Chương 23: Cộng hưởng
Richard P. Feynman — The Feynman Lectures on Physics, Tập I, Chương 23: “Resonance”
23–1 Số phức và chuyển động điều hòa
Trong chương này, chúng ta sẽ tiếp tục cuộc thảo luận về dao động tử điều hòa và, đặc biệt, dao động tử điều hòa cưỡng bức, dùng một kỹ thuật mới trong việc phân tích. Trong chương trước, chúng ta đã giới thiệu ý tưởng về các số phức, những số có phần thực và phần ảo và có thể được biểu diễn trên một sơ đồ trong đó tung độ đại diện cho phần ảo và hoành độ đại diện cho phần thực. Nếu a là một số phức, chúng ta có thể viết nó là a = ar + iai, trong đó chỉ số dưới r có nghĩa là phần thực của a, và chỉ số dưới i có nghĩa là phần ảo của a. Tham chiếu tới Hình 23–1, chúng ta thấy rằng chúng ta cũng có thể viết một số phức a = x + iy dưới dạng x + iy = reiθ, trong đó r2 = x2 + y2 = (x + iy)(x − iy) = aā. (Liên hợp phức của a, viết là ā, thu được bằng cách đổi dấu của i trong a.) Vậy chúng ta sẽ biểu diễn một số phức dưới một trong hai dạng: một phần thực cộng một phần ảo, hoặc một độ lớn r và một góc pha θ, như người ta gọi nó. Cho trước r và θ, x và y rõ ràng là r cos θ và r sin θ và, ngược lại, cho trước một số phức x + iy, r = √(x2 + y2) và tan θ = y/x, tỉ số của phần ảo với phần thực.
Chúng ta sẽ áp dụng số phức vào việc phân tích các hiện tượng vật lý bằng mẹo sau. Chúng ta có những ví dụ về những thứ dao động; dao động đó có thể có một lực cưỡng bức là một hằng số nào đó nhân với cos ωt. Bây giờ một lực như vậy, F = F0 cos ωt, có thể được viết thành phần thực của một số phức F = F0eiωt bởi vì eiωt = cos ωt + i sin ωt. Lý do chúng ta làm điều này là việc làm việc với một hàm mũ dễ hơn làm việc với một cosin. Vậy toàn bộ mẹo là biểu diễn các hàm dao động của chúng ta thành phần thực của một số hàm phức nhất định. Số phức F mà chúng ta đã định nghĩa như vậy không phải là một lực vật lý thật, bởi vì không lực nào trong vật lý là thật sự phức; các lực thật không có phần ảo, chỉ có phần thực. Tuy nhiên, chúng ta sẽ nói về “lực” F0eiωt, nhưng dĩ nhiên lực thật là phần thực của biểu thức đó.
Chúng ta hãy lấy một ví dụ khác. Giả sử chúng ta muốn biểu diễn một lực là một sóng cosin bị lệch pha với một pha trễ Δ. Điều này, dĩ nhiên, sẽ là phần thực của F0ei(ωt−Δ), nhưng hàm mũ là như vậy nên chúng ta có thể viết ei(ωt−Δ) = eiωte−iΔ. Như vậy chúng ta thấy rằng đại số của các hàm mũ dễ hơn nhiều so với đại số của sin và cosin; đây là lý do chúng ta chọn dùng số phức. Chúng ta sẽ thường viết
F = F0e−iΔeiωt = F̂eiωt. (23.1)
Chúng ta viết một dấu mũ nhỏ (ˆ) trên F để nhắc mình rằng đại lượng này là một số phức: ở đây số đó là F̂ = F0e−iΔ.
Bây giờ chúng ta hãy giải một phương trình, dùng số phức, để xem liệu chúng ta có thể xử lý một bài toán cho một trường hợp thật nào đó không. Chẳng hạn, chúng ta hãy cố giải
d2x/dt2 + kx/m = F/m = (F0/m) cos ωt, (23.2)
trong đó F là lực cưỡng bức dao động tử và x là độ dịch chuyển. Bây giờ, nghe có vẻ vô lý, chúng ta hãy giả thiết rằng x và F thật sự là các số phức, chỉ vì một mục đích toán học mà thôi. Tức là, x có một phần thực và một phần ảo nhân với i, và F có một phần thực và một phần ảo nhân với i. Bây giờ, nếu chúng ta có một nghiệm của (23.2) với các số phức, và thay các số phức vào phương trình, chúng ta sẽ được [d2(xr + ixi)/dt2] + [k(xr + ixi)/m] = (Fr + iFi)/m, hay, [d2xr/dt2 + kxr/m] + i[d2xi/dt2 + kxi/m] = Fr/m + iFi/m. Bây giờ, vì nếu hai số phức bằng nhau, phần thực của chúng phải bằng nhau và phần ảo của chúng phải bằng nhau, chúng ta suy ra rằng phần thực của x thỏa mãn phương trình với phần thực của lực. Tuy nhiên, chúng ta phải nhấn mạnh rằng việc tách ra thành một phần thực và một phần ảo này không có hiệu lực nói chung, mà chỉ có hiệu lực cho các phương trình tuyến tính, tức là cho các phương trình trong đó x xuất hiện trong mọi số hạng chỉ với lũy thừa một hoặc lũy thừa không. Chẳng hạn, nếu trong phương trình có một số hạng λx2, thì khi chúng ta thay xr + ixi, chúng ta sẽ được λ(xr + ixi)2, nhưng khi tách ra thành phần thực và phần ảo, điều này sẽ cho λ(xr2 − xi2) làm phần thực và 2iλxrxi làm phần ảo. Vậy chúng ta thấy rằng phần thực của phương trình sẽ không chỉ liên quan đến λxr2, mà còn cả −λxi2 nữa. Trong trường hợp này, chúng ta thu được một phương trình khác với phương trình chúng ta muốn giải, với xi, thứ hoàn toàn nhân tạo mà chúng ta đã đưa vào phân tích của mình, bị trộn lẫn vào.
