Chương 51: Sóng

51–1  Sóng mũi tàu

Mặc dù chúng ta đã kết thúc các phân tích định lượng về sóng, chương bổ sung này về chủ đề đó nhằm mang lại, một cách định tính, một sự cảm nhận về các hiện tượng khác nhau liên quan đến sóng, những hiện tượng quá phức tạp để phân tích chi tiết ở đây. Vì chúng ta đã bàn về sóng trong vài chương, chính xác hơn thì chủ đề có thể được gọi là “một số hiện tượng phức tạp hơn liên quan đến sóng.”

Chủ đề đầu tiên được thảo luận liên quan đến các hiệu ứng được tạo ra bởi một nguồn sóng chuyển động nhanh hơn vận tốc sóng, hay vận tốc pha. Trước hết hãy xét các sóng có một vận tốc xác định, như âm thanh và ánh sáng. Nếu chúng ta có một nguồn âm chuyển động nhanh hơn tốc độ âm thanh, thì một điều như thế này xảy ra: Giả sử tại một thời điểm cho trước một sóng âm được tạo ra từ nguồn tại điểm x₁ trong Hình 51–1; rồi, trong khoảnh khắc tiếp theo, khi nguồn di chuyển tới x₂, sóng từ x₁ mở rộng theo một bán kính r₁ nhỏ hơn khoảng cách nguồn đã di chuyển; và, dĩ nhiên, một sóng khác bắt đầu từ x₂. Khi nguồn âm đã di chuyển xa hơn nữa, tới x₃, và một sóng đang bắt đầu ở đó, sóng từ x₂ lúc này đã mở rộng tới r₂, và sóng từ x₁ đã mở rộng tới r₃. Dĩ nhiên quá trình diễn ra liên tục, không phải theo từng bước, và do đó chúng ta có một dãy các vòng sóng với một đường tiếp tuyến chung đi qua tâm của nguồn. Chúng ta thấy rằng thay vì một nguồn tạo ra các sóng cầu, như nó sẽ làm nếu nó đứng yên, nó tạo ra một mặt đầu sóng tạo thành một hình nón trong ba chiều, hay một cặp đường thẳng trong hai chiều. Góc của hình nón rất dễ tính ra. Trong một khoảng thời gian cho trước nguồn di chuyển một khoảng, chẳng hạn x₃ − x₁, tỉ lệ với v, vận tốc của nguồn. Trong khi đó mặt đầu sóng đã di chuyển ra ngoài một khoảng r₃, tỉ lệ với c_w, tốc độ của sóng. Do đó rõ ràng nửa góc mở có sin bằng tỉ số giữa tốc độ của các sóng, chia cho tốc độ của nguồn, và sin này chỉ có nghiệm nếu c_w nhỏ hơn v, hay tốc độ của vật nhanh hơn tốc độ của sóng:

sinθ = c_w/v.   (51.1)

Nhân tiện, mặc dù chúng ta ngụ ý rằng cần phải có một nguồn âm, điều rất thú vị là hóa ra, một khi vật chuyển động nhanh hơn tốc độ âm thanh, nó sẽ tạo ra âm thanh. Tức là, không cần thiết nó phải có một tính chất dao động theo một tông âm nào đó. Bất kỳ vật nào chuyển động qua một môi trường nhanh hơn tốc độ môi trường truyền sóng sẽ tạo ra sóng ở hai bên, một cách tự động, chỉ từ chính chuyển động đó. Điều này đơn giản trong trường hợp âm thanh, nhưng nó cũng xảy ra trong trường hợp ánh sáng. Thoạt tiên người ta có thể nghĩ không có gì có thể chuyển động nhanh hơn tốc độ ánh sáng. Tuy nhiên, ánh sáng trong thủy tinh có vận tốc pha nhỏ hơn tốc độ ánh sáng trong chân không, và có thể bắn một hạt tích điện có năng lượng rất cao qua một khối thủy tinh sao cho vận tốc hạt gần bằng tốc độ ánh sáng trong chân không, trong khi tốc độ ánh sáng trong thủy tinh có thể chỉ bằng 2/3 tốc độ ánh sáng trong chân không. Một hạt chuyển động nhanh hơn tốc độ ánh sáng trong môi trường sẽ tạo ra một sóng ánh sáng hình nón có đỉnh tại nguồn, giống như vệt sóng sau một chiếc thuyền (mà thật ra cũng từ cùng một hiệu ứng). Bằng cách đo góc nón, chúng ta có thể xác định tốc độ của hạt. Điều này được dùng về mặt kỹ thuật để xác định tốc độ của các hạt như một trong các phương pháp xác định năng lượng của chúng trong nghiên cứu năng lượng cao. Chỉ cần đo hướng của ánh sáng là đủ.

Ánh sáng này đôi khi được gọi là bức xạ Cherenkov, vì nó lần đầu tiên được quan sát bởi Cherenkov. Cường độ của ánh sáng này phải như thế nào đã được phân tích về mặt lý thuyết bởi Frank và Tamm. Giải Nobel Vật lý năm 1958 được trao chung cho cả ba người vì công trình này.

Các tình huống tương ứng trong trường hợp âm thanh được minh họa trong Hình 51–2, là một bức ảnh chụp một vật chuyển động qua một chất khí với tốc độ lớn hơn tốc độ âm thanh. Các thay đổi áp suất tạo ra một sự thay đổi chiết suất, và với một hệ quang học thích hợp các cạnh của các sóng có thể được làm cho nhìn thấy được. Chúng ta thấy rằng vật chuyển động nhanh hơn tốc độ âm thanh quả thật tạo ra một sóng hình nón. Nhưng quan sát kỹ hơn cho thấy bề mặt thật ra bị cong. Nó thẳng một cách tiệm cận, nhưng nó cong gần đỉnh, và bây giờ chúng ta phải thảo luận làm sao điều đó có thể xảy ra, điều này đưa chúng ta tới chủ đề thứ hai của chương này.

