Chương 49: Các mode sóng

49–1  Sự phản xạ của sóng

Chương này sẽ xét một số hiện tượng đáng chú ý là kết quả của việc giam các sóng trong một vùng hữu hạn nào đó. Trước hết chúng ta sẽ được dẫn tới việc khám phá một vài sự kiện cụ thể về các dây rung, chẳng hạn, và sau đó sự tổng quát hóa các sự kiện này sẽ cho chúng ta một nguyên lý có lẽ là nguyên lý có tầm ảnh hưởng xa nhất của vật lý toán học.

Ví dụ đầu tiên của chúng ta về việc giam sóng sẽ là giam một sóng tại một biên. Hãy lấy ví dụ đơn giản về một sóng một chiều trên một dây. Người ta hoàn toàn có thể xét âm thanh trong một chiều đập vào một bức tường, hay các tình huống khác có bản chất tương tự, nhưng ví dụ về một dây sẽ đủ cho các mục đích hiện tại của chúng ta. Giả sử dây được giữ tại một đầu, chẳng hạn bằng cách buộc nó vào một bức tường “vô cùng cứng”. Điều này có thể được biểu diễn bằng toán học bằng cách nói rằng độ dịch chuyển y của dây tại vị trí x = 0 phải bằng không, vì đầu dây không di chuyển. Bây giờ nếu không có bức tường, chúng ta biết rằng nghiệm tổng quát cho chuyển động là tổng của hai hàm, F(x − ct) và G(x + ct), hàm thứ nhất biểu diễn một sóng truyền theo một chiều trong dây, và hàm thứ hai một sóng truyền theo chiều kia trong dây:

y = F(x − ct) + G(x + ct)   (49.1)

là nghiệm tổng quát cho bất kỳ dây nào. Nhưng tiếp theo chúng ta phải thỏa mãn điều kiện rằng dây không di chuyển tại một đầu. Nếu chúng ta đặt x = 0 vào phương trình (49.1) và xét y đối với bất kỳ giá trị nào của t, chúng ta được y = F(−ct) + G(+ct). Bây giờ nếu điều này phải bằng không đối với mọi thời gian, điều đó có nghĩa là hàm G(ct) phải là −F(−ct). Nói cách khác, G của bất kỳ thứ gì phải là −F của trừ cùng thứ đó. Nếu kết quả này được đặt trở lại vào phương trình (49.1), chúng ta thấy rằng nghiệm cho bài toán là

y = F(x − ct) − F(−x − ct).   (49.2)

Dễ kiểm chứng rằng chúng ta sẽ được y = 0 nếu chúng ta đặt x = 0.

Hình 49–1 cho thấy một sóng truyền theo chiều x âm gần x = 0, và một sóng giả định truyền theo chiều kia, bị đảo dấu và ở phía bên kia của gốc tọa độ. Chúng ta nói giả định vì, dĩ nhiên, không có dây để rung ở phía đó của gốc tọa độ. Chuyển động toàn phần của dây phải được xem là tổng của hai sóng này trong vùng x dương. Khi chúng tới gốc tọa độ, chúng sẽ luôn luôn triệt tiêu nhau tại x = 0, và cuối cùng sóng thứ hai (sóng phản xạ) sẽ là sóng duy nhất tồn tại đối với x dương và nó, dĩ nhiên, sẽ truyền theo hướng ngược lại. Các kết quả này tương đương với phát biểu sau: nếu một sóng tới đầu bị kẹp của một dây, nó sẽ bị phản xạ với một sự đổi dấu. Một sự phản xạ như vậy luôn luôn có thể được hiểu bằng cách tưởng tượng rằng điều gì đang đi tới đầu dây thì đi ra lộn ngược từ phía sau bức tường. Nói ngắn gọn, nếu chúng ta giả thiết rằng dây là vô hạn và rằng mỗi khi chúng ta có một sóng đi theo một chiều chúng ta có một sóng khác đi theo chiều kia với tính đối xứng đã nêu, độ dịch chuyển tại x = 0 sẽ luôn luôn bằng không và việc chúng ta có kẹp dây tại đó hay không sẽ không tạo khác biệt gì.

