Nếu chúng ta làm bán kính của mặt cầu lớn hơn, diện tích sẽ tăng theo bình phương của bán kính. Thành phần pháp tuyến trung bình của điện trường nhân với diện tích đó vẫn phải bằng cùng điện tích bên trong, và vì vậy trường phải giảm theo bình phương của khoảng cách — chúng ta thu được một trường “nghịch đảo bình phương.”
Nếu chúng ta có một đường cong đứng yên tùy ý trong không gian và đo lưu thông của điện trường quanh đường cong, chúng ta sẽ thấy rằng nó, nói chung, không bằng không (mặc dù nó bằng không đối với trường Coulomb). Thay vào đó, đối với điện học có một định luật thứ hai phát biểu: đối với bất kỳ mặt S nào (không kín) mà mép của nó là đường cong C,
Lưu thông của E quanh C = −d/dt (thông lượng của B qua S). (1.7)
Chúng ta có thể hoàn thiện các định luật của trường điện từ bằng cách viết hai phương trình tương ứng cho từ trường B:
Thông lượng của B qua bất kỳ mặt kín nào = 0. (1.8)
Đối với một mặt S được giới hạn bởi đường cong C,
c2(lưu thông của B quanh C) = d/dt (thông lượng của E qua S) + (thông lượng của dòng điện qua S)/ε0. (1.9)
Hằng số c2 xuất hiện trong Phương trình (1.9) là bình phương của vận tốc ánh sáng. Nó xuất hiện vì từ học trên thực tế là một hiệu ứng tương đối tính của điện học. Hằng số ε0 đã được đưa vào để làm cho các đơn vị của dòng điện ra một cách thuận tiện.
Các phương trình (1.6) đến (1.9), cùng với Phương trình (1.1), là mọi định luật của điện động lực học1. Như bạn nhớ, các định luật của Newton rất đơn giản để viết ra, nhưng chúng có rất nhiều hệ quả phức tạp và chúng ta đã mất một thời gian dài để tìm hiểu về tất cả chúng. Các định luật này không gần như đơn giản để viết ra, điều đó có nghĩa là các hệ quả sẽ công phu hơn và chúng ta sẽ mất khá nhiều thời gian để tìm ra tất cả chúng.
Chúng ta có thể minh họa một số định luật của điện động lực học bằng một loạt các thí nghiệm nhỏ cho thấy một cách định tính các mối quan hệ lẫn nhau của điện trường và từ trường. Bạn đã trải nghiệm số hạng đầu tiên của Phương trình (1.1) khi chải tóc, vì vậy chúng ta sẽ không trình diễn cái đó. Phần thứ hai của Phương trình (1.1) có thể được chứng minh bằng cách cho một dòng điện qua một sợi dây treo phía trên một nam châm thanh, như được chỉ ra trong Hình 1–6. Sợi dây sẽ chuyển động khi dòng điện được bật vì lực F = qv×B. Khi một dòng điện tồn tại, các điện tích bên trong sợi dây đang chuyển động, vì vậy chúng có một vận tốc v, và từ trường từ nam châm tác dụng một lực lên chúng, dẫn đến việc đẩy sợi dây sang một bên.
Khi sợi dây bị đẩy sang trái, chúng ta sẽ kỳ vọng rằng nam châm phải cảm thấy một cú đẩy sang phải. (Nếu không chúng ta có thể đặt toàn bộ lên một toa xe và có một hệ thống đẩy không bảo toàn động lượng!) Mặc dù lực quá nhỏ để làm chuyển động của nam châm thanh trở nên nhìn thấy được, một nam châm được đỡ nhạy hơn, như một kim la bàn, sẽ cho thấy chuyển động.
Sợi dây đẩy nam châm như thế nào? Dòng điện trong sợi dây tạo ra từ trường riêng của nó, trường này tác dụng các lực lên nam châm. Theo số hạng cuối cùng trong Phương trình (1.9), một dòng điện phải có một lưu thông của B — trong trường hợp này, các đường của B là các vòng quanh sợi dây, như được chỉ ra trong Hình 1–7. Trường B này chịu trách nhiệm cho lực tác dụng lên nam châm.
