Chương 16: Năng lượng và Động lượng Tương đối tính

16–1  Thuyết tương đối và các triết gia

Trong chương này, chúng ta sẽ tiếp tục thảo luận về nguyên lý tương đối của Einstein và Poincaré, xét xem nó ảnh hưởng như thế nào đến các ý tưởng của chúng ta trong vật lý và trong các ngành tư tưởng khác của con người.

Poincaré đã phát biểu nguyên lý tương đối như sau: “Theo nguyên lý tương đối, các định luật của các hiện tượng vật lý phải như nhau đối với một người quan sát đứng yên cũng như đối với một người quan sát có chuyển động tịnh tiến đều so với người đó, sao cho chúng ta không có, và cũng không thể có, bất kỳ cách nào để phân biệt xem chúng ta có đang bị cuốn theo một chuyển động như vậy hay không.”

Khi ý tưởng này giáng xuống thế giới, nó đã gây ra một sự xôn xao lớn trong giới triết gia, đặc biệt là các “triết gia tiệc cocktail”, những người nói: “Ồ, đơn giản lắm: thuyết của Einstein nói rằng mọi thứ đều là tương đối!” Thật ra, một số lượng lớn đến ngạc nhiên các triết gia, không chỉ những người gặp ở các buổi tiệc cocktail (nhưng để khỏi làm họ xấu hổ, chúng ta sẽ chỉ gọi họ là “các triết gia tiệc cocktail”), sẽ nói: “Việc mọi thứ đều là tương đối là một hệ quả của Einstein, và nó có những ảnh hưởng sâu sắc đến các ý tưởng của chúng ta.” Thêm vào đó, họ nói: “Trong vật lý đã chứng minh được rằng các hiện tượng phụ thuộc vào hệ quy chiếu của anh.” Chúng ta nghe điều đó rất nhiều, nhưng thật khó mà tìm ra nó có nghĩa là gì. Có lẽ các hệ quy chiếu mà ban đầu người ta nhắc đến là các hệ tọa độ mà chúng ta dùng trong việc phân tích thuyết tương đối. Vậy sự kiện “mọi vật phụ thuộc vào hệ quy chiếu của anh” được cho là đã có một ảnh hưởng sâu sắc đến tư tưởng hiện đại. Người ta rất có thể tự hỏi vì sao, bởi vì, xét cho cùng, việc mọi vật phụ thuộc vào quan điểm của một người là một ý tưởng đơn giản đến mức chắc chắn không cần phải mất bao nhiêu công sức của thuyết tương đối vật lý mới khám phá ra nó. Việc những gì người ta nhìn thấy phụ thuộc vào hệ quy chiếu của người đó chắc chắn là điều mà bất kỳ ai đi lại quanh quẩn cũng biết, bởi vì anh ta nhìn thấy một người đi bộ đang tiến lại gần trước hết từ phía trước và sau đó từ phía sau; chẳng có gì sâu sắc hơn trong phần lớn thứ triết học được cho là xuất phát từ thuyết tương đối so với nhận xét rằng “Một người trông khác đi khi nhìn từ phía trước so với khi nhìn từ phía sau.” Câu chuyện cũ về con voi mà mấy người mù mô tả theo những cách khác nhau là một ví dụ khác, có lẽ vậy, của thuyết tương đối theo quan điểm của triết gia.

Nhưng chắc chắn phải có những điều sâu sắc hơn trong thuyết tương đối so với chỉ nhận xét đơn giản rằng “Một người trông khác đi khi nhìn từ phía trước so với khi nhìn từ phía sau.” Dĩ nhiên thuyết tương đối sâu sắc hơn thế, bởi vì chúng ta có thể đưa ra những tiên đoán xác định bằng nó. Quả thật sẽ khá đáng chú ý nếu chúng ta có thể tiên đoán hành vi của tự nhiên chỉ từ một quan sát đơn giản như vậy.

Có một trường phái triết gia khác cảm thấy rất khó chịu về thuyết tương đối, thuyết này khẳng định rằng chúng ta không thể xác định vận tốc tuyệt đối của mình mà không nhìn vào một thứ gì đó ở bên ngoài, và họ sẽ nói: “Hiển nhiên là người ta không thể đo vận tốc của mình mà không nhìn ra bên ngoài. Hiển nhiên là việc nói về vận tốc của một vật mà không nhìn ra bên ngoài là vô nghĩa; các nhà vật lý khá là ngốc vì đã nghĩ khác đi, nhưng giờ họ mới chợt nhận ra rằng sự việc là như vậy. Giá mà chúng tôi, các triết gia, nhận ra được các vấn đề của các nhà vật lý là gì, chúng tôi đã có thể quyết định ngay bằng suy luận rằng không thể nói được mình đang chuyển động nhanh đến đâu mà không nhìn ra bên ngoài, và chúng tôi đã có thể đóng góp to lớn cho vật lý.” Các triết gia này luôn ở bên chúng ta, vật lộn ở vùng ngoại vi để cố nói với chúng ta điều gì đó, nhưng họ không bao giờ thật sự hiểu được những nét tinh tế và chiều sâu của vấn đề.

Việc chúng ta không thể phát hiện chuyển động tuyệt đối là một kết quả của thí nghiệm chứ không phải là một kết quả của suy nghĩ thuần túy, như chúng ta có thể dễ dàng minh họa. Trước hết, Newton tin rằng quả thật người ta không thể nói được mình đang đi nhanh đến đâu nếu mình đang chuyển động với vận tốc đều trên một đường thẳng. Thật ra, Newton là người đầu tiên phát biểu nguyên lý tương đối, và một trích dẫn được nêu trong chương trước là một phát biểu của Newton. Vậy vì sao khi đó các triết gia đã không làm ầm ĩ như vậy về chuyện “mọi thứ đều là tương đối”, hay bất cứ điều gì, vào thời của Newton? Bởi vì mãi cho đến khi thuyết điện động lực học của Maxwell được phát triển mới có những định luật vật lý gợi ý rằng người ta có thể đo vận tốc của mình mà không cần nhìn ra bên ngoài; chẳng bao lâu sau người ta đã tìm ra bằng thí nghiệm rằng người ta không thể làm được điều đó.

