Chương 13: Công và thế năng (A)

13–1  Năng lượng của một vật rơi

Trong Chương 4 chúng ta đã thảo luận về sự bảo toàn năng lượng. Trong thảo luận đó, chúng ta đã không dùng các định luật Newton, nhưng dĩ nhiên việc xem xét năng lượng quả thật được bảo toàn như thế nào theo đúng các định luật này là điều rất đáng quan tâm. Để cho rõ ràng, chúng ta sẽ bắt đầu với ví dụ đơn giản nhất có thể, rồi phát triển dần đến những ví dụ ngày càng khó hơn.

Ví dụ đơn giản nhất về sự bảo toàn năng lượng là một vật rơi thẳng đứng, một vật chỉ chuyển động theo phương thẳng đứng. Một vật thay đổi độ cao của nó chỉ dưới ảnh hưởng của trọng lực có một động năng T (hay K.E.) do chuyển động của nó trong lúc rơi, và một thế năng mgh, viết tắt là U (hay P.E.), mà tổng của chúng là không đổi:

T + U = const,    tức là   ½mv² + mgh = const.   (13.1)

Bây giờ chúng ta muốn chứng tỏ rằng mệnh đề này là đúng. “Chứng tỏ nó đúng” nghĩa là gì? Từ Định luật Hai Newton chúng ta có thể dễ dàng cho biết vật chuyển động như thế nào, và dễ dàng tìm ra vận tốc biến thiên theo thời gian ra sao, cụ thể là nó tăng tỉ lệ với thời gian, và độ cao biến thiên theo bình phương của thời gian. Vậy nếu chúng ta đo độ cao từ một điểm không mà tại đó vật đứng yên, thì không có gì kỳ diệu khi độ cao hóa ra bằng bình phương của vận tốc nhân với một số hằng số nào đó. Tuy nhiên, hãy xem xét điều này kỹ hơn một chút.

Hãy tìm hiểu trực tiếp từ Định luật Hai Newton xem động năng phải thay đổi như thế nào, bằng cách lấy đạo hàm của động năng theo thời gian rồi dùng các định luật Newton. Khi chúng ta lấy đạo hàm ½mv² theo thời gian, chúng ta thu được

dT/dt = d/dt (½mv²) = ½m·2v(dv/dt) = mv(dv/dt),   (13.2)

vì m được giả thiết là hằng số. Nhưng từ Định luật Hai Newton, m(dv/dt) = F, vậy

dT/dt = Fv.   (13.3)

Nói chung, kết quả sẽ là F·v, nhưng trong trường hợp một chiều của chúng ta, hãy để nó ở dạng lực nhân với vận tốc.

Bây giờ trong ví dụ đơn giản của chúng ta, lực là hằng số, bằng −mg, một lực thẳng đứng (dấu trừ có nghĩa là nó hướng xuống dưới), và vận tốc, dĩ nhiên, là tốc độ thay đổi của vị trí thẳng đứng, hay độ cao h, theo thời gian. Vậy tốc độ thay đổi của động năng là −mg(dh/dt), đại lượng mà, kỳ diệu thay, lại là trừ đi tốc độ thay đổi của một thứ khác! Nó là trừ đi tốc độ thay đổi theo thời gian của mgh! Do đó, khi thời gian trôi đi, những thay đổi của động năng và của đại lượng mgh là bằng nhau và ngược dấu, vậy tổng của hai đại lượng vẫn không đổi. Đpcm.

Chúng ta đã chứng tỏ, từ định luật hai của Newton về chuyển động, rằng năng lượng được bảo toàn đối với các lực không đổi khi chúng ta cộng thế năng mgh vào động năng ½mv². Bây giờ hãy nhìn vào điều này sâu hơn và xem liệu nó có thể được tổng quát hóa hay không, và qua đó nâng cao sự hiểu biết của chúng ta. Nó chỉ đúng đối với một vật rơi tự do, hay nó tổng quát hơn? Từ thảo luận của chúng ta về sự bảo toàn năng lượng, chúng ta kỳ vọng rằng nó sẽ đúng đối với một vật chuyển động từ một điểm đến một điểm khác trên một loại đường cong không ma sát nào đó, dưới ảnh hưởng của trọng lực (Hình 13–1). Nếu vật đạt tới một độ cao h nào đó tính từ độ cao ban đầu H, thì cùng một công thức đó lại vẫn phải đúng, mặc dù vận tốc bây giờ theo một hướng nào đó khác với phương thẳng đứng. Chúng ta muốn hiểu vì sao định luật vẫn đúng. Hãy đi theo cùng một phân tích, tìm tốc độ thay đổi theo thời gian của động năng. Nó sẽ lại là mv(dv/dt), nhưng m(dv/dt) là tốc độ thay đổi độ lớn của động lượng, tức là lực theo hướng chuyển động — lực tiếp tuyến F_t. Vậy

dT/dt = mv(dv/dt) = F_tv.

