Chương 18: Các phương trình Maxwell

18–1  Các phương trình Maxwell

Trong chương này chúng ta quay lại bộ đầy đủ gồm bốn phương trình Maxwell mà chúng ta đã lấy làm điểm xuất phát trong Chương 1. Cho đến nay, chúng ta đã nghiên cứu các phương trình Maxwell từng mảng nhỏ một; đã đến lúc thêm vào một mảng cuối cùng, và ghép tất cả lại với nhau. Khi đó chúng ta sẽ có câu chuyện đầy đủ và đúng đắn về các trường điện từ có thể thay đổi theo thời gian theo bất kỳ cách nào. Bất cứ điều gì nói trong chương này mâu thuẫn với điều đã nói trước đó thì là đúng, và điều đã nói trước đó là sai — bởi vì điều đã nói trước đó chỉ áp dụng cho những tình huống đặc biệt như, chẳng hạn, các dòng điện dừng hay các điện tích cố định. Mặc dù chúng ta đã rất cẩn thận chỉ ra các hạn chế mỗi khi viết một phương trình, nhưng rất dễ quên hết các điều kiện kèm theo và học thuộc quá kỹ những phương trình sai. Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng trình bày toàn bộ sự thật, không có điều kiện kèm theo nào (hay gần như không có).

Các phương trình Maxwell đầy đủ được viết trong Bảng 18–1, bằng lời cũng như bằng các ký hiệu toán học. Việc hai dạng lời và ký hiệu tương đương nhau hẳn đến nay đã quen thuộc — bạn phải có khả năng dịch qua lại từ dạng này sang dạng kia.

Phương trình đầu tiên — rằng divergence của E là mật độ điện tích chia cho ε₀ — đúng trong trường hợp tổng quát. Trong các trường động cũng như trong các trường tĩnh, định luật Gauss luôn có hiệu lực. Thông lượng của E qua bất kỳ mặt kín nào cũng tỉ lệ với điện tích bên trong. Phương trình thứ ba là định luật tổng quát tương ứng cho từ trường. Vì không tồn tại các điện tích từ, thông lượng của B qua bất kỳ mặt kín nào cũng luôn bằng không. Phương trình thứ hai, rằng curl của E là −∂B/∂t, là định luật Faraday và đã được thảo luận trong hai chương vừa qua. Nó cũng đúng trong trường hợp tổng quát. Phương trình cuối cùng có một điều mới. Trước đây chúng ta mới chỉ thấy phần của nó đúng cho các dòng điện dừng. Trong trường hợp đó chúng ta đã nói rằng curl của B là j/ε₀c², nhưng phương trình tổng quát đúng đắn có một phần mới do Maxwell khám phá ra.

Trước công trình của Maxwell, các định luật đã biết về điện và từ là những định luật chúng ta đã nghiên cứu trong các Chương 3 đến 17. Đặc biệt, phương trình cho từ trường của các dòng điện dừng chỉ được biết dưới dạng

∇×B = j/(ε₀c²).   (18.1)

Maxwell bắt đầu bằng cách xét các định luật đã biết này và biểu diễn chúng dưới dạng các phương trình vi phân, như chúng ta đã làm ở đây. (Mặc dù ký hiệu ∇ lúc đó chưa được phát minh, nhưng chủ yếu là nhờ Maxwell mà tầm quan trọng của các tổ hợp đạo hàm, mà ngày nay chúng ta gọi là curl và divergence, lần đầu tiên trở nên rõ ràng.) Rồi ông nhận thấy có điều gì đó kỳ lạ về phương trình (18.1). Nếu ta lấy divergence của phương trình này, vế trái sẽ bằng không, bởi vì divergence của một curl luôn bằng không. Vậy phương trình này đòi hỏi divergence của j cũng phải bằng không. Nhưng nếu divergence của j bằng không, thì tổng thông lượng của dòng điện ra khỏi bất kỳ mặt kín nào cũng bằng không.

Thông lượng của dòng điện ra khỏi một mặt kín là sự giảm của điện tích bên trong mặt. Điều này chắc chắn không thể nói chung bằng không, bởi vì chúng ta biết rằng các điện tích có thể được di chuyển từ nơi này sang nơi khác. Phương trình

∇·j = −∂ρ/∂t   (18.2)

thực tế gần như đã là định nghĩa của j đối với chúng ta. Phương trình này biểu diễn định luật rất cơ bản rằng điện tích được bảo toàn — mọi dòng điện tích đều phải đến từ một nguồn cung nào đó. Maxwell đánh giá cao khó khăn này và đề xuất rằng có thể tránh được nó bằng cách thêm số hạng ∂E/∂t vào vế phải của phương trình (18.1); khi đó ông thu được phương trình thứ tư trong Bảng 18–1:

IV.   c²∇×B = j/ε₀ + ∂E/∂t.

Vào thời của Maxwell, người ta chưa quen suy nghĩ theo các trường trừu tượng. Maxwell thảo luận các ý tưởng của mình theo một mô hình trong đó chân không giống như một chất rắn đàn hồi. Ông cũng cố giải thích ý nghĩa của phương trình mới của mình theo mô hình cơ học đó. Đã có nhiều sự miễn cưỡng trong việc chấp nhận lý thuyết của ông, thứ nhất vì mô hình, và thứ hai vì lúc đầu chưa có sự chứng thực bằng thực nghiệm. Ngày nay, chúng ta hiểu rõ hơn rằng điều quan trọng là chính các phương trình chứ không phải mô hình được dùng để thu được chúng. Chúng ta chỉ có thể đặt câu hỏi liệu các phương trình có đúng hay sai. Điều này được trả lời bằng cách làm thí nghiệm, và vô số thí nghiệm đã khẳng định các phương trình Maxwell. Nếu chúng ta dỡ bỏ giàn giáo mà ông đã dùng để xây dựng nó, chúng ta thấy rằng tòa nhà đẹp đẽ của Maxwell tự đứng vững. Ông đã tập hợp mọi định luật về điện và từ lại và tạo thành một lý thuyết hoàn chỉnh và đẹp đẽ.