Bây giờ chúng ta hãy thử phương pháp mới của mình cho bài toán dao động tử cưỡng bức, bài toán mà chúng ta đã biết cách giải. Chúng ta muốn giải phương trình (23.2) như trước, nhưng chúng ta nói rằng chúng ta sẽ cố giải
d2x/dt2 + kx/m = F̂eiωt/m, (23.3)
trong đó F̂eiωt là một số phức. Dĩ nhiên x cũng sẽ là phức, nhưng hãy nhớ quy tắc: lấy phần thực để tìm ra điều gì thật sự đang xảy ra. Vậy chúng ta cố giải (23.3) tìm nghiệm cưỡng bức; chúng ta sẽ bàn về các nghiệm khác sau. Nghiệm cưỡng bức có cùng tần số với lực tác dụng, và có một biên độ dao động nào đó và một pha nào đó, và vì vậy nó cũng có thể được biểu diễn bằng một số phức nào đó x̂ mà độ lớn của nó đại diện cho độ vung của x và pha của nó đại diện cho độ trễ thời gian theo cùng cách như đối với lực. Bây giờ, một đặc điểm tuyệt vời của một hàm mũ x = x̂eiωt là dx/dt = iωx. Khi chúng ta lấy đạo hàm một hàm mũ, chúng ta hạ số mũ xuống thành một thừa số đơn giản. Đạo hàm cấp hai cũng làm điều tương tự, nó hạ xuống thêm một iω nữa, và vì vậy việc viết ra ngay, bằng cách nhìn, phương trình cho x là gì rất đơn giản: mỗi lần chúng ta thấy một phép lấy đạo hàm, chúng ta chỉ cần nhân với iω. (Phép lấy đạo hàm giờ đây dễ như phép nhân! Ý tưởng dùng các hàm mũ trong các phương trình vi phân tuyến tính này gần như vĩ đại như phát minh logarit, trong đó phép nhân được thay bằng phép cộng. Ở đây phép lấy đạo hàm được thay bằng phép nhân.) Như vậy phương trình của chúng ta trở thành
(iω)2x̂ + (kx̂/m) = F̂/m. (23.4)
(Chúng ta đã triệt tiêu thừa số chung eiωt.) Thấy nó đơn giản thế nào không! Các phương trình vi phân lập tức được biến đổi, bằng cách nhìn, thành các phương trình đại số đơn thuần; chúng ta hầu như có nghiệm bằng cách nhìn, đó là x̂ = (F̂/m)/[(k/m) − ω2], vì (iω)2 = −ω2. Điều này có thể được đơn giản hóa một chút bằng cách thay k/m = ω02, cho ra
x̂ = F̂/[m(ω02 − ω2)]. (23.5)
Điều này, dĩ nhiên, là nghiệm chúng ta đã có trước đây; bởi vì vì m(ω02 − ω2) là một số thực, các góc pha của F̂ và của x̂ là như nhau (hay có thể cách nhau 180°, nếu ω2 > ω02), như đã quảng cáo trước đây. Độ lớn của x̂, đại lượng đo nó dao động bao xa, liên hệ với kích thước của F̂ bởi thừa số 1/[m(ω02 − ω2)], và thừa số này trở nên khổng lồ khi ω gần bằng ω0. Vậy chúng ta thu được một đáp ứng rất mạnh khi chúng ta tác dụng đúng tần số ω (nếu chúng ta cầm một con lắc ở đầu một sợi dây và lắc nó ở đúng tần số, chúng ta có thể làm nó vung lên rất cao).
23–2 Dao động tử cưỡng bức có cản
Vậy đó là cách chúng ta phân tích chuyển động dao động bằng kỹ thuật toán học thanh lịch hơn. Nhưng sự thanh lịch của kỹ thuật hoàn toàn không được thể hiện trong một bài toán như vậy, bài toán có thể được giải dễ dàng bằng các phương pháp khác. Nó chỉ được thể hiện khi người ta áp dụng nó vào các bài toán khó hơn. Vì vậy, chúng ta hãy giải một bài toán khác, khó hơn, bài toán này hơn nữa còn bổ sung một đặc điểm tương đối hiện thực vào bài toán trước. Phương trình (23.5) cho chúng ta biết rằng nếu tần số ω đúng bằng ω0, chúng ta sẽ có một đáp ứng vô hạn. Thật ra, dĩ nhiên, không đáp ứng vô hạn nào như vậy xảy ra bởi vì một số thứ khác, như ma sát, những thứ chúng ta cho đến nay đã bỏ qua, giới hạn đáp ứng. Vì vậy, chúng ta hãy cộng thêm vào phương trình (23.2) một số hạng ma sát.