Phương trình (1.9) cho chúng ta biết rằng đối với một dòng điện cố định qua sợi dây, lưu thông của B là như nhau đối với bất kỳ đường cong nào bao quanh sợi dây. Đối với các đường cong — chẳng hạn các vòng tròn — ở xa sợi dây hơn, chu vi lớn hơn, vì vậy thành phần tiếp tuyến của B phải giảm. Bạn có thể thấy rằng chúng ta, trên thực tế, sẽ kỳ vọng B giảm tuyến tính theo khoảng cách từ một sợi dây thẳng dài.
Bây giờ, chúng ta đã nói rằng một dòng điện qua một sợi dây tạo ra một từ trường, và rằng khi một từ trường hiện diện sẽ có một lực tác dụng lên một sợi dây mang dòng điện. Khi đó chúng ta cũng nên kỳ vọng rằng nếu chúng ta tạo ra một từ trường bằng một dòng điện trong một sợi dây, nó nên tác dụng một lực lên một sợi dây khác cũng mang dòng điện. Điều này có thể được chỉ ra bằng cách dùng hai sợi dây treo như được chỉ ra trong Hình 1–8. Khi các dòng điện cùng chiều, hai sợi dây hút nhau, nhưng khi các dòng điện ngược chiều, chúng đẩy nhau.
Nói ngắn gọn, các dòng điện, cũng như các nam châm, tạo ra từ trường. Nhưng khoan, nam châm, dù sao, là gì? Nếu từ trường được tạo ra bởi các điện tích chuyển động, có thể nào từ trường từ một miếng sắt thực sự là kết quả của các dòng điện không? Có vẻ là như vậy. Chúng ta có thể thay thế nam châm thanh trong thí nghiệm của chúng ta bằng một cuộn dây, như được chỉ ra trong Hình 1–9. Khi một dòng điện được cho qua cuộn dây — cũng như qua sợi dây thẳng phía trên nó — chúng ta quan sát một chuyển động của sợi dây đúng như trước, khi chúng ta có một nam châm thay vì một cuộn dây. Nói cách khác, dòng điện trong cuộn dây bắt chước một nam châm. Khi đó, có vẻ như một miếng sắt hoạt động như thể nó chứa một dòng điện lưu thông vĩnh cửu. Chúng ta, trên thực tế, có thể hiểu các nam châm theo các dòng điện vĩnh cửu trong các nguyên tử của sắt. Lực tác dụng lên nam châm trong Hình 1–7 là do số hạng thứ hai trong Phương trình (1.1).
Các dòng điện đến từ đâu? Một khả năng là từ chuyển động của các electron trong các quỹ đạo nguyên tử. Trên thực tế, đó không phải là trường hợp đối với sắt, mặc dù nó đúng đối với một số vật liệu. Ngoài việc chuyển động vòng quanh trong một nguyên tử, một electron còn tự quay quanh trục của chính nó — một điều gì đó giống như sự tự quay của trái đất — và chính dòng điện từ spin này tạo ra từ trường trong sắt. (Chúng ta nói “một điều gì đó giống như sự tự quay của trái đất” vì câu hỏi sâu sắc trong cơ học lượng tử đến mức các ý tưởng cổ điển không thật sự mô tả mọi thứ quá tốt.) Trong đa số các chất, một số electron quay theo một chiều và một số quay theo chiều kia, vì vậy từ tính bị khử lẫn nhau, nhưng trong sắt — vì một lý do bí ẩn mà chúng ta sẽ thảo luận sau — nhiều electron đang quay với các trục của chúng xếp hàng, và đó là nguồn gốc của từ tính.
Vì các trường của nam châm đến từ các dòng điện, chúng ta không phải cộng thêm bất kỳ số hạng phụ nào vào các Phương trình (1.8) hay (1.9) để xử lý các nam châm. Chúng ta chỉ lấy mọi dòng điện, bao gồm các dòng điện lưu thông của các electron đang quay, và khi đó định luật là đúng. Bạn cũng nên lưu ý rằng Phương trình (1.8) nói rằng không có “điện tích” từ tương tự như các điện tích điện xuất hiện ở vế phải của Phương trình (1.6). Chưa có cái nào được tìm thấy.