Bây giờ tốc độ là tốc độ thay đổi khoảng cách dọc theo đường cong, ds/dt, và lực tiếp tuyến F_t không phải là −mg mà yếu hơn theo tỉ số giữa khoảng cách thẳng đứng dh và khoảng cách ds dọc theo đường đi. Nói cách khác,

F_t = −mg sin θ = −mg(dh/ds),

vậy

F_t(ds/dt) = −mg(dh/ds)(ds/dt) = −mg(dh/dt),

vì các ds triệt tiêu nhau. Vậy chúng ta thu được −mg(dh/dt), bằng tốc độ thay đổi của −mgh, như trước.

Để hiểu chính xác sự bảo toàn năng lượng vận hành như thế nào nói chung trong cơ học, bây giờ chúng ta sẽ thảo luận một số khái niệm sẽ giúp chúng ta phân tích nó.

Trước hết, chúng ta thảo luận về tốc độ thay đổi của động năng nói chung trong ba chiều. Động năng trong ba chiều là

T = ½m(v_x² + v_y² + v_z²).

Khi chúng ta lấy đạo hàm của nó theo thời gian, chúng ta thu được ba số hạng đáng sợ:

dT/dt = m(v_x(dv_x/dt) + v_y(dv_y/dt) + v_z(dv_z/dt)).   (13.4)

Nhưng m(dv_x/dt) là lực F_x tác dụng lên vật theo hướng x. Vậy vế phải của Phương trình (13.4) là F_xv_x + F_yv_y + F_zv_z. Chúng ta nhớ lại phép phân tích vectơ của mình và nhận ra đây là F·v; do đó

dT/dt = F·v.   (13.5)

Kết quả này có thể được suy ra nhanh hơn như sau: nếu a và b là hai vectơ, cả hai đều có thể phụ thuộc vào thời gian, thì đạo hàm của a·b nói chung là

d(a·b)/dt = a·(db/dt) + (da/dt)·b.   (13.6)

Sau đó chúng ta dùng điều này ở dạng a = b = v:

d(½mv²)/dt = d(½mv·v)/dt = m(dv/dt)·v = F·v = F·(ds/dt).   (13.7)

Vì các khái niệm động năng, và năng lượng nói chung, rất quan trọng, nhiều tên gọi khác nhau đã được đặt cho các số hạng quan trọng trong những phương trình như thế này. ½mv², như chúng ta biết, được gọi là động năng. F·v được gọi là công suất: lực tác dụng lên một vật nhân với vận tốc của vật (tích vô hướng “chấm” của vectơ) là công suất được truyền cho vật bởi lực đó. Vậy chúng ta có một định lý tuyệt vời: tốc độ thay đổi động năng của một vật bằng công suất tiêu hao bởi các lực tác dụng lên nó.

Tuy nhiên, để nghiên cứu sự bảo toàn năng lượng, chúng ta muốn phân tích điều này còn kỹ hơn nữa. Hãy đánh giá sự thay đổi của động năng trong một thời gian rất ngắn dt. Nếu chúng ta nhân cả hai vế của Phương trình (13.7) với dt, chúng ta thấy rằng vi phân thay đổi của động năng là lực “chấm” với vi phân khoảng cách đã đi được:

dT = F·ds.   (13.8)

Nếu bây giờ chúng ta lấy tích phân, chúng ta thu được

ΔT = ∫₁² F·ds.   (13.9)

Điều này có nghĩa là gì? Nó có nghĩa là nếu một vật đang chuyển động theo bất kỳ cách nào dưới ảnh hưởng của một lực, chuyển động trên một loại đường cong nào đó, thì sự thay đổi động năng khi nó đi từ một điểm đến một điểm khác dọc theo đường cong bằng tích phân của thành phần của lực dọc theo đường cong nhân với vi phân độ dời ds, tích phân được thực hiện từ điểm này đến điểm kia. Tích phân này cũng có một tên gọi; nó được gọi là công thực hiện bởi lực lên vật. Chúng ta thấy ngay rằng công suất bằng công thực hiện trong một giây. Chúng ta cũng thấy rằng chỉ thành phần của lực theo hướng chuyển động mới đóng góp vào công thực hiện. Trong ví dụ đơn giản của chúng ta, các lực chỉ theo phương thẳng đứng, và chỉ có một thành phần duy nhất, chẳng hạn F_z, bằng −mg. Dù vật chuyển động trong những hoàn cảnh đó như thế nào, rơi theo một parabol chẳng hạn, F·ds, vốn có thể viết thành F_xdx + F_ydy + F_zdz, không còn gì ngoài F_zdz = −mg dz, vì các thành phần còn lại của lực bằng không. Do đó, trong trường hợp đơn giản của chúng ta,

∫₁² F·ds = ∫_z1^z₂ −mg dz = −mg(z₂ − z₁),   (13.10)

vậy một lần nữa chúng ta thấy rằng chỉ độ cao thẳng đứng mà vật rơi từ đó mới quan trọng đối với thế năng.

Vài lời về đơn vị. Vì lực được đo bằng newton, và chúng ta nhân với một khoảng cách để thu được công, công được đo bằng newton·mét (N·m), nhưng người ta không thích nói newton-mét, họ thích nói joule (J) hơn. Một newton-mét được gọi là một joule; công được đo bằng joule. Công suất, khi đó, là joule trên giây, và nó cũng được gọi là một watt (W). Nếu chúng ta nhân watt với thời gian, kết quả là công thực hiện. Công thực hiện bởi công ty điện trong nhà chúng ta, về mặt kỹ thuật, bằng watt nhân với thời gian. Đó là nơi chúng ta có những thứ như kilowatt giờ, 1000 watt nhân với 3600 giây, hay 3,6×10⁶ joule.