Bây giờ, có phải là điều tuyệt đối, dứt khoát, về mặt triết học cần thiết, rằng người ta không thể nói được mình đang chuyển động nhanh đến đâu mà không nhìn ra bên ngoài không? Một trong những hệ quả của thuyết tương đối là sự phát triển của một triết lý nói rằng: “Anh chỉ có thể định nghĩa những gì anh có thể đo! Vì hiển nhiên là người ta không thể đo một vận tốc mà không nhìn thấy mình đang đo nó so với cái gì, cho nên rõ ràng là không có ý nghĩa gì về vận tốc tuyệt đối cả. Các nhà vật lý lẽ ra phải nhận ra rằng họ chỉ có thể nói về những gì họ có thể đo.” Nhưng đó chính là toàn bộ vấn đề: việc có thể hay không thể định nghĩa vận tốc tuyệt đối cũng chính là vấn đề việc có thể hay không thể phát hiện, trong một thí nghiệm, mà không cần nhìn ra bên ngoài, xem mình có đang chuyển động hay không. Nói cách khác, việc một thứ có đo được hay không không phải là điều được quyết định tiên nghiệm chỉ bằng suy nghĩ, mà là điều chỉ có thể được quyết định bằng thí nghiệm. Cho trước sự kiện là vận tốc ánh sáng là 186.000 dặm/giây, chúng ta sẽ thấy rất ít triết gia bình tĩnh khẳng định rằng hiển nhiên là nếu ánh sáng đi với vận tốc 186.000 dặm/giây bên trong một chiếc xe, và chiếc xe đang đi với vận tốc 100.000 dặm/giây, thì ánh sáng cũng đi với vận tốc 186.000 dặm/giây ngang qua một người quan sát trên mặt đất. Đó là một sự kiện gây sốc đối với họ; chính những người khẳng định điều đó là hiển nhiên, khi anh đưa cho họ một sự kiện cụ thể, lại thấy rằng nó không hiển nhiên chút nào.

Cuối cùng, thậm chí còn có một triết lý nói rằng người ta không thể phát hiện bất kỳ chuyển động nào ngoại trừ bằng cách nhìn ra bên ngoài. Điều đó đơn giản là không đúng trong vật lý. Đúng là người ta không thể nhận biết một chuyển động đều trên một đường thẳng, nhưng nếu toàn bộ căn phòng đang quay, chúng ta chắc chắn sẽ biết điều đó, bởi vì mọi người sẽ bị ném vào tường — sẽ có đủ mọi hiệu ứng “ly tâm”. Việc Trái Đất đang quay quanh trục của nó có thể được xác định mà không cần nhìn vào các ngôi sao, chẳng hạn bằng con lắc Foucault. Do đó không đúng là “mọi thứ đều là tương đối”; chỉ có vận tốc đều là không thể phát hiện được mà không nhìn ra bên ngoài. Chuyển động quay đều quanh một trục cố định thì có thể. Khi điều này được nói với một triết gia, anh ta rất buồn bực vì đã không thật sự hiểu nó, bởi vì đối với anh ta dường như không thể nào xác định được chuyển động quay quanh một trục mà không nhìn ra bên ngoài. Nếu triết gia đủ giỏi, sau một thời gian anh ta có thể quay lại và nói: “Tôi hiểu rồi. Chúng ta thật ra không có cái gọi là chuyển động quay tuyệt đối; chúng ta thật ra đang quay so với các ngôi sao, anh thấy đấy. Và như vậy một ảnh hưởng nào đó do các ngôi sao tác dụng lên vật phải gây ra lực ly tâm.”

Bây giờ, theo tất cả những gì chúng ta biết, điều đó là đúng; hiện nay chúng ta không có cách nào nói được liệu có còn lực ly tâm hay không nếu không có các ngôi sao và các tinh vân ở xung quanh. Chúng ta chưa thể làm thí nghiệm loại bỏ mọi tinh vân rồi đo chuyển động quay của mình, vì vậy chúng ta đơn giản là không biết. Chúng ta phải thừa nhận rằng triết gia có thể đúng. Do đó anh ta quay lại, vui mừng, và nói: “Tuyệt đối cần thiết là thế giới cuối cùng phải hóa ra như thế này: chuyển động quay tuyệt đối không có nghĩa gì cả; nó chỉ là tương đối so với các tinh vân.” Khi đó chúng ta nói với anh ta: “Bây giờ, bạn của tôi ơi, có hiển nhiên hay không hiển nhiên rằng vận tốc đều trên một đường thẳng, so với các tinh vân, sẽ không gây ra hiệu ứng nào bên trong một chiếc xe?” Bây giờ khi chuyển động không còn là tuyệt đối nữa, mà là một chuyển động so với các tinh vân, nó trở thành một câu hỏi bí ẩn, và là một câu hỏi chỉ có thể được trả lời bằng thí nghiệm.

Vậy thì, những ảnh hưởng triết học của thuyết tương đối là gì? Nếu chúng ta giới hạn mình trong những ảnh hưởng theo nghĩa những loại ý tưởng và gợi ý mới nào được nguyên lý tương đối đưa ra cho nhà vật lý, chúng ta có thể mô tả một số trong chúng như sau. Khám phá đầu tiên, về bản chất, là ngay cả những ý tưởng đã được giữ trong một thời gian rất dài và đã được kiểm chứng rất chính xác cũng có thể sai. Dĩ nhiên đó là một khám phá gây sốc, rằng các định luật Newton là sai, sau bao nhiêu năm chúng dường như chính xác. Dĩ nhiên rõ ràng là, không phải các thí nghiệm đã sai, mà là chúng chỉ được thực hiện trên một khoảng vận tốc giới hạn, nhỏ đến mức các hiệu ứng tương đối tính sẽ không lộ ra. Nhưng dù sao, giờ đây chúng ta có một quan điểm khiêm tốn hơn nhiều về các định luật vật lý của mình — mọi thứ đều có thể sai!