Số hạng đầu tiên ở vế phải của Phương trình (1.9) được Maxwell phát hiện về mặt lý thuyết và có tầm quan trọng lớn. Nó nói rằng các điện trường thay đổi tạo ra các hiệu ứng từ. Trên thực tế, không có số hạng này phương trình sẽ không có ý nghĩa, vì không có nó sẽ không thể có các dòng điện trong các mạch không phải là các vòng hoàn chỉnh. Nhưng các dòng điện như vậy quả thật tồn tại, như chúng ta có thể thấy trong ví dụ sau. Hãy tưởng tượng một tụ điện làm từ hai bản phẳng. Nó đang được nạp bởi một dòng điện chảy về phía một bản và ra xa khỏi bản kia, như được chỉ ra trong Hình 1–10. Chúng ta vẽ một đường cong C quanh một trong các sợi dây và lấp đầy nó bằng một mặt cắt qua sợi dây, như được chỉ ra bởi mặt S1 trong hình. Theo Phương trình (1.9), lưu thông của B quanh C (nhân với c2) được cho bởi dòng điện trong sợi dây (chia cho ε0). Nhưng nếu chúng ta lấp đầy đường cong bằng một mặt khác, S2, có hình dạng như một cái bát và đi qua giữa các bản của tụ điện, luôn ở xa sợi dây, thì sao? Chắc chắn không có dòng điện qua mặt này. Nhưng, chắc chắn, chỉ thay đổi vị trí của một mặt tưởng tượng sẽ không thay đổi một từ trường thật! Lưu thông của B phải như nó đã là trước đây. Số hạng đầu tiên ở vế phải của Phương trình (1.9) quả thật kết hợp với số hạng thứ hai để cho cùng một kết quả đối với hai mặt S1 và S2. Đối với S2, lưu thông của B được cho theo tốc độ thay đổi của thông lượng của E giữa các bản của tụ điện. Và hóa ra E thay đổi liên quan đến dòng điện đúng theo cách đòi hỏi để Phương trình (1.9) đúng. Maxwell thấy rằng nó là cần thiết, và ông là người đầu tiên viết phương trình hoàn chỉnh.
Với thiết lập được chỉ ra trong Hình 1–6, chúng ta có thể chứng minh một định luật khác của điện từ học. Chúng ta ngắt các đầu của sợi dây treo khỏi pin và nối chúng với một điện kế (galvanometer) cho chúng ta biết khi nào có một dòng điện qua sợi dây. Khi chúng ta đẩy sợi dây sang một bên qua từ trường của nam châm, chúng ta quan sát thấy một dòng điện. Một hiệu ứng như vậy lại chỉ là một hệ quả khác của Phương trình (1.1) — các electron trong sợi dây cảm thấy lực F = qv×B. Các electron có một vận tốc sang một bên vì chúng chuyển động cùng với sợi dây. v này với một B thẳng đứng từ nam châm dẫn đến một lực tác dụng lên các electron hướng dọc theo sợi dây, lực này làm các electron bắt đầu chuyển động về phía điện kế.
Tuy nhiên, giả sử chúng ta để sợi dây yên và di chuyển nam châm. Chúng ta đoán từ thuyết tương đối rằng nó sẽ không tạo ra khác biệt gì, và quả thật, chúng ta quan sát thấy một dòng điện tương tự trong điện kế. Từ trường tạo ra các lực lên các điện tích đứng yên như thế nào? Theo Phương trình (1.1) phải có một điện trường. Một nam châm chuyển động phải tạo ra một điện trường. Điều đó xảy ra như thế nào được phát biểu định lượng bởi Phương trình (1.7). Phương trình này mô tả nhiều hiện tượng có lợi ích thực tiễn lớn, chẳng hạn những hiện tượng xảy ra trong các máy phát điện và máy biến áp.