Bây giờ chúng ta xét một ví dụ khác của định luật bảo toàn năng lượng. Xét một vật ban đầu có động năng và đang chuyển động rất nhanh, và trượt trên sàn có ma sát. Nó dừng lại. Lúc đầu động năng không bằng không, nhưng lúc cuối nó bằng không; có công được thực hiện bởi các lực, vì mỗi khi có ma sát thì luôn có một thành phần lực theo hướng ngược với hướng chuyển động, và do đó năng lượng bị mất dần đều. Nhưng bây giờ hãy xét một khối lượng ở đầu một trục quay đu đưa trong một mặt phẳng thẳng đứng trong một trường hấp dẫn mà không có ma sát. Điều xảy ra ở đây thì khác, vì khi khối lượng đi lên, lực hướng xuống dưới, và khi nó đi xuống, lực cũng hướng xuống dưới. Vậy F·ds có một dấu khi đi lên và một dấu khác khi đi xuống. Tại mỗi điểm tương ứng trên đường đi xuống và đường đi lên, các giá trị của F·ds là hệt như nhau về độ lớn nhưng ngược dấu, vậy kết quả ròng của tích phân sẽ bằng không trong trường hợp này. Vậy động năng mà khối lượng có khi trở lại điểm đáy cũng như khi nó rời khỏi đó; đó là nguyên lý bảo toàn năng lượng. (Lưu ý rằng khi có các lực ma sát, sự bảo toàn năng lượng thoạt nhìn dường như không còn đúng. Chúng ta phải tìm một dạng năng lượng khác. Hóa ra, trên thực tế, nhiệt được sinh ra trong một vật khi nó cọ xát với một vật khác có ma sát, nhưng vào lúc này chúng ta được cho là chưa biết điều đó.)

13–2  Công do trọng lực thực hiện

Bài toán tiếp theo cần thảo luận khó hơn nhiều so với bài toán ở trên; nó liên quan đến trường hợp khi các lực không phải là hằng số, hay đơn giản là thẳng đứng, như chúng đã từng trong các trường hợp chúng ta đã giải quyết. Chúng ta muốn xét một hành tinh, chẳng hạn, chuyển động quanh mặt trời, hay một vệ tinh trong không gian quanh trái đất.

Chúng ta sẽ xét trước chuyển động của một vật bắt đầu tại một điểm 1 nào đó và rơi, chẳng hạn, trực tiếp về phía mặt trời hay về phía trái đất (Hình 13–2). Liệu có một định luật bảo toàn năng lượng trong những hoàn cảnh này không? Điểm khác biệt duy nhất là trong trường hợp này, lực đang thay đổi khi chúng ta đi dọc theo, nó không chỉ là một hằng số. Như chúng ta biết, lực là −GM/r² nhân với khối lượng m, trong đó m là khối lượng đang chuyển động. Bây giờ chắc chắn khi một vật rơi về phía trái đất, động năng tăng lên khi khoảng cách rơi tăng lên, hệt như khi chúng ta không bận tâm đến sự biến thiên của lực theo độ cao. Câu hỏi là liệu có thể tìm một công thức khác cho thế năng khác với mgh, một hàm khác của khoảng cách tính từ trái đất, sao cho sự bảo toàn năng lượng vẫn đúng hay không.

Trường hợp một chiều này dễ xử lý vì chúng ta biết sự thay đổi động năng bằng tích phân, từ đầu này của chuyển động đến đầu kia, của −GMm/r² nhân với độ dời dr:

T₂ − T₁ = −∫₁² GMm (dr/r²).   (13.11)

Không cần đến cosin trong trường hợp này vì lực và độ dời cùng hướng. Dễ dàng lấy tích phân dr/r²; kết quả là −1/r, vậy Phương trình (13.11) trở thành

T₂ − T₁ = +GMm(1/r₂ − 1/r₁).   (13.12)

Vậy chúng ta có một công thức khác cho thế năng. Phương trình (13.12) cho chúng ta biết rằng đại lượng (½mv² − GMm/r) tính tại điểm 1, tại điểm 2, hay tại bất kỳ nơi nào khác, có một giá trị không đổi.