Thứ hai, nếu chúng ta có một tập hợp các ý tưởng “lạ lùng”, chẳng hạn như thời gian chạy chậm hơn khi người ta chuyển động, và những thứ tương tự, thì việc chúng ta thích hay không thích chúng là một câu hỏi không liên quan. Câu hỏi liên quan duy nhất là liệu các ý tưởng đó có phù hợp với những gì tìm thấy trong thí nghiệm hay không. Nói cách khác, các “ý tưởng lạ lùng” chỉ cần phù hợp với thí nghiệm, và lý do duy nhất mà chúng ta phải thảo luận về hành vi của đồng hồ và những thứ tương tự là để chứng minh rằng mặc dù khái niệm giãn nở thời gian là lạ lùng, nó phù hợp với cách chúng ta đo thời gian.

Cuối cùng, có một gợi ý thứ ba hơi kỹ thuật hơn một chút nhưng đã hóa ra cực kỳ hữu ích trong việc nghiên cứu các định luật vật lý khác của chúng ta, và đó là việc nhìn vào tính đối xứng của các định luật hay, cụ thể hơn, là tìm những cách mà các định luật có thể được biến đổi mà vẫn giữ nguyên dạng của chúng. Khi chúng ta thảo luận về lý thuyết vectơ, chúng ta đã ghi nhận rằng các định luật cơ bản của chuyển động không thay đổi khi chúng ta quay hệ tọa độ, và giờ đây chúng ta học được rằng chúng không thay đổi khi chúng ta thay đổi các biến không gian và thời gian theo một cách đặc biệt, được cho bởi phép biến đổi Lorentz. Vậy ý tưởng nghiên cứu các khuôn mẫu hay các phép biến đổi mà dưới đó các định luật cơ bản không thay đổi này đã chứng tỏ là một ý tưởng rất hữu ích.

16–2  Nghịch lý anh em sinh đôi

Để tiếp tục thảo luận của chúng ta về phép biến đổi Lorentz và các hiệu ứng tương đối tính, chúng ta xét một “nghịch lý” nổi tiếng, được gọi như vậy, của Peter và Paul, hai người được cho là anh em sinh đôi, sinh cùng một lúc. Khi họ đủ lớn để lái một con tàu vũ trụ, Paul bay đi với vận tốc rất cao. Vì Peter, người ở lại trên mặt đất, thấy Paul đi nhanh như vậy, mọi đồng hồ của Paul dường như chạy chậm hơn, nhịp tim của anh ta đập chậm hơn, suy nghĩ của anh ta chậm hơn, mọi thứ đều chậm hơn, theo quan điểm của Peter. Dĩ nhiên, Paul không nhận thấy điều gì bất thường, nhưng nếu anh ta đi lòng vòng một lúc rồi quay trở lại, anh ta sẽ trẻ hơn Peter, người ở trên mặt đất! Điều đó thật ra là đúng; đó là một trong những hệ quả của thuyết tương đối đã được chứng minh rõ ràng. Cũng như các muon sống lâu hơn khi chúng đang chuyển động, Paul cũng sẽ sống lâu hơn khi anh ta đang chuyển động. Điều này chỉ được gọi là một “nghịch lý” bởi những người tin rằng nguyên lý tương đối có nghĩa là mọi chuyển động đều là tương đối; họ nói: “Hê, hê, hê, theo quan điểm của Paul, chẳng phải chúng ta có thể nói rằng Peter đã chuyển động và do đó phải có vẻ già đi chậm hơn sao? Theo tính đối xứng, kết quả duy nhất có thể là cả hai phải cùng tuổi khi họ gặp nhau.” Nhưng để họ có thể quay lại với nhau và so sánh, Paul hoặc phải dừng lại ở cuối chuyến đi và so sánh các đồng hồ hoặc, đơn giản hơn, anh ta phải quay trở lại, và người quay trở lại phải là người đã chuyển động, và anh ta biết điều này, bởi vì anh ta đã phải quay đầu lại. Khi anh ta quay đầu lại, đủ mọi điều bất thường đã xảy ra trong con tàu vũ trụ của anh ta — các tên lửa phụt lửa, mọi vật dồn vào một bức tường, và những thứ tương tự — trong khi Peter không cảm thấy gì cả.

Vậy cách phát biểu quy tắc là nói rằng người đã cảm thấy các gia tốc, người đã nhìn thấy các vật rơi vào tường, và những thứ tương tự, là người sẽ trẻ hơn; đó là sự khác biệt giữa họ theo một nghĩa “tuyệt đối”, và điều đó chắc chắn đúng. Khi chúng ta thảo luận về sự kiện các muon đang chuyển động sống lâu hơn, chúng ta đã dùng làm ví dụ chuyển động thẳng của chúng trong khí quyển. Nhưng chúng ta cũng có thể tạo ra các muon trong một phòng thí nghiệm và khiến chúng đi theo một đường cong bằng một nam châm, và ngay cả dưới chuyển động có gia tốc này, chúng vẫn sống lâu hơn đúng bằng như khi chúng đang chuyển động trên một đường thẳng. Mặc dù chưa ai sắp xếp một thí nghiệm một cách tường minh để chúng ta có thể loại bỏ nghịch lý, người ta có thể so sánh một muon được để đứng yên với một muon đã đi hết một vòng tròn đầy đủ, và chắc chắn sẽ thấy rằng muon đã đi vòng tròn sống lâu hơn. Mặc dù chúng ta chưa thật sự thực hiện một thí nghiệm dùng một vòng tròn đầy đủ, điều đó thật ra không cần thiết, dĩ nhiên, bởi vì mọi thứ đều khớp với nhau ổn thỏa. Điều này có thể không làm thỏa mãn những người khăng khăng rằng mọi sự kiện đơn lẻ đều phải được chứng minh trực tiếp, nhưng chúng ta tự tin tiên đoán kết quả của thí nghiệm trong đó Paul đi hết một vòng tròn đầy đủ.