Hãy chỉ ra rằng số hạng thêm vào đúng là cái cần thiết để tháo gỡ khó khăn mà Maxwell đã phát hiện. Lấy divergence của phương trình của ông (IV trong Bảng 18–1), chúng ta phải có rằng divergence của vế phải bằng không:

∇·(j/ε₀) + ∇·(∂E/∂t) = 0.   (18.3)

Trong số hạng thứ hai, thứ tự của các đạo hàm theo tọa độ và theo thời gian có thể đổi cho nhau, nên phương trình có thể được viết lại thành

∇·j + ε₀ ∂/∂t (∇·E) = 0.   (18.4)

Nhưng phương trình đầu tiên của Maxwell nói rằng divergence của E là ρ/ε₀. Thay đẳng thức này vào phương trình (18.4), chúng ta quay lại phương trình (18.2), điều mà chúng ta biết là đúng. Ngược lại, nếu chúng ta chấp nhận các phương trình Maxwell — và chúng ta chấp nhận vì chưa ai từng tìm thấy một thí nghiệm nào không đồng ý với chúng — thì chúng ta phải kết luận rằng điện tích luôn được bảo toàn.

Các định luật vật lý không có câu trả lời cho câu hỏi: “Điều gì xảy ra nếu một điện tích đột nhiên được tạo ra tại điểm này — các hiệu ứng điện từ nào được sinh ra?” Không thể đưa ra câu trả lời vì các phương trình của chúng ta nói rằng điều đó không xảy ra. Nếu nó có xảy ra, chúng ta sẽ cần các định luật mới, nhưng chúng ta không thể nói chúng sẽ là gì. Chúng ta chưa có cơ hội quan sát xem một thế giới không có sự bảo toàn điện tích hành xử như thế nào. Theo các phương trình của chúng ta, nếu bạn đột nhiên đặt một điện tích tại một điểm nào đó, bạn đã phải mang nó đến đó từ một nơi khác. Trong trường hợp đó, chúng ta có thể nói điều gì sẽ xảy ra.

Khi chúng ta thêm một số hạng mới vào phương trình cho curl của E, chúng ta đã thấy rằng một lớp hiện tượng hoàn toàn mới được mô tả. Chúng ta sẽ thấy rằng việc Maxwell thêm vào một chút vào phương trình cho ∇×B cũng có những hệ quả sâu rộng. Chúng ta chỉ có thể chạm tới một vài trong số chúng trong chương này.

18–2  Số hạng mới hoạt động như thế nào

Làm ví dụ đầu tiên, chúng ta xét điều gì xảy ra với một phân bố dòng điện hướng kính có đối xứng cầu. Giả sử chúng ta hình dung một quả cầu nhỏ có vật liệu phóng xạ trên đó. Vật liệu phóng xạ này đang phun ra một số hạt tích điện. (Hoặc chúng ta có thể hình dung một khối thạch lớn với một lỗ nhỏ ở tâm mà một ít điện tích đã được tiêm vào đó bằng một ống tiêm dưới da và từ đó điện tích đang từ từ rò rỉ ra ngoài.) Trong cả hai trường hợp, chúng ta sẽ có một dòng điện ở khắp nơi đều hướng ra ngoài theo phương hướng kính. Chúng ta sẽ giả thiết rằng nó có cùng độ lớn theo mọi hướng.

Đặt tổng điện tích bên trong một bán kính r bất kỳ là Q(r). Nếu mật độ dòng điện hướng kính tại cùng bán kính đó là j(r), thì phương trình (18.2) đòi hỏi rằng Q giảm với tốc độ

∂Q(r)/∂t = −4πr²j(r).   (18.5)

Bây giờ chúng ta hỏi về từ trường do các dòng điện trong tình huống này sinh ra. Giả sử chúng ta vẽ một vòng Γ nào đó trên một mặt cầu bán kính r, như trong Hình 18–1. Có một dòng điện nào đó đi qua vòng này, nên chúng ta có thể kỳ vọng tìm thấy một từ trường lưu thông theo hướng như đã chỉ ra.

Nhưng chúng ta đã gặp khó khăn ngay. Làm sao B có thể có một hướng xác định nào trên mặt cầu? Một cách chọn Γ khác sẽ cho phép chúng ta kết luận rằng hướng của nó chính xác ngược lại với hướng đã chỉ ra. Vậy làm sao có thể có bất kỳ sự lưu thông nào của B quanh các dòng điện?

Chúng ta được cứu bởi phương trình Maxwell. Sự lưu thông của B không chỉ phụ thuộc vào tổng dòng điện đi qua Γ mà còn vào tốc độ thay đổi theo thời gian của thông lượng điện qua nó. Ắt hẳn hai phần này vừa khéo triệt tiêu nhau. Hãy xem điều đó có đúng không.

Điện trường tại bán kính r phải là Q(r)/4πε₀r² — miễn là điện tích được phân bố đối xứng, như chúng ta giả thiết. Nó hướng theo phương hướng kính, và tốc độ thay đổi của nó khi đó là

∂E/∂t = (1/(4πε₀r²)) ∂Q/∂t.   (18.6)

So sánh điều này với phương trình (18.5), chúng ta thấy

∂E/∂t = −j/ε₀.   (18.7)

Trong phương trình IV, hai số hạng nguồn triệt tiêu nhau và curl của B luôn bằng không. Trong ví dụ của chúng ta không có từ trường.