Thông thường một bài toán như vậy rất khó vì tính chất và sự phức tạp của số hạng ma sát. Tuy nhiên, có nhiều trường hợp trong đó lực ma sát tỉ lệ với tốc độ mà vật chuyển động. Một ví dụ của ma sát như vậy là ma sát đối với chuyển động chậm của một vật trong dầu hay một chất lỏng đặc. Không có lực nào khi nó chỉ đứng yên, nhưng nó chuyển động càng nhanh thì dầu càng phải đi qua vật nhanh hơn, và sức cản càng lớn. Vậy chúng ta sẽ giả thiết rằng có, ngoài các số hạng trong (23.2), một số hạng nữa, một lực cản tỉ lệ với vận tốc: Ff = −c dx/dt. Để thuận tiện, trong phân tích toán học của chúng ta, chúng ta sẽ viết hằng số c thành m nhân với γ để đơn giản hóa phương trình một chút. Đây chỉ là cùng một mẹo chúng ta dùng với k khi chúng ta thay nó bằng mω02, chỉ để đơn giản hóa đại số. Như vậy phương trình của chúng ta sẽ là
m(d2x/dt2) + c(dx/dt) + kx = F (23.6)
hay, viết c = mγ và k = mω02 và chia cho khối lượng m,
(d2x/dt2) + γ(dx/dt) + ω02x = F/m. (23.6a)
Bây giờ chúng ta có phương trình dưới dạng thuận tiện nhất để giải. Nếu γ rất nhỏ, điều đó đại diện cho rất ít ma sát; nếu γ rất lớn, có một lượng ma sát khổng lồ. Chúng ta giải phương trình vi phân tuyến tính mới này như thế nào? Giả sử lực cưỡng bức bằng F0 cos (ωt + Δ); chúng ta có thể đặt điều này vào (23.6a) và cố giải nó, nhưng thay vào đó chúng ta sẽ giải nó bằng phương pháp mới của mình. Như vậy chúng ta viết F là phần thực của F̂eiωt và x là phần thực của x̂eiωt, và thay những thứ này vào phương trình (23.6a). Thậm chí không cần thiết phải thật sự thay vào, bởi vì chúng ta có thể thấy bằng cách nhìn rằng phương trình sẽ trở thành
[(iω)2x̂ + γ(iω)x̂ + ω02x̂] eiωt = (F̂/m)eiωt. (23.7)
[Thật vậy, nếu chúng ta cố giải phương trình (23.6a) bằng cách thẳng thắn cũ của mình, chúng ta sẽ thật sự cảm nhận được phép màu của phương pháp “phức”.] Nếu chúng ta chia cho eiωt ở cả hai vế, khi đó chúng ta có thể thu được đáp ứng x̂ đối với lực F̂ đã cho; nó là
x̂ = F̂/[m(ω02 − ω2 + iγω)]. (23.8)
Như vậy một lần nữa x̂ được cho bởi F̂ nhân với một thừa số nào đó. Không có tên kỹ thuật nào cho thừa số này, không có chữ cái cụ thể nào cho nó, nhưng chúng ta có thể gọi nó là R cho mục đích thảo luận: R = 1/[m(ω02 − ω2 + iγω)], và
x̂ = F̂R. (23.9)
(Mặc dù các chữ cái γ và ω0 được dùng rất phổ biến, R này không có tên cụ thể nào.) Thừa số R này có thể được viết hoặc là p + iq, hoặc là một độ lớn nào đó ρ nhân với eiθ. Nếu nó được viết là một độ lớn nhân với eiθ, chúng ta hãy xem nó có nghĩa là gì. Bây giờ F̂ = F0eiΔ, và lực thật F là phần thực của F0eiΔeiωt, tức là, F0 cos (ωt + Δ). Tiếp theo, phương trình (23.9) cho chúng ta biết rằng x̂ bằng F̂R. Vậy, viết R = ρeiθ như một tên khác cho R, chúng ta được x̂ = R F̂ = ρeiθF0eiΔ = ρF0ei(θ+Δ). Cuối cùng, đi ngược lại xa hơn nữa, chúng ta thấy rằng x vật lý, là phần thực của x̂eiωt phức, bằng phần thực của ρF0ei(θ+Δ)eiωt. Nhưng ρ và F0 là thực, và phần thực của ei(θ+Δ+ωt) đơn giản là cos (ωt + Δ + θ). Như vậy,
x = ρF0 cos (ωt + Δ + θ). (23.10)
Điều này cho chúng ta biết rằng biên độ của đáp ứng là độ lớn của lực F nhân với một thừa số khuếch đại nào đó, ρ; điều này cho chúng ta “lượng” dao động. Tuy nhiên, nó cũng cho chúng ta biết rằng x không dao động cùng pha với lực, lực có pha Δ, mà bị dịch thêm một lượng θ. Do đó ρ và θ đại diện cho kích thước của đáp ứng và sự dịch pha của đáp ứng.
Bây giờ chúng ta hãy tính ra ρ là gì. Nếu chúng ta có một số phức, bình phương của độ lớn bằng số đó nhân với liên hợp phức của nó; như vậy,
ρ2 = 1/{m2[(ω02 − ω2 + iγω)(ω02 − ω2 − iγω)]} = 1/{m2[(ω02 − ω2)2 + γ2ω2]}. (23.11)
Ngoài ra, góc pha θ dễ tìm, bởi vì nếu chúng ta viết 1/R = (1/ρ)e−iθ = m(ω02 − ω2 + iγω), chúng ta thấy rằng
tan θ = −γω/(ω02 − ω2). (23.12)
Nó có dấu trừ bởi vì tan (−θ) = −tan θ. Một giá trị âm của θ xuất hiện với mọi ω, và điều này tương ứng với việc độ dịch chuyển x trễ sau lực F.