Điểm tiếp theo được thảo luận là sự phản xạ của một sóng tuần hoàn. Giả sử sóng được biểu diễn bởi F(x − ct) là một sóng sin và đã bị phản xạ; khi đó sóng phản xạ −F(−x − ct) cũng là một sóng sin có cùng tần số, nhưng truyền theo hướng ngược lại. Tình huống này có thể được mô tả đơn giản nhất bằng cách dùng ký hiệu hàm phức: F(x − ct) = e^{iω(t − x/c)} và F(−x − ct) = e^{iω(t + x/c)}. Có thể thấy rằng nếu các hàm này được thế vào (49.2) và nếu x được đặt bằng 0, khi đó y = 0 đối với mọi giá trị của t, vậy nó thỏa mãn điều kiện cần thiết. Vì các tính chất của các hàm mũ, điều này có thể được viết dưới một dạng đơn giản hơn:

y = e^iωt(e^−iωx/c − e^iωx/c) = −2ie^iωt sin (ωx/c).   (49.3)

Có một điều thú vị và mới ở đây, ở chỗ nghiệm này cho chúng ta biết rằng nếu chúng ta nhìn vào bất kỳ x cố định nào, dây dao động ở tần số ω. Dù điểm này ở đâu, tần số đều như nhau! Nhưng có một số nơi, đặc biệt ở bất kỳ đâu sin (ωx/c) = 0, ở đó hoàn toàn không có độ dịch chuyển. Hơn nữa, nếu tại bất kỳ thời điểm t nào chúng ta chụp một bức ảnh tức thời của dây đang rung, bức tranh sẽ là một sóng sin. Tuy nhiên, độ dịch chuyển của sóng sin này sẽ phụ thuộc vào thời gian t. Từ việc xét phương trình (49.3) chúng ta có thể thấy rằng độ dài của một chu kỳ của sóng sin bằng bước sóng của một trong hai sóng chồng chất:

λ = 2πc/ω.   (49.4)

Các điểm ở đó không có chuyển động thỏa mãn điều kiện sin (ωx/c) = 0, điều đó có nghĩa là (ωx/c) = 0, π, 2π, …, nπ, … Các điểm này được gọi là các nút. Giữa hai nút liên tiếp bất kỳ, mọi điểm đều di chuyển lên và xuống theo hình sin, nhưng họa tiết của chuyển động ở lại cố định trong không gian. Đây là đặc điểm cơ bản của điều chúng ta gọi là một mode. Nếu người ta có thể tìm thấy một họa tiết chuyển động có tính chất rằng tại bất kỳ điểm nào vật di chuyển hoàn toàn theo hình sin, và rằng mọi điểm đều di chuyển ở cùng một tần số (mặc dù một số điểm sẽ di chuyển nhiều hơn các điểm khác), khi đó chúng ta có điều được gọi là một mode.

49–2  Sóng bị giam, với các tần số riêng

Bài toán thú vị tiếp theo là xét điều gì xảy ra nếu dây được giữ ở cả hai đầu, ta nói tại x = 0 và x = L. Chúng ta có thể bắt đầu với ý tưởng về sự phản xạ của sóng, bắt đầu với một loại bướu nào đó di chuyển theo một hướng. Theo thời gian, chúng ta sẽ kỳ vọng bướu đi tới gần một đầu, và khi thời gian trôi thêm nó sẽ trở thành một loại gợn nhỏ, vì nó đang kết hợp với bướu ảnh đảo ngược đang đi tới từ phía bên kia. Cuối cùng bướu ban đầu sẽ biến mất và bướu ảnh sẽ di chuyển theo hướng ngược lại để lặp lại quá trình ở đầu kia. Bài toán này có một nghiệm dễ, nhưng một câu hỏi thú vị là liệu chúng ta có thể có một chuyển động hình sin hay không (nghiệm vừa mô tả là tuần hoàn, nhưng dĩ nhiên nó không tuần hoàn theo hình sin). Hãy thử đặt một sóng tuần hoàn theo hình sin lên một dây. Nếu dây được buộc tại một đầu, chúng ta biết nó phải trông giống nghiệm trước đây của chúng ta (49.3). Nếu nó được buộc tại đầu kia, nó phải trông như vậy tại đầu kia. Vậy khả năng duy nhất cho chuyển động hình sin tuần hoàn là sóng sin phải vừa khít một cách gọn gàng vào chiều dài dây. Nếu nó không vừa vào chiều dài dây, khi đó đó không phải là một tần số riêng tại đó dây có thể tiếp tục dao động. Nói ngắn gọn, nếu dây được bắt đầu với một hình dạng sóng sin vừa khít vào, khi đó nó sẽ tiếp tục giữ hình dạng hoàn hảo đó của một sóng sin và sẽ dao động một cách điều hòa ở một tần số nào đó.