Làm ví dụ thứ hai, chúng ta xét từ trường của một sợi dây dùng để nạp một tụ điện phẳng song song (xem Hình 18–2). Nếu điện tích Q trên các bản đang thay đổi theo thời gian (nhưng không quá nhanh), dòng điện trong các sợi dây bằng dQ/dt. Chúng ta kỳ vọng rằng dòng điện này sẽ sinh ra một từ trường bao quanh sợi dây. Chắc chắn rằng dòng điện ở gần bản tụ phải sinh ra từ trường thông thường — nó không thể phụ thuộc vào việc dòng điện đang đi tới đâu.

Giả sử chúng ta lấy một vòng Γ₁ là một đường tròn bán kính r, như trong phần (a) của hình. Tích phân đường của từ trường phải bằng dòng điện I chia cho ε₀c². Chúng ta có

2πrB = I/(ε₀c²).   (18.8)

Đây là điều chúng ta sẽ thu được đối với một dòng điện dừng, nhưng nó cũng đúng với phần thêm vào của Maxwell, bởi vì nếu chúng ta xét mặt phẳng S bên trong đường tròn, trên đó không có điện trường nào (giả thiết sợi dây là một vật dẫn rất tốt). Tích phân mặt của ∂E/∂t bằng không.

Tuy nhiên, giả sử bây giờ chúng ta từ từ di chuyển đường cong Γ xuống dưới. Chúng ta luôn thu được cùng một kết quả cho đến khi chúng ta vẽ nó ngang với các bản của tụ điện. Khi đó dòng điện I trở thành không. Từ trường có biến mất không? Điều đó quả là kỳ lạ. Hãy xem phương trình Maxwell nói gì đối với đường cong Γ₂, là một đường tròn bán kính r mà mặt phẳng của nó đi qua giữa các bản tụ điện [Hình 18–2(b)]. Tích phân đường của B quanh Γ₂ là 2πrB. Điều này phải bằng đạo hàm theo thời gian của thông lượng của E qua mặt tròn phẳng S₂. Thông lượng của E này, chúng ta biết từ định luật Gauss, phải bằng 1/ε₀ nhân với điện tích Q trên một trong các bản tụ điện. Chúng ta có

c² 2πrB = d/dt (Q/ε₀).   (18.9)

Điều đó thật tiện lợi. Nó là cùng kết quả chúng ta đã tìm thấy trong phương trình (18.8). Việc tích phân trên điện trường đang thay đổi cho cùng một từ trường như việc tích phân trên dòng điện trong sợi dây. Dĩ nhiên, đó đúng là điều phương trình Maxwell nói. Dễ thấy rằng điều này luôn luôn phải đúng bằng cách áp dụng cùng lập luận của chúng ta cho hai mặt S₁ và S₁′ được giới hạn bởi cùng đường tròn Γ₁ trong Hình 18–2(b). Qua S₁ có dòng điện I, nhưng không có thông lượng điện. Qua S₁′ không có dòng điện, nhưng có một thông lượng điện thay đổi với tốc độ I/ε₀. Cùng một B được thu được nếu chúng ta dùng phương trình IV với mặt này hay mặt kia.

Từ thảo luận của chúng ta cho đến nay về số hạng mới của Maxwell, bạn có thể có ấn tượng rằng nó không thêm vào nhiều lắm — rằng nó chỉ chỉnh sửa các phương trình cho phù hợp với điều chúng ta đã kỳ vọng. Đúng là nếu chúng ta chỉ xét riêng phương trình IV một mình, không có gì đặc biệt mới xuất hiện. Tuy nhiên, hai chữ “một mình” là cực kỳ quan trọng. Thay đổi nhỏ của Maxwell trong phương trình IV, khi kết hợp với các phương trình khác, thực sự sinh ra nhiều điều mới và quan trọng. Tuy nhiên, trước khi xét các vấn đề đó, chúng ta muốn nói thêm về Bảng 18–1.

18–3  Toàn bộ vật lý cổ điển

Trong Bảng 18–1 chúng ta có mọi điều đã biết về vật lý cổ điển cơ bản, tức là vật lý đã được biết vào năm 1905. Tất cả ở đây, trong một bảng. Với các phương trình này chúng ta có thể hiểu toàn bộ lĩnh vực vật lý cổ điển.

Đầu tiên chúng ta có các phương trình Maxwell — được viết ở cả dạng khai triển lẫn dạng toán học ngắn gọn. Rồi có sự bảo toàn điện tích, thậm chí được viết trong ngoặc đơn, bởi vì ngay khi chúng ta có các phương trình Maxwell đầy đủ, chúng ta có thể suy ra sự bảo toàn điện tích từ chúng. Vậy bảng thậm chí hơi thừa một chút. Tiếp theo, chúng ta đã viết định luật lực, bởi vì việc có mọi điện trường và từ trường không cho chúng ta biết điều gì cho đến khi chúng ta biết chúng tác dụng gì lên các điện tích. Tuy nhiên, khi biết E và B, chúng ta có thể tìm lực tác dụng lên một vật có điện tích q chuyển động với vận tốc v. Cuối cùng, có lực cũng không cho chúng ta biết điều gì cho đến khi chúng ta biết điều gì xảy ra khi một lực đẩy lên một vật; chúng ta cần định luật chuyển động, đó là lực bằng tốc độ thay đổi của động lượng. (Nhớ không? Chúng ta đã có điều đó trong Tập I.) Chúng ta thậm chí bao gồm cả các hiệu ứng tương đối tính bằng cách viết động lượng là p = m₀v/√(1 − v²/c²).

Nếu chúng ta thực sự muốn đầy đủ, chúng ta nên thêm một định luật nữa — định luật hấp dẫn của Newton — nên chúng ta đặt nó ở cuối.