Hình 23–2 cho thấy ρ2 thay đổi như thế nào theo hàm của tần số (ρ2 thú vị hơn về mặt vật lý so với ρ, bởi vì ρ2 tỉ lệ với bình phương của biên độ, hay đại khái với năng lượng được tạo ra trong dao động tử bởi lực). Chúng ta thấy rằng nếu γ rất nhỏ, thì 1/(ω02 − ω2)2 là số hạng quan trọng nhất, và đáp ứng cố đi lên tới vô hạn khi ω bằng ω0. Bây giờ cái “vô hạn” đó thật ra không vô hạn bởi vì nếu ω = ω0, thì 1/γ2ω2 vẫn còn đó. Sự dịch pha thay đổi như được chỉ ra trong Hình 23–3.
Trong một số trường hợp, chúng ta thu được một công thức hơi khác với (23.8), cũng được gọi là một công thức “cộng hưởng”, và người ta có thể nghĩ rằng nó đại diện cho một hiện tượng khác, nhưng không phải vậy. Lý do là nếu γ rất nhỏ, phần thú vị nhất của đường cong nằm gần ω = ω0, và chúng ta có thể thay (23.8) bằng một công thức xấp xỉ rất chính xác nếu γ nhỏ và ω gần ω0. Vì ω02 − ω2 = (ω0 − ω)(ω0 + ω), nếu ω gần ω0 thì điều này gần như bằng 2ω0(ω0 − ω) và γω gần như bằng γω0. Dùng những điều này trong (23.8), chúng ta thấy rằng ω02 − ω2 + iγω ≈ 2ω0(ω0 − ω + iγ/2), vậy nên
x̂ ≈ F̂/[2mω0(ω0 − ω + iγ/2)] nếu γ ≪ ω0 và ω ≈ ω0. (23.13)
Việc tìm công thức tương ứng cho ρ2 là dễ dàng. Nó là ρ2 ≈ 1/{4m2ω02[(ω0 − ω)2 + γ2/4]}.
Chúng ta sẽ để cho sinh viên tự chỉ ra điều sau: nếu chúng ta gọi chiều cao tối đa của đường cong ρ2 theo ω là một đơn vị, và chúng ta hỏi bề rộng Δω của đường cong, tại một nửa chiều cao tối đa, bề rộng toàn phần tại một nửa chiều cao tối đa của đường cong là Δω = γ, giả thiết rằng γ nhỏ. Cộng hưởng càng sắc nét khi các hiệu ứng ma sát được làm càng nhỏ.
Như một thước đo khác của bề rộng, một số người dùng một đại lượng Q được định nghĩa là Q = ω0/γ. Cộng hưởng càng hẹp, Q càng cao: Q = 1000 có nghĩa là một cộng hưởng mà bề rộng của nó chỉ bằng một phần nghìn của thang tần số. Q của đường cong cộng hưởng được chỉ ra trong Hình 23–2 là 5.
Tầm quan trọng của hiện tượng cộng hưởng là nó xảy ra trong nhiều trường hợp khác, và vì vậy phần còn lại của chương này sẽ mô tả một số trường hợp khác đó.
23–3 Cộng hưởng điện
Các ứng dụng kỹ thuật đơn giản nhất và rộng rãi nhất của cộng hưởng là trong điện. Trong thế giới điện, có một số vật có thể được nối lại để tạo thành các mạch điện. Những phần tử mạch thụ động này, như chúng thường được gọi, gồm ba loại chính, mặc dù mỗi loại có một chút của hai loại còn lại trộn vào. Trước khi mô tả chúng chi tiết hơn, chúng ta hãy lưu ý rằng toàn bộ ý tưởng về dao động tử cơ học của chúng ta là một khối lượng ở đầu một lò xo chỉ là một xấp xỉ. Toàn bộ khối lượng thật ra không nằm ở “khối lượng”; một phần khối lượng nằm trong quán tính của lò xo. Tương tự, toàn bộ lò xo không nằm ở “lò xo”; bản thân khối lượng có một chút đàn hồi, và mặc dù có vẻ như vậy, nó không tuyệt đối cứng, và khi nó đi lên và xuống, nó uốn cong một chút xíu dưới tác dụng của lò xo kéo nó. Điều tương tự cũng đúng trong điện. Có một xấp xỉ trong đó chúng ta có thể gộp mọi thứ thành các “phần tử mạch” được giả thiết là có các đặc tính thuần túy, lý tưởng. Đây không phải là lúc thích hợp để bàn về xấp xỉ đó ở đây; chúng ta sẽ đơn giản giả thiết rằng nó đúng trong các trường hợp đang xét.