51–2  Sóng xung kích

Tốc độ sóng thường phụ thuộc vào biên độ, và trong trường hợp âm thanh tốc độ phụ thuộc vào biên độ theo cách sau. Một vật chuyển động qua không khí phải đẩy không khí ra khỏi đường đi, vậy nhiễu loạn được tạo ra trong trường hợp này là một loại bậc áp suất nào đó, với áp suất cao hơn ở phía sau mặt đầu sóng so với trong vùng chưa bị nhiễu loạn chưa bị sóng chạm tới (đang chạy dọc với tốc độ bình thường, chẳng hạn). Nhưng không khí bị bỏ lại phía sau, sau khi mặt đầu sóng đi qua, đã bị nén đoạn nhiệt, và do đó nhiệt độ tăng lên. Bây giờ tốc độ âm thanh tăng theo nhiệt độ, vậy tốc độ trong vùng phía sau bậc nhảy nhanh hơn trong không khí ở phía trước. Điều đó có nghĩa là bất kỳ nhiễu loạn nào khác được tạo ra phía sau bậc này, chẳng hạn bởi một sự đẩy liên tục của vật, hay bất kỳ nhiễu loạn nào khác, sẽ chạy nhanh hơn mặt trước, tốc độ tăng theo áp suất cao hơn. Hình 51–3 minh họa tình huống, với một vài gợn áp suất nhỏ được thêm vào đường bao áp suất để giúp hình dung. Chúng ta thấy rằng các vùng áp suất cao hơn ở phía sau bắt kịp mặt trước theo thời gian, cho đến cuối cùng sóng nén phát triển thành một mặt trước sắc nét. Nếu cường độ rất cao, “cuối cùng” có nghĩa là ngay lập tức; nếu nó khá yếu, nó mất một thời gian dài; thật ra có thể là âm thanh đang lan ra và tắt dần trước khi nó kịp làm điều này.

Các âm thanh chúng ta tạo ra khi nói chuyện là cực kỳ yếu so với áp suất khí quyển — chỉ khoảng 1 phần trong một triệu hay cỡ đó. Nhưng đối với các thay đổi áp suất cỡ 1 atmosphere, vận tốc sóng tăng khoảng hai mươi phần trăm, và mặt đầu sóng trở nên sắc nét với một tốc độ cao tương ứng. Trong tự nhiên, có lẽ không có gì xảy ra vô cùng nhanh, và cái chúng ta gọi là một mặt trước “sắc nét” thật ra có một bề dày rất nhỏ; nó không dốc vô hạn. Các khoảng cách trên đó nó biến thiên cỡ một quãng đường tự do trung bình, tại đó lý thuyết phương trình sóng bắt đầu thất bại vì chúng ta đã không xét cấu trúc của chất khí.

Bây giờ, quay lại Hình 51–2, chúng ta thấy rằng độ cong có thể được hiểu nếu chúng ta nhận rõ rằng các áp suất gần đỉnh cao hơn các áp suất ở xa hơn về phía sau, và vậy góc θ lớn hơn. Tức là, đường cong là kết quả của thực tế rằng tốc độ phụ thuộc vào cường độ của sóng. Do đó sóng từ một vụ nổ bom nguyên tử truyền nhanh hơn nhiều so với tốc độ âm thanh trong một lúc, cho đến khi nó đi ra đủ xa đến mức nó bị yếu đi do lan rộng tới mức gồ áp suất nhỏ so với áp suất khí quyển. Tốc độ của gồ khi đó tiến tới tốc độ âm thanh trong chất khí mà nó đang đi vào. (Nhân tiện, luôn luôn hóa ra rằng tốc độ của cú xung kích cao hơn tốc độ âm thanh trong chất khí ở phía trước, nhưng thấp hơn tốc độ âm thanh trong chất khí ở phía sau. Tức là, các xung từ phía sau sẽ đến được mặt trước, nhưng mặt trước lao vào môi trường mà nó đang đi tới nhanh hơn tốc độ bình thường của các tín hiệu. Vậy người ta không thể biết, bằng âm thanh, rằng cú xung kích đang đến cho đến khi đã quá muộn. Ánh sáng từ quả bom đến trước, nhưng người ta không thể biết cú xung kích đang đến cho đến khi nó đến, vì không có tín hiệu âm thanh nào đến trước nó.)