Vậy trong một bảng nhỏ chúng ta có mọi định luật cơ bản của vật lý cổ điển — thậm chí còn có chỗ để viết chúng ra bằng lời và có một ít thừa thãi. Đây là một khoảnh khắc vĩ đại. Chúng ta đã leo lên một đỉnh núi lớn. Chúng ta đang ở trên đỉnh K2 — chúng ta gần như đã sẵn sàng cho đỉnh Everest, chính là cơ học lượng tử. Chúng ta đã leo lên đỉnh của một “đường phân thủy lớn”, và bây giờ chúng ta có thể đi xuống phía bên kia.

Chúng ta chủ yếu đã cố gắng học cách hiểu các phương trình. Bây giờ khi chúng ta đã ghép toàn bộ lại với nhau, chúng ta sẽ nghiên cứu các phương trình có nghĩa là gì — chúng nói lên những điều mới nào mà chúng ta chưa thấy. Chúng ta đã làm việc vất vả để lên đến điểm này. Đó là một nỗ lực lớn, nhưng bây giờ chúng ta sẽ được thong thả xuống dốc khi thấy mọi hệ quả của thành tựu của mình.

18–4  Một trường lan truyền

Bây giờ đến các hệ quả mới. Chúng xuất phát từ việc ghép mọi phương trình Maxwell lại với nhau. Trước hết, hãy xem điều gì sẽ xảy ra trong một tình huống mà chúng ta chọn cho đặc biệt đơn giản. Bằng cách giả thiết rằng mọi đại lượng chỉ thay đổi theo một tọa độ, chúng ta sẽ có một bài toán một chiều. Tình huống được chỉ ra trong Hình 18–3. Chúng ta có một tấm điện tích nằm trên mặt phẳng yz. Tấm này đầu tiên đứng yên, rồi tức thì được cho một vận tốc u theo hướng y, và giữ chuyển động với vận tốc không đổi này. Bạn có thể lo lắng về việc có một gia tốc “vô hạn” như vậy, nhưng nó thực sự không quan trọng; cứ hình dung rằng vận tốc được đưa lên u rất nhanh. Vậy chúng ta đột nhiên có một dòng điện mặt J (J là dòng điện trên một đơn vị bề rộng theo hướng z). Để giữ bài toán đơn giản, chúng ta giả thiết rằng cũng có một tấm điện tích đứng yên có dấu ngược lại chồng lên mặt phẳng yz, sao cho không có các hiệu ứng tĩnh điện. Ngoài ra, mặc dù trong hình chúng ta chỉ chỉ ra điều đang xảy ra trong một vùng hữu hạn, chúng ta hình dung rằng tấm kéo dài đến vô hạn theo cả ±y và ±z. Nói cách khác, chúng ta có một tình huống trong đó không có dòng điện, và rồi đột nhiên có một tấm dòng điện đều. Điều gì sẽ xảy ra?

Khi có một tấm dòng điện theo hướng cộng y, có, như chúng ta đã biết, một từ trường được tạo ra sẽ theo hướng trừ z đối với x > 0 và theo hướng ngược lại đối với x < 0. Chúng ta có thể tìm độ lớn của B bằng cách dùng sự kiện rằng tích phân đường của từ trường sẽ bằng dòng điện chia cho ε₀c². Chúng ta sẽ thu được B = J/2ε₀c² (vì dòng điện I trong một dải có bề rộng w là Jw và tích phân đường của B là 2Bw).

Điều này cho chúng ta trường ngay sát tấm — đối với x nhỏ — nhưng vì chúng ta đang hình dung một tấm vô hạn, chúng ta sẽ kỳ vọng cùng lập luận đó cho từ trường ở xa hơn đối với các giá trị lớn hơn của x. Tuy nhiên, điều đó sẽ có nghĩa là ngay khoảnh khắc chúng ta bật dòng điện, từ trường đột nhiên thay đổi từ không thành một giá trị hữu hạn ở khắp nơi. Nhưng khoan! Nếu từ trường đột nhiên thay đổi, nó sẽ sinh ra các hiệu ứng điện to lớn. (Nếu nó thay đổi theo bất kỳ cách nào, đều có các hiệu ứng điện.) Vậy vì chúng ta đã di chuyển tấm điện tích, chúng ta tạo ra một từ trường thay đổi, và do đó các điện trường phải được tạo ra. Nếu có các điện trường được tạo ra, chúng đã phải bắt đầu từ không và thay đổi thành một cái gì khác. Sẽ có một ∂E/∂t nào đó góp phần, cùng với dòng điện J, vào việc sinh ra từ trường. Vậy qua các phương trình khác nhau có một sự trộn lẫn lớn, và chúng ta phải cố giải cho mọi trường cùng một lúc.

Chỉ nhìn vào các phương trình Maxwell, không dễ thấy trực tiếp cách thu được nghiệm. Vậy chúng ta sẽ trước hết cho bạn thấy đáp án là gì rồi sau đó kiểm chứng rằng nó thực sự thỏa mãn các phương trình. Đáp án là như sau: Trường B mà chúng ta đã tính, thực tế được tạo ra ngay sát tấm dòng điện (đối với x nhỏ). Nó phải như vậy, bởi vì nếu chúng ta tạo một vòng nhỏ xíu quanh tấm, không có chỗ cho bất kỳ thông lượng điện nào đi qua nó. Nhưng trường B ở xa hơn — đối với x lớn hơn — lúc đầu bằng không. Nó giữ nguyên bằng không một lúc, rồi đột nhiên bật lên. Tóm lại, chúng ta bật dòng điện và từ trường ngay sát nó bật lên một giá trị không đổi B; rồi việc bật lên của B lan ra khỏi vùng nguồn. Sau một thời gian nhất định, có một từ trường đều ở khắp nơi ra đến một giá trị x nào đó, và rồi bằng không ở phía ngoài. Vì tính đối xứng, nó lan ra theo cả hướng cộng và hướng trừ x.