Ba loại phần tử mạch chính như sau. Loại thứ nhất được gọi là một tụ điện (Hình 23–4); một ví dụ là hai bản kim loại phẳng đặt cách nhau một khoảng rất nhỏ bởi một vật liệu cách điện. Khi các bản được tích điện, có một hiệu điện thế nào đó, tức là một hiệu thế nào đó, giữa chúng. Cùng một hiệu thế đó xuất hiện giữa các đầu nối A và B, bởi vì nếu có bất kỳ sự khác biệt nào dọc theo dây nối, điện sẽ chảy ngay lập tức. Vậy có một hiệu điện thế V nào đó giữa các bản nếu có một điện tích nào đó +q và −q trên chúng, tương ứng. Giữa các bản sẽ có một điện trường nào đó; chúng ta thậm chí đã tìm được một công thức cho nó (các Chương 13 và 14):
V = σd/ε0 = qd/ε0A, (23.14)
trong đó d là khoảng cách và A là diện tích của các bản. Lưu ý rằng hiệu điện thế là một hàm tuyến tính của điện tích. Nếu chúng ta không có các bản song song, mà có các điện cực cách điện có hình dạng bất kỳ nào khác, hiệu điện thế vẫn tỉ lệ chính xác với điện tích, nhưng hằng số tỉ lệ có thể không dễ tính như vậy. Tuy nhiên, tất cả những gì chúng ta cần biết là hiệu điện thế qua một tụ điện tỉ lệ với điện tích: V = q/C; hằng số tỉ lệ là 1/C, trong đó C là điện dung của vật.
Loại phần tử mạch thứ hai được gọi là một điện trở; nó cản trở dòng điện chạy qua. Hóa ra các dây kim loại và nhiều chất khác cản trở dòng điện theo cách này: nếu có một hiệu điện thế qua một đoạn chất nào đó, tồn tại một dòng điện I = dq/dt tỉ lệ với hiệu điện thế:
V = RI = R dq/dt. (23.15)
Hệ số tỉ lệ được gọi là điện trở R. Quan hệ này có thể đã quen thuộc với bạn; nó là định luật Ohm.
Nếu chúng ta nghĩ điện tích q trên một tụ điện là tương tự với độ dịch chuyển x của một hệ cơ học, chúng ta thấy rằng dòng điện, I = dq/dt, tương tự với vận tốc, 1/C tương tự với một hằng số lò xo k, và R tương tự với hệ số cản c = mγ trong phương trình (23.6). Bây giờ điều rất thú vị là tồn tại một phần tử mạch khác là vật tương tự của khối lượng! Đó là một cuộn dây tạo nên một từ trường bên trong chính nó khi có một dòng điện trong nó. Một từ trường thay đổi tạo ra trong cuộn dây một điện áp tỉ lệ với dI/dt (đây là cách một máy biến áp vận hành, thật vậy). Từ trường tỉ lệ với một dòng điện, và điện áp cảm ứng (như người ta gọi) trong một cuộn dây như vậy tỉ lệ với tốc độ thay đổi của dòng điện:
V = L dI/dt = L d2q/dt2. (23.16)
Hệ số L là độ tự cảm, và tương tự với khối lượng trong một mạch dao động cơ học.
Giả sử chúng ta tạo một mạch trong đó chúng ta đã nối ba phần tử mạch nối tiếp nhau (Hình 23–5); khi đó điện áp qua toàn bộ mạch từ 1 đến 2 là công thực hiện khi mang một điện tích đi qua, và nó gồm tổng của vài phần: qua cuộn cảm, VL = L d2q/dt2; qua điện trở, VR = R dq/dt; qua tụ điện, VC = q/C. Tổng của những thứ này bằng điện áp tác dụng, V:
L d2q/dt2 + R dq/dt + q/C = V(t). (23.17)
Bây giờ chúng ta thấy rằng phương trình này đúng y hệt như phương trình cơ học (23.6), và dĩ nhiên nó có thể được giải đúng theo cùng một cách. Chúng ta giả sử rằng V(t) là dao động: chúng ta đang cưỡng bức mạch bằng một máy phát có dao động sóng sin thuần túy. Khi đó chúng ta có thể viết V(t) của chúng ta thành một V̂ phức với thỏa thuận ngầm rằng nó cuối cùng phải được nhân với eiωt, và phần thực được lấy để tìm V thật. Tương tự, điện tích q có thể được phân tích như vậy, và sau đó đúng theo cùng cách như trong phương trình (23.8) chúng ta viết phương trình tương ứng: đạo hàm cấp hai của q là (iω)2q; đạo hàm cấp một là (iω)q. Như vậy phương trình (23.17) được dịch thành [L(iω)2 + R(iω) + 1/C]q̂ = V̂, hay, q̂ = V̂/[L(iω)2 + R(iω) + 1/C], cái chúng ta có thể viết dưới dạng
q̂ = V̂/[L(ω02 − ω2 + iγω)], (23.18)
trong đó ω02 = 1/LC và γ = R/L. Nó đúng y hệt cùng một mẫu số như chúng ta đã có trong trường hợp cơ học, với đúng y hệt các tính chất cộng hưởng! Sự tương ứng giữa trường hợp điện và trường hợp cơ học được phác họa trong Bảng 23–1.