Đây là một hiện tượng rất thú vị, sự chất chồng này của các sóng, và điểm chính mà nó phụ thuộc vào là sau khi một sóng đã có mặt, tốc độ của sóng kết quả phải cao hơn. Một ví dụ khác của cùng hiện tượng là như sau. Xét nước chảy trong một kênh dài có bề rộng hữu hạn và độ sâu hữu hạn. Nếu một piston, hay một bức tường ngang qua kênh, được di chuyển dọc theo kênh đủ nhanh, nước chất đống lên, như tuyết trước một chiếc xe ủi tuyết. Bây giờ giả sử tình huống như được chỉ ra trong Hình 51–4, với một bậc đột ngột trong chiều cao của nước ở đâu đó trong kênh. Có thể chứng minh rằng các sóng dài trong một kênh truyền nhanh hơn trong nước sâu hơn so với trong nước nông. Do đó bất kỳ gồ hay chỗ không đều mới nào trong năng lượng do piston cung cấp đều chạy ra phía trước và chất đống ở mặt trước. Cuối cùng, một lần nữa, cái chúng ta có chỉ là nước với một mặt trước sắc nét, về mặt lý thuyết. Tuy nhiên, như Hình 51–4 cho thấy, có các phức tạp. Trong hình là một sóng đang đi lên một kênh; piston ở đầu xa bên phải của kênh. Thoạt đầu nó có thể đã xuất hiện như một sóng ngoan ngoãn, như người ta có thể kỳ vọng, nhưng xa hơn dọc theo kênh, nó đã trở nên ngày càng sắc nét hơn cho đến khi các sự kiện trong hình xảy ra. Có một sự khuấy động khủng khiếp ở bề mặt, khi các mảnh nước rơi xuống, nhưng về cơ bản nó là một sự dâng lên rất sắc nét mà không có nhiễu loạn nào của nước ở phía trước.

Thật ra nước phức tạp hơn âm thanh nhiều. Tuy nhiên, chỉ để minh họa một điểm, chúng ta sẽ thử phân tích tốc độ của một sóng bore như vậy, trong một kênh. Điểm ở đây không phải là điều này có bất kỳ tầm quan trọng cơ bản nào cho mục đích của chúng ta — nó không phải là một khái quát lớn — nó chỉ để minh họa rằng các định luật cơ học mà chúng ta đã biết có khả năng giải thích hiện tượng.

Hãy tưởng tượng, trong một lúc, rằng nước thật sự trông giống như Hình 51–5(a), rằng nước ở chiều cao cao hơn h₂ đang chuyển động với vận tốc v, và rằng mặt trước đang chuyển động với vận tốc u vào nước chưa bị nhiễu loạn đang ở chiều cao h₁. Chúng ta muốn xác định tốc độ mặt trước chuyển động. Trong một thời gian Δt một mặt phẳng thẳng đứng ban đầu tại x₁ di chuyển một khoảng vΔt tới x₂, trong khi mặt trước của sóng đã di chuyển uΔt.

Bây giờ chúng ta áp dụng các phương trình bảo toàn vật chất và động lượng. Trước hết, phương trình thứ nhất: Trên một đơn vị bề rộng kênh, chúng ta thấy rằng lượng vật chất h₂vΔt đã di chuyển qua x₁ (được chỉ ra bằng phần tô bóng) được bù bởi vùng tô bóng còn lại, có lượng bằng (h₂ − h₁)uΔt. Vậy, chia cho Δt, vh₂ = u(h₂ − h₁). Điều đó chưa cho chúng ta đủ, vì mặc dù chúng ta có h₂ và h₁, chúng ta không biết u hay v; chúng ta đang cố tìm cả hai.

Bây giờ bước tiếp theo là dùng bảo toàn động lượng. Chúng ta chưa thảo luận các bài toán về áp suất nước, hay bất cứ điều gì trong thủy động lực học, nhưng dù sao cũng rõ ràng rằng áp suất của nước tại một độ sâu cho trước chỉ vừa đủ để đỡ cột nước phía trên nó. Do đó áp suất của nước bằng ρ, mật độ của nước, nhân với g, nhân với độ sâu dưới bề mặt. Vì áp suất tăng tuyến tính theo độ sâu, áp suất trung bình trên mặt phẳng tại x₁, chẳng hạn, là (1/2)ρgh₂, cũng là lực trung bình trên một đơn vị bề rộng và trên một đơn vị chiều cao đẩy mặt phẳng về phía x₂. Vậy chúng ta nhân với một h₂ nữa để được tổng lực đang tác dụng lên nước đẩy từ phía trái. Mặt khác, cũng có áp suất trong nước ở phía phải, tác dụng một lực ngược lại lên vùng đang xét, mà theo cùng kiểu phân tích là (1/2)ρgh₁². Bây giờ chúng ta phải cân bằng các lực với tốc độ thay đổi của động lượng. Như vậy chúng ta phải tính ra có bao nhiêu động lượng hơn trong tình huống (b) trong Hình 51–5 so với trong (a). Chúng ta thấy rằng khối lượng phụ thêm đã thu được tốc độ v chỉ là ρh₂uΔt − ρh₂vΔt (trên một đơn vị bề rộng), và nhân điều này với v cho động lượng phụ thêm để được cho bằng xung lượng FΔt:

(ρh₂uΔt − ρh₂vΔt)v = ((1/2)ρgh₂² − (1/2)ρgh₁²)Δt.

Nếu chúng ta khử v khỏi phương trình này bằng cách thay vh₂ = u(h₂ − h₁), đã tìm được, và đơn giản hóa, cuối cùng chúng ta được u² = gh₂(h₁ + h₂)/2h₁.

Nếu hiệu chiều cao rất nhỏ, sao cho h₁ và h₂ gần như bằng nhau, điều này nói rằng vận tốc = √(gh). Như chúng ta sẽ thấy về sau, điều đó chỉ đúng với điều kiện bước sóng của sóng dài hơn độ sâu của kênh.

Chúng ta cũng có thể làm điều tương tự đối với các sóng âm — bao gồm bảo toàn nội năng, không phải bảo toàn entropy, vì cú xung kích là không thuận nghịch. Thật ra, nếu người ta kiểm tra bảo toàn năng lượng trong bài toán bore, người ta thấy rằng năng lượng không được bảo toàn. Nếu hiệu chiều cao nhỏ, nó gần như được bảo toàn hoàn toàn, nhưng ngay khi hiệu chiều cao trở nên rất đáng kể, có một sự mất mát năng lượng ròng. Điều này biểu hiện thành nước rơi và sự khuấy động được chỉ ra trong Hình 51–4.