Bây giờ chúng ta đã có công thức cho thế năng trong một trường hấp dẫn đối với chuyển động thẳng đứng. Bây giờ chúng ta có một bài toán thú vị. Liệu chúng ta có thể tạo ra chuyển động vĩnh cửu trong một trường hấp dẫn không? Trường hấp dẫn biến thiên; ở những nơi khác nhau nó theo những hướng khác nhau và có cường độ khác nhau. Liệu chúng ta có thể làm một việc như thế này, dùng một đường ray cố định, không ma sát: bắt đầu tại một điểm nào đó và nâng một vật ra đến một điểm khác nào đó, rồi chuyển nó đi vòng theo một cung đến một điểm thứ ba, rồi hạ nó xuống một khoảng nào đó, rồi chuyển nó vào trong theo một độ dốc nào đó và kéo nó ra theo một cách khác nào đó, sao cho khi chúng ta đưa nó trở lại điểm bắt đầu, một lượng công nào đó đã được thực hiện bởi lực hấp dẫn, và động năng của vật được tăng lên? Liệu chúng ta có thể thiết kế đường cong sao cho nó trở lại chuyển động nhanh hơn một chút so với trước, để nó đi vòng quanh và vòng quanh và vòng quanh, và cho chúng ta chuyển động vĩnh cửu không? Vì chuyển động vĩnh cửu là không thể, chúng ta phải tìm ra rằng điều này cũng không thể. Chúng ta phải khám phá ra mệnh đề sau: vì không có ma sát, vật phải trở lại với vận tốc không cao hơn cũng không thấp hơn — nó phải có thể tiếp tục đi vòng quanh và vòng quanh bất kỳ đường kín nào. Nói cách khác, tổng công thực hiện khi đi quanh một chu trình đầy đủ phải bằng không đối với các lực hấp dẫn, vì nếu nó không bằng không chúng ta có thể lấy năng lượng ra bằng cách đi vòng quanh. (Nếu công hóa ra nhỏ hơn không, sao cho chúng ta thu được tốc độ ít hơn khi chúng ta đi vòng quanh theo một chiều, thì chúng ta chỉ việc đi vòng quanh theo chiều ngược lại, vì các lực, dĩ nhiên, chỉ phụ thuộc vào vị trí, không phụ thuộc vào hướng; nếu một chiều là dương, chiều kia sẽ là âm, vậy trừ khi nó bằng không chúng ta sẽ thu được chuyển động vĩnh cửu bằng cách đi vòng quanh theo chiều này hay chiều kia.)

Công có thật sự bằng không không? Hãy thử chứng tỏ rằng nó bằng không. Trước hết chúng ta sẽ giải thích đại khái vì sao nó bằng không, rồi sau đó chúng ta sẽ xét nó kỹ hơn một chút về mặt toán học. Giả sử chúng ta dùng một đường đơn giản như đường được cho thấy trong Hình 13–3, trong đó một khối lượng nhỏ được mang từ điểm 1 đến điểm 2, rồi được cho đi vòng theo một đường tròn đến 3, trở lại 4, rồi đến 5, 6, 7, và 8, và cuối cùng trở lại 1. Tất cả các đoạn thẳng hoặc hoàn toàn là hướng tâm hoặc là tròn, với M làm tâm. Công thực hiện khi mang m quanh đường này là bao nhiêu? Giữa điểm 1 và điểm 2, nó là GMm nhân với hiệu của 1/r giữa hai điểm này:

W₁₂ = ∫₁² F·ds = ∫₁² −GMm (dr/r²) = GMm(1/r₂ − 1/r₁).

Từ 2 đến 3 lực hệt như vuông góc với đường cong, vậy W₂₃ ≡ 0. Công từ 3 đến 4 là

W₃₄ = ∫₃⁴ F·ds = GMm(1/r₄ − 1/r₃).

Theo cùng một cách, chúng ta thấy rằng W₄₅ = 0, W₅₆ = GMm(1/r₆ − 1/r₅), W₆₇ = 0, W₇₈ = GMm(1/r₈ − 1/r₇), và W₈₁ = 0. Vậy,

W = GMm(1/r₂ − 1/r₁ + 1/r₄ − 1/r₃ + 1/r₆ − 1/r₅ + 1/r₈ − 1/r₇).

Nhưng chúng ta lưu ý rằng r₂ = r₃, r₄ = r₅, r₆ = r₇, và r₈ = r₁. Do đó W = 0.

Dĩ nhiên chúng ta có thể tự hỏi liệu đây có phải là một đường cong quá tầm thường không. Nếu chúng ta dùng một đường cong thật thì sao? Hãy thử nó trên một đường cong thật. Trước hết, chúng ta có thể muốn khẳng định rằng một đường cong thật luôn có thể được bắt chước đủ tốt bằng một dãy các răng cưa nhỏ như những răng cưa trong Hình 13–4, và do đó, v.v., đpcm, nhưng nếu không có một chút phân tích, thoạt đầu không rõ ràng rằng công thực hiện khi đi quanh ngay cả một tam giác nhỏ cũng bằng không. Hãy phóng to một trong các tam giác, như được cho thấy trong Hình 13–4. Công thực hiện khi đi từ a đến b và b đến c trên một tam giác có giống công thực hiện khi đi trực tiếp từ a đến c không? Giả sử lực đang tác dụng theo một hướng nào đó; hãy lấy tam giác sao cho cạnh bc nằm theo hướng này, chỉ như một ví dụ. Chúng ta cũng giả sử rằng tam giác nhỏ đến mức lực về cơ bản là không đổi trên toàn bộ tam giác. Công thực hiện khi đi từ a đến c là bao nhiêu? Nó là

W_ac = ∫_a^c F·ds = Fs cos θ,

vì lực là hằng số. Bây giờ hãy tính công thực hiện khi đi quanh hai cạnh còn lại của tam giác. Trên cạnh thẳng đứng ab lực vuông góc với ds, vậy ở đây công bằng không. Trên cạnh ngang bc,

W_bc = ∫_b^c F·ds = Fx.