| Đặc trưng chung | Tính chất cơ học | Tính chất điện |
|---|---|---|
| Biến độc lập | thời gian (t) | thời gian (t) |
| Biến phụ thuộc | vị trí (x) | điện tích (q) |
| Quán tính | khối lượng (m) | độ tự cảm (L) |
| Sức cản | hệ số cản (c = γm) | điện trở (R = γL) |
| Độ cứng | độ cứng (k) | (điện dung)−1 (1/C) |
| Tần số cộng hưởng | ω02 = k/m | ω02 = 1/LC |
| Chu kỳ | t0 = 2π√(m/k) | t0 = 2π√(LC) |
| Hệ số phẩm chất | Q = ω0/γ | Q = ω0L/R |
Chúng ta phải đề cập đến một điểm kỹ thuật nhỏ. Trong tài liệu điện, một ký hiệu khác được dùng. (Từ lĩnh vực này sang lĩnh vực khác, môn học thật ra không có gì khác, nhưng cách viết các ký hiệu thường khác nhau.) Trước hết, j thường được dùng thay cho i trong kỹ thuật điện, để ký hiệu √−1. (Xét cho cùng, i phải là dòng điện!) Ngoài ra, các kỹ sư thích có một quan hệ giữa V̂ và Î hơn là giữa V̂ và q̂, chỉ vì họ quen với cách đó hơn. Như vậy, vì I = dq/dt = iωq, chúng ta có thể thay Î/iω cho q̂ và được
V̂ = (iωL + R + 1/iωC)Î = ẐÎ. (23.19)
Một cách khác là viết lại phương trình (23.17), để nó trông quen thuộc hơn; người ta thường thấy nó được viết theo cách này:
L dI/dt + RI + (1/C)∫I dt = V(t). (23.20)
Dù sao đi nữa, chúng ta thấy quan hệ (23.19) giữa điện áp V̂ và dòng điện Î đúng y hệt như (23.18) ngoại trừ việc bị chia cho iω, và điều đó tạo ra phương trình (23.19). Đại lượng R + iωL + 1/iωC là một số phức, và được dùng nhiều trong kỹ thuật điện đến mức nó có một cái tên: nó được gọi là trở kháng phức, Ẑ. Như vậy chúng ta có thể viết V̂ = ẐÎ. Lý do các kỹ sư thích làm điều này là họ đã học được một điều khi còn trẻ: V = RI cho các điện trở, khi họ chỉ biết về điện trở và dòng điện một chiều. Bây giờ họ đã được học hành nhiều hơn và có các mạch xoay chiều, vậy họ muốn phương trình trông giống như vậy. Như vậy họ viết V̂ = ẐÎ, khác biệt duy nhất là điện trở được thay bằng một thứ phức tạp hơn, một đại lượng phức. Vậy họ khăng khăng rằng họ không thể dùng cái mà mọi người khác trên thế giới dùng cho các số ảo, họ phải dùng một chữ j cho việc đó; thật là một phép màu khi họ đã không khăng khăng rằng cả chữ Z cũng phải là một chữ R! (Sau đó họ gặp rắc rối khi họ nói về mật độ dòng điện, thứ mà họ cũng dùng j cho nó. Các khó khăn của khoa học phần lớn là các khó khăn của ký hiệu, của đơn vị, và mọi thứ nhân tạo khác được phát minh bởi con người, chứ không phải bởi tự nhiên.)
23–4 Cộng hưởng trong tự nhiên
Mặc dù chúng ta đã bàn chi tiết về trường hợp điện, chúng ta cũng có thể nêu ra trường hợp này đến trường hợp khác trong nhiều lĩnh vực, và chỉ ra chính xác phương trình cộng hưởng là như thế nào. Có nhiều trường hợp trong tự nhiên trong đó một cái gì đó đang “dao động” và trong đó hiện tượng cộng hưởng xảy ra. Chúng ta đã nói điều đó trong một chương trước; bây giờ chúng ta hãy chứng minh nó. Nếu chúng ta đi quanh phòng làm việc của mình, kéo các cuốn sách khỏi giá sách và đơn giản lật qua chúng để tìm một ví dụ về một đường cong tương ứng với Hình 23–2 và đến từ cùng một phương trình, chúng ta tìm thấy gì? Chỉ để chứng minh phạm vi rộng lớn thu được bằng cách lấy mẫu nhỏ nhất có thể, chỉ cần năm hay sáu cuốn sách là đã tạo ra cả một loạt hiện tượng cho thấy cộng hưởng.
Hai ví dụ đầu tiên là từ cơ học, ví dụ đầu tiên trên quy mô lớn: khí quyển của toàn bộ trái đất. Nếu khí quyển, mà chúng ta giả thiết bao quanh trái đất đều ở mọi phía, bị kéo sang một phía bởi mặt trăng hay, đúng hơn, bị ép dẹt kéo dài thành một thủy triều kép, và nếu chúng ta khi đó có thể buông nó ra, nó sẽ chao đảo lên xuống; nó là một dao động tử. Dao động tử này bị cưỡng bức bởi mặt trăng, mặt trăng thực tế quay quanh trái đất; bất kỳ thành phần nào của lực, giả sử theo hướng x, cũng có một thành phần cosin, và như vậy đáp ứng của khí quyển trái đất đối với lực kéo thủy triều của mặt trăng là đáp ứng của một dao động tử. Đáp ứng kỳ vọng của khí quyển được chỉ ra trong Hình 23–6, đường cong b (đường cong a là một đường cong lý thuyết khác đang được thảo luận trong cuốn sách mà phần này được trích ra khỏi ngữ cảnh).