16–3  Phép biến đổi vận tốc

Sự khác biệt chính giữa thuyết tương đối của Einstein và thuyết tương đối của Newton là các định luật biến đổi nối các tọa độ và thời gian giữa các hệ chuyển động tương đối với nhau là khác nhau. Định luật biến đổi đúng, định luật của Lorentz, là

x′ = (x − ut)/√(1 − u²/c²),   y′ = y,   z′ = z,   t′ = (t − ux/c²)/√(1 − u²/c²).   (16.1)

Các phương trình này tương ứng với trường hợp tương đối đơn giản trong đó chuyển động tương đối của hai người quan sát là dọc theo trục x chung của họ. Dĩ nhiên các hướng chuyển động khác cũng có thể, nhưng phép biến đổi Lorentz tổng quát nhất thì khá phức tạp, với cả bốn đại lượng trộn lẫn với nhau. Chúng ta sẽ tiếp tục dùng dạng đơn giản hơn này, vì nó chứa mọi đặc trưng thiết yếu của thuyết tương đối.

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận thêm về các hệ quả của phép biến đổi này. Trước hết, thật thú vị khi giải các phương trình này theo chiều ngược lại. Nghĩa là, đây là một hệ các phương trình tuyến tính, bốn phương trình với bốn ẩn số, và chúng có thể được giải ngược lại, tìm x, y, z, t theo x′, y′, z′, t′. Kết quả rất thú vị, vì nó cho chúng ta biết một hệ tọa độ “đứng yên” trông như thế nào theo quan điểm của một hệ đang “chuyển động”. Dĩ nhiên, vì các chuyển động là tương đối và có vận tốc đều, người đang “chuyển động” có thể nói, nếu anh ta muốn, rằng thật ra người kia mới đang chuyển động còn chính anh ta đang đứng yên. Và vì anh ta đang chuyển động theo hướng ngược lại, anh ta phải thu được cùng một phép biến đổi, nhưng với dấu vận tốc ngược lại. Đó chính xác là điều chúng ta tìm thấy bằng thao tác biến đổi, vậy là nó nhất quán. Nếu nó không cho ra như vậy, chúng ta đã có lý do thật sự để lo lắng!

x = (x′ + ut′)/√(1 − u²/c²),   y = y′,   z = z′,   t = (t′ + ux′/c²)/√(1 − u²/c²).   (16.2)

Tiếp theo chúng ta thảo luận bài toán thú vị về phép cộng vận tốc trong thuyết tương đối. Chúng ta nhớ lại rằng một trong những câu đố ban đầu là ánh sáng truyền đi với vận tốc 186.000 dặm/giây trong mọi hệ, ngay cả khi chúng đang chuyển động tương đối với nhau. Đây là một trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát hơn được minh họa như sau. Giả sử một vật bên trong một con tàu vũ trụ đang đi với vận tốc 100.000 dặm/giây và bản thân con tàu vũ trụ đang đi với vận tốc 100.000 dặm/giây; vậy vật bên trong con tàu vũ trụ đang chuyển động nhanh đến đâu theo quan điểm của một người quan sát bên ngoài? Chúng ta có thể muốn nói 200.000 dặm/giây, nhanh hơn vận tốc ánh sáng. Điều này rất đáng lo ngại, bởi vì nó được cho là không được đi nhanh hơn vận tốc ánh sáng! Bài toán tổng quát như sau.

Giả sử rằng vật bên trong con tàu, theo quan điểm của người ở bên trong, đang chuyển động với vận tốc v, và bản thân con tàu vũ trụ có vận tốc u so với mặt đất. Chúng ta muốn biết vật này đang chuyển động với vận tốc v_x nào theo quan điểm của người ở trên mặt đất. Dĩ nhiên đây vẫn chỉ là một trường hợp đặc biệt trong đó chuyển động là theo hướng x. Cũng sẽ có một phép biến đổi cho các vận tốc theo hướng y, hoặc theo bất kỳ góc nào; những điều này có thể được suy ra khi cần. Bên trong con tàu vũ trụ vận tốc là v_x′, điều này có nghĩa là độ dời x′ bằng vận tốc nhân với thời gian:

x′ = v_x′t′.   (16.3)

Bây giờ chúng ta chỉ phải tính xem vị trí và thời gian là gì theo quan điểm của người quan sát bên ngoài đối với một vật có mối quan hệ (16.2) giữa x′ và t′. Vậy chúng ta đơn giản thay (16.3) vào (16.2), và thu được

x = (v_x′t′ + ut′)/√(1 − u²/c²).   (16.4)

Nhưng ở đây chúng ta thấy x được biểu diễn theo t′. Để thu được vận tốc như người ở bên ngoài nhìn thấy, chúng ta phải chia quãng đường của anh ta cho thời gian của anh ta, chứ không phải cho thời gian của người kia! Vậy chúng ta cũng phải tính thời gian như được nhìn từ bên ngoài, đó là

t = [t′ + u(v_x′t′)/c²]/√(1 − u²/c²).   (16.5)

Bây giờ chúng ta phải tìm tỉ số của x trên t, tỉ số này là

v_x = x/t = (u + v_x′)/(1 + uv_x′/c²),   (16.6)

các căn bậc hai đã triệt tiêu nhau. Đây là định luật mà chúng ta tìm kiếm: vận tốc hợp thành, việc “cộng” hai vận tốc, không chỉ là tổng đại số của hai vận tốc (chúng ta biết nó không thể là như vậy, nếu không chúng ta sẽ gặp rắc rối), mà được “hiệu chỉnh” bởi 1 + uv/c².

Bây giờ chúng ta hãy xem điều gì xảy ra. Giả sử anh đang chuyển động bên trong con tàu vũ trụ với một nửa vận tốc ánh sáng, và bản thân con tàu vũ trụ đang đi với một nửa vận tốc ánh sáng. Vậy u là ½c và v là ½c, nhưng trong mẫu số uv/c² là một phần tư, sao cho

v = (½c + ½c)/(1 + ¼) = 4c/5.

Vậy, trong thuyết tương đối, “một nửa” và “một nửa” không làm thành “một”, chúng chỉ làm thành “4/5”. Dĩ nhiên các vận tốc thấp có thể được cộng lại khá dễ dàng theo cách quen thuộc, bởi vì chừng nào các vận tốc còn nhỏ so với vận tốc ánh sáng, chúng ta có thể quên thừa số (1 + uv/c²) đi; nhưng mọi thứ khá khác và khá thú vị ở vận tốc cao.