Trường E cũng làm điều tương tự. Trước t = 0 (khi chúng ta bật dòng điện), trường bằng không ở khắp nơi. Rồi sau thời gian t, cả E lẫn B đều đều ra đến khoảng cách x = vt, và bằng không ở phía ngoài. Các trường tiến về phía trước như một cơn sóng thủy triều, với một mặt sóng tiến với vận tốc đều mà hóa ra là c, nhưng trong một lúc chúng ta sẽ chỉ gọi nó là v. Một đồ thị độ lớn của E hay B theo x, như chúng xuất hiện tại thời gian t, được chỉ ra trong Hình 18–4(a). Nhìn lại Hình 18–3, tại thời gian t, vùng giữa x = ±vt được “lấp đầy” bởi các trường, nhưng chúng chưa tới được phía ngoài. Chúng ta nhấn mạnh lại rằng chúng ta đang giả thiết rằng tấm dòng điện và, do đó các trường E và B, kéo dài vô hạn theo cả hai hướng y và z. (Chúng ta không thể vẽ một tấm vô hạn, nên chúng ta chỉ chỉ ra điều xảy ra trong một vùng hữu hạn.)

Bây giờ chúng ta muốn phân tích định lượng điều đang xảy ra. Để làm điều đó, chúng ta muốn nhìn vào hai hình chiếu mặt cắt, một hình chiếu bằng nhìn xuống dọc theo trục y, như trong Hình 18–5, và một hình chiếu cạnh nhìn ngược dọc theo trục z, như trong Hình 18–6. Giả sử chúng ta bắt đầu với hình chiếu cạnh. Chúng ta thấy tấm tích điện chuyển động lên trên; từ trường chỉ vào trong trang giấy đối với +x, và ra khỏi trang giấy đối với −x, và điện trường hướng xuống dưới ở khắp nơi — ra đến x = ±vt.

Hãy xem các trường này có phù hợp với các phương trình Maxwell không. Trước hết hãy vẽ một trong những vòng mà chúng ta dùng để tính tích phân đường, chẳng hạn hình chữ nhật Γ₂ trong Hình 18–6. Bạn để ý rằng một cạnh của hình chữ nhật nằm trong vùng có trường, nhưng một cạnh nằm trong vùng mà các trường vẫn chưa tới. Có một thông lượng từ nào đó qua vòng này. Nếu nó đang thay đổi, phải có một suất điện động quanh nó. Nếu mặt sóng đang di chuyển, chúng ta sẽ có một thông lượng từ thay đổi, bởi vì diện tích mà B tồn tại trong đó đang tăng dần với vận tốc v. Thông lượng bên trong Γ₂ là B nhân với phần diện tích bên trong Γ₂ có từ trường. Tốc độ thay đổi của thông lượng, vì độ lớn của B là hằng số, là độ lớn nhân với tốc độ thay đổi của diện tích. Tốc độ thay đổi của diện tích thì dễ. Nếu bề rộng của hình chữ nhật Γ₂ là L, diện tích mà B tồn tại trong đó thay đổi một lượng Lv Δt trong thời gian Δt. (Xem Hình 18–6.) Tốc độ thay đổi của thông lượng khi đó là BLv. Theo định luật Faraday, điều này phải bằng trừ tích phân đường của E quanh Γ₂, chính là EL. Chúng ta có phương trình

E = vB.   (18.10)

Vậy nếu tỉ số của E trên B là v, các trường chúng ta đã giả thiết sẽ thỏa mãn phương trình Faraday.

Nhưng đó không phải là phương trình duy nhất; chúng ta có phương trình còn lại liên hệ E và B:

c²∇×B = j/ε₀ + ∂E/∂t.   (18.11)

Để áp dụng phương trình này, chúng ta nhìn vào hình chiếu bằng trong Hình 18–5. Chúng ta đã thấy rằng phương trình này sẽ cho chúng ta giá trị của B ngay sát tấm dòng điện. Ngoài ra, đối với bất kỳ vòng nào vẽ bên ngoài tấm nhưng phía sau mặt sóng, không có curl của B cũng không có j hay E thay đổi, nên phương trình đúng ở đó. Bây giờ hãy xem điều gì xảy ra đối với đường cong Γ₁ cắt mặt sóng, như trong Hình 18–5. Ở đây không có dòng điện nào, nên phương trình (18.11) có thể được viết — dưới dạng tích phân — là

c²∮_Γ1 B·ds = d/dt ∫_{bên trong Γ1} E·n da.   (18.12)

Tích phân đường của B chính là B nhân L. Tốc độ thay đổi của thông lượng của E chỉ do mặt sóng đang tiến tới. Diện tích bên trong Γ₁, nơi E khác không, đang tăng với tốc độ vL. Vế phải của phương trình (18.12) khi đó là vLE. Phương trình đó trở thành

c²B = Ev.   (18.13)

Chúng ta có một nghiệm trong đó chúng ta có một B không đổi và một E không đổi phía sau mặt sóng, cả hai đều vuông góc với hướng mà mặt sóng đang di chuyển và vuông góc với nhau. Các phương trình Maxwell quy định tỉ số của E trên B. Từ các phương trình (18.10) và (18.13),

E = vB,    và    E = (c²/v) B.

Nhưng khoan một chút! Chúng ta đã tìm thấy hai điều kiện khác nhau cho tỉ số E/B. Một trường như chúng ta mô tả có thực sự tồn tại được không? Dĩ nhiên, chỉ có một vận tốc v duy nhất mà cả hai phương trình này đều đúng, đó là v = c. Mặt sóng phải lan truyền với vận tốc c. Chúng ta có một ví dụ trong đó ảnh hưởng điện từ một dòng điện lan truyền với một vận tốc hữu hạn xác định c.