Bây giờ người ta có thể nghĩ rằng chúng ta chỉ có một điểm trên đường cong cộng hưởng này, bởi vì chúng ta chỉ có một tần số, tương ứng với sự quay của trái đất dưới mặt trăng, diễn ra với chu kỳ 12,42 giờ — 12 giờ cho trái đất (thủy triều là một bướu kép), cộng thêm một chút nữa bởi vì mặt trăng đang đi vòng quanh. Nhưng từ kích thước của các thủy triều khí quyển, và từ pha, lượng trễ, chúng ta có thể thu được cả ρ và θ. Từ những thứ đó chúng ta có thể thu được ω0 và γ, và như vậy vẽ toàn bộ đường cong! Đây là một ví dụ về khoa học rất tệ. Từ hai con số chúng ta thu được hai con số, và từ hai con số đó chúng ta vẽ một đường cong đẹp đẽ, đường cong này dĩ nhiên đi qua chính điểm đã xác định đường cong đó! Nó chẳng có ích gì trừ phi chúng ta có thể đo được một thứ gì khác, và trong trường hợp địa vật lý điều đó thường rất khó. Nhưng trong trường hợp cụ thể này, có một thứ khác mà chúng ta có thể chỉ ra theo lý thuyết phải có cùng thời gian như tần số riêng ω0: đó là, nếu ai đó làm nhiễu loạn khí quyển, nó sẽ dao động với tần số ω0. Bây giờ quả thật đã có một sự nhiễu loạn sắc nét như vậy vào năm 1883; núi lửa Krakatoa phát nổ và một nửa hòn đảo bị thổi bay, và nó tạo ra một vụ nổ khủng khiếp như vậy trong khí quyển đến mức chu kỳ dao động của khí quyển có thể được đo. Nó cho ra 10½ giờ. Giá trị ω0 thu được từ Hình 23–6 cho ra 10 giờ 20 phút, vậy ở đó chúng ta có ít nhất một kiểm chứng về tính hiện thực của sự hiểu biết của chúng ta về thủy triều khí quyển.
Tiếp theo chúng ta đi đến quy mô nhỏ của dao động cơ học. Lần này chúng ta lấy một tinh thể natri clorua, tinh thể này có các ion natri và các ion clo ở cạnh nhau, như chúng ta đã mô tả trong một chương đầu. Các ion này mang điện tích, luân phiên cộng và trừ. Bây giờ có một dao động thú vị khả dĩ. Giả sử chúng ta có thể cưỡng bức mọi điện tích dương sang phải và mọi điện tích âm sang trái, và buông ra; khi đó chúng sẽ dao động qua lại, mạng natri chống lại mạng clo. Làm sao chúng ta có thể cưỡng bức một thứ như vậy? Điều đó dễ dàng, bởi vì nếu chúng ta đặt một điện trường lên tinh thể, nó sẽ đẩy điện tích dương theo một hướng và điện tích âm theo hướng kia! Vậy, bằng cách có một điện trường bên ngoài, chúng ta có lẽ có thể làm tinh thể dao động. Tuy nhiên, tần số của điện trường cần thiết cao đến mức nó tương ứng với bức xạ hồng ngoại! Vậy chúng ta cố tìm một đường cong cộng hưởng bằng cách đo sự hấp thụ ánh sáng hồng ngoại bởi natri clorua. Một đường cong như vậy được chỉ ra trong Hình 23–7. Trục hoành không phải là tần số, mà được cho theo bước sóng, nhưng đó chỉ là một vấn đề kỹ thuật, dĩ nhiên, bởi vì đối với một sóng có một quan hệ xác định giữa tần số và bước sóng; vậy nó thật sự là một thang tần số, và một tần số nào đó tương ứng với tần số cộng hưởng.
Nhưng bề rộng thì sao? Điều gì xác định bề rộng? Có nhiều trường hợp trong đó bề rộng được thấy trên đường cong thật ra không phải là bề rộng tự nhiên γ mà người ta sẽ có theo lý thuyết. Có hai lý do tại sao có thể có một đường cong rộng hơn đường cong lý thuyết. Nếu các vật không phải tất cả đều có cùng một tần số, như có thể xảy ra nếu tinh thể bị biến dạng ở một số vùng nào đó, sao cho ở những vùng đó tần số dao động hơi khác so với ở những vùng khác, thì cái chúng ta có là nhiều đường cong cộng hưởng chồng lên nhau; vậy chúng ta dường như thu được một đường cong rộng hơn. Loại bề rộng còn lại đơn giản là thế này: có lẽ chúng ta không thể đo tần số đủ chính xác — nếu chúng ta mở khe của quang phổ kế khá rộng, vậy mặc dù chúng ta nghĩ rằng chúng ta chỉ có một tần số, chúng ta thật ra có một khoảng Δω nào đó, khi đó chúng ta có thể không có năng lực phân giải cần thiết để thấy một đường cong hẹp. Nói ngay lập tức, chúng ta không thể nói liệu bề rộng trong Hình 23–7 là tự nhiên, hay liệu nó là do sự không đồng nhất trong tinh thể hay bề rộng hữu hạn của khe quang phổ kế.
Bây giờ chúng ta chuyển sang một ví dụ bí truyền hơn, và đó là sự dao động của một nam châm. Nếu chúng ta có một nam châm, với cực bắc và cực nam, trong một từ trường không đổi, đầu N của nam châm sẽ bị kéo theo một hướng và đầu S theo hướng kia, và nói chung sẽ có một mômen lực trên nó, vậy nó sẽ rung động quanh vị trí cân bằng của nó, như một kim la bàn. Tuy nhiên, các nam châm chúng ta đang nói đến là các nguyên tử. Các nguyên tử này có một mômen động lượng; mômen lực không tạo ra một chuyển động đơn giản theo hướng của trường, mà thay vào đó, dĩ nhiên, là một tiến động. Bây giờ, nhìn từ phía bên, bất kỳ thành phần nào cũng đang “dao động”, và chúng ta có thể làm nhiễu loạn hay cưỡng bức sự dao động đó và đo một sự hấp thụ. Đường cong trong Hình 23–8 đại diện cho một đường cong cộng hưởng điển hình như vậy. Điều đã được thực hiện ở đây hơi khác về mặt kỹ thuật. Tần số của trường ngang được dùng để cưỡng bức sự dao động này luôn được giữ nguyên, trong khi chúng ta sẽ kỳ vọng rằng các nhà nghiên cứu sẽ thay đổi nó và vẽ đường cong. Họ có thể đã làm theo cách đó, nhưng về mặt kỹ thuật, việc giữ tần số ω cố định và thay đổi cường độ của từ trường không đổi, tương ứng với việc thay đổi ω0 trong công thức của chúng ta, dễ hơn cho họ. Họ đã vẽ đường cong cộng hưởng theo ω0. Dù sao đi nữa, đây là một cộng hưởng điển hình với một ω0 và γ nào đó.