Về mặt toán học, chúng ta có thể viết sin kx cho hình dạng, trong đó k bằng hệ số (ω/c) trong các phương trình (49.3) và (49.4), và hàm này sẽ bằng không tại x = 0. Tuy nhiên, nó cũng phải bằng không tại đầu kia. Ý nghĩa của điều này là k không còn tùy ý nữa, như trường hợp dây nửa mở. Với dây được đóng tại cả hai đầu, khả năng duy nhất là sin (kL) = 0, vì đây là điều kiện duy nhất sẽ giữ cả hai đầu cố định. Bây giờ để một sin bằng không, góc phải hoặc là 0, π, 2π, hoặc một bội nguyên nào khác của π. Phương trình,

kL = nπ,   (49.5)

do đó, sẽ cho bất kỳ một trong các k khả dĩ nào, tùy thuộc vào số nguyên nào được đặt vào. Đối với mỗi k có một tần số ω nào đó, mà, theo (49.3), đơn giản là

ω = kc = nπc/L.   (49.6)

Vậy chúng ta đã tìm thấy điều sau: rằng một dây có một tính chất là nó có thể có các chuyển động hình sin, nhưng chỉ ở một số tần số nhất định. Đây là đặc điểm quan trọng nhất của các sóng bị giam. Dù hệ phức tạp đến đâu, nó luôn luôn hóa ra rằng có một số họa tiết chuyển động có một sự phụ thuộc thời gian hình sin hoàn hảo, nhưng với các tần số là một tính chất của hệ cụ thể và bản chất của các biên của nó. Trong trường hợp dây, chúng ta có nhiều tần số khả dĩ khác nhau, mỗi tần số, theo định nghĩa, tương ứng với một mode, vì một mode là một họa tiết chuyển động tự lặp lại theo hình sin. Hình 49–2 cho thấy ba mode đầu tiên đối với một dây. Đối với mode thứ nhất bước sóng λ là 2L. Điều này có thể được thấy nếu người ta tiếp tục sóng ra tới x = 2L để thu được một chu kỳ đầy đủ của sóng sin. Tần số góc ω là 2πc chia cho bước sóng, nói chung, và trong trường hợp này, vì λ là 2L, tần số là πc/L, điều này phù hợp với (49.6) với n = 1. Hãy gọi tần số mode thứ nhất là ω₁. Bây giờ mode tiếp theo cho thấy hai vòng với một nút ở giữa. Đối với mode này bước sóng, khi đó, đơn giản là L. Giá trị tương ứng của k lớn gấp đôi và tần số lớn gấp đôi; nó là 2ω₁. Đối với mode thứ ba nó là 3ω₁, và cứ như vậy. Vậy mọi tần số khác nhau của dây đều là các bội, 1, 2, 3, 4, và cứ như vậy, của tần số thấp nhất ω₁.

Quay lại bây giờ với chuyển động tổng quát của dây, nó hóa ra rằng bất kỳ chuyển động khả dĩ nào cũng luôn luôn có thể được phân tích bằng cách khẳng định rằng nhiều hơn một mode đang hoạt động tại cùng thời điểm. Thật ra, đối với chuyển động tổng quát một số vô hạn các mode phải được kích thích tại cùng thời điểm. Để có một ý tưởng nào đó về điều này, hãy minh họa điều gì xảy ra khi có hai mode dao động tại cùng thời điểm: Giả sử chúng ta có mode thứ nhất dao động như được chỉ ra bởi dãy các bức tranh trong Hình 49–3, hình này minh họa độ lệch của dây đối với các khoảng thời gian cách đều nhau kéo dài qua một nửa chu kỳ của tần số thấp nhất.