Bây giờ hãy hỏi điều gì xảy ra nếu chúng ta đột nhiên dừng chuyển động của tấm tích điện sau khi nó đã bật được một thời gian ngắn T. Chúng ta có thể thấy điều gì sẽ xảy ra bằng nguyên lý chồng chất. Chúng ta đã có một dòng điện bằng không rồi đột nhiên được bật lên. Chúng ta biết nghiệm cho trường hợp đó. Bây giờ chúng ta sẽ cộng thêm một bộ trường nữa. Chúng ta lấy một tấm tích điện khác và đột nhiên cho nó bắt đầu chuyển động, theo hướng ngược lại với cùng tốc độ, chỉ tại thời gian T sau khi chúng ta bắt đầu dòng điện đầu tiên. Tổng dòng điện của hai cái cộng lại đầu tiên bằng không, rồi bật trong một thời gian T, rồi lại tắt — bởi vì hai dòng điện triệt tiêu nhau. Chúng ta có một “xung” dòng điện hình vuông.

Dòng điện âm mới sinh ra các trường giống như dòng điện dương, chỉ với mọi dấu đều đảo ngược và, dĩ nhiên, bị trễ theo thời gian một lượng T. Một mặt sóng lại lan ra với vận tốc c. Tại thời gian t nó đã tới khoảng cách x = ±c(t − T), như trong Hình 18–4(b). Vậy chúng ta có hai “khối” trường diễu hành ra ngoài với tốc độ c, như trong các phần (a) và (b) của Hình 18–4. Các trường kết hợp như trong phần (c) của hình. Các trường bằng không đối với x > ct, chúng không đổi (với các giá trị chúng ta đã tìm ở trên) giữa x = c(t − T) và x = ct, và lại bằng không đối với x < c(t − T).

Tóm lại, chúng ta có một mảnh trường nhỏ — một khối có bề dày cT — đã rời khỏi tấm dòng điện và đang tự mình di chuyển qua không gian. Các trường đã “cất cánh”; chúng đang lan truyền tự do qua không gian, không còn liên kết theo bất kỳ cách nào với nguồn nữa. Con sâu bướm đã hóa thành con bướm!

Làm sao bó điện trường và từ trường này có thể tự duy trì? Câu trả lời là: nhờ các hiệu ứng kết hợp của định luật Faraday, ∇×E = −∂B/∂t, và số hạng mới của Maxwell, c²∇×B = ∂E/∂t. Chúng không thể không tự duy trì. Giả sử từ trường biến mất. Sẽ có một từ trường thay đổi, cái này sẽ sinh ra một điện trường. Nếu điện trường này cố biến đi, điện trường thay đổi sẽ lại tạo ra từ trường trở lại. Vậy bằng một sự tác động qua lại vĩnh viễn — bằng việc luân phiên qua lại từ trường này sang trường kia — chúng phải tiếp tục mãi mãi. Không thể để chúng biến mất.¹ Chúng tự duy trì trong một kiểu vũ điệu — cái này tạo ra cái kia, cái thứ hai tạo ra cái thứ nhất — lan truyền tiếp về phía trước qua không gian.

18–5  Tốc độ ánh sáng

Chúng ta có một sóng rời khỏi nguồn vật chất và đi ra ngoài với vận tốc c, là tốc độ ánh sáng. Nhưng hãy quay lại một chút. Từ góc nhìn lịch sử, người ta đã không biết rằng hệ số c trong các phương trình Maxwell cũng là tốc độ lan truyền của ánh sáng. Chỉ có một hằng số trong các phương trình. Chúng ta đã gọi nó là c ngay từ đầu, bởi vì chúng ta biết nó sẽ hóa thành cái gì. Chúng ta đã không nghĩ rằng sẽ hợp lý nếu bắt bạn học các công thức với một hằng số khác rồi quay lại thay c vào mọi chỗ nó thuộc về. Tuy nhiên, từ góc nhìn của điện học và từ học, chúng ta chỉ bắt đầu với hai hằng số, ε₀ và c², xuất hiện trong các phương trình của tĩnh điện học và tĩnh từ học:

∇·E = ρ/ε₀   (18.14)

và

∇×B = j/(ε₀c²).   (18.15)

Nếu chúng ta lấy bất kỳ định nghĩa tùy ý nào của một đơn vị điện tích, chúng ta có thể xác định bằng thực nghiệm hằng số ε₀ cần thiết trong phương trình (18.14) — chẳng hạn bằng cách đo lực giữa hai điện tích đơn vị đứng yên, dùng định luật Coulomb. Chúng ta cũng phải xác định bằng thực nghiệm hằng số ε₀c² xuất hiện trong phương trình (18.15), điều này chúng ta có thể làm, chẳng hạn, bằng cách đo lực giữa hai dòng điện đơn vị. (Một dòng điện đơn vị nghĩa là một đơn vị điện tích trong một giây.) Tỉ số của hai hằng số thực nghiệm này là c² — chỉ là một “hằng số điện từ” nữa.

Bây giờ hãy để ý rằng hằng số c² này là như nhau cho dù chúng ta chọn gì cho đơn vị điện tích của mình. Nếu chúng ta đặt gấp đôi “điện tích” — chẳng hạn gấp đôi số điện tích proton — vào “đơn vị” điện tích của mình, ε₀ sẽ cần nhỏ đi bốn lần. Khi chúng ta cho hai dòng điện “đơn vị” như vậy đi qua hai sợi dây, sẽ có gấp đôi “điện tích” trong một giây trong mỗi sợi dây, nên lực giữa hai sợi dây lớn gấp bốn lần. Hằng số ε₀c² phải giảm đi bốn lần. Nhưng tỉ số ε₀c²/ε₀ không thay đổi.