Chúng ta hãy xét một trường hợp giới hạn. Chỉ để cho vui, giả sử bên trong con tàu vũ trụ người ta đang quan sát chính ánh sáng. Nói cách khác, v = c, nhưng con tàu vũ trụ vẫn đang chuyển động. Nó sẽ trông như thế nào đối với người ở trên mặt đất? Câu trả lời sẽ là

v = (u + c)/(1 + uc/c²) = c(u + c)/(u + c) = c.

Do đó, nếu một thứ gì đó đang chuyển động với vận tốc ánh sáng bên trong con tàu, nó cũng sẽ có vẻ đang chuyển động với vận tốc ánh sáng theo quan điểm của người ở trên mặt đất! Điều này tốt, vì thật ra đó là điều mà thuyết tương đối Einstein được thiết kế để làm ngay từ đầu — vậy thì nó tốt hơn hết là phải hoạt động!

Dĩ nhiên, có những trường hợp trong đó chuyển động không theo hướng của phép tịnh tiến đều. Ví dụ, có thể có một vật bên trong con tàu chỉ đang chuyển động “lên trên” với vận tốc v_y′ so với con tàu, và con tàu đang chuyển động “theo phương ngang”. Bây giờ, chúng ta đơn giản đi qua cùng một việc như vậy, chỉ dùng các y thay cho các x, với kết quả

y = y′ = v_y′t′,

vậy nếu v_x′ = 0,

v_y = y/t = v_y′√(1 − u²/c²).   (16.7)

Như vậy một vận tốc theo phương ngang (theo phương bên) không còn là v_y′ nữa, mà là v_y′√(1 − u²/c²). Chúng ta đã tìm ra kết quả này bằng cách thay thế và kết hợp các phương trình biến đổi, nhưng chúng ta cũng có thể nhìn thấy kết quả trực tiếp từ nguyên lý tương đối vì lý do sau đây (luôn tốt khi nhìn lại để xem liệu chúng ta có thể nhìn thấy lý do hay không). Chúng ta đã thảo luận (Mục 15–4) về việc một chiếc đồng hồ có thể hoạt động như thế nào khi nó đang chuyển động; ánh sáng có vẻ truyền đi theo một góc với vận tốc c trong hệ cố định, trong khi nó đơn giản đi thẳng đứng với cùng vận tốc đó trong hệ đang chuyển động. Chúng ta đã tìm thấy rằng thành phần thẳng đứng của vận tốc trong hệ cố định nhỏ hơn vận tốc ánh sáng theo thừa số √(1 − u²/c²) (xem Hình 15–3(c)). Nhưng bây giờ giả sử chúng ta cho một hạt vật chất đi đi lại lại trong cùng “chiếc đồng hồ” đó, nhưng với một phân số nguyên 1/n nào đó của vận tốc ánh sáng (Hình 16–1). Khi đó khi hạt đã đi đi lại lại một lần, ánh sáng sẽ đã đi đúng n lần. Nghĩa là, mỗi “tiếng tích” của “đồng hồ” hạt sẽ trùng với mỗi “tiếng tích” thứ n của đồng hồ ánh sáng. Sự kiện này phải vẫn đúng khi toàn bộ hệ đang chuyển động, bởi vì hiện tượng vật lý về sự trùng hợp sẽ là một sự trùng hợp trong bất kỳ hệ quy chiếu nào. Do đó, vì vận tốc c_y nhỏ hơn vận tốc ánh sáng, vận tốc v_y của hạt phải chậm hơn vận tốc tương ứng theo cùng tỉ lệ căn bậc hai đó! Đó là lý do vì sao căn bậc hai xuất hiện trong bất kỳ vận tốc thẳng đứng nào.

16–4  Khối lượng tương đối tính

Chúng ta đã học trong chương trước rằng khối lượng của một vật tăng theo vận tốc, nhưng không có chứng minh nào về điều này được đưa ra, theo nghĩa chúng ta đã không đưa ra những lập luận tương tự như những lập luận về việc đồng hồ phải hoạt động như thế nào. Tuy nhiên, chúng ta có thể chỉ ra rằng, như một hệ quả của thuyết tương đối cộng với một vài giả thiết hợp lý khác, khối lượng phải biến thiên theo cách này. (Chúng ta phải nói “một vài giả thiết khác” bởi vì chúng ta không thể chứng minh bất cứ điều gì trừ khi chúng ta có một số định luật mà chúng ta giả sử là đúng, nếu chúng ta kỳ vọng đưa ra những suy luận có ý nghĩa.) Để tránh việc phải nghiên cứu các định luật biến đổi của lực, chúng ta sẽ phân tích một va chạm, nơi chúng ta không cần biết gì về các định luật của lực, ngoại trừ việc chúng ta sẽ giả sử sự bảo toàn động lượng và năng lượng. Đồng thời, chúng ta sẽ giả sử rằng động lượng của một hạt đang chuyển động là một vectơ và luôn hướng theo hướng của vận tốc. Tuy nhiên, chúng ta sẽ không giả sử rằng động lượng là một hằng số nhân với vận tốc, như Newton đã làm, mà chỉ giả sử rằng nó là một hàm nào đó của vận tốc. Như vậy chúng ta viết vectơ động lượng thành một hệ số nào đó nhân với vectơ vận tốc:

p = m_vv.   (16.8)

Chúng ta đặt chỉ số dưới v lên hệ số để nhắc chúng ta rằng nó là một hàm của vận tốc, và chúng ta sẽ đồng ý gọi hệ số m_v này là “khối lượng”. Dĩ nhiên, khi vận tốc nhỏ, đó là cùng một khối lượng mà chúng ta sẽ đo trong các thí nghiệm chuyển động chậm mà chúng ta đã quen. Bây giờ chúng ta sẽ cố chứng minh rằng công thức cho m_v phải là m₀/√(1 − v²/c²), bằng cách lập luận từ nguyên lý tương đối rằng các định luật vật lý phải như nhau trong mọi hệ tọa độ.