Bây giờ, tại cùng thời điểm, chúng ta giả sử rằng cũng có một dao động của mode thứ hai. Hình 49–3 cũng cho thấy một dãy các bức tranh của mode này, mode này lúc bắt đầu lệch pha 90° so với mode thứ nhất. Điều này có nghĩa là lúc bắt đầu nó không có độ dịch chuyển, nhưng hai nửa của dây có các vận tốc hướng ngược nhau. Bây giờ chúng ta nhớ lại một nguyên lý tổng quát liên quan đến các hệ tuyến tính: nếu có bất kỳ hai nghiệm nào, khi đó tổng của chúng cũng là một nghiệm. Do đó một chuyển động khả dĩ thứ ba của dây sẽ là một độ dịch chuyển thu được bằng cách cộng hai nghiệm được chỉ ra trong Hình 49–3. Kết quả, cũng được chỉ ra trong hình, bắt đầu gợi ý ý tưởng về một bướu chạy qua lại giữa các đầu của dây, mặc dù chỉ với hai mode chúng ta không thể tạo ra một bức tranh rất tốt về nó; cần nhiều mode hơn. Kết quả này, thật ra, là một trường hợp đặc biệt của một nguyên lý lớn cho các hệ tuyến tính:

Bất kỳ chuyển động nào cũng có thể được phân tích bằng cách giả thiết rằng nó là tổng của các chuyển động của mọi mode khác nhau, kết hợp với các biên độ và pha thích hợp.

Tầm quan trọng của nguyên lý bắt nguồn từ sự kiện rằng mỗi mode rất đơn giản — nó không là gì ngoài một chuyển động hình sin theo thời gian. Đúng là ngay cả chuyển động tổng quát của một dây cũng thật ra không quá phức tạp, nhưng có các hệ khác, chẳng hạn sự quật của một cánh máy bay, trong đó chuyển động phức tạp hơn nhiều. Tuy nhiên, ngay cả với một cánh máy bay, chúng ta thấy có một cách xoắn cụ thể nào đó có một tần số và các cách xoắn khác có các tần số khác. Nếu các mode này có thể được tìm thấy, khi đó chuyển động đầy đủ luôn luôn có thể được phân tích như một chồng chất của các dao động điều hòa (ngoại trừ khi sự quật ở mức độ mà hệ không còn có thể được xem là tuyến tính).

49–3  Các mode trong hai chiều

Ví dụ tiếp theo được xét là tình huống thú vị của các mode trong hai chiều. Cho tới điểm này chúng ta chỉ nói về các tình huống một chiều — một dây căng hay các sóng âm trong một ống. Cuối cùng chúng ta nên xét ba chiều, nhưng một bước dễ hơn sẽ là bước tới hai chiều. Để xác định, hãy xét một mặt trống cao su hình chữ nhật được giam sao cho không có độ dịch chuyển ở bất kỳ đâu trên cạnh hình chữ nhật, và cho các kích thước của hình chữ nhật là a và b, như được chỉ ra trong Hình 49–4. Bây giờ câu hỏi là, các đặc điểm của chuyển động khả dĩ là gì? Chúng ta có thể bắt đầu với cùng thủ tục đã dùng cho dây. Nếu chúng ta hoàn toàn không có sự giam giữ nào, chúng ta sẽ kỳ vọng các sóng truyền dọc theo với một loại chuyển động sóng nào đó. Chẳng hạn, (e^iωt)(e^{−ik_xx + ik_yy}) sẽ biểu diễn một sóng sin truyền theo một hướng nào đó phụ thuộc vào các giá trị tương đối của k_x và k_y. Bây giờ làm thế nào chúng ta có thể làm cho trục x, tức là đường y = 0, thành một nút? Dùng các ý tưởng đã phát triển cho dây một chiều, chúng ta có thể tưởng tượng một sóng khác được biểu diễn bởi hàm phức (−e^iωt)(e^{−ik_xx − ik_yy}). Sự chồng chất của các sóng này sẽ cho độ dịch chuyển bằng không tại y = 0 bất kể các giá trị của x và t. (Mặc dù các hàm này được định nghĩa đối với y âm ở nơi không có mặt trống để rung, điều này có thể được bỏ qua, vì độ dịch chuyển thật sự bằng không tại y = 0.) Trong trường hợp này chúng ta có thể xem hàm thứ hai là sóng phản xạ.