Trong các sóng xung kích có một sự mất mát năng lượng biểu kiến tương ứng, từ quan điểm của các phản ứng đoạn nhiệt. Năng lượng trong sóng âm, phía sau cú xung kích, đi vào việc làm nóng chất khí sau khi cú xung kích đi qua, tương ứng với sự khuấy động của nước trong bore. Khi tính ra, hóa ra cần ba phương trình cho trường hợp âm thanh để giải, và nhiệt độ phía sau cú xung kích không giống như nhiệt độ ở phía trước, như chúng ta đã thấy.

Nếu chúng ta thử tạo một bore bị lộn ngược (h₂ < h₁), khi đó chúng ta thấy rằng sự mất mát năng lượng trên giây là âm. Vì năng lượng không có sẵn từ bất cứ đâu, bore đó khi đó không thể tự duy trì; nó không ổn định. Nếu chúng ta khởi đầu một sóng thuộc loại đó, nó sẽ dẹt ra, vì sự phụ thuộc của tốc độ vào chiều cao vốn dẫn đến sự sắc nét hóa trong trường hợp chúng ta đã thảo luận giờ sẽ có hiệu ứng ngược lại.

51–3  Sóng trong chất rắn

Loại sóng tiếp theo được thảo luận là các sóng phức tạp hơn trong chất rắn. Chúng ta đã thảo luận các sóng âm trong chất khí và trong chất lỏng, và có một tương tự trực tiếp với một sóng âm trong một chất rắn. Nếu một cú đẩy đột ngột được áp lên một chất rắn, nó bị nén. Nó chống lại sự nén, và một sóng tương tự như âm thanh được khởi đầu. Tuy nhiên còn có một loại sóng khác có thể có trong một chất rắn, và không thể có trong một chất lỏng. Nếu một chất rắn bị biến dạng bằng cách đẩy nó sang bên (gọi là trượt cắt — shearing), thì nó cố kéo mình trở lại. Đó theo định nghĩa là điều phân biệt một chất rắn với một chất lỏng: nếu chúng ta biến dạng một chất lỏng (ở bên trong), giữ nó một phút để nó lắng xuống, rồi buông ra, nó sẽ ở nguyên như vậy, nhưng nếu chúng ta lấy một chất rắn và đẩy nó, như trượt cắt một miếng “Jello,” rồi buông ra, nó bay trở lại và khởi đầu một sóng trượt cắt (shear wave), truyền đi theo cùng cách các sóng nén truyền đi. Trong mọi trường hợp, tốc độ sóng trượt cắt nhỏ hơn tốc độ của các sóng dọc. Các sóng trượt cắt có phần tương tự hơn, xét về các phân cực của chúng, với các sóng ánh sáng. Âm thanh không có phân cực, nó chỉ là một sóng áp suất. Ánh sáng có một định hướng đặc trưng vuông góc với hướng truyền của nó.

Trong một chất rắn, các sóng thuộc cả hai loại. Trước hết, có một sóng nén, tương tự như âm thanh, chạy với một tốc độ. Nếu chất rắn không phải là tinh thể, thì một sóng trượt cắt phân cực theo bất kỳ hướng nào sẽ lan truyền với một tốc độ đặc trưng. (Dĩ nhiên mọi chất rắn đều là tinh thể, nhưng nếu chúng ta dùng một khối được làm từ các vi tinh thể có mọi định hướng, các tính dị hướng của tinh thể sẽ trung bình hóa lẫn nhau.)

Một câu hỏi thú vị khác liên quan đến các sóng âm là như sau: Điều gì xảy ra nếu bước sóng trong một chất rắn ngày càng ngắn hơn, và ngắn hơn nữa? Nó có thể ngắn đến mức nào? Điều thú vị là nó không thể ngắn hơn khoảng cách giữa các nguyên tử, vì nếu được cho là có một sóng trong đó một điểm đi lên và điểm tiếp theo đi xuống, v.v., thì bước sóng ngắn nhất có thể rõ ràng là khoảng cách nguyên tử. Theo ngôn ngữ của các mode dao động, chúng ta nói rằng có các mode dọc, và các mode ngang, các mode sóng dài, các mode sóng ngắn. Khi chúng ta xét các bước sóng tương đương với khoảng cách giữa các nguyên tử, khi đó các tốc độ không còn không đổi nữa; có một hiệu ứng tán sắc trong đó vận tốc không độc lập với số sóng. Nhưng, cuối cùng, mode cao nhất của các sóng ngang sẽ là mode trong đó mọi nguyên tử làm ngược lại với các nguyên tử lân cận.

Bây giờ từ quan điểm của các nguyên tử, tình huống giống như hai con lắc mà chúng ta đã nói tới, mà đối với chúng có hai mode, một mode trong đó cả hai cùng đi với nhau, và mode còn lại trong đó chúng đi ngược nhau. Có thể phân tích các sóng trong chất rắn theo một cách khác, theo một hệ các dao động tử điều hòa liên kết, như một số lượng khổng lồ các con lắc, với mode cao nhất sao cho chúng dao động ngược nhau, và các mode thấp hơn với các quan hệ khác nhau về thời điểm.