Vậy chúng ta thấy rằng công thực hiện khi đi dọc theo các cạnh của một tam giác nhỏ cũng giống như công thực hiện khi đi trên đường xiên, vì s cos θ bằng x. Chúng ta đã chứng minh trước đó rằng đáp án bằng không đối với bất kỳ đường nào gồm một dãy các khía như những khía trong Hình 13–3, và cũng rằng chúng ta thực hiện cùng một công nếu chúng ta cắt ngang qua các góc thay vì đi dọc theo các khía (miễn là các khía đủ mịn, và chúng ta luôn có thể làm chúng rất mịn); do đó, công thực hiện khi đi quanh bất kỳ đường nào trong một trường hấp dẫn đều bằng không.

Đây là một kết quả rất đáng chú ý. Nó cho chúng ta biết một điều mà chúng ta trước đây chưa biết về chuyển động hành tinh. Nó cho chúng ta biết rằng khi một hành tinh chuyển động quanh mặt trời (không có bất kỳ vật nào khác ở xung quanh, không có lực nào khác) nó chuyển động theo cách sao cho bình phương tốc độ tại bất kỳ điểm nào trừ đi một số hằng số nào đó chia cho bán kính tại điểm đó luôn luôn như nhau tại mọi điểm trên quỹ đạo. Ví dụ, hành tinh càng gần mặt trời, nó càng đi nhanh, nhưng nhanh hơn bao nhiêu? Bằng lượng sau đây: nếu thay vì để hành tinh đi quanh mặt trời, chúng ta đổi hướng (nhưng không đổi độ lớn) vận tốc của nó và cho nó chuyển động hướng tâm, rồi chúng ta để nó rơi từ một bán kính đặc biệt nào đó đến bán kính đang quan tâm, tốc độ mới sẽ cũng như tốc độ nó có trong quỹ đạo thật, vì đây chỉ là một ví dụ khác của một đường đi phức tạp. Miễn là chúng ta trở lại cùng một khoảng cách, động năng sẽ như nhau. Vậy, dù chuyển động là chuyển động thật, không bị nhiễu loạn, hay bị đổi hướng bởi các kênh, bởi các ràng buộc không ma sát, động năng mà hành tinh có khi tới một điểm sẽ như nhau.

Vậy, khi chúng ta thực hiện một phân tích số về chuyển động của hành tinh trên quỹ đạo của nó, như chúng ta đã làm trước đây, chúng ta có thể kiểm tra xem chúng ta có đang mắc những sai số đáng kể hay không bằng cách tính đại lượng không đổi này, năng lượng, tại mỗi bước, và nó không được thay đổi. Đối với quỹ đạo của Bảng 9–2 năng lượng quả thật có thay đổi,¹ nó thay đổi khoảng 1,5 phần trăm từ đầu đến cuối. Vì sao? Hoặc vì đối với phương pháp số chúng ta dùng các khoảng hữu hạn, hoặc vì chúng ta đã mắc một lỗi nhỏ ở đâu đó trong số học.

Hãy xét năng lượng trong một trường hợp khác: bài toán một khối lượng trên một lò xo. Khi chúng ta dời khối lượng khỏi vị trí cân bằng của nó, lực hồi phục tỉ lệ với độ dời. Trong những hoàn cảnh đó, chúng ta có thể tìm ra một định luật bảo toàn năng lượng không? Có, vì công thực hiện bởi một lực như vậy là

W = ∫₀^x F dx = ∫₀^x −kx dx = −½kx².   (13.13)

Do đó, đối với một khối lượng trên một lò xo chúng ta có động năng của khối lượng dao động cộng với ½kx² là một hằng số. Hãy xem điều này vận hành như thế nào. Chúng ta kéo khối lượng xuống; nó đang đứng yên vậy tốc độ của nó bằng không. Nhưng x không bằng không, x ở mức cực đại, vậy có một năng lượng nào đó, thế năng, dĩ nhiên. Bây giờ chúng ta thả khối lượng ra và mọi việc bắt đầu xảy ra (các chi tiết không cần thảo luận), nhưng tại bất kỳ thời điểm nào động năng cộng thế năng phải là một hằng số. Ví dụ, sau khi khối lượng đang trên đường đi qua điểm cân bằng ban đầu, vị trí x bằng không, nhưng đó là khi nó có v² lớn nhất, và khi nó có x² càng lớn nó có v² càng nhỏ, và cứ thế. Vậy sự cân bằng của x² và v² được duy trì khi khối lượng đi lên và đi xuống. Vậy chúng ta bây giờ có một quy tắc khác, rằng thế năng đối với một lò xo là ½kx², nếu lực là −kx.