Tuy nhiên, chúng ta muốn một đường nút tại y = b cũng như tại y = 0. Chúng ta làm điều đó như thế nào? Nghiệm liên quan đến một điều chúng ta đã làm khi nghiên cứu sự phản xạ từ các tinh thể. Các sóng này triệt tiêu lẫn nhau tại y = 0 sẽ cũng làm như vậy tại y = b chỉ nếu 2b sin θ là một bội nguyên của λ, trong đó θ là góc được chỉ ra trong Hình 49–4:

mλ = 2b sin θ,   m = 0, 1, 2, …   (49.7)

Bây giờ theo cùng cách chúng ta có thể làm cho trục y thành một đường nút bằng cách cộng thêm hai hàm nữa −(e^iωt)(e^{+ik_xx + ik_yy}) và +(e^iωt)(e^{+ik_xx − ik_yy}), mỗi hàm biểu diễn một sự phản xạ của một trong hai sóng kia từ đường x = 0. Điều kiện cho một đường nút tại x = a tương tự như điều kiện cho y = b. Đó là 2a cos θ cũng phải là một bội nguyên của λ:

nλ = 2a cos θ.   (49.8)

Khi đó kết quả cuối cùng là các sóng nảy qua lại trong hộp tạo ra một họa tiết sóng đứng, tức là, một mode xác định.

Vậy chúng ta phải thỏa mãn hai điều kiện trên nếu chúng ta muốn có một mode. Trước hết hãy tìm bước sóng. Lượng này có thể được thu được bằng cách khử góc θ khỏi (49.7) và (49.8) để thu được bước sóng theo a, b, n và m. Cách dễ nhất để làm điều đó là chia cả hai phía của các phương trình tương ứng cho 2b và 2a, bình phương chúng, và cộng hai phương trình lại với nhau. Kết quả là sin²θ + cos²θ = 1 = (nλ/2a)² + (mλ/2b)², lượng này có thể được giải cho λ:

1/λ² = n²/4a² + m²/4b².   (49.9)

Theo cách này chúng ta đã xác định bước sóng theo hai số nguyên, và từ bước sóng chúng ta ngay lập tức được tần số ω, vì, như chúng ta biết, tần số bằng 2πc chia cho bước sóng.

Kết quả này đủ thú vị và quan trọng để chúng ta nên suy ra nó bằng một phân tích thuần túy toán học thay vì bằng một lập luận về các sự phản xạ. Hãy biểu diễn sự rung bằng một chồng chất của bốn sóng được chọn sao cho bốn đường x = 0, x = a, y = 0, và y = b đều là các nút. Ngoài ra chúng ta sẽ đòi hỏi rằng mọi sóng đều có cùng tần số, sao cho chuyển động hợp thành sẽ biểu diễn một mode. Từ việc xử lý trước đây của chúng ta về sự phản xạ ánh sáng chúng ta biết rằng (e^iωt)(e^{−ik_xx + ik_yy}) biểu diễn một sóng truyền theo hướng được chỉ ra trong Hình 49–4. Phương trình (49.6), tức là, k = ω/c, vẫn đúng, với điều kiện

k² = k_x² + k_y².   (49.10)

Rõ ràng từ hình rằng k_x = k cos θ và k_y = k sin θ. Bây giờ phương trình của chúng ta cho độ dịch chuyển, ta nói ϕ, của mặt trống hình chữ nhật mang dạng lớn

ϕ = [e^iωt][e^{(−ik_xx + ik_yy)} − e^{(+ik_xx + ik_yy)} − e^{(−ik_xx − ik_yy)} + e^{(+ik_xx − ik_yy)}].   (49.11a)

Mặc dù điều này trông khá rối rắm, tổng của các thứ này bây giờ không khó lắm. Các hàm mũ có thể được kết hợp để cho các hàm sin, sao cho độ dịch chuyển hóa ra là

ϕ = [4 sin k_xx sin k_yy][e^iωt].   (49.11b)

Nói cách khác, nó là một dao động hình sin, đúng vậy, với một họa tiết cũng hình sin theo cả hướng x lẫn hướng y. Các điều kiện biên của chúng ta dĩ nhiên được thỏa mãn tại x = 0 và y = 0. Chúng ta cũng muốn ϕ bằng không khi x = a và khi y = b. Do đó chúng ta phải đặt vào hai điều kiện khác: k_xa phải là một bội nguyên của π, và k_yb phải là một bội nguyên khác của π. Vì chúng ta đã thấy rằng k_x = k cos θ và k_y = k sin θ, chúng ta ngay lập tức được các phương trình (49.7) và (49.8) và từ chúng kết quả cuối cùng (49.9).