Các bước sóng ngắn nhất ngắn đến mức chúng thường không có sẵn về mặt kỹ thuật. Tuy nhiên chúng rất đáng quan tâm vì, trong lý thuyết nhiệt động lực học của một chất rắn, các tính chất nhiệt của một chất rắn, chẳng hạn nhiệt dung riêng, có thể được phân tích theo các tính chất của các sóng âm ngắn. Đi tới cực hạn của các sóng âm có bước sóng ngày càng ngắn hơn, người ta tất yếu đi tới các chuyển động riêng lẻ của các nguyên tử; hai điều này cuối cùng là cùng một thứ.

Một ví dụ rất thú vị về các sóng âm trong một chất rắn, cả dọc lẫn ngang, là các sóng ở trong lòng đất rắn. Ai tạo ra các tiếng ồn thì chúng ta không biết, nhưng bên trong trái đất, thỉnh thoảng, có các trận động đất — một khối đá nào đó trượt qua một khối đá khác. Điều đó giống như một tiếng ồn nhỏ. Vậy các sóng giống như sóng âm bắt đầu từ một nguồn như vậy với bước sóng dài hơn nhiều so với người ta thường xét trong các sóng âm, nhưng chúng vẫn là các sóng âm, và chúng truyền vòng quanh trong trái đất. Tuy nhiên trái đất không đồng nhất, và các tính chất, của áp suất, mật độ, khả năng nén, v.v., thay đổi theo độ sâu, và do đó tốc độ biến thiên theo độ sâu. Khi đó các sóng không truyền theo đường thẳng — có một loại chiết suất và chúng đi theo đường cong. Các sóng dọc và các sóng ngang có các tốc độ khác nhau, vậy có các nghiệm khác nhau cho các tốc độ khác nhau. Do đó nếu chúng ta đặt một máy ghi địa chấn tại một địa điểm nào đó và quan sát cách vật đó rung lắc sau khi đã có một trận động đất ở một nơi khác, khi đó chúng ta không chỉ nhận được một sự rung lắc bất thường. Chúng ta có thể nhận được một sự rung lắc, và một sự yên lặng xuống, rồi một sự rung lắc khác — điều xảy ra phụ thuộc vào vị trí. Nếu nó đủ gần, trước hết chúng ta sẽ nhận được các sóng dọc từ nhiễu loạn, và rồi, vài khoảnh khắc sau, các sóng ngang, vì chúng truyền chậm hơn. Bằng cách đo hiệu thời gian giữa hai loại, chúng ta có thể cho biết trận động đất ở bao xa, nếu chúng ta biết đủ về các tốc độ và thành phần của các vùng bên trong liên quan.

Một ví dụ về mô hình hành vi của các sóng trong trái đất được chỉ ra trong Hình 51–6. Hai loại sóng được biểu diễn bằng các ký hiệu khác nhau. Nếu có một trận động đất tại nơi được đánh dấu “nguồn,” các sóng ngang và các sóng dọc sẽ đến trạm vào các thời gian khác nhau theo các tuyến trực tiếp nhất, và cũng sẽ có các phản xạ tại các mặt gián đoạn, dẫn đến các đường đi và thời gian khác. Hóa ra có một lõi trong trái đất không mang các sóng ngang. Nếu trạm ở phía đối diện với nguồn, các sóng ngang vẫn đến, nhưng thời điểm không đúng. Điều xảy ra là sóng ngang đến lõi, và mỗi khi các sóng ngang đến một bề mặt xiên, giữa hai vật liệu, hai sóng mới được tạo ra, một sóng ngang và một sóng dọc. Nhưng bên trong lõi của trái đất, một sóng ngang không được lan truyền (hay ít nhất, không có bằng chứng cho nó, chỉ có bằng chứng cho một sóng dọc); nó lại đi ra ở cả hai dạng và đến trạm.

Chính từ hành vi của các sóng động đất này mà người ta đã xác định rằng các sóng ngang không thể được lan truyền bên trong vòng tròn trong. Điều này có nghĩa là trung tâm của trái đất là lỏng theo nghĩa nó không thể lan truyền các sóng ngang. Cách duy nhất chúng ta biết cái gì ở bên trong trái đất là bằng cách nghiên cứu các trận động đất. Vậy, bằng cách dùng một số lượng lớn các quan sát về nhiều trận động đất tại các trạm khác nhau, các chi tiết đã được làm rõ — tốc độ, các đường cong, v.v. đều đã được biết. Chúng ta biết tốc độ của các loại sóng khác nhau ở mọi độ sâu là bao nhiêu. Biết điều đó, do đó, có thể tính ra các mode chuẩn của trái đất là gì, vì chúng ta biết tốc độ lan truyền của các sóng âm — nói cách khác, các tính chất đàn hồi của cả hai loại sóng ở mọi độ sâu. Giả sử trái đất bị biến dạng thành một hình ellipsoid và được buông ra. Nó chỉ là vấn đề chồng chất các sóng truyền vòng quanh trong ellipsoid để xác định chu kỳ và các hình dạng trong một mode tự do. Chúng ta đã tính ra rằng nếu có một nhiễu loạn, có rất nhiều mode, từ mode thấp nhất, là mode ellipsoid, tới các mode cao hơn có cấu trúc nhiều hơn.