13–3  Cộng dồn năng lượng

Bây giờ chúng ta đi đến việc xét tổng quát hơn điều gì xảy ra khi có một số lượng lớn các vật. Giả sử chúng ta có bài toán phức tạp gồm nhiều vật, mà chúng ta ký hiệu i = 1, 2, 3, …, tất cả đều tác dụng lực hút hấp dẫn lên nhau. Điều gì xảy ra khi đó? Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu chúng ta cộng các động năng của tất cả các hạt, và cộng vào đó tổng, trên tất cả các cặp hạt, của thế năng hấp dẫn lẫn nhau của chúng, −Gm_im_j/r_ij, thì tổng là một hằng số:

∑_i ½m_iv_i² + ∑_{(các cặp ij)} (−Gm_im_j/r_ij) = const.   (13.14)

Chúng ta chứng minh nó như thế nào? Chúng ta lấy đạo hàm mỗi vế theo thời gian và thu được không. Khi chúng ta lấy đạo hàm ½m_iv_i², chúng ta tìm thấy các đạo hàm của vận tốc chính là các lực, hệt như trong Phương trình (13.5). Chúng ta thay các lực này bằng định luật lực mà chúng ta biết từ định luật hấp dẫn của Newton rồi chúng ta nhận thấy rằng cái còn lại là trừ đi đạo hàm theo thời gian của

∑_{các cặp} (−Gm_im_j/r_ij).

Đạo hàm theo thời gian của động năng là

d/dt ∑_i ½m_iv_i² = ∑_i m_i(dv_i/dt)·v_i = ∑_i F_i·v_i = ∑_i ( ∑_j −Gm_im_jr_ij/r_ij³ )·v_i.   (13.15)

Đạo hàm theo thời gian của thế năng là

d/dt ∑_{các cặp} (−Gm_im_j/r_ij) = ∑_{các cặp} (+Gm_im_j/r_ij²)(dr_ij/dt).

Nhưng,

r_ij = √[(x_i − x_j)² + (y_i − y_j)² + (z_i − z_j)²],

vậy,

dr_ij/dt = (1/2r_ij)[2(x_i − x_j)(dx_i/dt − dx_j/dt) + 2(y_i − y_j)(dy_i/dt − dy_j/dt) + 2(z_i − z_j)(dz_i/dt − dz_j/dt)] = r_ij·(v_i − v_j)/r_ij = r_ij·v_i/r_ij + r_ji·v_j/r_ji,

vì r_ij = −r_ji, trong khi r_ij = r_ji. Vậy

d/dt ∑_{các cặp} (−Gm_im_j/r_ij) = ∑_{các cặp} [ (Gm_im_jr_ij/r_ij³)·v_i + (Gm_jm_ir_ji/r_ji³)·v_j ].   (13.16)

Bây giờ chúng ta phải lưu ý cẩn thận ∑_i{∑_j} và ∑_{các cặp} có nghĩa là gì. Trong Phương trình (13.15), ∑_i{∑_j} có nghĩa là i lần lượt nhận mọi giá trị i = 1, 2, 3, … và đối với mỗi giá trị của i, chỉ số j nhận mọi giá trị ngoại trừ i. Vậy nếu i = 3, j nhận các giá trị 1, 2, 4, …

Trong Phương trình (13.16), mặt khác, ∑_{các cặp} có nghĩa là các giá trị cho trước của i và j chỉ xuất hiện một lần. Vậy cặp hạt 1 và 3 chỉ đóng góp một số hạng vào tổng. Để theo dõi điều này, chúng ta có thể thỏa thuận để i chạy trên mọi giá trị 1, 2, 3, …, và đối với mỗi i để j chỉ chạy trên các giá trị lớn hơn i. Vậy nếu i = 3, j chỉ có thể có các giá trị 4, 5, 6, … Nhưng chúng ta lưu ý rằng đối với mỗi giá trị i, j có hai đóng góp vào tổng, một đóng góp liên quan đến v_i, và đóng góp kia liên quan đến v_j, và các số hạng này có cùng dạng như các số hạng của Phương trình (13.15), trong đó mọi giá trị của i và j (ngoại trừ i = j) đều được bao gồm trong tổng. Do đó, bằng cách khớp các số hạng từng cái một, chúng ta thấy rằng Phương trình (13.16) và (13.15) hệt như nhau, nhưng ngược dấu, vậy đạo hàm theo thời gian của động năng cộng thế năng quả thật bằng không. Vậy chúng ta thấy rằng, đối với nhiều vật, động năng là tổng các đóng góp từ mỗi vật riêng lẻ, và thế năng cũng đơn giản, nó cũng chỉ là tổng các đóng góp, các năng lượng giữa mọi cặp. Chúng ta có thể hiểu vì sao nó phải là năng lượng của mỗi cặp theo cách này: Giả sử chúng ta muốn tìm tổng lượng công phải thực hiện để đưa các vật đến những khoảng cách nhất định tính từ nhau. Chúng ta có thể làm điều này trong nhiều bước, đưa chúng vào từ vô cực nơi không có lực, từng cái một. Trước hết chúng ta đưa vào vật số một, việc này không cần công, vì chưa có vật nào khác hiện diện để tác dụng lực lên nó. Tiếp theo chúng ta đưa vào vật số hai, việc này quả thật tốn một ít công, cụ thể là W₁₂ = −Gm₁m₂/r₁₂. Bây giờ, và đây là một điểm quan trọng, giả sử chúng ta đưa vật tiếp theo vào vị trí ba. Tại bất kỳ thời điểm nào lực lên vật số 3 có thể được viết thành tổng của hai lực — lực tác dụng bởi vật số 1 và lực tác dụng bởi vật số 2. Do đó công thực hiện là tổng các công thực hiện bởi mỗi lực, vì nếu F₃ có thể được phân giải thành tổng của hai lực,

F₃ = F₁₃ + F₂₃,

thì công là

∫ F₃·ds = ∫ F₁₃·ds + ∫ F₂₃·ds = W₁₃ + W₂₃.