Bây giờ hãy lấy làm ví dụ một hình chữ nhật có bề rộng gấp đôi chiều cao. Nếu chúng ta lấy a = 2b và dùng các phương trình (49.4) và (49.9), chúng ta có thể tính các tần số của mọi mode:

ω² = (πc/b)² (4m² + n²)/4.   (49.12)

Bảng 49–1 liệt kê một vài mode đơn giản và cũng cho thấy hình dạng của chúng theo một cách định tính.

Bảng 49–1

Hình dạng mode	m	n	(ω/ω0)2	ω/ω0
	1	1	1,25	1,12
	1	2	2,00	1,41
	1	3	3,25	1,80
	2	1	4,25	2,06
	2	2	5,00	2,24

Điểm quan trọng nhất cần được nhấn mạnh về trường hợp cụ thể này là các tần số không phải là bội của nhau, chúng cũng không phải là bội của bất kỳ số nào. Ý tưởng rằng các tần số riêng có quan hệ điều hòa với nhau không đúng nói chung. Nó không đúng đối với một hệ có nhiều hơn một chiều, nó cũng không đúng đối với các hệ một chiều phức tạp hơn một dây có mật độ và sức căng đều. Một ví dụ đơn giản của loại sau là một dây xích treo trong đó sức căng cao hơn ở phía trên so với ở phía dưới. Nếu một dây xích như vậy được đặt vào dao động điều hòa, có nhiều mode và tần số khác nhau, nhưng các tần số không phải là các bội đơn giản của bất kỳ số nào, các hình dạng mode cũng không phải là hình sin.

Các mode của các hệ phức tạp hơn còn công phu hơn nữa. Chẳng hạn, bên trong miệng chúng ta có một khoang ở trên các dây thanh, và bằng cách di chuyển lưỡi và môi, v.v., chúng ta tạo ra một ống hở đầu hoặc một ống kín đầu có các đường kính và hình dạng khác nhau; nó là một bộ cộng hưởng cực kỳ phức tạp, nhưng dù sao nó vẫn là một bộ cộng hưởng. Bây giờ khi người ta nói bằng các dây thanh, chúng được làm cho tạo ra một loại âm nào đó. Âm khá phức tạp và có nhiều âm thanh đi ra, nhưng khoang của miệng sửa đổi thêm âm đó vì các tần số cộng hưởng khác nhau của khoang. Chẳng hạn, một ca sĩ có thể hát nhiều nguyên âm khác nhau, a, hay o, hay oo, v.v., ở cùng một cao độ, nhưng chúng nghe khác nhau vì các họa âm khác nhau cộng hưởng trong khoang này ở các mức độ khác nhau. Tầm quan trọng rất lớn của các tần số cộng hưởng của một khoang trong việc sửa đổi các âm thanh giọng nói có thể được chứng minh bằng một thí nghiệm đơn giản. Vì tốc độ âm thanh đi như nghịch đảo của căn bậc hai của mật độ, tốc độ âm thanh có thể được thay đổi bằng cách dùng các chất khí khác nhau. Nếu người ta dùng heli thay vì không khí, sao cho mật độ thấp hơn, tốc độ âm thanh cao hơn nhiều, và mọi tần số của một khoang sẽ được nâng lên. Hệ quả là nếu người ta làm đầy phổi của mình bằng heli trước khi nói, tính chất của giọng nói của anh ta sẽ bị thay đổi một cách mạnh mẽ mặc dù các dây thanh vẫn có thể đang rung ở cùng tần số.

49–4  Các con lắc liên kết

Cuối cùng chúng ta nên nhấn mạnh rằng các mode không chỉ tồn tại đối với các hệ liên tục phức tạp, mà còn đối với các hệ cơ học rất đơn giản. Một ví dụ tốt là hệ hai con lắc liên kết đã thảo luận trong chương trước. Trong chương đó người ta đã chỉ ra rằng chuyển động có thể được phân tích như một chồng chất của hai chuyển động điều hòa có các tần số khác nhau. Vậy ngay cả hệ này cũng có thể được phân tích theo các chuyển động điều hòa hay các mode. Dây có một số vô hạn các mode và mặt hai chiều cũng có một số vô hạn các mode. Theo một nghĩa nào đó nó là một vô hạn kép, nếu chúng ta biết cách đếm các vô hạn. Nhưng một vật cơ học đơn giản chỉ có hai bậc tự do, và chỉ cần hai biến để mô tả nó, chỉ có hai mode.