Bây giờ chúng ta đi xa hơn nữa. Ví dụ tiếp theo của chúng ta liên quan đến các hạt nhân nguyên tử. Các chuyển động của proton và neutron trong hạt nhân là dao động theo một số cách nhất định, và chúng ta có thể chứng minh điều này bằng thí nghiệm sau. Chúng ta bắn phá một nguyên tử lithium bằng proton, và chúng ta khám phá ra rằng một phản ứng nào đó, tạo ra tia γ, thật sự có một cực đại rất sắc nét điển hình của cộng hưởng. Tuy nhiên, chúng ta lưu ý trong Hình 23–9 có một khác biệt so với các trường hợp khác: thang ngang không phải là tần số, nó là một năng lượng! Lý do là trong cơ học lượng tử, cái chúng ta nghĩ một cách cổ điển là năng lượng sẽ hóa ra thật sự liên quan đến một tần số của một biên độ sóng. Khi chúng ta phân tích một cái gì đó mà trong vật lý quy mô lớn đơn giản liên quan đến một tần số, chúng ta thấy rằng khi chúng ta thực hiện các thí nghiệm cơ học lượng tử với vật chất nguyên tử, chúng ta thu được đường cong tương ứng theo hàm của năng lượng. Thật vậy, đường cong này là một minh chứng của quan hệ này, theo một nghĩa nào đó. Nó cho thấy rằng tần số và năng lượng có một mối liên hệ sâu xa nào đó, điều mà dĩ nhiên chúng có.
Bây giờ chúng ta chuyển sang một ví dụ khác cũng liên quan đến một mức năng lượng hạt nhân, nhưng bây giờ là một mức hẹp hơn, hẹp hơn rất nhiều. Giá trị ω0 trong Hình 23–10 tương ứng với một năng lượng 100.000 electron volt, trong khi bề rộng γ xấp xỉ 10−5 electron volt; nói cách khác, mức này có một Q là 1010! Khi đường cong này được đo, đó là Q lớn nhất của bất kỳ dao động tử nào từng được đo. Nó được đo bởi TS. Mössbauer, và nó là cơ sở của giải Nobel của ông. Thang ngang ở đây là vận tốc, bởi vì kỹ thuật để thu được các tần số hơi khác nhau là dùng hiệu ứng Doppler, bằng cách di chuyển nguồn tương đối so với vật hấp thụ. Người ta có thể thấy thí nghiệm tinh tế như thế nào khi chúng ta nhận ra rằng tốc độ liên quan chỉ là vài centimét trong một giây! Trên thang thật của hình, tần số không sẽ tương ứng với một điểm cách khoảng 1010 cm về phía trái — hơi ngoài tờ giấy một chút!
Cuối cùng, nếu chúng ta nhìn vào một số của tạp chí Physical Review, giả sử số ngày 1 tháng 1 năm 1962, chúng ta sẽ tìm thấy một đường cong cộng hưởng không? Mọi số đều có một đường cong cộng hưởng, và Hình 23–11 là đường cong cộng hưởng của số này. Đường cong cộng hưởng này hóa ra rất thú vị. Nó là cộng hưởng được tìm thấy trong một phản ứng nào đó giữa các hạt lạ, một phản ứng trong đó một meson K− và một proton tương tác. Cộng hưởng được phát hiện bằng cách xem có bao nhiêu hạt thuộc một số loại nào đó đi ra, và tùy thuộc vào cái gì và bao nhiêu hạt đi ra, người ta thu được các đường cong khác nhau, nhưng có cùng hình dạng và với đỉnh ở cùng một năng lượng. Như vậy chúng ta xác định rằng có một cộng hưởng tại một năng lượng nào đó đối với meson K−. Điều đó có lẽ có nghĩa là có một loại trạng thái, hay điều kiện, nào đó tương ứng với cộng hưởng này, có thể đạt được bằng cách đặt một K− và một proton lại với nhau. Đây là một hạt mới, hay một cộng hưởng. Ngày nay chúng ta không biết nên gọi một bướu như vậy là một “hạt” hay chỉ đơn giản là một cộng hưởng. Khi có một cộng hưởng rất sắc nét, nó tương ứng với một năng lượng rất xác định, đúng như thể có một hạt có năng lượng đó hiện diện trong tự nhiên. Khi cộng hưởng trở nên rộng hơn, khi đó chúng ta không biết nên nói có một hạt không tồn tại được rất lâu, hay chỉ đơn giản là một cộng hưởng trong xác suất phản ứng. Trong chương thứ hai, điểm này được nêu ra về các hạt, nhưng khi chương thứ hai được viết, cộng hưởng này chưa được biết, vậy biểu đồ của chúng ta bây giờ hẳn phải có thêm một hạt nữa trong đó!