Hệ quả đáng chú ý nhất của các phương trình của chúng ta là sự kết hợp của Phương trình (1.7) và Phương trình (1.9) chứa lời giải thích cho sự bức xạ của các hiệu ứng điện từ trên các khoảng cách lớn. Lý do đại khái là như thế này: giả sử ở đâu đó chúng ta có một từ trường đang tăng vì, chẳng hạn, một dòng điện được bật đột ngột trong một sợi dây. Khi đó theo Phương trình (1.7) phải có một lưu thông của một điện trường. Khi điện trường hình thành để tạo ra lưu thông của nó, thì theo Phương trình (1.9) một lưu thông từ sẽ được tạo ra. Nhưng sự hình thành của từ trường này sẽ tạo ra một lưu thông mới của điện trường, và cứ như vậy. Theo cách này các trường tự lê bước qua không gian mà không cần điện tích hay dòng điện ngoại trừ tại nguồn của chúng. Đó là cách chúng ta nhìn thấy lẫn nhau! Tất cả đều nằm trong các phương trình của trường điện từ.
1–5 Các trường là gì?
Bây giờ chúng ta đưa ra vài nhận xét về cách chúng ta nhìn nhận chủ đề này. Bạn có thể đang nói: “Tất cả chuyện thông lượng và lưu thông này khá trừu tượng. Có các điện trường tại mọi điểm trong không gian; sau đó có các ‘định luật’ này. Nhưng thực sự điều gì đang xảy ra? Tại sao bạn không thể giải thích nó, chẳng hạn, bằng bất cứ thứ gì là cái đi giữa các điện tích.” À, điều đó phụ thuộc vào các định kiến của bạn. Nhiều nhà vật lý từng nói rằng tác dụng trực tiếp mà không có gì ở giữa là không thể quan niệm được. (Làm sao họ có thể thấy một ý tưởng là không thể quan niệm được khi nó đã được quan niệm rồi?) Họ sẽ nói: “Hãy nhìn xem, các lực duy nhất chúng ta biết là tác dụng trực tiếp của một mảnh vật chất lên một mảnh khác. Không thể có một lực mà không có gì truyền nó.” Nhưng điều gì thực sự xảy ra khi chúng ta nghiên cứu “tác dụng trực tiếp” của một mảnh vật chất ngay sát một mảnh khác? Chúng ta khám phá ra rằng nó không phải là một mảnh ngay sát mảnh kia; chúng hơi tách ra, và có các lực điện tác dụng ở quy mô nhỏ xíu. Vì vậy chúng ta thấy rằng chúng ta sẽ giải thích cái gọi là tác dụng tiếp xúc trực tiếp theo bức tranh cho các lực điện. Chắc chắn không hợp lý khi cố khăng khăng rằng một lực điện phải trông giống như cú đẩy hay kéo cơ bắp cũ, quen thuộc, khi hóa ra các cú đẩy và kéo cơ bắp sẽ được diễn giải là các lực điện! Câu hỏi hợp lý duy nhất là đâu là cách thuận tiện nhất để nhìn nhận các hiệu ứng điện. Một số người thích biểu diễn chúng như sự tương tác ở khoảng cách của các điện tích, và sử dụng một định luật phức tạp. Những người khác yêu các đường sức. Họ vẽ các đường sức mọi lúc, và cảm thấy rằng việc viết các E và các B là quá trừu tượng. Tuy nhiên, các đường sức chỉ là một cách thô để mô tả một trường, và rất khó đưa ra các định luật đúng, định lượng trực tiếp theo các đường sức. Ngoài ra, các ý tưởng về đường sức không chứa nguyên lý sâu sắc nhất của điện động lực học, đó là nguyên lý chồng chập. Ngay cả khi chúng ta biết các đường sức trông như thế nào đối với một tập hợp điện tích và các đường sức trông như thế nào đối với một tập hợp điện tích khác, chúng ta không có ý tưởng gì về các mẫu đường sức sẽ trông như thế nào khi cả hai tập hợp đều hiện diện cùng nhau. Mặt khác, từ quan điểm toán học, chồng chập là dễ dàng — chúng ta chỉ đơn giản cộng hai vectơ. Các đường sức có một số lợi thế trong việc cho một hình ảnh sống động, nhưng chúng cũng có một số nhược điểm. Cách suy nghĩ tương tác trực tiếp có lợi thế lớn khi nghĩ về các điện tích điện đứng yên, nhưng có nhược điểm lớn khi xử lý các điện tích chuyển động nhanh.