Hãy làm một phân tích toán học về hai mode này đối với trường hợp các con lắc có chiều dài bằng nhau. Cho độ dịch chuyển của một con lắc là x, và độ dịch chuyển của con lắc kia là y, như được chỉ ra trong Hình 49–5. Không có lò xo, lực lên khối lượng thứ nhất tỉ lệ với độ dịch chuyển của khối lượng đó, vì trọng lực. Sẽ có, nếu không có lò xo, một tần số riêng nào đó ω₀ cho riêng con lắc này. Phương trình chuyển động không có lò xo sẽ là

m d²x/dt² = −mω₀²x.   (49.13)

Con lắc kia sẽ đu đưa theo cùng cách nếu không có lò xo. Ngoài lực hồi phục do trọng lực, còn có một lực phụ thêm kéo khối lượng thứ nhất. Lực đó phụ thuộc vào khoảng cách dư của x so với y và tỉ lệ với hiệu đó, vậy nó là một hằng số nào đó phụ thuộc vào hình học, nhân với (x − y). Cùng lực đó theo nghĩa ngược lại tác dụng lên khối lượng thứ hai. Các phương trình chuyển động phải được giải do đó là

m d²x/dt² = −mω₀²x − k(x − y),    m d²y/dt² = −mω₀²y − k(y − x).   (49.14)

Để tìm một chuyển động trong đó cả hai khối lượng đều di chuyển ở cùng một tần số, chúng ta phải xác định mỗi khối lượng di chuyển bao nhiêu. Nói cách khác, con lắc x và con lắc y sẽ dao động ở cùng một tần số, nhưng các biên độ của chúng phải có các giá trị nào đó, A và B, mà quan hệ của chúng cố định. Hãy thử nghiệm này:

x = Ae^iωt,    y = Be^iωt.   (49.15)

Nếu các nghiệm thử này được thế vào các phương trình (49.14) và các số hạng tương tự được thu thập, các kết quả là

(ω² − ω₀² − k/m)A = −(k/m)B,    (ω² − ω₀² − k/m)B = −(k/m)A.   (49.16)

Các phương trình như đã viết đã loại bỏ thừa số chung e^iωt và đã được chia cho m.

Bây giờ chúng ta thấy rằng chúng ta có hai phương trình cho điều trông như hai ẩn số. Nhưng thật ra không có hai ẩn số, vì toàn bộ kích thước của chuyển động là một điều chúng ta không thể xác định từ các phương trình này. Các phương trình trên chỉ có thể xác định tỉ số của A so với B, nhưng cả hai đều phải cho cùng một tỉ số. Sự cần thiết để cả hai phương trình này nhất quán với nhau là một yêu cầu rằng tần số phải là một điều gì đó rất đặc biệt.

Trong trường hợp cụ thể này điều này có thể được làm ra khá dễ. Nếu hai phương trình được nhân với nhau, kết quả là

(ω² − ω₀² − k/m)²AB = (k/m)²AB.   (49.17)

Số hạng AB có thể được loại bỏ khỏi cả hai phía trừ khi A và B bằng không, điều đó có nghĩa là hoàn toàn không có chuyển động. Nếu có chuyển động, khi đó các số hạng kia phải bằng nhau, cho một phương trình bậc hai để giải. Kết quả là có hai tần số khả dĩ:

ω₁² = ω₀²,    ω₂² = ω₀² + 2k/m.   (49.18)

Hơn nữa, nếu các giá trị tần số này được thế trở lại vào phương trình (49.16), chúng ta thấy rằng đối với tần số thứ nhất A = B, và đối với tần số thứ hai A = −B. Đây là các “hình dạng mode”, như có thể dễ dàng được kiểm chứng bằng thực nghiệm.

Rõ ràng là trong mode thứ nhất, ở đó A = B, lò xo không bao giờ bị giãn, và cả hai khối lượng dao động ở tần số ω₀, như thể lò xo vắng mặt. Trong nghiệm kia, ở đó A = −B, lò xo đóng góp một lực hồi phục và nâng tần số lên. Một trường hợp thú vị hơn xuất hiện nếu các con lắc có các chiều dài khác nhau. Việc phân tích rất tương tự việc đã cho ở trên, và được để lại như một bài tập cho độc giả.