Vậy chỉ bằng các thí nghiệm với điện tích và dòng điện, chúng ta tìm ra một số c² hóa ra là bình phương của vận tốc lan truyền của các ảnh hưởng điện từ. Từ các phép đo tĩnh — bằng cách đo lực giữa hai điện tích đơn vị và giữa hai dòng điện đơn vị — chúng ta tìm thấy c = 3,00×10⁸ mét/giây. Khi Maxwell lần đầu tiên thực hiện phép tính này với các phương trình của mình, ông nói rằng các bó điện trường và từ trường hẳn phải lan truyền với tốc độ này. Ông cũng nhận xét về sự trùng hợp bí ẩn rằng tốc độ này giống hệt tốc độ ánh sáng. “Chúng ta khó có thể tránh khỏi suy luận,” Maxwell nói, “rằng ánh sáng bao gồm các gợn sóng ngang của cùng một môi trường vốn là nguyên nhân của các hiện tượng điện và từ.”

Maxwell đã thực hiện một trong những sự thống nhất vĩ đại của vật lý. Trước thời của ông, có ánh sáng, và có điện và từ. Hai cái sau đã được thống nhất bởi công trình thực nghiệm của Faraday, Oersted, và Ampère. Rồi, đột nhiên, ánh sáng không còn là “một thứ khác” nữa, mà chỉ là điện và từ trong dạng mới này — những mảnh nhỏ của điện trường và từ trường lan truyền qua không gian tự mình.

Chúng ta đã lưu ý bạn về một số đặc trưng của nghiệm đặc biệt này, nhưng hóa ra chúng đúng đối với bất kỳ sóng điện từ nào: rằng từ trường vuông góc với hướng chuyển động của mặt sóng; rằng điện trường cũng vuông góc với hướng chuyển động của mặt sóng; và rằng hai vector E và B vuông góc với nhau. Hơn nữa, độ lớn của điện trường E bằng c nhân độ lớn của từ trường B. Ba sự kiện này — rằng hai trường đều ngang đối với hướng lan truyền, rằng B vuông góc với E, và rằng E = cB — nói chung đúng đối với bất kỳ sóng điện từ nào. Trường hợp đặc biệt của chúng ta là một trường hợp tốt — nó cho thấy mọi đặc điểm chính của các sóng điện từ.

18–6  Giải các phương trình Maxwell; các thế và phương trình sóng

Bây giờ chúng ta muốn làm một điều gì đó toán học; chúng ta muốn viết các phương trình Maxwell dưới một dạng đơn giản hơn. Bạn có thể cho rằng chúng ta đang làm chúng phức tạp hơn, nhưng nếu bạn kiên nhẫn một chút, chúng sẽ đột nhiên trở nên đơn giản hơn. Mặc dù đến nay bạn đã hoàn toàn quen thuộc với từng phương trình Maxwell, vẫn có nhiều mảnh phải ghép tất cả lại với nhau. Đó là điều chúng ta muốn làm.

Chúng ta bắt đầu với ∇·B = 0 — phương trình đơn giản nhất trong các phương trình. Chúng ta biết rằng nó ngụ ý rằng B là curl của một cái gì đó. Vậy, nếu chúng ta viết

B = ∇×A,   (18.16)

chúng ta đã giải được một trong các phương trình Maxwell. (Nhân tiện, bạn thấy rõ rằng vẫn đúng là một vector A′ khác cũng tốt như vậy nếu A′ = A + ∇ψ — trong đó ψ là bất kỳ trường vô hướng nào — bởi vì curl của ∇ψ bằng không, và B vẫn như cũ. Chúng ta đã nói về điều đó trước đây.)

Tiếp theo chúng ta lấy định luật Faraday, ∇×E = −∂B/∂t, bởi vì nó không liên quan đến bất kỳ dòng điện hay điện tích nào. Nếu chúng ta viết B dưới dạng ∇×A và lấy đạo hàm theo t, chúng ta có thể viết định luật Faraday dưới dạng

∇×E = −∂/∂t (∇×A).

Vì chúng ta có thể lấy đạo hàm theo thời gian hay theo không gian trước đều được, chúng ta cũng có thể viết phương trình này là

∇×(E + ∂A/∂t) = 0.   (18.17)

Chúng ta thấy rằng E + ∂A/∂t là một vector mà curl của nó bằng không. Do đó vector đó là gradient của một cái gì đó. Khi chúng ta làm việc với tĩnh điện học, chúng ta đã có ∇×E = 0, và rồi chúng ta quyết định rằng chính E là gradient của một cái gì đó. Chúng ta đã lấy nó là gradient của −φ (dấu trừ vì tiện lợi kỹ thuật). Chúng ta làm điều tương tự đối với E + ∂A/∂t; chúng ta đặt

E + ∂A/∂t = −∇φ.   (18.18)

Chúng ta dùng cùng ký hiệu φ để cho, trong trường hợp tĩnh điện mà không có gì thay đổi theo thời gian và số hạng ∂A/∂t biến mất, E sẽ là −∇φ cũ của chúng ta. Vậy phương trình Faraday có thể được đưa về dạng

E = −∇φ − ∂A/∂t.   (18.19)

Chúng ta đã giải được hai trong các phương trình Maxwell, và chúng ta đã thấy rằng để mô tả các trường điện từ E và B, chúng ta cần bốn hàm thế: một thế vô hướng φ và một thế vector A, mà dĩ nhiên là ba hàm.

Bây giờ vì A xác định một phần của E, cũng như B, điều gì xảy ra khi chúng ta thay đổi A thành A′ = A + ∇ψ? Nói chung, E sẽ thay đổi nếu chúng ta không thực hiện một biện pháp phòng ngừa đặc biệt nào đó. Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể cho phép A được thay đổi theo cách này mà không ảnh hưởng đến các trường E và B — tức là, không thay đổi vật lý — nếu chúng ta luôn thay đổi A và φ cùng nhau theo các quy tắc

A′ = A + ∇ψ,    φ′ = φ − ∂ψ/∂t.   (18.20)

Khi đó cả B lẫn E, thu được từ phương trình (18.19), đều không thay đổi.