Giả sử chúng ta có hai hạt, như hai proton, hoàn toàn bằng nhau, và chúng đang chuyển động về phía nhau với các vận tốc đúng bằng nhau. Tổng động lượng của chúng bằng không. Bây giờ điều gì có thể xảy ra? Sau va chạm, các hướng chuyển động của chúng phải đúng ngược nhau, bởi vì nếu chúng không đúng ngược nhau, sẽ có một tổng động lượng vectơ khác không, và động lượng sẽ không được bảo toàn. Đồng thời chúng phải có cùng tốc độ, vì chúng là các vật hoàn toàn giống nhau; thật ra, chúng phải có cùng tốc độ mà chúng đã bắt đầu, vì chúng ta giả sử rằng năng lượng được bảo toàn trong các va chạm này. Vậy sơ đồ của một va chạm đàn hồi, một va chạm thuận nghịch, sẽ trông như Hình 16–2(a): mọi mũi tên đều có cùng độ dài, mọi tốc độ đều bằng nhau. Chúng ta sẽ giả sử rằng những va chạm như vậy luôn có thể được sắp xếp, rằng bất kỳ góc θ nào cũng có thể xảy ra, và rằng bất kỳ tốc độ nào cũng có thể được dùng trong một va chạm như vậy. Tiếp theo, chúng ta ghi nhận rằng cùng va chạm này có thể được nhìn khác đi bằng cách quay các trục, và chỉ để cho tiện chúng ta sẽ quay các trục, sao cho đường ngang chia nó ra đều nhau, như trong Hình 16–2(b). Đó là cùng một va chạm được vẽ lại, chỉ với các trục đã quay.

Bây giờ đây là mẹo thật sự: chúng ta hãy nhìn va chạm này theo quan điểm của một người đang đi trên một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ bằng thành phần ngang của vận tốc của một hạt. Khi đó va chạm trông như thế nào? Nó trông như thể hạt 1 chỉ đang đi thẳng lên, bởi vì nó đã mất thành phần ngang của nó, và nó lại đi thẳng xuống, cũng bởi vì nó không có thành phần đó. Nghĩa là, va chạm hiện ra như được cho thấy trong Hình 16–3(a). Tuy nhiên, hạt 2 đã đang đi theo hướng ngược lại, và khi chúng ta đi ngang qua nó, nó có vẻ bay qua với một tốc độ khủng khiếp nào đó và ở một góc nhỏ hơn, nhưng chúng ta có thể thấy rằng các góc trước và sau va chạm là như nhau. Chúng ta hãy ký hiệu bằng u thành phần ngang của vận tốc của hạt 2, và bằng w vận tốc thẳng đứng của hạt 1.

Bây giờ câu hỏi là, vận tốc thẳng đứng u tan α là gì? Nếu chúng ta biết điều đó, chúng ta có thể thu được biểu thức đúng cho động lượng, dùng định luật bảo toàn động lượng theo hướng thẳng đứng. Rõ ràng, thành phần ngang của động lượng được bảo toàn: nó như nhau trước và sau va chạm đối với cả hai hạt, và bằng không đối với hạt 1. Vậy chúng ta chỉ cần dùng định luật bảo toàn cho vận tốc hướng lên u tan α. Nhưng chúng ta có thể thu được vận tốc hướng lên, đơn giản bằng cách nhìn cùng va chạm đó theo chiều ngược lại! Nếu chúng ta nhìn va chạm của Hình 16–3(a) từ một chiếc xe đang chuyển động sang trái với tốc độ u, chúng ta thấy cùng một va chạm, ngoại trừ việc nó đã “lật ngược lại”, như được cho thấy trong Hình 16–3(b). Bây giờ hạt 2 là hạt đi lên và xuống với tốc độ w, và hạt 1 đã nhận được tốc độ ngang u. Dĩ nhiên, bây giờ chúng ta biết vận tốc u tan α là gì: nó là w√(1 − u²/c²) (xem Phương trình 16.7). Chúng ta biết rằng sự thay đổi động lượng thẳng đứng của hạt đang chuyển động thẳng đứng là

Δp = 2m_ww

(2, bởi vì nó đi lên rồi quay xuống). Hạt đang chuyển động xiên có một vận tốc v nào đó mà các thành phần của nó chúng ta đã tìm thấy là u và w√(1 − u²/c²), và khối lượng của nó là m_v. Do đó sự thay đổi động lượng thẳng đứng của hạt này là Δp′ = 2m_vw√(1 − u²/c²) bởi vì, theo định luật đã giả sử của chúng ta (16.8), thành phần động lượng luôn là khối lượng tương ứng với độ lớn của vận tốc nhân với thành phần của vận tốc theo hướng đang xét. Như vậy để tổng động lượng bằng không, các động lượng thẳng đứng phải triệt tiêu nhau và do đó tỉ số giữa khối lượng đang chuyển động với tốc độ v và khối lượng đang chuyển động với tốc độ w phải là

m_w/m_v = √(1 − u²/c²).   (16.9)

Chúng ta hãy xét trường hợp giới hạn trong đó w là vô cùng nhỏ. Nếu w quả thật rất nhỏ, rõ ràng v và u thực tế bằng nhau. Trong trường hợp này, m_w → m₀ và m_v → m_u. Kết quả lớn lao là

m_u = m₀/√(1 − u²/c²).   (16.10)

Bây giờ thật thú vị khi kiểm tra xem Phương trình (16.9) có quả thật đúng đối với các giá trị tùy ý của w hay không, giả sử rằng Phương trình (16.10) là công thức đúng cho khối lượng. Lưu ý rằng vận tốc v cần trong Phương trình (16.9) có thể được tính từ tam giác vuông:

v² = u² + w²(1 − u²/c²).

Người ta sẽ thấy nó tự khớp một cách tự động, mặc dù chúng ta chỉ dùng nó trong giới hạn w nhỏ.