Cách tốt nhất là sử dụng ý tưởng trường trừu tượng. Việc nó trừu tượng là không may, nhưng cần thiết. Các cố gắng cố biểu diễn điện trường như chuyển động của một loại bánh răng nào đó, hoặc theo các đường, hoặc các ứng suất trong một loại vật liệu nào đó đã tiêu tốn nhiều công sức của các nhà vật lý hơn là chỉ đơn giản thu được các đáp án đúng về điện động lực học. Thú vị là các phương trình đúng cho hành vi của ánh sáng đã được MacCullagh tìm ra năm 1839. Nhưng người ta nói với ông: “Đúng vậy, nhưng không có vật liệu thật nào mà các tính chất cơ học của nó có thể thỏa mãn các phương trình đó, và vì ánh sáng là một dao động phải rung trong cái gì đó, chúng ta không thể tin chuyện phương trình trừu tượng này.” Nếu người ta cởi mở hơn, họ có thể đã tin vào các phương trình đúng cho hành vi của ánh sáng sớm hơn nhiều so với thực tế.
Trong trường hợp của từ trường chúng ta có thể đưa ra điểm sau: Giả sử bạn cuối cùng thành công trong việc dựng lên một bức tranh về từ trường theo một loại đường nào đó hoặc các bánh răng chạy qua không gian. Sau đó bạn cố gắng giải thích điều gì xảy ra với hai điện tích chuyển động trong không gian, cả hai ở cùng một tốc độ và song song với nhau. Vì chúng đang chuyển động, chúng sẽ hoạt động như hai dòng điện và sẽ có một từ trường gắn với chúng (như các dòng điện trong các sợi dây của Hình 1–8). Tuy nhiên, một người quan sát đi cùng với hai điện tích sẽ thấy cả hai điện tích đều đứng yên, và sẽ nói rằng không có từ trường. Các “bánh răng” hay “đường” biến mất khi bạn đi cùng với vật thể! Tất cả những gì chúng ta đã làm là sáng tạo ra một vấn đề mới. Làm sao các bánh răng có thể biến mất?! Những người vẽ các đường sức ở trong một khó khăn tương tự. Không chỉ không thể nói các đường sức chuyển động hay không chuyển động cùng các điện tích — chúng có thể biến mất hoàn toàn trong một số hệ quy chiếu.
Vậy điều chúng ta đang nói là từ học thực sự là một hiệu ứng tương đối tính. Trong trường hợp hai điện tích chúng ta vừa xét, di chuyển song song với nhau, chúng ta sẽ kỳ vọng phải thực hiện các hiệu chỉnh tương đối tính cho chuyển động của chúng, với các số hạng bậc v2/c2. Các hiệu chỉnh này phải tương ứng với lực từ. Nhưng còn lực giữa hai sợi dây trong thí nghiệm của chúng ta (Hình 1–8) thì sao. Ở đó lực từ là toàn bộ lực. Nó không trông giống một “hiệu chỉnh tương đối tính.” Ngoài ra, nếu chúng ta ước lượng vận tốc của các electron trong sợi dây (bạn có thể tự làm điều này), chúng ta thấy rằng tốc độ trung bình của chúng dọc theo sợi dây khoảng 0,01 centimét trên giây. Vì vậy v2/c2 khoảng 10−25. Chắc chắn là một “hiệu chỉnh” không đáng kể. Nhưng không! Mặc dù lực từ, trong trường hợp này, là 10−25 của lực điện “thông thường” giữa các electron chuyển động, hãy nhớ rằng các lực điện “thông thường” đã biến mất vì sự cân bằng gần như hoàn hảo — vì các sợi dây có cùng số proton như electron. Sự cân bằng chính xác hơn nhiều so với một phần trong 1025, và số hạng tương đối tính nhỏ mà chúng ta gọi là lực từ là số hạng duy nhất còn lại. Nó trở thành số hạng chiếm ưu thế.