49–5  Các hệ tuyến tính

Bây giờ hãy tóm tắt các ý tưởng đã thảo luận ở trên, chúng đều là các khía cạnh của điều có lẽ là nguyên lý tổng quát nhất và kỳ diệu nhất của vật lý toán học. Nếu chúng ta có một hệ tuyến tính mà tính chất của nó không phụ thuộc vào thời gian, khi đó chuyển động không cần phải có bất kỳ sự đơn giản cụ thể nào, và thật ra có thể cực kỳ phức tạp, nhưng có các chuyển động rất đặc biệt, thông thường là một dãy các chuyển động đặc biệt, trong đó toàn bộ họa tiết chuyển động biến thiên theo hàm mũ với thời gian. Đối với các hệ rung chúng ta đang nói tới bây giờ, hàm mũ là ảo, và thay vì nói “theo hàm mũ” chúng ta có thể ưa nói “theo hình sin” với thời gian hơn. Tuy nhiên, người ta có thể tổng quát hơn và nói rằng các chuyển động sẽ biến thiên theo hàm mũ với thời gian trong các mode rất đặc biệt, với các hình dạng rất đặc biệt. Chuyển động tổng quát nhất của hệ luôn luôn có thể được biểu diễn như một chồng chất của các chuyển động liên quan đến mỗi hàm mũ khác nhau.

Điều này đáng được phát biểu lại đối với trường hợp chuyển động hình sin: một hệ tuyến tính không cần phải đang di chuyển trong một chuyển động hình sin thuần túy, tức là, ở một tần số đơn xác định, nhưng dù nó di chuyển như thế nào, chuyển động này có thể được biểu diễn như một chồng chất của các chuyển động hình sin thuần túy. Tần số của mỗi chuyển động này là một đặc điểm của hệ, và họa tiết hay dạng sóng của mỗi chuyển động cũng là một đặc điểm của hệ. Chuyển động tổng quát trong bất kỳ hệ nào như vậy có thể được đặc trưng bằng cách cho độ mạnh và pha của mỗi mode này, và cộng tất cả chúng lại với nhau. Một cách nói khác về điều này là bất kỳ hệ rung tuyến tính nào cũng tương đương với một tập hợp các dao động tử điều hòa độc lập, với các tần số riêng tương ứng với các mode.

Chúng ta kết thúc chương này bằng cách nhận xét về mối liên hệ của các mode với cơ học lượng tử. Trong cơ học lượng tử vật đang rung, hay vật biến thiên trong không gian, là biên độ của một hàm xác suất cho xác suất tìm thấy một electron, hay hệ các electron, trong một cấu hình cho trước. Hàm biên độ này có thể biến thiên trong không gian và thời gian, và thỏa mãn, thật ra, một phương trình tuyến tính. Nhưng trong cơ học lượng tử có một sự biến đổi, ở chỗ điều chúng ta gọi là tần số của biên độ xác suất bằng, trong ý tưởng cổ điển, năng lượng. Do đó chúng ta có thể dịch nguyên lý đã phát biểu ở trên sang trường hợp này bằng cách lấy từ tần số và thay nó bằng năng lượng. Nó trở thành điều gì đó như thế này: một hệ cơ học lượng tử, chẳng hạn một nguyên tử, không cần phải có một năng lượng xác định, đúng như một hệ cơ học đơn giản không cần phải có một tần số xác định; nhưng dù hệ hành xử như thế nào, hành vi của nó luôn luôn có thể được biểu diễn như một chồng chất của các trạng thái có năng lượng xác định. Năng lượng của mỗi trạng thái là một đặc điểm của nguyên tử, và họa tiết của biên độ xác định xác suất tìm thấy các hạt ở các nơi khác nhau cũng vậy. Chuyển động tổng quát có thể được mô tả bằng cách cho biên độ của mỗi trạng thái năng lượng khác nhau này. Đây là nguồn gốc của các mức năng lượng trong cơ học lượng tử. Vì cơ học lượng tử được biểu diễn bằng các sóng, trong hoàn cảnh trong đó electron không có đủ năng lượng để cuối cùng thoát khỏi proton, chúng là các sóng bị giam. Giống như các sóng bị giam của một dây, có các tần số xác định cho nghiệm của phương trình sóng đối với cơ học lượng tử. Cách diễn giải cơ học lượng tử là các tần số này là các năng lượng xác định. Do đó một hệ cơ học lượng tử, vì nó được biểu diễn bằng các sóng, có thể có các trạng thái xác định có năng lượng cố định; các ví dụ là các mức năng lượng của các nguyên tử khác nhau.