Trận động đất Chile tháng 5 năm 1960 tạo ra một “tiếng ồn” đủ lớn đến mức các tín hiệu đi vòng quanh trái đất nhiều lần, và các máy ghi địa chấn mới có độ nhạy rất cao được chế tạo vừa kịp lúc để xác định các tần số của các mode cơ bản của trái đất và so sánh chúng với các giá trị đã được tính từ lý thuyết âm thanh với các vận tốc đã biết, như được đo từ các trận động đất độc lập. Kết quả của thí nghiệm này được minh họa trong Hình 51–7, là một đồ thị của cường độ tín hiệu theo tần số dao động của nó (một phân tích Fourier). Lưu ý rằng tại một số tần số riêng biệt nhất định có nhiều tín hiệu được nhận hơn nhiều so với tại các tần số khác; có các cực đại rất xác định. Đây là các tần số tự nhiên của trái đất, vì đây là các tần số chính mà tại đó trái đất có thể dao động. Nói cách khác, nếu toàn bộ chuyển động của trái đất được tạo thành từ nhiều mode khác nhau, chúng ta sẽ kỳ vọng thu được, đối với mỗi trạm, các va chạm bất thường cho thấy một sự chồng chất của nhiều tần số. Nếu chúng ta phân tích điều này theo các tần số, chúng ta sẽ có thể tìm ra các tần số đặc trưng của trái đất. Các đường thẳng đứng đậm trong hình là các tần số đã được tính, và chúng ta tìm thấy một sự phù hợp đáng kể, một sự phù hợp do thực tế rằng lý thuyết âm thanh là đúng đối với bên trong trái đất.

Một điểm rất kỳ lạ được hé lộ trong Hình 51–8, chỉ ra một phép đo rất cẩn thận, với độ phân giải tốt hơn của mode thấp nhất, mode ellipsoid của trái đất. Lưu ý rằng nó không phải là một cực đại đơn, mà là một cực đại kép, 54,7 phút và 53,1 phút — hơi khác nhau. Lý do cho hai tần số khác nhau chưa được biết tại thời điểm nó được đo, mặc dù có thể nó đã được tìm ra trong thời gian qua. Có ít nhất hai cách giải thích có thể: Một là có thể có sự bất đối xứng trong phân bố của trái đất, điều này sẽ dẫn đến hai mode tương tự. Một khả năng khác, còn thú vị hơn, là như sau: Hãy tưởng tượng các sóng đi vòng quanh trái đất theo hai hướng từ nguồn. Các tốc độ sẽ không bằng nhau vì các hiệu ứng của sự quay của trái đất trong các phương trình chuyển động, vốn chưa được tính đến khi thực hiện phân tích. Chuyển động trong một hệ quay bị biến đổi bởi các lực Coriolis, và các lực này có thể gây ra sự tách đôi quan sát được.

Về phương pháp mà theo đó các trận động đất này đã được phân tích, cái thu được trên máy ghi địa chấn không phải là một đường cong của biên độ theo tần số, mà là độ dịch chuyển theo thời gian, luôn luôn là một đường vẽ rất bất thường. Để tìm lượng của mọi sóng sin khác nhau đối với mọi tần số khác nhau, chúng ta biết mẹo là nhân dữ liệu với một sóng sin có tần số cho trước và lấy tích phân, tức là, lấy trung bình nó, và trong trung bình mọi tần số khác đều biến mất. Các hình như vậy là các đồ thị của các tích phân tìm được khi dữ liệu được nhân với các sóng sin có số chu kỳ trên phút khác nhau, và được lấy tích phân.

51–4  Sóng mặt

Bây giờ, các sóng đáng quan tâm tiếp theo, mà mọi người dễ dàng nhìn thấy và thường được dùng làm ví dụ về sóng trong các khóa học sơ cấp, là các sóng nước. Như chúng ta sẽ sớm thấy, chúng là ví dụ tệ nhất có thể, vì chúng không có chút nào giống âm thanh và ánh sáng; chúng có mọi phức tạp mà sóng có thể có. Hãy bắt đầu với các sóng nước dài trong nước sâu. Nếu đại dương được coi là sâu vô hạn và một nhiễu loạn được tạo ra trên bề mặt, các sóng được tạo ra. Mọi loại chuyển động bất thường đều xảy ra, nhưng chuyển động kiểu hình sin, với một nhiễu loạn rất nhỏ, có thể trông giống như các sóng biển trơn tru thông thường đang đi vào bờ. Bây giờ với một sóng như vậy, nước, dĩ nhiên, trung bình, đang đứng yên, nhưng sóng chuyển động. Chuyển động là gì, nó là ngang hay dọc? Nó không thể là cái nào cả; nó không phải là ngang, cũng không phải là dọc. Mặc dù nước tại một nơi cho trước luân phiên là hõm hay đỉnh, nó không thể đơn giản chuyển động lên và xuống, theo bảo toàn nước. Tức là, nếu nó đi xuống, nước sẽ đi đâu? Nước về cơ bản là không nén được. Tốc độ của các sóng nén — tức là, âm thanh trong nước — cao hơn nhiều, nhiều, và chúng ta không xét điều đó bây giờ. Vì nước không nén được trên quy mô này, khi một đỉnh đi xuống nước phải di chuyển ra khỏi vùng. Điều thật sự xảy ra là các hạt nước gần bề mặt chuyển động xấp xỉ theo các vòng tròn. Khi các sóng biển trơn tru đang đến, một người nổi trong một chiếc phao có thể nhìn vào một vật gần đó và thấy nó đi theo một vòng tròn. Vậy nó là một hỗn hợp của dọc và ngang, để thêm vào sự rối rắm. Ở các độ sâu lớn hơn trong nước các chuyển động là các vòng tròn nhỏ hơn cho đến khi, đủ xa xuống dưới, không còn lại gì của chuyển động (Hình 51–9).