Bây giờ, chúng ta hãy chấp nhận rằng động lượng được bảo toàn và khối lượng phụ thuộc vào vận tốc theo (16.10) và tiếp tục tìm xem chúng ta có thể kết luận thêm điều gì nữa. Chúng ta hãy xét điều thường được gọi là một va chạm không đàn hồi. Để đơn giản, chúng ta sẽ giả sử rằng hai vật cùng loại, chuyển động ngược nhau với các tốc độ bằng nhau w, đập vào nhau và dính lại với nhau, trở thành một vật mới nào đó, đứng yên, như được cho thấy trong Hình 16–4(a). Khối lượng m của mỗi vật tương ứng với w, khối lượng này, như chúng ta biết, là m₀/√(1 − w²/c²). Nếu chúng ta giả sử sự bảo toàn động lượng và nguyên lý tương đối, chúng ta có thể chứng minh một sự kiện thú vị về khối lượng của vật mới đã được tạo thành. Chúng ta tưởng tượng một vận tốc vô cùng nhỏ u vuông góc với w (chúng ta có thể làm cùng việc với các giá trị hữu hạn của u, nhưng dễ hiểu hơn với một vận tốc vô cùng nhỏ), rồi nhìn cùng va chạm này khi chúng ta đi ngang qua trong một thang máy với vận tốc −u. Những gì chúng ta nhìn thấy được cho thấy trong Hình 16–4(b). Vật hợp thành có một khối lượng chưa biết M. Bây giờ vật 1 chuyển động với một thành phần vận tốc hướng lên là u và một thành phần ngang thực tế bằng w, và vật 2 cũng vậy. Sau va chạm chúng ta có khối lượng M chuyển động lên trên với vận tốc u, được coi là rất nhỏ so với vận tốc ánh sáng, và cũng nhỏ so với w. Động lượng phải được bảo toàn, vậy chúng ta hãy ước lượng động lượng theo hướng lên trước và sau va chạm. Trước va chạm chúng ta có p ≈ 2m_wu, và sau va chạm động lượng hiển nhiên là p′ = M_uu, nhưng M_u về bản chất là như M₀ vì u quá nhỏ. Các động lượng này phải bằng nhau vì sự bảo toàn động lượng, và do đó

M₀ = 2m_w.   (16.11)

Khối lượng của vật được tạo thành khi hai vật bằng nhau va chạm phải bằng hai lần khối lượng của các vật đến với nhau. Anh có thể nói: “Ừ, dĩ nhiên, đó là sự bảo toàn khối lượng.” Nhưng không “Ừ, dĩ nhiên” dễ dàng như vậy, bởi vì các khối lượng này đã được tăng lên so với các khối lượng mà chúng sẽ có nếu chúng đứng yên, nhưng chúng vẫn đóng góp vào tổng M, không phải khối lượng chúng có khi đứng yên, mà nhiều hơn thế. Ngạc nhiên như điều đó có vẻ, để sự bảo toàn động lượng hoạt động khi hai vật đến với nhau, khối lượng mà chúng tạo thành phải lớn hơn các khối lượng nghỉ của các vật, ngay cả khi các vật đứng yên sau va chạm!

16–5  Năng lượng tương đối tính

Trong chương trước chúng ta đã chứng minh rằng như một hệ quả của sự phụ thuộc của khối lượng vào vận tốc và các định luật Newton, các thay đổi động năng của một vật do tổng công thực hiện bởi các lực lên nó luôn cho ra là

ΔT = (m_u − m₀)c² = m₀c²/√(1 − u²/c²) − m₀c².   (16.12)

Chúng ta thậm chí đã đi xa hơn, và đoán rằng tổng năng lượng là tổng khối lượng nhân với c². Bây giờ chúng ta tiếp tục thảo luận này.

Giả sử rằng hai vật có khối lượng bằng nhau va chạm của chúng ta vẫn có thể được “nhìn thấy” bên trong M. Ví dụ, một proton và một neutron “dính lại với nhau”, nhưng vẫn đang chuyển động qua lại bên trong M. Khi đó, mặc dù lúc đầu chúng ta có thể kỳ vọng khối lượng M là 2m₀, chúng ta đã tìm thấy rằng nó không phải là 2m₀, mà là 2m_w. Vì 2m_w là những gì được đưa vào, nhưng 2m₀ là các khối lượng nghỉ của các vật ở bên trong, khối lượng dư của vật hợp thành bằng động năng được mang vào. Điều này, dĩ nhiên, có nghĩa là năng lượng có quán tính. Trong chương trước chúng ta đã thảo luận về việc nung nóng một chất khí, và chỉ ra rằng vì các phân tử khí đang chuyển động và các vật đang chuyển động thì nặng hơn, khi chúng ta đưa năng lượng vào chất khí, các phân tử của nó chuyển động nhanh hơn và do đó chất khí trở nên nặng hơn. Nhưng thật ra lập luận hoàn toàn tổng quát, và thảo luận của chúng ta về va chạm không đàn hồi cho thấy rằng khối lượng ở đó cho dù nó có là động năng hay không. Nói cách khác, nếu hai hạt đến với nhau và sinh ra thế năng hoặc bất kỳ dạng năng lượng nào khác; nếu các mảnh bị chậm lại do leo lên các đồi, thực hiện công chống lại các nội lực, hay bất cứ điều gì; thì vẫn đúng là khối lượng là tổng năng lượng đã được đưa vào. Vậy chúng ta thấy rằng sự bảo toàn khối lượng mà chúng ta đã suy ra ở trên tương đương với sự bảo toàn năng lượng, và do đó không có chỗ trong thuyết tương đối cho các va chạm không đàn hồi một cách nghiêm ngặt, như đã có trong cơ học Newton. Theo cơ học Newton, việc hai vật va chạm và như vậy tạo thành một vật có khối lượng 2m₀ mà không khác biệt chút nào so với vật sẽ tạo thành khi đặt chúng lại với nhau một cách chậm rãi là hoàn toàn được phép. Dĩ nhiên chúng ta biết từ định luật bảo toàn năng lượng rằng có nhiều động năng hơn ở bên trong, nhưng điều đó không ảnh hưởng đến khối lượng, theo các định luật Newton. Nhưng bây giờ chúng ta thấy điều này là không thể; vì động năng liên quan trong va chạm, vật tạo thành sẽ nặng hơn; do đó, nó sẽ là một vật khác. Khi chúng ta đặt các vật lại với nhau một cách nhẹ nhàng, chúng tạo thành một thứ có khối lượng là 2m₀; khi chúng ta đặt chúng lại với nhau một cách mạnh mẽ, chúng tạo thành một thứ có khối lượng lớn hơn. Khi khối lượng khác đi, chúng ta có thể nói được rằng nó khác đi. Vậy, một cách tất yếu, sự bảo toàn năng lượng phải đi cùng với sự bảo toàn động lượng trong thuyết tương đối.