Chính sự hủy bỏ gần như hoàn hảo của các hiệu ứng điện đã cho phép các hiệu ứng tương đối (tức là từ học) được nghiên cứu và các phương trình đúng — đến bậc v2/c2 — được phát hiện, mặc dù các nhà vật lý không biết đó là điều đang xảy ra. Và đó là lý do tại sao, khi thuyết tương đối được phát hiện, các định luật điện từ không cần phải thay đổi. Chúng — khác với cơ học — đã đúng sẵn đến độ chính xác v2/c2.
1–6 Điện từ học trong khoa học và công nghệ
Hãy kết thúc chương này bằng cách chỉ ra rằng trong số nhiều hiện tượng được người Hy Lạp nghiên cứu có hai hiện tượng rất kỳ lạ: rằng nếu bạn cọ xát một miếng hổ phách bạn có thể nhấc lên những mảnh giấy cói nhỏ, và rằng có một loại đá kỳ lạ từ vùng đất Magnesia thu hút sắt. Thật đáng kinh ngạc khi nghĩ rằng đây là những hiện tượng duy nhất mà người Hy Lạp biết trong đó các hiệu ứng của điện hay từ hiện ra. Lý do những hiện tượng này là những hiện tượng duy nhất xuất hiện chủ yếu là do sự cân bằng điện tích chính xác kỳ diệu mà chúng ta đã đề cập trước đây. Việc nghiên cứu bởi các nhà khoa học đến sau người Hy Lạp khám phá ra hết hiện tượng mới này đến hiện tượng mới khác vốn thực sự là một khía cạnh nào đó của các hiệu ứng hổ phách và/hoặc đá nam châm này. Bây giờ chúng ta nhận ra rằng các hiện tượng của tương tác hóa học và, cuối cùng, của chính sự sống phải được hiểu theo điện từ học.
Đồng thời với việc một sự hiểu biết về chủ đề điện từ học đang được phát triển, các khả năng kỹ thuật thách thức trí tưởng tượng của những người đi trước đang xuất hiện: trở nên có thể báo hiệu bằng điện báo trên các khoảng cách xa, và nói chuyện với một người ở xa hàng dặm mà không có bất kỳ kết nối nào giữa, và vận hành các hệ thống điện lớn — một bánh xe nước lớn, được kết nối bởi các sợi dây trên hàng trăm dặm tới một động cơ khác quay theo bánh xe chủ — hàng nghìn sợi dây phân nhánh — mười nghìn động cơ ở mười nghìn nơi chạy các máy móc của các ngành công nghiệp và nhà ở — tất cả quay vì kiến thức về các định luật của điện từ học.
Ngày nay chúng ta đang áp dụng các hiệu ứng còn tinh tế hơn. Các lực điện, dù khổng lồ như vậy, cũng có thể rất nhỏ, và chúng ta có thể kiểm soát chúng và sử dụng chúng theo rất nhiều cách. Các dụng cụ của chúng ta tinh vi đến mức chúng ta có thể biết một người đang làm gì bằng cách anh ta ảnh hưởng đến các electron trong một thanh kim loại mỏng ở xa hàng trăm dặm. Tất cả những gì chúng ta cần làm là sử dụng thanh đó làm một ăng-ten cho một máy thu truyền hình!
Từ một tầm nhìn dài của lịch sử nhân loại — nhìn từ, chẳng hạn, mười nghìn năm kể từ bây giờ — có thể có ít nghi ngờ rằng sự kiện quan trọng nhất của thế kỷ 19 sẽ được phán xét là khám phá của Maxwell về các định luật của điện động lực học. Nội chiến Hoa Kỳ sẽ mờ nhạt thành sự tầm thường cấp tỉnh so với sự kiện khoa học quan trọng này của cùng thập niên.
1. Chúng ta chỉ cần thêm một nhận xét về một số quy ước đối với dấu của lưu thông.