Tức là, công thực hiện là tổng công thực hiện chống lại lực thứ nhất và lực thứ hai, như thể mỗi lực tác dụng độc lập. Tiến hành theo cách này, chúng ta thấy rằng tổng công cần thiết để lắp ráp cấu hình vật cho trước hệt như giá trị được cho trong Phương trình (13.14) dưới dạng thế năng. Chính vì trọng lực tuân theo nguyên lý chồng chập lực mà chúng ta có thể viết thế năng thành tổng trên mỗi cặp hạt.

13–4  Trường hấp dẫn của các vật lớn

Bây giờ chúng ta sẽ tính các trường gặp trong một vài hoàn cảnh vật lý liên quan đến các phân bố khối lượng. Cho đến nay chúng ta vẫn chưa xét các phân bố khối lượng, chỉ xét các hạt, vậy thật thú vị khi tính các lực khi chúng được tạo ra bởi nhiều hơn chỉ một hạt. Trước hết chúng ta sẽ tìm lực hấp dẫn lên một khối lượng do một tấm vật liệu phẳng, vô hạn về bề rộng, tạo ra. Lực lên một khối lượng đơn vị tại một điểm P cho trước, do tấm vật liệu này tạo ra (Hình 13–5), dĩ nhiên sẽ hướng về phía tấm. Đặt khoảng cách từ điểm đến tấm là a, và đặt lượng khối lượng trên một đơn vị diện tích của tấm khổng lồ này là μ. Chúng ta sẽ giả sử μ là hằng số; nó là một tấm vật liệu đồng đều. Bây giờ, trường nhỏ dC nào được tạo ra bởi khối lượng dm nằm giữa ρ và ρ + dρ tính từ điểm O của tấm gần điểm P nhất? Đáp án: dC = −G(dm r/r³). Nhưng trường này hướng dọc theo r, và chúng ta biết rằng chỉ thành phần x của nó sẽ còn lại khi chúng ta cộng tất cả các vectơ nhỏ dC để tạo ra C. Thành phần x của dC là

dC_x = −G (dm r_x/r³) = −G (dm a/r³).

Bây giờ mọi khối lượng dm ở cùng một khoảng cách r tính từ P sẽ cho cùng một dC_x, vậy chúng ta có thể viết ngay cho dm tổng khối lượng trong vành giữa ρ và ρ + dρ, cụ thể là dm = μ2πρ dρ (2πρ dρ là diện tích của một vành có bán kính ρ và bề rộng dρ, nếu dρ ≪ ρ). Vậy

dC_x = −Gμ2πρ (dρ a/r³).

Sau đó, vì r² = ρ² + a², ρ dρ = r dr. Do đó,

C_x = −2πGμa ∫_a^∞ (dr/r²) = −2πGμa(1/a − 1/∞) = −2πGμ.   (13.17)

Vậy lực không phụ thuộc vào khoảng cách a! Vì sao? Chúng ta có mắc lỗi không? Người ta có thể nghĩ rằng chúng ta càng đi xa, lực càng yếu. Nhưng không! Nếu chúng ta ở gần, phần lớn vật chất đang kéo ở một góc bất lợi; nếu chúng ta ở xa, nhiều vật chất hơn nằm ở vị trí thuận lợi hơn để tác dụng một lực kéo về phía mặt phẳng. Tại bất kỳ khoảng cách nào, vật chất hiệu quả nhất nằm trong một hình nón nhất định. Khi chúng ta ở xa hơn lực nhỏ hơn theo nghịch đảo bình phương, nhưng trong cùng một hình nón, trong cùng một góc, có nhiều vật chất hơn nhiều, lớn hơn hệt như bình phương của khoảng cách! Phân tích này có thể được làm chặt chẽ bằng cách chỉ cần lưu ý rằng đóng góp vi phân trong bất kỳ hình nón cho trước nào trên thực tế không phụ thuộc vào khoảng cách, vì sự biến thiên nghịch đảo của cường độ lực từ một khối lượng cho trước, và lượng khối lượng bao gồm trong hình nón, theo khoảng cách thay đổi. Dĩ nhiên lực không thật sự là hằng số, vì khi chúng ta đi sang phía bên kia của tấm nó bị đảo dấu.

Chúng ta cũng, trên thực tế, đã giải quyết một bài toán điện: nếu chúng ta có một tấm tích điện, với một lượng điện tích σ trên một đơn vị diện tích, thì điện trường tại một điểm bên ngoài tấm bằng σ/2ε₀, và hướng ra ngoài nếu tấm tích điện dương, và hướng vào trong nếu tấm tích điện âm. Để chứng minh điều này, chúng ta chỉ cần lưu ý rằng −G, đối với trọng lực, đóng cùng vai trò như 1/4πε₀ đối với điện.