Điều này có những hệ quả thú vị. Ví dụ, giả sử chúng ta có một vật mà khối lượng M của nó được đo, và giả sử một điều gì đó xảy ra sao cho nó bay thành hai mảnh bằng nhau đang chuyển động với tốc độ w, sao cho mỗi mảnh có khối lượng m_w. Bây giờ giả sử các mảnh này gặp đủ vật chất để làm chúng chậm lại cho đến khi chúng dừng; khi đó chúng sẽ có khối lượng m₀. Chúng sẽ đã truyền cho vật chất bao nhiêu năng lượng khi chúng dừng lại? Mỗi mảnh sẽ truyền một lượng (m_w − m₀)c², theo định lý mà chúng ta đã chứng minh trước đây. Lượng năng lượng này còn lại trong vật chất dưới một dạng nào đó, như nhiệt, thế năng, hay bất cứ điều gì. Bây giờ 2m_w = M, vậy năng lượng được giải phóng là E = (M − 2m₀)c². Phương trình này đã được dùng để ước lượng bao nhiêu năng lượng sẽ được giải phóng khi phân hạch trong bom nguyên tử, chẳng hạn. (Mặc dù các mảnh không đúng bằng nhau, chúng gần bằng nhau.) Khối lượng của nguyên tử uranium đã được biết — nó đã được đo từ trước — và các nguyên tử mà nó phân rã thành, iodine, xenon, và những thứ tương tự, tất cả đều có khối lượng đã biết. Khi nói các khối lượng, chúng ta không có ý là các khối lượng trong khi các nguyên tử đang chuyển động, chúng ta có ý là các khối lượng khi các nguyên tử đứng yên. Nói cách khác, cả M và m₀ đều đã biết. Vậy bằng cách trừ hai con số này người ta có thể tính được bao nhiêu năng lượng sẽ được giải phóng nếu M có thể được làm cho phân rã thành “một nửa”. Vì lý do này, ông Einstein tội nghiệp đã bị gọi là “cha đẻ” của bom nguyên tử trên mọi tờ báo. Dĩ nhiên, tất cả những gì điều đó có nghĩa là ông có thể cho chúng ta biết trước bao nhiêu năng lượng sẽ được giải phóng nếu chúng ta cho ông biết quá trình nào sẽ xảy ra. Năng lượng lẽ ra được giải phóng khi một nguyên tử uranium trải qua phân hạch đã được ước lượng khoảng sáu tháng trước thử nghiệm trực tiếp đầu tiên, và ngay khi năng lượng quả thật được giải phóng, ai đó đã đo nó trực tiếp (và nếu công thức của Einstein đã không hoạt động, họ dù sao cũng sẽ đo nó), và ngay lúc họ đo nó họ không còn cần công thức nữa. Dĩ nhiên, chúng ta không nên coi nhẹ Einstein, mà đúng hơn nên phê phán các tờ báo và nhiều mô tả phổ biến về việc cái gì gây ra cái gì trong lịch sử vật lý và công nghệ. Bài toán làm thế nào để khiến sự việc xảy ra một cách hiệu quả và nhanh chóng là một vấn đề hoàn toàn khác.

Kết quả cũng có ý nghĩa như vậy trong hóa học. Ví dụ, nếu chúng ta cân phân tử carbon dioxide và so sánh khối lượng của nó với khối lượng của carbon và oxygen, chúng ta có thể tìm ra bao nhiêu năng lượng sẽ được giải phóng khi carbon và oxygen tạo thành carbon dioxide. Khó khăn duy nhất ở đây là sự khác biệt về khối lượng rất nhỏ đến mức về mặt kỹ thuật rất khó thực hiện.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang câu hỏi liệu chúng ta có nên cộng m₀c² vào động năng và từ nay nói rằng tổng năng lượng của một vật là mc² hay không. Trước hết, nếu chúng ta vẫn có thể nhìn thấy các mảnh cấu thành có khối lượng nghỉ m₀ bên trong M, khi đó chúng ta có thể nói rằng một phần khối lượng M của vật hợp thành là khối lượng nghỉ cơ học của các phần, một phần của nó là động năng của các phần, và một phần của nó là thế năng của các phần. Nhưng chúng ta đã khám phá ra, trong tự nhiên, các hạt thuộc nhiều loại khác nhau trải qua những phản ứng đúng như phản ứng chúng ta đã xét ở trên, trong đó với mọi sự nghiên cứu trên đời, chúng ta không thể nhìn thấy các phần ở bên trong. Ví dụ, khi một meson K phân rã thành hai pion, nó làm như vậy theo định luật (16.11), nhưng ý tưởng rằng một hạt K được làm từ 2 hạt π là một ý tưởng vô ích, bởi vì nó cũng phân rã thành 3 hạt π!

Do đó chúng ta có một ý tưởng mới: chúng ta không phải biết các vật được làm từ gì ở bên trong; chúng ta không thể và không cần xác định, bên trong một hạt, phần năng lượng nào là năng lượng nghỉ của các phần mà nó sẽ phân rã thành. Việc tách tổng năng lượng mc² của một vật thành năng lượng nghỉ của các mảnh bên trong, động năng của các mảnh, và thế năng của các mảnh là không thuận tiện và thường không thể; thay vào đó, chúng ta đơn giản nói về tổng năng lượng của hạt. Chúng ta “dời gốc” của năng lượng bằng cách cộng một hằng số m₀c² vào mọi thứ, và nói rằng tổng năng lượng của một hạt là khối lượng khi chuyển động nhân với c², và khi vật đứng yên, năng lượng là khối lượng khi nghỉ nhân với c².

Cuối cùng, chúng ta tìm thấy rằng vận tốc v, động lượng P, và tổng năng lượng E liên hệ với nhau theo một cách khá đơn giản. Việc khối lượng khi chuyển động với tốc độ v là khối lượng m₀ khi nghỉ chia cho √(1 − v²/c²), đáng ngạc nhiên thay, hiếm khi được dùng. Thay vào đó, các mối quan hệ sau đây dễ dàng được chứng minh, và hóa ra rất hữu ích:

E² − P²c² = m₀²c⁴   (16.13)

và

Pc = Ev/c.   (16.14)