Việc tìm vận tốc của các sóng như vậy là một bài toán thú vị: nó phải là một tổ hợp nào đó của mật độ của nước, gia tốc trọng lực, vốn là lực phục hồi tạo ra các sóng, và có thể của bước sóng và của độ sâu. Nếu chúng ta lấy trường hợp độ sâu đi tới vô hạn, nó sẽ không còn phụ thuộc vào độ sâu nữa. Dù công thức nào chúng ta sẽ thu được cho vận tốc của các pha của các sóng cũng phải kết hợp các yếu tố khác nhau để tạo ra thứ nguyên đúng, và nếu chúng ta thử điều này theo nhiều cách khác nhau, chúng ta chỉ tìm thấy một cách để kết hợp mật độ, g, và λ nhằm tạo ra một vận tốc, đó là √(gλ), điều này hoàn toàn không bao gồm mật độ. Thật ra, công thức này cho vận tốc pha không hoàn toàn đúng, nhưng một phân tích đầy đủ của động lực học, mà chúng ta sẽ không đi vào, cho thấy các yếu tố như chúng ta có, ngoại trừ √(2π):

v_phase = √(gλ/2π) (đối với các sóng trọng lực).

Điều thú vị là các sóng dài đi nhanh hơn các sóng ngắn. Như vậy nếu một chiếc thuyền tạo sóng ở xa ngoài khơi, vì có một tay lái xe thể thao nào đó trong một chiếc thuyền máy đang đi qua, thì sau một lúc các sóng đến bờ với các vỗ nhẹ chậm chạp lúc đầu rồi các vỗ ngày càng nhanh hơn, vì các sóng đầu tiên đến là các sóng dài. Các sóng trở nên ngày càng ngắn hơn khi thời gian trôi qua, vì các vận tốc tỉ lệ với căn bậc hai của bước sóng.

Người ta có thể phản đối, “Điều đó không đúng, chúng ta phải nhìn vào vận tốc nhóm để tính ra điều đó!” Dĩ nhiên điều đó đúng. Công thức cho vận tốc pha không cho chúng ta biết cái gì sẽ đến trước; cái cho chúng ta biết là vận tốc nhóm. Vậy chúng ta phải tính ra vận tốc nhóm, và nó được để lại như một bài toán để chứng minh nó bằng một nửa vận tốc pha, giả sử rằng vận tốc tỉ lệ với căn bậc hai của bước sóng, đó là tất cả những gì cần thiết. Vận tốc nhóm cũng tỉ lệ với căn bậc hai của bước sóng. Làm sao vận tốc nhóm có thể đi bằng nửa tốc độ của pha? Nếu người ta nhìn vào chùm sóng được tạo ra bởi một chiếc thuyền đang đi dọc, đi theo một đỉnh riêng biệt, người ta thấy nó di chuyển về phía trước trong nhóm và dần yếu đi và tắt dần ở phía trước, và một cách thần bí và bí ẩn một sóng yếu ở phía sau tiến dần về phía trước và trở nên mạnh hơn. Nói ngắn gọn, các sóng đang chuyển động xuyên qua nhóm trong khi nhóm chỉ chuyển động với một nửa tốc độ mà các sóng đang chuyển động.

Vì các vận tốc nhóm và vận tốc pha không bằng nhau, khi đó các sóng được tạo ra bởi một vật chuyển động qua nước không còn đơn giản là một hình nón nữa, mà nó thú vị hơn nhiều. Chúng ta có thể thấy điều đó trong Hình 51–10, chỉ ra các sóng được tạo ra bởi một vật chuyển động qua nước. Lưu ý rằng nó khá khác so với cái chúng ta sẽ có đối với âm thanh, trong đó vận tốc độc lập với bước sóng, nơi chúng ta sẽ có các mặt đầu sóng chỉ dọc theo hình nón, truyền ra ngoài. Thay vào đó, chúng ta có các sóng ở phía sau với các mặt trước chuyển động song song với chuyển động của thuyền, và rồi chúng ta có các sóng nhỏ ở hai bên theo các góc khác. Toàn bộ mô hình sóng này có thể, với sự khéo léo, được phân tích bằng cách chỉ biết điều này: rằng vận tốc pha tỉ lệ với căn bậc hai của bước sóng. Mẹo là mô hình sóng đứng yên tương đối với chiếc thuyền (có vận tốc không đổi); bất kỳ mô hình nào khác sẽ bị mất khỏi thuyền.

Các sóng nước mà chúng ta đã xét cho đến nay là các sóng dài trong đó lực phục hồi là do trọng lực. Nhưng khi các sóng trở nên rất ngắn trong nước, lực phục hồi chính là lực hút mao dẫn, tức là, năng lượng của bề mặt, sức căng bề mặt. Đối với các sóng sức căng bề mặt, hóa ra vận tốc pha là

v_phase = √(2πT/λρ) (đối với các gợn sóng),

trong đó T là sức căng bề mặt và ρ là mật độ. Nó hoàn toàn ngược lại: vận tốc pha cao hơn, khi bước sóng ngắn hơn, khi bước sóng trở nên rất nhỏ. Khi chúng ta có cả trọng lực và tác dụng mao dẫn, như chúng ta luôn có, chúng ta thu được tổ hợp của cả hai với nhau:

v_phase = √(Tk/ρ + g/k),

trong đó k = 2π/λ là số sóng. Vậy vận tốc của các sóng nước thật sự khá phức tạp. Vận tốc pha theo bước sóng được chỉ ra trong Hình 51–11; đối với các sóng rất ngắn nó nhanh, đối với các sóng rất dài nó nhanh, và có một tốc độ tối thiểu mà tại đó các sóng có thể đi. Vận tốc nhóm có thể được tính từ công thức: nó bằng 3/2 vận tốc pha đối với các gợn sóng và 1/2 vận tốc pha đối với các sóng trọng lực. Ở phía trái của cực tiểu vận tốc nhóm cao hơn vận tốc pha; ở phía phải, vận tốc nhóm nhỏ hơn vận tốc pha. Có một số hiện tượng thú vị liên quan đến các thực tế này. Trước hết, vì vận tốc nhóm tăng rất nhanh khi bước sóng giảm xuống, nếu chúng ta tạo một nhiễu loạn sẽ có một đầu chậm nhất của nhiễu loạn đi với tốc độ tối thiểu với bước sóng tương ứng, và rồi ở phía trước, đi với tốc độ cao hơn, sẽ có một sóng ngắn và một sóng rất dài. Rất khó nhìn thấy các sóng dài, nhưng dễ nhìn thấy các sóng ngắn trong một bể nước.

Vậy chúng ta thấy rằng các gợn sóng thường được dùng để minh họa các sóng đơn giản khá thú vị và phức tạp; chúng hoàn toàn không có một mặt đầu sóng sắc nét, như trường hợp đối với các sóng đơn giản như âm thanh và ánh sáng. Sóng chính có các gợn nhỏ chạy ra phía trước. Một nhiễu loạn sắc nét trong nước không tạo ra một sóng sắc nét vì sự tán sắc. Đầu tiên đến là các sóng rất mịn. Nhân tiện, nếu một vật chuyển động qua nước với một tốc độ nào đó, một mô hình khá phức tạp sẽ tạo thành, vì mọi sóng khác nhau đều đi với các tốc độ khác nhau. Người ta có thể chứng minh điều này với một khay nước và thấy rằng các sóng nhanh nhất là các sóng mao dẫn mịn. Có các sóng chậm nhất, thuộc một loại nào đó, đi ở phía sau. Bằng cách nghiêng đáy, người ta thấy rằng ở nơi độ sâu thấp hơn, tốc độ thấp hơn. Nếu một sóng đến theo một góc với đường dốc cực đại, nó uốn cong và có xu hướng đi theo đường đó. Theo cách này người ta có thể chỉ ra nhiều điều khác nhau, và chúng ta kết luận rằng sóng trong nước phức tạp hơn sóng trong không khí.

Tốc độ của các sóng dài trong nước với các chuyển động vòng tròn chậm hơn khi độ sâu nhỏ hơn, nhanh hơn trong nước sâu. Như vậy khi nước đến gần một bãi biển nơi độ sâu giảm đi, các sóng đi chậm hơn. Nhưng ở nơi nước sâu hơn, các sóng nhanh hơn, vậy chúng ta thu được các hiệu ứng của sóng xung kích. Lần này, vì sóng không đơn giản như vậy, các cú xung kích bị méo mó nhiều hơn nhiều, và sóng tự cuộn quá lên, theo cách quen thuộc được chỉ ra trong Hình 51–12. Đây là điều xảy ra khi các sóng đi vào bờ, và các phức tạp thật sự trong tự nhiên được hé lộ rõ trong một tình huống như vậy. Chưa ai có thể tính ra sóng phải có hình dạng gì khi nó vỡ. Điều đó đủ dễ khi các sóng nhỏ, nhưng khi một sóng trở nên lớn và vỡ, khi đó nó phức tạp hơn nhiều.

Một đặc điểm thú vị về các sóng mao dẫn có thể được nhìn thấy trong các nhiễu loạn được tạo ra bởi một vật chuyển động qua nước. Từ quan điểm của chính vật, nước đang chảy qua, và các sóng cuối cùng nằm quanh nó luôn là các sóng có tốc độ vừa đúng để đứng yên với vật trong nước. Tương tự, quanh một vật trong một dòng suối, với dòng suối chảy qua, mô hình sóng là đứng yên, và ở đúng các bước sóng vừa đúng để đi với cùng tốc độ như nước đang chảy qua. Nhưng nếu vận tốc nhóm nhỏ hơn vận tốc pha, khi đó các nhiễu loạn lan truyền ngược ra phía sau trong dòng suối, vì vận tốc nhóm không đủ để bắt kịp dòng suối. Nếu vận tốc nhóm nhanh hơn vận tốc của pha, mô hình sóng sẽ xuất hiện ở phía trước vật. Nếu người ta nhìn kỹ các vật trong một dòng suối, người ta có thể thấy có các gợn nhỏ ở phía trước và các “vệt dài” ở phía sau.

Một đặc điểm thú vị khác thuộc loại này có thể được quan sát khi rót các chất lỏng. Chẳng hạn, nếu sữa được rót đủ nhanh ra khỏi một chai, một số lượng lớn các đường có thể được nhìn thấy cắt nhau theo cả hai chiều trong dòng chảy ra. Chúng là các sóng bắt đầu từ nhiễu loạn tại các cạnh và chạy ra ngoài, rất giống các sóng quanh một vật trong một dòng suối. Có các hiệu ứng từ cả hai phía tạo ra mô hình cắt nhau.

Chúng ta đã khảo sát một số tính chất thú vị của sóng và các phức tạp khác nhau của sự phụ thuộc của vận tốc pha vào bước sóng, tốc độ của các sóng vào độ sâu, v.v., vốn tạo ra các hiện tượng thật sự phức tạp, và do đó thú vị, của tự nhiên.