Bây giờ giả sử chúng ta có hai tấm, với một điện tích dương +σ trên một tấm và một điện tích âm −σ trên tấm còn lại ở một khoảng cách D tính từ tấm thứ nhất. Trường là gì? Bên ngoài hai tấm nó bằng không. Vì sao? Vì một tấm hút và tấm kia đẩy, lực không phụ thuộc vào khoảng cách, vậy hai lực cân bằng nhau! Ngoài ra, trường giữa hai tấm rõ ràng lớn gấp đôi trường từ một tấm, cụ thể là E = σ/ε₀, và hướng từ tấm dương đến tấm âm.

Bây giờ chúng ta đến một bài toán thú vị và quan trọng nhất, mà nghiệm của nó chúng ta vẫn luôn giả thiết từ trước đến nay, cụ thể là, lực do trái đất tạo ra tại một điểm trên bề mặt của nó hay bên ngoài nó cũng như thể toàn bộ khối lượng của trái đất nằm tại tâm của nó. Tính đúng đắn của giả thiết này không hiển nhiên, vì khi chúng ta ở gần, một phần khối lượng rất gần chúng ta, và một phần ở xa hơn, và cứ thế. Khi chúng ta cộng mọi ảnh hưởng lại với nhau, dường như là một điều kỳ diệu khi lực ròng hệt như chúng ta sẽ thu được nếu chúng ta đặt toàn bộ khối lượng vào giữa!

Bây giờ chúng ta chứng minh tính đúng đắn của điều kỳ diệu này. Tuy nhiên, để làm vậy, chúng ta sẽ xét một vỏ rỗng mỏng đồng đều thay vì toàn bộ trái đất. Đặt tổng khối lượng của vỏ là m, và hãy tính thế năng của một hạt có khối lượng m′ ở một khoảng cách R tính từ tâm của quả cầu (Hình 13–6) và chứng tỏ rằng thế năng cũng như thể khối lượng m là một điểm tại tâm. (Thế năng dễ xử lý hơn trường vì chúng ta không phải lo về các góc, chúng ta chỉ việc cộng các thế năng của mọi mảnh khối lượng.) Nếu chúng ta gọi x là khoảng cách từ một tiết diện phẳng nào đó đến tâm, thì toàn bộ khối lượng nằm trong một lát dx đều ở cùng một khoảng cách r tính từ P, và thế năng do vành này gây ra là −Gm′ dm/r. Có bao nhiêu khối lượng trong lát nhỏ dx? Một lượng

dm = 2πyμ ds = (2πyμ dx/sin θ) = (2πyμ dx a/y) = 2πaμ dx,

trong đó μ = m/4πa² là mật độ khối lượng bề mặt trên vỏ cầu. (Có một quy tắc chung là diện tích của một đới của một quả cầu tỉ lệ với bề rộng trục của nó.) Do đó thế năng do dm gây ra là

dW = −(Gm′ dm/r) = −(Gm′2πaμ dx/r).

Nhưng chúng ta thấy rằng

r² = y² + (R − x)² = y² + x² + R² − 2Rx = a² + R² − 2Rx.

Vậy, 2r dr = −2R dx, hay dx/r = −dr/R. Do đó, dW = (Gm′2πaμ dr/R), và vậy,

W = (Gm′2πaμ/R) ∫_R+a^R−a dr = −(Gm′2πaμ/R)·2a = −Gm′(4πa²μ)/R = −Gm′m/R.   (13.18)

Vậy, đối với một vỏ cầu mỏng, thế năng của một khối lượng m′, bên ngoài vỏ, cũng như thể khối lượng của vỏ được tập trung tại tâm của nó. Trái đất có thể được tưởng tượng như một dãy các vỏ cầu, mỗi vỏ trong số đó đóng góp một năng lượng chỉ phụ thuộc vào khối lượng của nó và khoảng cách từ tâm của nó đến hạt; cộng tất cả chúng lại với nhau chúng ta thu được tổng khối lượng, và do đó trái đất tác dụng như thể toàn bộ vật chất nằm tại tâm!

Nhưng hãy lưu ý điều gì xảy ra nếu điểm của chúng ta ở bên trong vỏ. Thực hiện cùng một phép tính, nhưng với P ở bên trong, chúng ta vẫn thu được hiệu của hai r, nhưng bây giờ ở dạng a − R − (a + R) = −2R, hay trừ đi hai lần khoảng cách tính từ tâm. Nói cách khác, W hóa ra là W = −Gm′m/a, không phụ thuộc vào R và không phụ thuộc vào vị trí, tức là, cùng một năng lượng dù chúng ta ở bất kỳ đâu bên trong. Do đó không có lực; không có công nào được thực hiện khi chúng ta di chuyển quanh bên trong. Nếu thế năng như nhau dù một vật được đặt ở bất kỳ đâu bên trong quả cầu, không thể có lực lên nó. Vậy không có lực bên trong, chỉ có lực bên ngoài, và lực bên ngoài cũng như thể khối lượng đều nằm tại tâm.