Trước đây, chúng ta đã chọn làm cho ∇·A = 0, để làm các phương trình của tĩnh học phần nào đơn giản hơn. Bây giờ chúng ta sẽ không làm thế; chúng ta sẽ thực hiện một lựa chọn khác. Nhưng chúng ta sẽ chờ một chút trước khi nói lựa chọn đó là gì, bởi vì sau này sẽ rõ tại sao lựa chọn được thực hiện.

Bây giờ chúng ta quay lại hai phương trình Maxwell còn lại, chúng sẽ cho chúng ta các mối liên hệ giữa các thế và các nguồn ρ và j. Một khi chúng ta có thể xác định A và φ từ các dòng điện và điện tích, chúng ta luôn có thể thu được E và B từ các phương trình (18.16) và (18.19), vậy chúng ta sẽ có một dạng khác của các phương trình Maxwell.

Chúng ta bắt đầu bằng cách thay phương trình (18.19) vào ∇·E = ρ/ε₀; chúng ta được

∇·(−∇φ − ∂A/∂t) = ρ/ε₀,

mà chúng ta cũng có thể viết là

−∇²φ − ∂/∂t (∇·A) = ρ/ε₀.   (18.21)

Đây là một phương trình liên hệ φ và A với các nguồn.

Phương trình cuối cùng của chúng ta sẽ là phương trình phức tạp nhất. Chúng ta bắt đầu bằng cách viết lại phương trình Maxwell thứ tư thành

c²∇×B − ∂E/∂t = j/ε₀,

rồi thay B và E theo các thế, dùng các phương trình (18.16) và (18.19):

c²∇×(∇×A) − ∂/∂t (−∇φ − ∂A/∂t) = j/ε₀.

Số hạng đầu tiên có thể được viết lại dùng đồng nhất thức đại số: ∇×(∇×A) = ∇(∇·A) − ∇²A; chúng ta được

−c²∇²A + c²∇(∇·A) + ∂/∂t ∇φ + ∂²A/∂t² = j/ε₀.   (18.22)

Nó không đơn giản lắm!

May mắn thay, bây giờ chúng ta có thể tận dụng quyền tự do của mình trong việc tùy ý chọn divergence của A. Điều chúng ta sẽ làm là dùng lựa chọn của mình để sắp xếp mọi thứ sao cho các phương trình cho A và cho φ tách rời nhau nhưng có cùng dạng. Chúng ta có thể làm điều này bằng cách lấy²

∇·A = −(1/c²) ∂φ/∂t.   (18.23)

Khi chúng ta làm thế, hai số hạng ở giữa trong A và φ trong phương trình (18.22) triệt tiêu nhau, và phương trình đó trở nên đơn giản hơn nhiều:

∇²A − (1/c²) ∂²A/∂t² = −j/(ε₀c²).   (18.24)

Và phương trình của chúng ta cho φ — phương trình (18.21) — mang cùng dạng:

∇²φ − (1/c²) ∂²φ/∂t² = −ρ/ε₀.   (18.25)

Thật là một bộ phương trình đẹp! Chúng đẹp, thứ nhất, bởi vì chúng tách ra gọn gàng — với mật độ điện tích, đi φ; với dòng điện, đi A. Hơn nữa, mặc dù vế trái trông hơi lạ — một toán tử Laplace cùng với một ∂²/∂t² — khi chúng ta khai triển nó ra chúng ta thấy

∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² + ∂²φ/∂z² − (1/c²) ∂²φ/∂t² = −ρ/ε₀.   (18.26)

Nó có một sự đối xứng đẹp trong x, y, z, t — cái −1/c² là cần thiết bởi vì, dĩ nhiên, thời gian và không gian là khác nhau; chúng có các đơn vị khác nhau.

Các phương trình Maxwell đã dẫn chúng ta đến một loại phương trình mới cho các thế φ và A nhưng về cùng một dạng toán học cho cả bốn hàm φ, A_x, A_y, và A_z. Một khi chúng ta học được cách giải các phương trình này, chúng ta có thể thu được B và E từ ∇×A và −∇φ − ∂A/∂t. Chúng ta có một dạng khác của các định luật điện từ đúng tương đương với các phương trình Maxwell, và trong nhiều tình huống chúng dễ xử lý hơn nhiều.

Chúng ta, thực tế, đã giải một phương trình rất giống phương trình (18.26). Khi chúng ta nghiên cứu âm thanh trong Chương 47 của Tập I, chúng ta đã có một phương trình có dạng

∂²φ/∂x² = (1/c²) ∂²φ/∂t²,

và chúng ta đã thấy rằng nó mô tả sự lan truyền của các sóng theo hướng x với tốc độ c. Phương trình (18.26) là phương trình sóng tương ứng cho ba chiều. Vậy trong các vùng không còn điện tích và dòng điện nữa, nghiệm của các phương trình này không phải là φ và A bằng không. (Mặc dù đó quả thực là một nghiệm có thể.) Có các nghiệm trong đó có một bộ φ và A nào đó đang thay đổi theo thời gian nhưng luôn di chuyển ra ngoài với tốc độ c. Các trường di chuyển tiếp về phía trước qua không gian tự do, như trong ví dụ của chúng ta ở đầu chương.

Với số hạng mới của Maxwell trong phương trình IV, chúng ta đã có thể viết các phương trình trường theo A và φ dưới một dạng đơn giản và làm rõ ngay lập tức rằng có các sóng điện từ. Với nhiều mục đích thực tế, vẫn sẽ tiện lợi khi dùng các phương trình gốc theo E và B. Nhưng chúng nằm ở phía bên kia của ngọn núi chúng ta đã leo. Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng băng qua phía bên kia của đỉnh. Mọi thứ sẽ trông khác — chúng ta đã sẵn sàng cho một số khung cảnh mới và đẹp.